PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 5 TRONG GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN TRƯỜNG HỢP SỬ DỤNG BÀI TOÁN “NHẬN BIẾT DẠNG MẪU” PGS TS Nguyễn Phú Lộc1 ThS Ngô Trúc Phương2 Tóm tắt Phát triển năng[.]
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP TRONG GIẢI TỐN CĨ LỜI VĂN: TRƯỜNG HỢP SỬ DỤNG BÀI TOÁN “NHẬN BIẾT DẠNG MẪU” PGS TS Nguyễn Phú Lộc1 ThS Ngơ Trúc Phương2 Tóm tắt Phát triển lực giải vấn đề cho học sinh tiểu học nhiệm vụ quan trọng mục tiêu dạy học Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn Việt Nam Để giải vấn đề hiệu quả, học sinh cần cung cấp cơng cụ khám phá, có chiến lược “nhận biết dạng mẫu” Chiến lược vận dụng nhiều giải toán tiểu học Hoa Kỳ theo hướng thiết kế thành toán “nhận biết dạng mẫu” Tuy nhiên, sách giáo khoa Toán tiểu học Việt Nam, nhóm tác giả chưa thấy xuất tốn Bài viết trình bày kết so sánh tốn có lời văn Việt Nam Hoa Kỳ theo góc độ nhận biết dạng mẫu, thiết kế số tình dạy học tốn có lời văn lớp phân tích để “nhận biết dạng mẫu” chiến lược giải hiệu quả, tường thuật kết thực nghiệm giải toán học sinh, khảo sát thái độ học sinh toán Bài viết sử dụng toán “nhận biết dạng mẫu” công cụ hữu hiệu để phát triển lực giải vấn đề cho học sinh tiểu học Từ khóa: Bài tốn “nhận biết dạng mẫu”; giải tốn có lời văn; lực giải vấn đề; Toán lớp Bài toán nhận biết dạng mẫu Mulligan (2009) cho rằng sức mạnh của Toán học nằm những mối tương quan và biến đổi - nơi hình thành nên các quy luật và sự khái quát Những quy luật trừu tượng là sở của kiến thức cấu trúc, mục tiêu của việc học toán Bởi vì quy luật Toán học có thể tìm thấy ở mọi nơi – tự nhiên, số và hình, chiến lược tìm kiếm quy luật được sử dụng thường xuyên nhất giải toán Những quy luật này được phát hiện thông qua hoạt động nhận biết dạng mẫu Trường Đại học Cần Thơ; SĐT: 0903383617; Email: nploc@ctu.edu.vn Trường Đại học Bạc Liêu; SĐT: 0835588818; Email: ntphuongbl2011@yahoo.com Phần 1: NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ ĐỔI MỚI GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN 221 Một dạng mẫu Toán học (mathematical pattern) có thể được mô tả là một nội dung nào đó đều đặn lặp lại có thể dự đoán được, thường ở mối quan hệ về số, hình hoặc theo logic Ở tiểu học, chiến lược tìm kiếm dạng mẫu là sự mở rộng của chiến lược tạo bảng hoặc liệt kê dữ kiện Khi một dạng mẫu được thiết lập, việc dự đoán cái xảy tiếp theo sẽ rất dễ dàng Để nhận biết một dạng mẫu, Nguyễn Phú Lộc (2016) đề xuất mô hình sau (xem Hình 1): Hình Mô hình nhận biết dạng mẫu Tư dựa dạng mẫu (pattern-based thinking), sử dụng dạng mẫu để phân tích và giải toán, là công cụ cực kỳ mạnh cho việc giải toán ở cấp tiểu học và rất thích hợp để hướng đến mô tả các mối quan hệ, hình thành khái niệm hàm số ở những lớp cao Những thành phần chính của hoạt động tư theo dạng mẫu là: khám phá, phân tích, tổng quát hóa thành dạng mẫu, biểu diễn quy luật và đầu vào/đầu giống hàm số Một nhiệm vụ quan trọng đối với mỗi giáo viên (GV) Toán là giúp học sinh (HS) nhận ra, khái quát hóa và sử dụng dạng mẫu tồn tại các số, hình và thế giới xung quanh (New Jersey Mathematics Curriculum Framework, 1997) Seifi cộng (2012) đã thực hiện một khảo sát GV về khó khăn giải toán có lời văn (CLV) của HS Kết quả cho thấy HS có khó khăn vì GV đã dạy họ những chiến thuật giải toán không thích hợp, chẳng hạn chiến lược tìm từ khóa Để khắc phục những khó khăn giải toán CLV, GV đã đề nghị trang bị cho HS ba chiến thuật giải là tìm kiếm dạng mẫu, biểu diễn thành hình ảnh và viết lại bài toán Khi HS đối mặt với những bài toán có dạng không quen thuộc, không có phương pháp chung để giải, các em thường dễ dàng từ bỏ vì không biết bắt đầu thế nào Khi đó, khả khám phá và phân tích dạng mẫu trở thành một công cụ quan trọng để giúp HS có định hướng Khi HS bắt đầu thu thập dữ liệu và tìm một quy luật để giải bài toán, cái tìm thường chưa rõ ràng Khi tất cả thông tin đã được sắp xếp thành bảng, sơ đồ, biểu đồ và bắt đầu phân tích dữ kiện, giống phép thuật, quy luật bắt đầu xuất hiện và HS sử dụng dạng mẫu này để giải toán (New Jersey Mathematics Curriculum Framework, 1997) 222 KỶ YẾU HỘI THẢO QUỐC TẾ LẦN THỨ NHẤT VỀ ĐỔI MỚI ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN Khi khám phá một bài toán nhận biết dạng mẫu, HS cần tìm quy luật từ sự nối kết của các số liệu đối với thông tin được cho Một dạng mẫu đã được nhận ra, HS có thể đoán các kết quả tiếp theo để tìm lời giải cho bài toán Trong giải toán dựa bài toán nhận biết dạng mẫu, hai yêu cầu không thể thiếu là: (1) xác định các đại lượng bài toán và mối quan hệ giữa chúng, (2) sử dụng biểu diễn trực quan, từ ngữ, ký hiệu hoặc số để mô tả quy luật Quy trình giải toán CLV theo chiến lược sử dụng bài toán “nhận biết dạng mẫu” có thể thực hiện theo các bước sau: - Ghi các thông tin đã biết, xác định thông tin cần tìm Tạo bảng hoặc một dãy liệt kê các dữ kiện về số - Xác định dạng mẫu (thông qua tìm kiếm quy luật) - Tìm các yếu tố còn thiếu Từ đó, tìm câu trả lời cho bài toán Toán có lời văn SGK Hoa Kỳ dưới góc độ nhận biết dạng mẫu Trong Toán học Hoa Kỳ, từ cấp Mẫu giáo đến hết Phổ thông, tìm kiếm dạng mẫu được xem là một các chiến lược cần trang bị cho HS giải toán nói chung, toán CLV nói riêng HS sẽ được phát triển dần các mức độ làm việc với dạng mẫu nhiều dạng toán khác Bài viết này sẽ trình bày dạng toán chương trình lớp 5-6 của Hoa Kỳ có sử dụng chiến thuật “nhận biết dạng mẫu” giải Bộ sách được lựa chọn là GoMath Trong sách giáo khoa (SGK) Toán của Việt Nam, dạng toán này tương ứng với toán về đại lượng tỉ lệ thuận và phân số bằng Dưới góc độ nhận biết dạng mẫu, nhóm tác giả thực hiện so sánh sách GoMath với SGK Toán và đưa một số đề xuất cho việc vận dụng bài toán “nhận biết dạng mẫu” vào dạy học giải toán CLV ở lớp Theo NCTM (2000), HS lớp 5-6 thể hiện việc hiểu dạng mẫu, các mối tương quan và hàm số qua các yếu tố sau: (1) Mô tả, mở rộng và khái quát về các dạng mẫu của số và hình; (2) Biểu diễn, phân tích dạng mẫu và hàm số bằng cách sử dụng từ ngữ, bảng và đồ thị 2.1 Toán về đại lượng tỉ lệ thuận Ở lớp 5, HS được giới thiệu về dạng mẫu một phần kiến thức độc lập Các bài toán CLV minh họa cho phần này tương tự toán về đại lượng tỉ lệ thuận (trong Toán 5) của Việt Nam, chẳng hạn ở ví dụ sau (xem Hình 2): Trong bài toán trên, HS được yêu cầu giải quyết hai vấn đề: nêu quy luật về mối quan hệ giữa số đồng vàng và số mạng sống ở một cảnh bất kỳ của game, tìm số mạng sống mà Alice có được sau cảnh Để hỗ trợ HS tìm lời giải, một bảng về dữ kiện số cùng các gợi ý biểu diễn quan hệ được đưa vào Ngoài giá trị được cho bài toán, các giá trị khác được thêm vào theo hướng tăng dần Dạng mẫu ở gợi ý kiểu diễn tả cho HS: (1) số Phần 1: NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ ĐỔI MỚI GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN 223 mạng sống tăng và số đồng vàng tăng sau mỗi cảnh chơi; (2) số đồng vàng gấp đôi số mạng sống ở một cảnh bất kỳ Hình Giải toán dựa bài toán “nhận biết dạng mẫu” ở lớp (GoMath - Gr5, p.560) Có thể thấy, với dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, sách GoMath Grade muốn HS khám phá dạng mẫu đại lượng này gấp đại lượng một số không đổi Sách GoMath Grade tiếp tục nhắc lại bài toán này với sự vận dụng khái niệm tỉ số bằng và cũng thông qua bài toán nhận biết dạng mẫu ở ví dụ sau (xem Hình 3): Trong bài toán trên, HS được yêu cầu tìm lượng nhiên liệu sử dụng 48 dặm biết ga-lông thì được 12 dặm So với lớp 5, bảng số liệu được gợi ý ít hơn, HS phải tìm nhiều số bảng, có nghĩa là quy luật bị ẩn giấu nhiều Cột số và nhằm hướng HS khám phá dạng mẫu nhanh Từ phép cộng HS có thể tìm được các số còn thiếu phần trả lời cần dựa vào tỉ số bằng = 12 48 Hình Giải toán dựa bài toán “nhận biết dạng mẫu” ở lớp (GoMath - Gr6, p.235) Với dạng mẫu tỉ số bằng nhau, sách GoMath trình bày thêm trường hợp tìm tỉ số đơn vị (unit rate) của đại lượng Khi đó, những bài toán cho số liệu không rút về đơn vị từ đầu vẫn có thể giải được nhờ vào tỉ số đơn vị này Đôi việc tìm tỉ số đơn vị sẽ xuất hiện số thập phân, chẳng hạn 30 30 : 20 1,5 1,5x24 = → = → = → = (GoMath – G6, p.252) 20 24 20 : 20 24 24 1x24 24 Với việc đưa về tỉ số đơn vị, giá trị có thể nằm ở một hai đại lượng có bảng 224 KỶ YẾU HỘI THẢO QUỐC TẾ LẦN THỨ NHẤT VỀ ĐỔI MỚI ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN Trong sách Toán (Việt Nam), để minh họa mối quan hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận, SGK đã trình bày bảng số liệu sau (xem Hình 4): Hình Minh họa đại lượng tỉ lệ thuận (SGK Toán 5, trang 18) Trong nhận xét về mối quan hệ, SGK không giải thích theo nguyên tắc cộng số không đổi liên tiếp mỗi dòng, cũng không đề cập đến tỉ số hoặc bội số giữa thời gian và quãng đường mà đưa vào nhận xét “khi thời gian gấp lên lần thì quãng đường được cũng gấp lên bấy nhiêu lần” Nhận xét này hàm chứa phương pháp tỉ số để giải bài toán, là tỉ số của giá trị cùng một đại lượng Ngoài ra, SGK cũng đưa vào phương pháp rút về đơn vị để giải bài toán này Như vậy, để giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận, SGK Toán trình bày phương pháp giải dùng lời, đó là phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số Ngoài ra, dạng toán này được học trước khái niệm số thập phân nên giá trị đơn vị của đại lượng nào đó là số thập phân thì không sử dụng phương pháp rút về đơn vị 2.2 Toán về phân số bằng Trong chương trình Toán Việt Nam, khái niệm phân số bằng được dạy ở lớp Khi muốn chỉ phân số bằng nhau, HS dựa tính chất “nếu nhân cả từ số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác thì được một phân số bằng phân số đã cho” (Toán 4, trang 111), tính chất này tương tự cho phép chia, và trình bày một biểu thức số với phép tính nhân hoặc chia ở cả tử số và mẫu số Trong phần phân số bằng không thấy sự xuất hiện của toán CLV SGK cũng không đưa vào khái niệm tỉ số bằng Trong sách GoMath Grade 6, ngoài khái niệm phân số bằng còn đưa vào khái niệm tỉ số bằng Ngoài sử dụng cách nhân và chia ở Toán 4, các tỉ số bằng còn được minh họa bằng một dạng mẫu bảng sau (xem Hình 5): Hình Minh họa tỉ số bằng (GoMath Gr6, p.223) 225 Phần 1: NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ ĐỔI MỚI GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN Quy luật dạng mẫu này là phép cộng liên tiếp với cùng một số Các tỉ số mới tạo thành bằng tỉ số gốc (original ratio) Về các bài toán CLV sử dụng tỉ số bằng nhau, lời giải bài toán được trình bày sau (xem Hình 6): Để chỉ công nhân sơn đã pha tỉ lệ sơn đỏ và trắng không đúng, cần diễn tả hai tỉ số và không bằng Trong bài giải này, dạng mẫu được thiết lập cho tỉ số Ở bảng (Rose-Pink Paint), sơn đỏ tăng thì sơn trắng tăng Ở bảng (Clerk’s Paint Mixture), sơn trắng tăng thì sơn đỏ tăng Quy luật cả bảng này được hình thành tương tự bảng ở Hình Hình Giải toán CLV về tỉ số bằng (GoMath Gr6, p.229) 2.3 Nhận xét chung Khi dạy học về khái niệm tỉ số và tỉ lệ, Dougherty et al (2017) đề nghị HS cần biết: (1) mối quan hệ giữa các đại lượng một tỉ số là bản chất tự nhiên của phép nhân (phép cộng liên tiếp ở giá trị của đại lượng), (2) tỉ số rút về đơn vị của đại lượng tìm được mặc dù giá trị của đại lượng này không phải là bội của đại lượng còn lại, (3) tỉ số bằng không nhất thiết được nhìn thấy từ tích các số (chẳng hạn, = ) Các tác giả đã đề nghị việc tìm mối quan hệ giữa các đại lượng bằng bảng tương tự bài toán nhận biết dạng mẫu Qua nghiên cứu sách GoMath (Grade 5, 6) và Toán về tỉ số và tỉ lệ, dưới góc độ nhận biết dạng mẫu, có thể thấy một số điểm khác biệt ở sách này sau: Nội dung Sách Toán Sách GoMath Sử dụng dạng mẫu giải toán đại lượng tỉ lệ thuận Không Có Sử dụng dạng mẫu giải toán phân số/tỉ số bằng Không Có Cho phép xuất hiện số thập phân phép rút về đơn vị Không Có Có Có Không Có Dạng mẫu giải toán đại lượng tỉ lệ thuận là phép cộng liên tiếp (phép nhân tự nhiên) Dạng mẫu giải toán đại lượng tỉ lệ thuận là tỉ số của hai đại lượng 226 KỶ YẾU HỘI THẢO QUỐC TẾ LẦN THỨ NHẤT VỀ ĐỔI MỚI ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN Nội dung Sách Toán Dạng mẫu giải toán đại lượng tỉ lệ thuận là giá trị đại lượng này gấp đại lượng còn lại một số không đổi Dạng mẫu giải toán đại lượng tỉ lệ thuận là số lần cùng tăng/giảm ở đại lượng Sách GoMath Không Có Có Có Qua so sánh có thể thấy, thông qua các bài toán nhận biết dạng mẫu, sách GoMath trang bị cho HS đầy đủ nội dung cần biết về tỉ số và tỉ lệ theo Dougherty et al Khi giải toán CLV, HS được làm quen với nhiều phương pháp giải, đó có sử dụng bài toán nhận biết dạng mẫu Trong sách Toán 5, mặc dù chỉ có một bảng minh họa mối quan hệ tỉ lệ thuận cũng diễn tả rất rõ một các dạng mẫu bảng Khi giải toán CLV, HS chọn một hai phương pháp giải Hai phương pháp này phù hợp với giải bài toán có giá trị đại lượng là những số lớn lại không phù hợp giữa các giá trị đã cho không có mối quan hệ chia hết Từ những nhận xét trên, chúng đặt hai câu hỏi: 1) Đối với toán về đại lượng tỉ lệ thuận ở lớp (Việt Nam), có thể đưa phương pháp sử dụng bài toán dạng mẫu thành một chiến lược giải hay không? 2) HS có hứng thú sử dụng bài toán dạng mẫu vào giải toán CLV? Thiết kế tình huống dạy học đại lượng tỉ lệ thuận và thực nghiệm Để trả lời cho hai câu hỏi ở trên, chúng thiết kế một tình huống về dạy học giải toán đại lượng tỉ lệ thuận, tiến hành thực nghiệm ở lớp 3.1 Đối tượng Đối tượng thực nghiệm 30 HS lớp ở các trường tiểu học thành phố Bạc Liêu Thời gian thực vào tháng 9/2019, các HS này chưa học đến bài toán tỉ lệ thuận theo chương trình Toán HS được yêu cầu làm phiếu học tập Sau hoạt động dạy học, HS được khảo sát bằng phiếu hỏi GV giảng dạy cô Ngô Trúc Phương 3.2 Mô tả tình huống Trong tình huống gồm có hoạt động với thời lượng tiết (70 phút) Hoạt động 1: Làm quen với bài toán “nhận biết dạng mẫu” Em hãy diễn tả quy luật các bảng sau và tìm số còn thiếu: Số giờ làm việc Số tiền (đô la) Khoảng cách bản đồ (cm) Khoảng cách thực (km) 12 … 18 … 27 ... số liệu đối với thông tin được cho Một dạng mẫu đã được nhận ra, HS có thể đoán các kết quả tiếp theo để tìm lời giải cho bài toán Trong giải toán dựa bài toán nhận... hiện một khảo sát GV về khó khăn giải toán có lời văn (CLV) của HS Kết quả cho thấy HS có khó khăn vì GV đã dạy họ những chiến thuật giải toán không thích hợp, chẳng... trình bày dạng toán chương trình lớp 5- 6 của Hoa Kỳ có sử dụng chiến thuật “nhận biết dạng mẫu” giải Bộ sách được lựa cho? ?n là GoMath Trong sách giáo khoa (SGK) Toán của