1 CHUYÊN ĐỀ 11 ĐỊNH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Định lí Giả thiết và kết luận của định lí Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết Mỗi định lí thư[.]
CHUYÊN ĐỀ 11 ĐỊNH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định lí Giả thiết kết luận định lí: Định lí khẳng định suy từ khẳng định biết Mỗi định lí thường phát biểu dạng: “ Nếu … …” Phần từ “nếu” từ “thì” giả thiết định lí Phần sau từ “thì” kết luận định lí Thế chứng minh định lí ? Chứng minh định lí dùng lập luận để từ giả thiết khẳng định biết để suy kết luận định lí PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Xác định giả thiết kết luận định lí I Phương pháp giải: Mỗi định lí thường phát biểu dạng: “ Nếu … …” Phần từ “nếu” từ “thì” giả thiết định lí Phần sau từ “thì” kết luận định lí II Bài tốn Bài 1.NB Hãy nêu giả thiết kết luận định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau” Lời giải: Giải thiết là: Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba Kết luận là: chúng song song với Bài 2.NB Hãy phát biểu phần thiếu giả thiết định lí sau: “ Hai góc nhau” Lời giải: Phần thiếu là: đối đỉnh Bài 3.NB Hãy phát biểu phần thiếu kết luận định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba ” Lời giải: Phần thiếu là: chúng song song với Bài 4.TH Vẽ hình, ghi giả thiết kết luận định lí : “ Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song hai góc so le nhau” Lời giải: c a b A B a // b GT c cắt a b ; a //b KL A1 = B1 Bài 5.TH Hãy phát biểu định lí diễn tả hình vẽ sau: c a C b D Lời giải: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a; b Và góc tạo thành có cặp góc đồng vị a b song song với Bài 6.TH Vẽ hình, ghi giả thiết kết luận định lí : “ Góc tạo hai tia phân giác hai góc kề bù góc vng ” Lời giải: y m n x O z xOy yOz kề bù GT Om tia phân giác xOy On tia phân giác yOz mOn = 900 KL Bài 7.VD Phần giả thiết: c a = {A}; c b = {B}, A1 + B2 = 180 (tham khảo hình vẽ) định lý ? c a A b B Lời giải: Nếu hai đường thẳng cắt đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc phía bù hai đường thẳng song song Bài 8.VD Định lí “ Hai góc đối đỉnh nhau” có định lí đảo khơng ? Vẽ hình minh họa Lời giải: Định lí “ Hai góc đối đỉnh nhau” khơng có định lí đảo G H K I Hai góc khơng đối đỉnh Bài 9.VD Phát biểu định lí đảo định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song nhau” Lời giải: Định lí đảo “ Hai đường thẳng phân biệt song song chúng vng góc với đường thẳng thứ ba” Bài 10.VDC Cho hình vẽ với GT LK sau Có thể rút định lí c a A n C m b B GT a //b , c a = A ; c b = B Am phân giác BAa Bn phân giác AB b KL Am ⊥ Bn Lời giải: Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song góc tạo bỡi hai tia phân giác hai góc phía góc vng Bài 11.VDC Cho định lí: “Qua điểm nằm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng đó”, kết luận định lí ứng với hình vẽ là: b A a Lời giải: Kết luận là: b qua A Bài 12.VDC Cho định lí: “Nếu góc có hai cạnh hai tia phân giác hai góc kề bù góc vng”, kết luận định lí ứng với hình vẽ là: m t z x O y Lời giải: Kết luận là: zOt = 90 Dạng Chứng minh định lí I Phương pháp giải: Chứng minh định lí dùng lập luận để từ giả thiết khẳng định biết để suy kết luận định lí II Bài tốn Bài 1.NB Chứng minh định lí ? Lời giải: Chứng minh định lí dùng lập luận để từ giả thiết khẳng định biết để suy kết luận định lí Bài 2.NB Chọn đáp án phát biểu sau: Khi chứng minh định lí người ta cần: a) b) c) d) Chứng minh định lí trường hợp cụ thể giả thiết Chứng minh định lí hai trường hợp cụ thể giả thiết Chứng minh định lí trường hợp xảy giả thiết Chứng minh định lí vài trường hợp cụ thể giả thiết Lời giải: c) Chứng minh định lí trường hợp xảy giả thiết Bài 3.NB Phát biểu sau có phải định lí “Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt song song với đường thẳng kia” Lời giải: Không Bài 4.TH Diễn đạt lời định lí sau: c H a b I Lời giải: Nếu hai đường thẳng bị đường thẳng thứ ba cắt chúng tạo cặp góc phai bù hai đường thẳng song song với Bài 5.TH Hãy xếp ý sau để hồn thiện tốn chứng minh định lí “ Hai góc đối đỉnh a b O1 1/ Và O3 + O2 = 180o ( kề bù) 2/Vậy O1 = O3 3/Có: O1 + O2 = 180o ( kề bù) 4/Suy : O1 + O2 = O3 + O2 Lời giải: Sắp xếp 3/Có: O1 + O2 = 180o ( kề bù) 1/ Và O3 + O2 = 180o ( kề bù) 4/Suy : O1 + O2 = O3 + O2 2/Vậy O1 = O3 Bài 6.TH Cho AD tia phân giác BAC Vẽ BE song song với AD , EBA BAD hai góc so le Chứng minh EBA = DAC B E D A C Lời giải: Chứng minh: Có: DAC = BAD (1) ( AD tia phân giác BAC ) EBA = BAD ( ) ( hai góc so le trong, BE //AD ) Từ (1) (2) suy EBA = DAC Bài 7.VD Cho hình vẽ biết AB ⊥ ED ACB = CBF Chứng minh AB ⊥ GF A E G C D F B Lời giải: Có ACB = CBF Và ACB; CBF có vị trí so le Do đó: ED//GF Lại có AB ⊥ ED Vậy AB ⊥ GF Bài 8.VD Ghi giả thiết kết luận chứng minh định lý “ Hai góc phụ với góc thứ ba nhau” Lưu ý hai góc phụ có tổng số đo 900 Lời giải: GT A + C = 900 , B + C = 900 KL A= B Chứng minh: Ta có A + C = 90o B + C = 90o Suy A + C = B + C Do A = B Vậy “Hai góc phụ với góc thứ ba nhau” Bài 9.VD Chứng minh định lí sau: “ Hai tia phân giác hai góc đối đỉnh hai tia đối nhau” Lời giải: y' x t O t' y x' 2 Ta có: tOt ' = O1 + xOy ' + O4 = xOy + xOy ' + x ' Oy ' ( ) = 1 xOy + xOy ' + x ' Oy + x ' Oy ' ( xOy ' = x ' Oy đối đỉnh) 2 = xOy + xOy ' + x ' Oy + x ' Oy ' ( ) = 3600 = 1800 Vậy Ot Ot ' hai tia đối Bài 10.VDC Chứng minh nêu hai góc nhọn xOy, x ' O ' y ' có Ox //O ' x ' Oy //O ' y ' xOy = x ' O ' y ' Lời giải: y' y O GT x' O' x xOy, x ' O ' y ' nhọn Ox //O ' x ' Oy //O ' y ' KL xOy = x ' O ' y ' Chứng minh: Vẽ tia OO ' , ta có: O1 = O '1 ( O1 , O '1 đồng vị , Ox //O ' x ' ) O2 = O '2 ( O2 , O '2 đồng vị , Oy //O ' y ' ) Suy O1 + O2 = O '1 + O '2 Vậy xOy = x ' O ' y ' Bài 11.VDC Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A,B,C thẳng hàng A không nằm B C khoảng cách từ điểm A đến trung điểm M đoạn thẳng BC nửa tổng hai đoạn thẳng AB AC, tức AM = AB + AC Lời giải: Ba điểm A,B,C thẳng hàng A không nằm B C GT M trung điểm đoạn thẳng BC KL AM = AB + AC Vì điểm A không nằm hai điểm B C nên có hai trường hợp: Trường hợp 1: điểm B nằm hai điểm A C A B M Khi BC = AC − AB Và AM = AB + BM AM = AB + BC ( Vì M trung điểm BC ) AM = AB + AC − AB AM = AB + AC Trường hợp 2: điểm C nằm hai điểm A B A C M B Khi BC = AB − AC Và AM = AC + CM AM = AC + BC ( Vì M trung điểm BC ) C AM = AC + AM = AB − AC AB + AC Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 12.VDC Cho hai góc kề bù xOy yOz Gọi Ot tia phân giác xOy Trong góc yOz vẽ tia Ot ' vng góc với tia Ot Chứng minh Ot ' tia phân giác yOz Lời giải: y t' t x O GT z xOy yOz kề bù Ot tia phân giác xOy Trong góc yOz vẽ tia Ot ' vng góc với tia Ot KL Chứng minh Ot ' tia phân giác yOz Có xOt + t ' Oz = 90o tOy + yOt ' = 90o Và xOt = tOy ( Ot tia phân giác xOy ) Suy t ' Oz = yOt ' Vậy Ot ' tia phân giác yOz Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Xác định giả thiết kết luận định lí Bài 1.NB Hãy giả thiết kết luận định lí sau: “ Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB AM = MB = Bài 2.TH Điền vào chỗ trống để định lí đúng: Nếu Ot tia phân giác xOy 10 AB Bài 3.VD Xác định giả thiết kết luận định lý sau: “ Nếu hai góc xOy x ' Oy ' có góc nhọn, góc tù Ox //O ' x ' , Oy //O ' y ' xOy + x ' Oy ' = 180o ” Bài 4.VDC Cho hình vẽ với GT LK sau Có thể rút định lí c m a A C b B n GT a //b , c a = A ; c b = B Am phân giác cA a Bn phân giác nB b KL Am ⊥ Bn Dạng Chứng minh định lí Bài 1.NB Phát biểu định lí đảo định lí: “ Góc tạo bỡi hai tia phân giác hai góc kề bù góc vng” Bài 2.TH Hãy xếp ý sau để hoàn thiện tốn chứng minh định lí “ Góc tạo bỡi hai tia phân giác hai góc kề bù góc vng” B N C M O A 1/ Do MON = 90o 2/ BOM = AOB ( OM tia phân giác AOB ) 11 3/ BON = BOC ( ON tia phân giác BOC ) 4/ BOM + BON = AOB BOC AOB + BOC 180o + = = = 90o 2 2 Bài 3.VD Hãy vẽ hình nêu giả thiết kết luận chứng minh toán sau: “ Cho AD tia phân giác BAC Gọi EAG góc đối đỉnh BAD Chứng minh DAC = EAG ” Bài 4.VDC Chứng minh nêu hai góc tù xOy, x ' O ' y ' có Ox //O ' x ' Oy //O ' y ' xOy = x ' O ' y ' ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Xác định giả thiết kết luận định lí Bài Giải thiết là: M trung điểm đoạn thẳng AB Kết luận là: AM = MB = AB Bài Nếu Ot tia phân giác xOy xOt = yOt Bài Giả thiết: hai góc xOy x ' Oy ' có góc nhọn, góc tù Ox //O ' x ' , Oy //O ' y ' Kết luận: xOy + x ' Oy ' = 180o Bài Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song góc tạo bỡi hai đường phân giác hai góc ngồi phía góc vng Dạng Chứng minh định lí Bài Góc tạo bỡi hai tia phân giác hai góc kề góc vng hai góc hai góc kề bù Bài Sắp xếp 2/ BOM = AOB ( OM tia phân giác AOB ) 3/ BON = BOC ( ON tia phân giác BOC ) AOB BOC AOB + BOC 180o + = = = 90o 4/ BOM + BON = 2 2 12 1/ Do MON = 90o Bài E A G B D C GT AD tia phân giác BAC EAG đối đỉnh với BAD KL DAC = EAG Chứng minh: Có: DAC = BAD (1) ( AD tia phân giác BAC ) EAG = BAD ( ) ( hai góc đối đỉnh) Từ (1) (2) suy DAC = EAG Bài y' y x' O' O GT xOy, x ' O ' y ' tù Ox //O ' x ' Oy //O ' y ' KL xOy = x ' O ' y ' Chứng minh: Vẽ tia OO ' , ta có: O1 = O '1 ( O1 , O '1 đồng vị , Ox //O ' x ' ) 13 x O2 = O '2 ( O2 , O '2 đồng vị , Oy //O ' y ' ) Suy O1 + O2 = O '1 + O '2 Vậy xOy = x ' O ' y ' PHIẾU BÀI TẬP Dạng Xác định giả thiết kết luận định lí Bài 1.NB Hãy nêu giả thiết kết luận định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau” Bài 2.NB Hãy phát biểu phần thiếu giả thiết định lí sau: “ Hai góc nhau” Bài 3.NB Hãy phát biểu phần thiếu kết luận định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba ” Bài 4.TH Vẽ hình, ghi giả thiết kết luận định lí : “ Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song hai góc so le nhau” Bài 5.TH Hãy phát biểu định lí diễn tả hình vẽ sau: c a C b D Bài 6.TH Vẽ hình, ghi giả thiết kết luận định lí : “ Góc tạo bỡi hai tia phân giác hai góc kề bù góc vng ” Bài 7.VD Phần giả thiết: c a = {A}; c b = {B}, A1 + B2 = 180 (tham khảo hình vẽ) định lý ? c a A b B 14 Bài 8.VD Định lí “ Hai góc đối đỉnh nhau” có định lí đảo khơng ? Vẽ hình minh họa Bài 9.VD Phát biểu định lí đảo định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song nhau” Bài 10.VDC Cho hình vẽ với GT LK sau Có thể rút định lí c a A n C m b B GT a //b , c a = A ; c b = B Am phân giác BAa Bn phân giác AB b KL Am ⊥ Bn Bài 11.VDC Cho định lí: “Qua điểm nằm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng đó”, kết luận định lí ứng với hình vẽ là: b A a Bài 12.VDC Cho định lí: “Nếu góc có hai cạnh hai tia phân giác hai góc kề bù góc vng”, kết luận định lí ứng với hình vẽ là: m t z x O Dạng Chứng minh định lí Bài 1.NB Chứng minh định lí ? Bài 2.NB Chọn đáp án phát biểu sau: 15 y Khi chứng minh định lí người ta cần: a) Chứng minh định lí trường hợp cụ thể giả thiết b) Chứng minh định lí hai trường hợp cụ thể giả thiết c) Chứng minh định lí trường hợp xảy giả thiết d) Chứng minh định lí vài trường hợp cụ thể giả thiết Bài 3.NB Phát biểu sau có phải định lí “Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt song song với đường thẳng kia” Bài 4.TH Diễn đạt lời định lí sau: c H a b I Bài 5.TH Hãy xếp ý sau để hồn thiện tốn chứng minh định lí “ Hai góc đối đỉnh a b O1 1/ Và O3 + O2 = 180o ( kề bù) 2/Vậy O1 = O3 3/Có: O1 + O2 = 180o ( kề bù) 4/Suy : O1 + O2 = O3 + O2 Bài 6.TH Cho AD tia phân giác BAC Vẽ BE song song với AD , EBA BAD hai góc so le Chứng minh EBA = DAC 16 B E A D C Bài 7.VD Cho hình vẽ biết AB ⊥ ED ACB = CBF Chứng minh AB ⊥ GF A E G C D F B Bài 8.VD Ghi giả thiết kết luận chứng minh định lý “ Hai góc phụ với góc thứ ba nhau” Lưu ý hai góc phụ có tổng số đo 90 Bài 9.VD Chứng minh định lí sau: “ Hai tia phân giác hai góc đối đỉnh hai tia đối nhau” Bài 10.VDC Chứng minh nêu hai góc nhọn xOy, x ' O ' y ' có Ox //O ' x ' Oy //O ' y ' xOy = x ' O ' y ' Bài 11.VDC Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A,B,C thẳng hàng A không nằm B C khoảng cách từ điểm A đến trung điểm M đoạn thẳng BC nửa tổng hai đoạn thẳng AB AC, tức AM = AB + AC Bài 12.VDC Cho hai góc kề bù xOy yOz Gọi Ot tia phân giác xOy Trong góc yOz vẽ tia Ot ' vng góc với tia Ot Chứng minh Ot ' tia phân giác yOz Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Xác định giả thiết kết luận định lí Bài 1.NB Hãy giả thiết kết luận định lí sau: “ Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB AM = MB = Bài 2.TH Điền vào chỗ trống để định lí đúng: 17 AB Nếu Ot tia phân giác xOy Bài 3.VD Xác định giả thiết kết luận định lý sau: “ Nếu hai góc xOy x ' Oy ' có góc nhọn, góc tù Ox //O ' x ' , Oy //O ' y ' xOy + x ' Oy ' = 180o ” Bài 4.VDC Cho hình vẽ với GT LK sau Có thể rút định lí c m a A C b B n GT a //b , c a = A ; c b = B Am phân giác cA a Bn phân giác nB b KL Am ⊥ Bn Dạng Chứng minh định lí Bài 1.NB Phát biểu định lí đảo định lí: “ Góc tạo bỡi hai tia phân giác hai góc kề bù góc vng” Bài 2.TH Hãy xếp ý sau để hồn thiện tốn chứng minh định lí “ Góc tạo bỡi hai tia phân giác hai góc kề bù góc vng” B N C M O 1/ Do MON = 90o 2/ BOM = AOB ( OM tia phân giác AOB ) 18 A 3/ BON = BOC ( ON tia phân giác BOC ) 4/ BOM + BON = AOB BOC AOB + BOC 180o + = = = 90o 2 2 Bài 3.VD Hãy vẽ hình nêu giả thiết kết luận chứng minh toán sau: “ Cho AD tia phân giác BAC Gọi EAG góc đối đỉnh BAD Chứng minh DAC = EAG ” Bài 4.VDC Chứng minh nêu hai góc tù xOy, x ' O ' y ' có Ox //O ' x ' Oy //O ' y ' xOy = x ' O ' y ' 19 ... chứng minh định lí người ta cần: a) b) c) d) Chứng minh định lí trường hợp cụ thể giả thiết Chứng minh định lí hai trường hợp cụ thể giả thiết Chứng minh định lí trường hợp xảy giả thiết Chứng minh. .. Chứng minh định lí Bài 1.NB Chứng minh định lí ? Bài 2.NB Chọn đáp án phát biểu sau: 15 y Khi chứng minh định lí người ta cần: a) Chứng minh định lí trường hợp cụ thể giả thiết b) Chứng minh định... Chứng minh định lí I Phương pháp giải: Chứng minh định lí dùng lập luận để từ giả thiết khẳng định biết để suy kết luận định lí II Bài tốn Bài 1.NB Chứng minh định lí ? Lời giải: Chứng minh định