Luận văn thạc sĩ toán học tính bất khả quy của đa thức với hệ số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  PHẠM THỊ THU TRANG TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ THU TRANG TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ THU TRANG TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Tiêu chuẩn Eisenstein tiêu chuẩn rút gọn theo module số nguyên tố 1.1 Tiêu chuẩn Eisenstein số mở rộng 1.2 Tiêu chuẩn rút gọn theo module số nguyên tố toán ngược 11 Giá 2.1 2.2 2.3 2.4 trị khả nghịch, giá trị nguyên tố tính bất khả Giá trị khả nghịch tính bất khả quy Giá trị nguyên tố tính bất khả quy Một tiêu chuẩn tính bất khả quy Giá trị nguyên tố đối số đủ lớn tính bất khả quy quy 16 16 21 27 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Lời cảm ơn Trước tiên xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Mặc dù bận rộn công việc, song từ ngày Cơ ln tận tình bảo, hướng dẫn đưa lời khuyên có ích giúp tơi hồn thiện luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô cán khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu đồng nghiệp trường Trung học phổ thơng Hồnh Bồ - Tỉnh Quảng Ninh bạn tập thể lớp Cao học Tốn K11D, khơng trang bị cho tơi kiến thức bổ ích mà cịn ln ln giúp đỡ tôi, tạo điều kiện cho thời gian theo học trường Cuối cùng, xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người không ngừng ủng hộ, động viên, hỗ trợ tạo điều kiện giúp vượt qua khó khăn để hồn thiện luận văn Mở đầu Tính bất khả quy đa thức với hệ số nguyên trường số phức C trường số thực R giải từ kỷ 19 thông qua Định lý Đại số Tuy nhiên, tính bất khả quy đa thức với hệ số nguyên trường số hữu tỷ Q đến thách thức nhà Toán học giới Trong luận văn này, tác giả trình bày lại số tiêu chuẩn bất khả quy đa thức trường số hữu tỷ Q với hệ số nguyên báo gần [8] [11] Luận văn gồm chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày hai tiêu chuẩn bất khả quy tiếng Phần 1.1 trình bày Tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng Phần 1.2 trình bày tiêu chuẩn rút gọn theo module số nguyên tố phát biểu đảo tiêu chuẩn Nội dung chương viết theo báo [11] cuả R Thangadurai năm 2007 Chương trình bày tiêu chuẩn bất khả quy trường số hữu tỷ Q liên quan đến giá trị khả nghịch giá trị nguyên tố đa thức với hệ số nguyên Phần 2.1 trình bày tiêu chuẩn liên quan giá trị khả nghịch với tính bất khả quy đa thức Phần 2.2 trình bày mối quan hệ giá trị nguyên tố tính bất khả quy Các kết hai phần viết dựa theo báo [11] R Thangadurai năm 2007 Phần 2.3 trình bày tiêu chuẩn bất khả quy trường Q số hữu tỷ liên quan đến đa thức có hệ số nguyên tăng dần theo số có hệ số cao nguyên tố nhận giá trị nguyên tố Kết phần viết dựa theo báo [8] A Jakhar N Sangwan năm 2018 Phần 2.4 trình bày giá trị nguyên tố đối số đủ lớn tính bất khả quy đa thức với hệ số nguyên Nội dung phần viết sở nội dung báo [11] R Thangadurai năm 2007 Trong luận văn này, tiêu chuẩn phần 2.1 giá trị khả nghịch tính bất khả quy; phần 2.2 giá trị nguyên tố tính bất khả quy; phần 2.3 tiêu chuẩn cho tính bất khả quy kết chưa trình bày luận văn thạc sĩ trước Hơn thế, phần 1.1, 1.2, 2.4, có số kết quen biết trình bày vài luận văn trước (xem [1], [2]), cách chứng minh ví du mới, tác giả luận văn tự tính tốn Đặc biệt luận văn [2], Nguyễn Văn Lập chứng minh đa thức x4 − 2x2 + bất khả quy Q không bất khả quy Zp với số nguyên tố p cách sử dụng kiến thức nhóm, luận văn chứng minh đa thức x4 + bất khả quy Q khả quy Zp với số nguyên tố p cách sử dụng kiến thức trường hữu hạn Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Phạm Thị Thu Trang Chương Tiêu chuẩn Eisenstein tiêu chuẩn rút gọn theo module số nguyên tố Một đa thức với hệ số trường gọi bất khả quy có bậc dương khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc thấp Một đa thức bậc dương với hệ số trường khả quy tích hai đa thức với bậc thấp Chú ý tính bất khả quy đa thức phụ thuộc vào trường sở Chẳng hạn, đa thức x2 − bất khả quy trường Q số hữu tỷ, không bất khả quy trường R số thực Đa thức x2 + bất khả quy trường R không bất khả quy trường C số phức Tính bất khả quy trường số phức trường số thực làm rõ nhờ Định lý Đại số: Mọi đa thức bậc dương với hệ số phức có nghiệm phức Vì đa thức bất khả quy C đa thức bậc Các đa thức bất khả quy R đa thức bậc đa thức bậc hai có biệt thức âm Câu hỏi đặt đa thức f (x) cho khả quy hay bất khả quy Q? Cho đến nay, khơng có điều kiện cần đủ áp dụng cho tất đa thức, mà ta có số tiêu chuẩn để kiểm tra tính bất khả quy số trường hợp cụ thể Rõ ràng đa thức bậc bất khả quy Q Các đa thức bậc hai bậc ba bất khả quy Q khơng có nghiệm hữu tỷ Đối với đa thức bậc lớn 3, đa thức có nghiệm hữu tỷ khơng bất khả quy Tuy nhiên điều ngược lại không Chẳng hạn, đa thức (x2 + 1)2 khơng có nghiệm hữu tỷ, không bất khả quy Trong chương này, trình bày hai tiêu chuẩn tiếng tính bất khả quy trường số hữu tỷ Q đa thức với hệ số nguyên dựa theo báo [11] R Thangadurai Phần thứ dành để trình bày Tiêu chuẩn Eisensrein số mở rộng Mở rộng thứ phát H Chao báo A Generalization of Eisenstein’s Criterion, Mathematics Magazine, Vol 47 (1974), 158-159 mở rộng thứ hai đưa S H Weintraub báo A mild generazation of Eisenstein criterion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol 141 (2013), 1159-1160 Phần trình bày tiêu chuẩn bất khả quy phổ biến nhất, tiêu chuẩn rút gọn theo module số nguyên tố Phát biểu đảo tiêu chuẩn khơng cịn nữa, chúng tơi đưa chứng minh chi tiết để minh họa điều 1.1 Tiêu chuẩn Eisenstein số mở rộng Trong mục này, chúng tơi trình bày lại tiêu chuẩn Eisenstein số mở rộng liên quan tính bất khả quy đa thức với hệ số nguyên trường số hữu tỉ Q Đây tiêu chuẩn quen thuộc thường sử dụng làm tốn tính bất khả quy đa thức Q Cho f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 đa thức bậc n với ∈ Z, an 6= Tiêu chuẩn bất khả quy biết đến nhiều tiêu chuẩn Eisenstein, phát biểu sau 1.1.1 Định lý Cho đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 đa thức với hệ số nguyên có bậc n > Nếu tồn số nguyên tố p cho p - an , p | với i = 0, 1, , n − p2 - a0 , đa thức f (x) bất khả quy Q Chứng minh Giả sử f (x) khả quy Q Theo Bổ đề Gauss, tồn biểu diễn f (x) = g(x)h(x), g(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 ∈ Z[x] h(x) = ck xk + · · · + c1 x + c0 ∈ Z[x] với deg g(x) = m, deg h(x) = k m, k < n Do p ước a0 = b0 c0 nên p | b0 p | c0 Mặt khác, p2 không ước a0 nên hai số b0 c0 , có số chia hết cho p Giả thiết p | c0 Khi b0 khơng chia hết cho p Vì an = bm ck p - an nên bm ck không chia hết cho p Do tồn số r bé cho cr không bội p Ta có ar = b0 cr + (b1 cr−1 + b2 cr−2 + · · · + br c0 ) Vì r ≤ k < n nên p | ar Theo cách chọn r ta có p | b1 cr−1 + b2 cr−2 + · · · + br c0 Suy p | b0 cr , điều vơ lí hai số b0 cr không bội p Vậy f (x) bất khả quy Q Các đa thức thỏa mãn Định lý gọi đa thức Eisenstein Chẳng hạn, đa thức x5 − 4x4 + 18x3 + 24x2 + 4x + đa thức Eisenstein bất khả quy theo Tiêu chuẩn Eisenstein với p = Thông thường, Tiêu chuẩn Eisenstein không áp dụng trực tiếp cho đa thức f (x), mà áp dụng cho đa thức f (x + a) với a số Chú ý đa thức f (x) bất khả quy Q đa thức f (x + a) bất khả quy Q với số nguyên a Do vậy, cố gắng tìm số a với hy vọng biến đổi đa thức f (x + a) ta đa thức thỏa mãn điều kiện Tiêu chuẩn Eisenstein Dưới ví dụ tính bất khả quy đa thức chia đường tròn thứ p với p số nguyên tố 1.1.2 Ví dụ Cho p số nguyên tố Khi đa thức chia đường tròn thứ p f (x) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + bất khả quy Q Chứng minh Đa thức f (x) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + có hệ số nên áp dụng trực tiếp Tiêu chuẩn Eisenstein để xét tính bất khả quy f (x) xp − Chú ý f (x) = Suy ra, chọn a = ta có x−1 (x + 1)p − = xp−1 + Cp1 xp−2 + + Cpp−2 x + Cpp−1 , f (x + 1) = x p! Cpk = số tổ hợp chập k p phần tử Do p nguyên (p − k)!k! tố nên Cpk bội p với k = 1, 2, , p − Cpp−1 = p khơng bội p2 Vì f (x + 1) bất khả quy theo Tiêu chuẩn Eisenstein (áp dụng cho số nguyên tố p) Do f (x) bất khả quy Q Như vậy, thông qua tiêu chuẩn Eisenstein, từ toán ban đầu xét tính bất khả quy đa thức bậc n với hệ số ngun, ta đưa tốn phân tích n hệ số đa thức f (x + a), sau biến đổi đa thức f (x + a) cần tìm ước chung nguyên tố phù hợp hệ số, trừ hệ số cao nhất, đa thức f (x + a) Hiển nhiên, cố gắng biến đổi đa thức để tạo đa thức với hệ số lớn hơn, nhiệm vụ sau tính tốn kiểm tra ước nguyên tố chung hệ số thỏa mãn điều kiện Tiêu chuẩn Eisenstein Tuy nhiên, chưa chắn tồn phép biến đổi để đa thức ban đầu chuyển thành đa thức áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein, tức chưa tìm số nguyên a để đa thức f (x + a) áp dụng Tiêu chuẩn Eisenstein ứng với số ngun tố p Ví dụ, người ta đa thức x4 − 10x2 + bất khả quy Q khơng tìm số ngun a để đa thức (x + a)4 − 10(x + a)2 + bất khả quy theo Tiêu chuẩn Eisenstein với số nguyên tố p Trong phần cuối mục này, nhắc lại số mở rộng Tiêu chuẩn Eisenstein Trước hết nhắc lại tiêu chuẩn bất khả quy H Chao báo A Generalization of Eisenstein’s Criterion, Mathematics Magazine, Vol 47 (1974), 158-159 1.1.3 Định lý Cho f (x) = an xn + + a1 x + a0 đa thức bậc n với hệ số nguyên Giả sử p số nguyên tố cho có hai số t 6= k thỏa mãn: p không ước at , p ước với i 6= t p2 không ước ak Khi f (x) tích hai đa thức với hệ số nguyên, hai đa thức có bậc lớn | t − k | ... hồn thiện luận văn Mở đầu Tính bất khả quy đa thức với hệ số nguyên trường số phức C trường số thực R giải từ kỷ 19 thông qua Định lý Đại số Tuy nhiên, tính bất khả quy đa thức với hệ số nguyên. .. ý tính bất khả quy đa thức phụ thuộc vào trường sở Chẳng hạn, đa thức x2 − bất khả quy trường Q số hữu tỷ, không bất khả quy trường R số thực Đa thức x2 + bất khả quy trường R không bất khả quy. .. C số phức Tính bất khả quy trường số phức trường số thực làm rõ nhờ Định lý Đại số: Mọi đa thức bậc dương với hệ số phức có nghiệm phức Vì đa thức bất khả quy C đa thức bậc Các đa thức bất khả