ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ TÍNH CHẤT ĐÔI MỘT NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUY[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ TÍNH CHẤT ĐƠI MỘT NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ TÍNH CHẤT ĐƠI MỘT NGUN TỐ CÙNG NHAU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN ĐỖ MINH CHÂU THÁI NGUYÊN - 2018 Mc lc Li núi u 1 Gi thuyt Erdă os k số nguyên tố đôi 1.1 Chuẩn bị 1.2 Về số nguyên tố đôi 1.3 Giả thuyt Erdăos v k s nguyờn t cựng tng ụi mt 1.4 Gi thuyt Erdăos vi k = 14 Bộ số nguyên tố đôi 19 2.1 Bộ ba số không nguyên tố đôi 19 2.2 Bộ số nguyên tố đôi 26 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Cho A tập tập tích Đề Các {1, , k}2 Bộ (a1 , , ak ) ∈ Zk gọi nguyên tố đôi A gcd(ai , aj ) = với (i, j) ∈ A Trong trường hợp gcd(ai , aj ) = với ≤ i < j ≤ k, (a1 , , ak ) ∈ Zk gọi nguyên tố đôi Nếu gcd(ai , aj ) 6= với ≤ i < j ≤ k ta nói (a1 , , ak ) không nguyên tố đơi Tính chất ngun tố đơi có vai trị quan trọng lý thuyết số Nó giả thiết khơng thể thiếu Định lý phần dư Trung Hoa tiếng chứng minh cách 750 năm (xem [11]) Cho đến nay, Định lý áp dụng nhiều lĩnh vực khác toán học đại nhân đồng dư; tính tốn bắc cầu; lý thuyết mã hóa mật mã (xem [6]) Ngày nay, việc tính tốn ngun tố đơi cần thiết để xác định số không nguyên tố đôi (xem [8], [14]) Chính lý này, tơi chọn đề tài "Về tính chất đơi ngun tố nhau" Mục đích thứ luận văn trình bày lại số kết giả thuyt ca Erdăos cho trng hp k = 1, 2, 3, 4, dựa theo báo [3] [4] Giả thuyết phát biểu rằng, số lớn số nguyên dương không vượt số nguyên dương n, cho từ số khơng thể trích k + số nguyên nguyên tố đôi số số nguyên dương không vượt n bội k số nguyên tố Mục đích thứ hai luận văn trình bày lại kết Randell Heyman báo [9] xây dựng cơng thức gần với sai số thích hợp để tính số gồm ba số nguyên dương nhỏ số H cho trước, không nguyên tố đôi số gồm v số nguyên dương nhỏ số H cho trước, nguyên tố đôi tập A xác định Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương trình bày số tốn liên quan đến số nguyên tố đôi chứng minh khẳng định cho giả thuyết ca Erdăos cỏc trng hp k Chng trình bày kết chứng minh chi tiết cơng thức tính gần số ngun dương nhỏ số H không nguyên tố đôi nguyên tố đôi tập A dựa lý thuyết đồ thị số cơng cụ giải tích Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình cô giáo TS Trần Đỗ Minh Châu Cô dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tơi xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy, giáo Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đồng nghiệp giúp đỡ, động viên để tơi hồn thành luận văn Thái Ngun, tháng năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Hằng Chng Gi thuyt Erdă os v k s nguyên tố đôi Mục tiêu chương trình bày câu trả lời khẳng định cho gi thuyt ca P Erdăos v k s nguyờn tố đôi k ≤ Hai tiết đầu dành để nhắc lại khái niệm số tính chất ước, bội, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ số toán số nguyên tố đơi Trong hai tiết tiếp theo, chúng tơi trình by chi tit chng minh cho gi thuyt ca Erdăos k = 1, 2, 1.1 Chuẩn bị Trong tiết này, nhắc lại số khái niệm tính chất ước, bội, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ số nguyên, khái niệm số nguyên tố đôi để tiện cho việc theo dõi nội dung phía sau Định nghĩa 1.1.1 Giả sử a b hai số nguyên, b 6= Ta nói b chia hết a hay a chia hết cho b tồn số nguyên q cho a = bq Khi ta cịn nói b ước a hay a bội b viết b | a hay a b Khi b không chia hết a ta viết b - a Ví dụ 1.1.2 −1, hai ước số nguyên a bội số nguyên b 6= Trong trường hợp không xảy quan hệ chia hết, ta có định lý phép chia có dư phát biểu sau Định lý 1.1.3 Với cặp số nguyên a, b, b 6= tồn cặp số nguyên q, r thỏa mãn hệ thức a = bq + r, ≤ r < |b| Hệ Định lý 1.1.3 vành số ngun Z vành Vì vành Z có khái niệm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ Chúng ta nhắc lại kết khái niệm Z, bỏ qua chứng minh Định nghĩa 1.1.4 (i) Một số nguyên d gọi ước chung số nguyên a1 , a2 , , an d ước đồng thời số nguyên (ii) Với số nguyên (i = 1, 2, , n) ta kí hiệu U(ai ) tập hợp ước Hiển nhiên U(ai ) 6= ∅ có hữu hạn phần tử Rõ ràng Tn i=1 U(ai ) 6= ∅ bị chặn số lớn số |a1 |, |a2 |, , |an | , có số lớn d Hiển nhiên d chung a1 , a2 , , an thấy ước chung a1 , a2 , , an ước d Định nghĩa 1.1.5 Một ước chung d số nguyên a1 , a2 , , an cho ước chung a1 , a2 , , an ước d, gọi ước chung lớn số Ví dụ 1.1.6 Các số 1, −1, 2, −2 ước chung −6 Các ước chung lớn −6 −2 Nhận xét 1.1.7 (i) Tập hợp ước chung nhiều số cho trước trùng với tập hợp ước ước chung lớn số (ii) Nếu tất số a1 , a2 , , an tập hợp ước chung chúng Z \ {0} Khi khái niệm ước chung lớn khơng có nghĩa Do giả thiết số a1 , a2 , , an xét tất Hơn tập hợp ước chung số xét không thay đổi ta thêm hay bớt số Vì ta giả thiết thêm 6= với i = 1, 2, , n (iii) Nếu d ước chung lớn (a1 , a2 , , an ) −d ước chung lớn (a1 , a2 , , an ) Hơn d d0 ước chung lớn a1 , a2 , , an d0 = ±d Do từ sau, khơng có nói thêm ta lấy số dương d ước chung lớn a1 , a2 , , an làm ước chung lớn a1 , a2 , , an kí hiệu d = gcd(a1 , a2 , , an ) Như vậy, ta định nghĩa: ước chung lớn số nguyên a1 , a2 , , an số lớn tập hợp ước chung chúng Với khái niệm ước chung lớn nhất, ta định nghĩa số nguyên tố nguyên tố đôi sau Định nghĩa 1.1.8 (i) Các số nguyên a1 , , an gọi nguyên tố ước chung lớn chúng (ii) Các số nguyên a1 , , an gọi nguyên tố đôi hai số chúng ngun tố Ví dụ 1.1.9 6, 10, 15 nguyên tố gcd(6, 10, 15) = Các số 6, 7, 13 ngun tố đơi gcd(6, 7) = gcd(7, 13) = gcd(6, 13) = Định lý sau khẳng định ước chung lớn số nguyên khác không cho trước tồn Định lý 1.1.10 Tồn ước chung lớn số nguyên khác không a1 , a2 , , an cho trước Hệ 1.1.11 Các khẳng định sau (i) Nếu d = gcd(a1 , a2 , , an ) tồn số nguyên u1 , u2 , , un cho d = a1 u1 + a2 u2 + + an un (ii) Điều kiện cần đủ để a1 , a2 , , an nguyên tố tồn số nguyên u1 , u2 , , un cho = a1 u1 + a2 u2 + + an un Ta ln tìm ước chung lớn số khác không cho trước nhờ vào thuật toán Ơclit Tiếp theo, nhắc lại tính chất ước chung lớn Mệnh đề 1.1.12 Các khẳng định sau (i) Với k ∈ Z, k > ta có gcd(ka1 , ka2 , , kan ) = k ·gcd(a1 , a2 , , an ) (ii) Với δ ∈ Z, δ > 0, δ | (i = 1, 2, , n) ta có a a an gcd(a1 , a2 , , an ) , , , = gcd δ δ δ δ (iii) Một ước chung dương d số a1 , a2 , , an ước chung lớn a1 a2 an chúng gcd( , , , ) = d d d (iv) Nếu gcd(a, b) = b | ac b | c (v) Nếu gcd(a, b) = gcd(ac, b) = gcd(c, b) với c ∈ Z (vi) Nếu gcd(a, b) = gcd(a, c) = gcd(a, bc) = 1.2 Về số nguyên tố đôi Mục tiêu tiết nhắc lại khái niệm, tính chất số toán liên quan đến số nguyên tố đôi Định nghĩa 1.2.1 Một tập A tập số tự nhiên gọi nguyên tố đôi gcd(a, b) = với a, b ∈ A, a 6= b Nhận xét 1.2.2 (i) Nếu số tự nhiên a1 , , at ngun tố đơi một, chúng nguyên tố nhau, tức gcd(a1 , , at ) = Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn, số 3, 5, nguyên tố nhau, không nguyên tố đôi (ii) Tồn tập hợp gồm vô hạn số nguyên tố đôi Chẳng hạn tập tất số nguyên tố Trong Bài tập 1.2.5, n thấy tập hợp {62 + | n ∈ N} tập vô hạn số tự nhiên nguyên tố đôi Giả thiết nguyên tố đôi sử dụng nhiều kết quan trọng số học Một kết Định lí phần dư Trung Hoa Định lí phần dư Trung Hoa kết lí thuyết số, phát biểu biết phần dư chia số n cho số m1 , , mt ngun tố đơi một, ta xác định phần dư phép chia số n cho tích m1 mt Định lí phần dư Trung Hoa nhà toán học Trung Quốc Sunzi ghi chép vào kỉ thứ sau công ngun Người Trung Quốc gọi Bài tốn Hàn Tín điểm binh Tục truyền Hàn Tín (229-196 trước cơng ngun) điểm qn số, ơng cho qn lính xếp hàng 3, hàng 5, hàng báo số dư Từ ơng tính xác qn số đến người Ngày nay, Định lí phần dư Trung Hoa sử dụng rộng rãi Lí thuyết mật mã, đặc biệt việc tính tốn số ngun tố lớn Định lý 1.2.3 Cho m1 , , mt số nguyên dương nguyên tố đơi Khi với t số nguyên a1 , , at cho trước, hệ phương trình đồng dư x ≡ a1 (mod m1 ) x ≡ a2 (mod m2 ) x ≡ at (mod mt ) có nghiệm modulo M , M = m1 mt Chứng minh Trước hết ta chứng minh tồn nghiệm Với i = 1, , t, đặt ni = m1 mi−1 mi+1 mt Do m1 , , mt số nguyên dương nguyên tố đôi nên gcd(ni , mi ) = 1, với i = 1, , t Suy tồn số nguyên ki cho ni ki ≡ (mod mi ) Đặt bi = ni ki Khi bi ≡ (mod mi ) bi ≡ (mod mj ) với j 6= i Suy x = b1 a1 + + bt at nghiệm hệ phương trình đồng dư cho ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ TÍNH CHẤT ĐƠI MỘT NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... gcd(a, bc) = 1.2 Về số nguyên tố đôi Mục tiêu tiết nhắc lại khái niệm, tính chất số toán liên quan đến số nguyên tố đôi Định nghĩa 1.2.1 Một tập A tập số tự nhiên gọi nguyên tố đôi gcd(a, b) =... thuyt Erdăos v k s nguyên tố đôi 1.4 Gi thuyt Erdăos vi k = 14 Bộ số nguyên tố đôi 19 2.1 Bộ ba số không nguyên tố đôi 19 2.2 Bộ số nguyên tố đôi 26 Kết luận 44