ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGỌC THỊ HÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC K[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGỌC THỊ HÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGỌC THỊ HÀ BÀI TỐN CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 i Möc lửc M Ưu Kián thực côn bÊn 1.1 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh vuổng gõc, song song h¼nh håc ph¯ng 1.1.1 Kián thực chuân b 1.1.2 C¡c tẵnh chĐt và tẵnh vuổng gõc, song song hẳnh håc ph¯ng 1.1.3 C¡c ành lỵ, mằnh à và tẵnh song song v vuổng gõc h¼nh håc ph¯ng 1.2 Mët sè b i to¡n liản quan án tẵnh vuổng gõc, song song hẳnh håc ph¯ng 17 C¡c b i to¡n chùng minh vuæng gâc c¡c · thi Håc sinh giäi 35 C¡c b i to¡n chùng minh song song cĂc à thi Hồc sinh giọi 62 Kát luên 79 Ti liằu tham khÊo 81 ii Lới cÊm ỡn Trữợc tiản em xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt tợi PGS.TS Trnh Thanh HÊi, ngữới thƯy vợi lỏng nhiằt huyát  luổn ch bÊo tên tẳnh cho em tứ nhỳng ngy Ưu tiản, ỗng thới ữa nhỳng lới khuyản bờ ẵch giúp em hon thiằn luên vôn ny Em cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi cĂc thƯy cổ, têp th cĂn bở khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban lÂnh Ôo v cĂc ỗng nghiằp Trung tƠm Hữợng nghiằp v GiĂo dửc thữớng xuyản tnh QuÊng Ninh, cĂc bÔn hồc viản lợp cao hồc ToĂn K11D,  khổng ch trang b cho em nhỳng kián thực bờ ẵch m cỏn luổn giúp ù, tÔo iÃu kiằn thuên lủi quĂ trẳnh em hồc têp tÔi trữớng Cuối em xin cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b ngữới thƠn l nhỳng ngữới luổn ừng hở, ởng viản em vữủt qua nhỳng khõ khôn em hon thnh tốt luên vôn ThĂi Nguyản, ngy 26 thĂng nôm 2019 M Ưu Trong hẳnh hồc phng, cĂc dÔng bi têp và chựng minh tẵnh song song hay chựng minh tẵnh vuổng gõc luổn l cĂc bi têp thú v thữớng rĐt khõ c biằt l nhỳng b i to¡n, · thi d nh cho håc sinh giäi th¼ hồc sinh phÊi nưm ữủc cĂc kián thực nƠng cao, Ơy l cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt v cĂc phữỡng phĂp chựng minh khổng cõ chữỡng trẳnh Ôi tr cụng nhữ chữỡng trẳnh nƠng cao bêc cỡ s Trong thới gian vứa qua,  cõ nhiÃu hồc viản cao håc lüa chån c¡c chõ · v· h¼nh håc trin khai luên vôn thÔc sắ nhỳng chữa cõ håc vi¶n n o nghi¶n cùu mët c¡ch h» thèng v· c¡c b i to¡n chùng minh t½nh song song, vng gâc phĂt trin thnh luên vôn thÔc sắ chuyản ngnh Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp Vợi mong muốn tẳm hiu cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt cụng nhữ phữỡng phĂp chựng minh t½nh song song, t½nh vng gâc qua mët sè b i to¡n, · thi håc sinh giäi º l m t i liằu cho viằc giÊng dÔy cừa bÊn thƠn v lm t i li»u tham kh£o cho håc sinh tü håc, tæi chồn chừ Ã: Phữỡng phĂp chựng minh tẵnh song song, t½nh vng gâc qua vi»c gi£i mët sè b i to¡n, à thi hồc sinh giọi cho luên vôn thÔc sắ cừa mẳnh Luên vôn têp trung nghiản cựu cĂc vĐn à sau: ã Tẳm hiu cĂc nh lỵ, cĂc tẵnh chĐt liản quan án iÃu kiằn hai ữớng thng song song (hay vuổng gõc) vợi cụng nhữ cĂc h» qu£ câ ÷đc tø vi»c hai ÷íng th¯ng song song (hay vuổng gõc) ã Sữu tƯm cĂc bi toĂn luy»n thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi hồc sinh giọi toĂn và hẳnh hồc phng liản quan án tẵnh song song, tẵnh vuổng gõc ã Trẳnh by líi gi£i mët sè b i to¡n luy»n håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh håc phng liản quan án tẵnh song song, tẵnh vuổng gõc Trong â cè gng ÷a líi gi£i t÷íng minh èi vỵi nhúng b i to¡n, · thi m t i li»u tham kh£o ch¿ câ líi gi£i vn tt ho°c ành hữợng lới giÊi 2 ã ối vợi mởt vi bi to¡n, cè gng ÷a nhi·u líi gi£i º minh hồa tẵnh linh hoÔt viằc vên dửng cĂc tẵnh chĐt, nh lỵ vo chựng minh bi toĂn và tẵnh song song, tẵnh vuổng gõc Vợi mửc tiảu nghiản cựu nhữ vêy, bố cửc cừa luên vôn bao gỗm chữỡng: Chữỡng Kián thực chuân b Nởi dung chữỡng ny nhơm hằ thống hoĂ cĂc tẵnh chĐt, nh lỵ v phữỡng phĂp chựng minh cĂc bi toĂn và tẵnh vuổng gõc ( ữớng thưng, gõc) v tẵnh song song hẳnh hồc phng CĂc nh lỵ v tẵnh chĐt cỡ bÊn nhữ nh lỵ Thales Êo, nh lỵ Pythagoras, nh lỵ Ceva chựng minh cĂc ữớng thng ổi mởt song song hoc ỗng quy, nh lỵ Menelaus tam giĂc v tự giĂc, nh lỵ Carnot thu ữủc tứ cĂc ữớng thng vuổng gõc nơm trản cĂc cÔnh cừa tam giĂc ỗng thới cụng ữa mởt số bi têp Ăp dửng cĂc nh lỵ trản chựng minh tẵnh vuổng gõc v song song Chữỡng CĂc b i to¡n chùng minh t½nh vng gâc c¡c · thi Hồc sinh giọi Nởi dung chữỡng trẳnh by mởt cĂch tữớng minh viằc vên dửng cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt chựng minh mởt số bi toĂn liản quan án tẵnh vuổng gõc Sữu tƯm cĂc bi to¡n luy»n thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi hồc sinh giọi toĂn và hẳnh hồc phng liản quan án tẵnh vuổng gõc Chữỡng CĂc bi toĂn chùng minh t½nh song song c¡c · thi Håc sinh giọi Nởi dung chữỡng cừa luên vôn trẳnh by mởt cĂch tữớng minh viằc vên dửng cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt chựng minh mởt số bi toĂn liản quan án tẵnh song song Sữu t¦m c¡c b i to¡n luy»n thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh hồc phng liản quan án tẵnh song song Vẳ iÃu kiằn thới gian giợi hÔn nản phÔm vi nghiản cựu cừa luên vôn têp trung chừ yáu l cĂc bi toĂn thuởc Hẳnh hồc phng ThĂi Nguyản, ngy 26 thĂng nôm 2019 TĂc giÊ luên vôn Ngồc Th H Chữỡng Kián thực côn bÊn 1.1 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh vuổng gõc, song song hẳnh hồc phng 1.1.1 Kián thực chuân b Trữợc tiản, s nhưc lÔi cĂc khĂi niằm cỡ bÊn  ữủc à cêp cĂc chữỡng trẳnh giĂo dửc phê thỉng v· hai ÷íng th¯ng song song, hai ÷íng thng vuổng gõc v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chúng nh nghắa 1.1 Hai ữớng thng xx0, yy0 cưt v cĂc gõc tÔo thnh cõ mởt gõc vng ÷đc gåi l hai ÷íng th¯ng vng gâc v ữủc kỵ hiằu l xx0 yy0 ữớng thng vuổng gõc vợi mởt oÔn thng tÔi trung im cừa nõ ữủc gồi l ữớng trung trỹc cừa oÔn thng Đy nh nghắa 1.2 Hai ữớng thng song song l hai ữớng thng khổng cõ im chung Hai ữớng thng phƠn biằt thẳ hoc cưt hoc song song vợi 4 Nhên xt 1.1 (i) Hai gõc A1 Tứ hẳnh v dữợi Ơy xĂc nh cĂc cp gõc sau Ơy v B3 cụng nhữ hai gõc A4 v B2 ÷đc gåi l hai gâc so le (ii) C°p gâc A1 v B1 ÷đc gåi l c¡c c°p gõc ỗng v Tữỡng tỹ ta cõ cĂc cp gõc ỗng v khĂc l A2 v B2 ; A3 v B3 ; A4 v B4 nh nghắa 1.3 Náu ÷íng th¯ng c ct hai ÷íng th¯ng a, b v cĂc gõc tÔo thnh cõ mởt cp gõc so le bơng (hoc mởt cp gõc ỗng v bơng nhau) thẳ a v b song song vợi Ti¶n · 1.1 (Ti¶n · Euclide) Qua mët iºm ð ngo i mët ÷íng th¯ng ch¿ câ mët ÷íng th¯ng song song vợi ữớng thng õ Hai oÔn thng AB v CD gồi l t lằ vợi hai oÔn thng A0 B v C 0D0 n¸u câ t¿ l» thùc AB A0 B = 0 CD CD ho°c AB CD = A0 B C 0D0 ành nghắa 1.4 Cho ữớng thng d Php bián hẳnh bián mội im M thuởc d thnh chẵnh nõ, bián mội iºm M khæng thuëc d th nh M cho d l ữớng trung trỹc cừa oÔn thng M M ÷đc gåi l ph²p èi xùng qua ÷íng th¯ng d hay ph²p èi xùng tröc d Ph²p èi xùng trửc thữớng ữủc kẵ hiằu l d nh nghắa 1.5 Cho im I Php bián hẳnh bián im I thnh chẵnh nõ, bián mội im M khĂc I thnh M cho I l trung im cừa oÔn thng ữủc gồi l php ối xựng tƠm I Php ối xựng tƠm thữớng ữủc kẵ hiằu l I MM0 ành ngh¾a 1.6 Cho iºm O v gâc lữủng giĂc Php bián hẳnh bián O thnh chẵnh nâ, bi¸n méi iºm M kh¡c O th nh iºm M cho OM = \ OM v gâc l÷đng gi¡c (OM, OM ) = α ÷đc gåi l ph²p quay t¥m O gâc α Ph²p quay t¥m O gõc thữớng ữủc kẵ hiằu l Q(O,) nh nghắa 1.7 Cho trữợc mởt im O vsốthỹc k6=0 Php bián hẳnh bián mồi im M thnh im M cho OM = kOM ÷đc gåi l php v tỹ tƠm O t số k v ữủc kẵ hiằu l V(O,k) im M ữủc gồi l Ênh cừa im M, M ữủc gồi l tÔo Ênh cõa M 0, O l t¥m cõa ph²p tü, k l t¿ sè tü Nhªn x²t 1.2 Ph²p v tỹ t số k cõ cĂc tẵnh chĐt sau: (i) Bi¸n ba iºm th¯ng h ng th nh ba iºm th¯ng h ng v b£o to n thù tü giúa c¡c iºm â (ii) Bián ữớng thng thnh ữớng thng song song hoc trũng vợi nõ, bián tia thnh tia, bián oÔn thng thnh oÔn thng (iii) Bián tam giĂc thnh tam giĂc ỗng dÔng vợi nõ, bián gõc thnh gõc bơng nõ 6 nh nghắa 1.8 Cho ữớng trỏn (O; R) v iºm M cè ành, OM = d Mët ÷íng th¯ng thay ời qua M cưt ữớng trỏn tÔi hai im A v B Khi â, M A.M B = M O2 R2 = d2 R2 Ôi l÷đng khỉng êi M A.M B = M O2 − R2 = d2 R2 gồi l phữỡng tẵch cừa im M ối vợi ữớng trỏn (O; R), kẵ hiằu PM/(O) Kát quÊ cừa cĂc nh lỵ sau Ơy thữớng ữủc dũng chựng minh cĂc bi toĂn hẳnh håc ph¯ng v· t½nh song song v vng gâc, chóng ta s bọ qua phƯn chựng minh nh lỵ 1.1 Cho tam gi¡c ABC (H» thùc l÷đng tam giĂc vuổng) vuổng tÔi A, ữớng cao AH , ta câ AB = BC.BH, AC = BC.HC, AH = BH.CH, BC.AH = AC.AH, 1 = + AH AB AC nh lỵ 1.2 Khi M nơm ngoi ữớng trỏn (O) ta v ữủc tiáp tuyán M T tợi ữớng trỏn Khi õ PM/(O) = M A.M B = M T 7 nh nghắa 1.9 Tự giĂc nởi tiáp ữớng trỏn l tự giĂc cõ bốn nh nơm trản ữớng trỏn ữớng trỏn õ ữủc gồi l ữớng trỏn ngoÔi tiáp tự giĂc Nhên xt 1.3 Tự giĂc nởi tiáp cõ cĂc tẵnh chĐt sau: (i) Tự giĂc nởi tiáp cõ têng hai gâc èi b¬ng 180◦ (ii) Tù gi¡c cõ hai nh kà nhẳn xuống mởt cÔnh cỏn lÔi dữợi mởt gõc bơng thẳ nởi tiáp (iii) Tù gi¡c câ ¿nh c¡ch ·u mët iºm cho trữợc thẳ nởi tiáp (iv) Gõc ngoi tÔi mởt nh cừa mởt tự giĂc bơng gõc ối diằn vợi nh õ cừa tự giĂc Đy thẳ nởi tiáp nh lỵ 1.3 Tự giĂc ABCD cõ hai cÔnh ối AB, CD cưt tÔi M iÃu kiằn cƯn v ừ tự giĂc ABCD nởi tiáp ữủc ữớng trỏn l M A.M B = M C.M D nh lỵ 1.4 Tù gi¡c ABCD câ hai ÷íng ch²o AC, BD cưt tÔi N iÃu kiằn cƯn v N A.N C = N B.N D õ º tù gi¡c ABCD nởi tiáp ữủc ữớng trỏn l nh lỵ 1.5 Cho hai ữớng thng AB, M T phƠn biằt cưt tÔi M (M khổng trũng A, B, T ) Khi â n¸u M A.M B ti¸p tam gi¡c ABT tiáp xúc vợi M T tÔi T = MT thẳ ữớng trỏn ngoÔi nh nghắa 1.10 Cho hai ữớng trỏn khổng ỗng tƠm (O1, R1); (O2, R2) Têp hủp cĂc im M cõ phữỡng tẵch ối vợi hai ữớng trỏn bơng l mởt ữớng thng ữớng th¯ng n y gåi l trưc ¯ng ph÷ìng cõa hai ÷íng trỏn  cho Nhên xt 1.4 Trửc ng phữỡng cừa hai ữớng trỏn cõ cĂc tẵnh chĐt sau: (i) Trửc ng phữỡng cừa hai ữớng trỏn vuổng gõc vợi ữớng nối tƠm (ii) Náu hai ữớng trỏn cưt tÔi A v B thẳ AB chẵnh l trửc ng phữỡng (iii) Náu im qua M M cõ phữỡng tẵch vợi hai ữớng trỏn thẳ ữớng thng v vuổng gõc vợi ữớng nối tƠm l trửc ng phữỡng M, N M N l (iv) Náu hai im ữớng thng cõ phữỡng tẵch ối vợi hai ữớng trỏn thẳ trửc ng phữỡng (v) Náu ba im cõ phữỡng tẵch vợi hai ữớng trỏn thẳ chúng thng hng (vi) Náu (O1 ), (O2 ) O1 O2 cưt tÔi l trửc ng phữỡng A thẳ ữớng thng qua A vuổng gõc vợi 1.1.2 CĂc tẵnh chĐt và tẵnh vuổng gõc, song song hẳnh hồc phng Tẵnh chĐt 1.1 a0 O Câ mët v ch¿ mët ÷íng th¯ng gâc vợi ữớng thng Tẵnh chĐt 1.2 a i qua im v vuổng cho trữợc c Náu ữớng thng cưt hai ữớng thng a, b v cĂc gõc tÔo thnh cõ mởt cp gõc so le bơng thẳ (i) Hai gõc so le cỏn lÔi bơng nhau; (ii) Hai gõc ỗng v bơng Tẵnh chĐt 1.3 Náu mởt ữớng thng cưt hai ữớng thng song song thẳ (i) Hai gõc so le bơng nhau; (ii) Hai gõc ỗng v bơng nhau; (iii) Hai gõc phẵa bũ Tẵnh chĐt 1.4 Hai ữớng thng phƠn biằt vuổng gõc vợi mởt ữớng thng thự ba thẳ chúng song song vợi Tẵnh chĐt 1.5 Mởt ữớng thng vuổng gõc vợi mởt hai ữớng thng song song thẳ nõ cụng vuổng gõc vợi ữớng thng Tẵnh chĐt 1.6 Hai ữớng thng phƠn biằt song song vợi mởt ữớng thng thự ba thẳ chúng song song vợi 1.1.3 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh song song v vuổng gõc hẳnh hồc phng nh lỵ 1.6 Náu mởt ữớng thng cưt ( nh lỵ Thales tam giĂc) hai cÔnh cừa mởt tam giĂc v song song vợi cÔnh cỏn lÔi thẳ nõ nh trản hai cÔnh cỏn lÔi nhỳng oÔn thng t lằ Chựng minh Xt tam giĂc ABC v gi£ sû ÷íng th¯ng xx0 k BC , ct cÔnh AB v AC tữỡng ựng tÔi D v E Ta s³ chùng minh AE AD = DB EC (1.1) 10 DE k BC , nản diằn tẵch tam gi¡c DEB Trong 4ABE k´ ÷íng cao EF Khi â Vẳ SADE SBDE bơng diằn tẵch tam giĂc DEC AD.EF AD = = BD BD.EF (1.2) SADE AE = SCDE EC (1.3) T÷ìng tü ta câ Tø (1.2) v (1.3) suy h» thực (1.1) nh lỵ 1.7 Náu mởt ữớng thng cưt hai cÔnh cừa ( nh lỵ Thales Êo) mởt tam giĂc v nh trản hai cÔnh Đy nhỳng oÔn thng tữỡng ựng t lằ thẳ ữớng thng õ song song vợi cÔnh cỏn lÔi cừa tam giĂc Chựng minh GiÊ sỷ ữớng thng xx0 cưt cĂc cÔnh AB, AC cừa tam giĂc ABC theo thự tỹ tÔi D v E cho AB AC = DB EC Ta chùng minh Qua D DE k BC k´ ÷íng th¯ng song song vợi cÔnh BC cưt cÔnh AC tÔi im E Theo nh lỵ Thales thuên ta cõ AD AE AE AE AE AE = ⇒ = ⇔ +1= +1 DB EC EC EC EC EC AE + E C AE + EC AC AC ⇔ = ⇔ = E 0C EC E 0C EC hay E C = EC , nh lỵ 1.8 tực l E E Do â DE k BC Trong mët tam gi¡c vuổng, bẳnh phữỡng ( nh lỵ Pythagoras) ở di cÔnh huyÃn bơng tờng bẳnh phữỡng ở di hai cÔnh gõc vuổng 11 Chựng minh Trản BC lĐy hai im M, N thäa m¢n BM = BN = AB Khi â, Do \ \ = 90◦ − ABC, \ N \ \ = ABC, \ BN A = BAN AC = 90◦ − BAN 2 1\ \ AM B = ABC â, 4M CA ∼ 4ACN (g.g) n¶n ta câ MC CA AB + BC AC = ⇒ = AC CN AC BC − AB Do vªy BC = AB + AC ành lỵ 1.9 Náu bẳnh phữỡng ở di mởt cÔnh ( nh lỵ Pythagoras Êo) cừa tam giĂc bơng tờng bẳnh phữỡng ở di cừa hai cÔnh kia, thẳ gõc nơm giỳa hai cÔnh cừa tam giĂc õ bơng gõc vuổng Chùng minh Gi£ sû 4ABC khæng ph£i l tam gi¡c vuổng, tứ B k ữớng thng vuổng gõc vợi AC cưt AC tÔi D Theo nh lỵ Pythagoras ta cõ BC = DB + DC Theo gi£ thi¸t BC = AB + AC Suy AB − DB = DC − AC ⇒ AD2 = AD(DC + AC) Do õ AD = DC + AC nh lỵ 1.10 (mƠu thuăn) Cho tam giĂc ABC , cĂc im D, E, F lƯn ( nh lỵ Ceva) lữủt nơm trản BC, AC, AB Chựng minh AD, BE, CF ỗng quy ho°c æi mët song song v ch¿ DB EC F A · · = −1 DC EA F B (1.4) 12 Chùng minh i·u ki»n c¦n: Gi£ sû AD, BE, CF ỗng quy Tứ A v ữớng thng song song vợi BC cưt BE, CF tÔi I v H Theo nh lỵ Thales ta cõ DB IA EC BC F A AH = ; = ; = DC HA EA IA F B BC DB EC F A · · = −1 Do â DC EA F B Vợi trữớng hủp AD k BE k CF , Ăp dửng nh lỵ Thales ta cụng cõ kát quÊ DB EC F A · · = −1 DC EA F B i·u ki»n õ: Gi£ sû ta câ Gåi H, I G v F0 lƯn lữủt l DB EC F A · · = −1 DC EA F B giao iºm cõa AD ct BE , GC (1.5) ct AB CĂc im nhữ phƯn chựng minh iÃu ki»n c¦n Suy Tø (1.5) v (1.6) suy nh lỵ 1.11 DB EC F A à à = −1 DC EA F B F ≡ F ( nh lỵ Menelaus tam giĂc) (1.6) Cho tam giĂc ABC , trản cĂc ữớng thng chựa cĂc cÔnh BC, CA, AB lĐy cĂc im P, Q, R tữỡng ựng cho mội im khổng trũng vợi nh tam gi¡c Khi â, ba iºm P, Q, R th¯ng h ng v ch¿ RB P C QA · · = RA P B QC (1.7) 13 Chùng minh iÃu kiằn cƯn: GiÊ sỷ ba im k ữớng th¯ng song song vỵi Thales ta câ Thay AL BC , ct ÷íng P, Q, R th¯ng h ng Qua A, thng (d) tÔi L Theo nh lỵ LA QA CP · QA = ⇔ , PC PC QC (1.8) RB PB RB LA = ⇔ · =1 RA LA RA P B (1.9) ð (1.8) v o (1.9) ta ÷đc i·u ph£i chùng minh i·u ki»n õ: Gi£ sû ta câ RB P C QA · · = RA P B QC Gåi Q0 l giao iºm cõa PR v cÔnh AC Khi õ theo iÃu kiằn cƯn ta cõ RB Q0 A P C · · = RA Q0 C P B Tø (1.7) v (1.10) ta suy nh lỵ 1.12 Q0 A QA = Q0 C QC Vªy (1.10) Q ≡ Q0 Cho tự giĂc ABCD v ( nh lỵ Menelaus tự giĂc) mởt ữớng thng (d) cưt AB, BC, CD, DA lƯn l÷đt ð M, N, P, Q Khi â ta câ M A N B P C QD · · · = M B N C P D QA (1.11) 14 Chựng minh Trản ữớng thng (d) lĐy hai im I, J CD cho AI k BJ k Theo nh lỵ Thales ta cõ MA JA N B JB OD PD = , = , = MB JB N C P C OA IA Do â M A N B P C QD IA JB P C P D · · · = · · · = M B N C P D QA JB P C P D IA nh lỵ 1.13 Tự giĂc lỗi ABCD nởi tiáp mởt ữớng ( nh lỵ Ptolemy) trỏn v ch tờng cừa tẵch cĂc cp cÔnh ối diằn bơng tẵch hai ữớng cho, nghắa l AB.CD + AD.BC = AC.BD (1.12) \=M \ Chùng minh L§y M thc ÷íng ch²o AC cho ABD BC Khi â, \=M \ \=M \ 4ABD v 4M BC câ ABD BC, ADB CB 4M BC (g.g) Do â ta câ x²t M°t kh¡c, N¶n 4ABD ∼ AD MC = ⇒ AD · BC = BD · M C BD BC BA BM \ = DBC \ n¶n 4ABM ∼ 4DBC = v ABM BD BC AB BD = ⇒ AB · CD = AM · BD AM BC Tø (1.13) v (1.14) ta ÷đc AD.BC + AB.CD = BD.M C + AM.BD = AC.BD ⇒ AB.CD + AD.BC = AC.BD (1.13) suy (1.14) 15 nh lỵ 1.14 ( nh lỵ Carnot) Cho tam giĂc ABC cõ M, N, P theo thự tỹ nơm trản cĂc cÔnh BC, CA, AB V³ c¡c ÷íng th¯ng d1, d2, d3 vng gâc vợi BC, CA, AB theo thự tỹ tÔi M, N, P Chựng minh rơng iÃu kiằn cƯn v ừ M, N, P ỗng quy l ta cõ hằ thực M B + N C + P A2 = M C + N A + P B (1.15) Chùng minh i·u ki»n c¦n: Gåi O l im ỗng quy cừa d1, d2, d3 p dửng nh lỵ Pythagoras ta cõ M B = OB − OM , N C = OC − ON , P A2 = OA2 − OP ⇒ M B + N C + P A2 = (OB − OM ) + (OC − ON ) + (OA2 − OP ) = (OC − OM ) + (OA2 − ON ) + (OB − 0P ) = M C + N A2 + P B i·u ki»n õ: Gi£ sû câ h» thùc (1.15) Gåi O l giao iºm cõa d2, d3 V³ OM ⊥ BC (M ∈ BC) Theo chùng minh ð i·u ki»n c¦n, ta câ M B + N C + P A2 = M C + N A + P B ⇒ M B = M B ⇒ M B = M 0B ⇒ M M Vêy d1 , d2 , d3 ỗng quy tÔi nh lỵ 1.15 O Cho bốn im A, B, C, D phƠn biằt ( nh lỵ iºm) m°t ph¯ng Khi â AB ⊥ CD v ch¿ AC − AD2 = BC − BD2 Chựng minh Gồi H, K lƯn lữủt l hẳnh chiáu cừa A, B lản ữớng thng CD Náu AB CD thẳ HK nản theo nh lỵ Pythagoras ta câ AC − AD2 = HC − HD2 = BC BD2 Ngữủc lÔi, náu AC − AD2 = BC − BD2 th¼ ta câ a = AC −AD2 = HC −HD2 = HC −(CD ± HC)2 ⇒ HC = ± a + CD2 2CD a + CD2 êi vai trá H cho K ta công câ KC = ± Do õ HC = KC LÔi 2CD ời vai trỏ C bði D ta cơng chùng minh ÷đc HD = KD Nhữ vêy H K , suy AB CD 16 nh lỵ 1.16 (Tự giĂc cõ hai ữớng cho vuổng gõc) Tự giĂc lỗi ABCD cõ hai ÷íng ch²o AC ⊥ BD v ch¿ AB + CD2 = AD2 + BC Chùng minh i·u ki»n c¦n: Gi£ sû AC ⊥ BD v K l giao iºm cõa AC v BD Theo ành lỵ Pythagoras ta cõ AB + CD2 = KA2 + KB + KC + KD2 = KA2 + KD2 + KB + KC = AD2 + BC i·u ki»n õ: Gi£ sû ta câ AB + CD2 = AD2 + BC °t \ α = AKB Khi â ta biºu di¹n KA2 +KB −2KA.KB cos α+KC +KD2 −2KC.KD cos α = AB +CD2 KA2 +KD2 −2KA.KD cos α+KC +KB −2KC.KB cos α = AD2 +BC Vªy suy (KA.KB + KC.KD − KA.KD − KA.KC) cos α = π α = v AC BD nh lỵ 1.17 ( nh lỵ Desargues) Cho hai tam gi¡c ABC v A1B1C1 Gåi M l giao iºm cõa AB v A1B1, N l giao iºm cõa AC v A1C1, P l giao iºm cõa BC v B1C1 Khi â ba iºm M, N, P thng hng v ch AA1, BB1, CC1 ỗng quy Chựng minh ChiÃu nghch: Cho AA1, BB1, CC1 ỗng quy tÔi O, ta chựng minh im M, N, P th¯ng N, A1 , C1 ta câ h ng p döng nh lỵ Menelaus cho N A C1 C A O · · = N C C1 O A1 A 4OAC vợi ba (1.16) Chựng minh tữỡng tỹ ta câ P C B1 B C1 O M B A1 A B1 O · · = 1, · · = P B B1 O C1 C M A A1 O B1 B (1.17) ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGỌC THỊ HÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC... thng song song thẳ nõ cụng vuổng gõc vợi ữớng thng Tẵnh chĐt 1.6 Hai ữớng thng phƠn biằt song song vợi mởt ữớng thng thự ba thẳ chúng song song vợi 1.1.3 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh song song... song song h¼nh håc ph¯ng 1.1.3 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh song song v vng gâc h¼nh håc ph¯ng 1.2 Mët sè bi toĂn liản quan án tẵnh vuổng gõc, song song