2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU Ở lớp 9, em đã biết mối quan hệ giữa tỷ số lượng giác của hai góc phụ nhau Trong mục này, em hãy tìm mối quan hệ giữa các giá trị lượng gi[.]
5 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ GÓC 00 ĐẾN 1800 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU Ở lớp 9, em biết mối quan hệ tỷ số lượng giác hai góc phụ Trong mục này, em tìm mối quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù 0 180 , gọi M , M hai Đối với góc tùy ý điểm nửa đường trịn đơn vị tương ứng với hai góc bù 180 , xOM 180 xOM (H.3.5) (Hình 3.5) HĐ2 Nêu nhận xét vị trí hai điểm , trục Từ nêu mối quan hệ , mối quan hệ Lời giải sin 180 sin cos 180 cos Hai điểm M , M đối xứng trục Oy nên , Đối với hai góc bù 180 ta có sin 180 sin tan 180 tan 90 Ví dụ ; ; cos 180 cos cot 180 cot 0 180 ; Tính giá trị lượng giác góc Lời giải Do góc 120 , 135 , 150 tương ứng bù với góc 60 , 45 , 30 nên từ bảng 3.1 ta có bảng giá trị lượng giác sau: Bảng 3.2 Hai góc bù có sin nhau; cơsin, tang, cơtang đối Luyện tập Trong hình 3.6, hai điểm M , N ứng với hai góc phụ 90 xOM , xON 90 Chứng minh MOP NOQ Từ nêu mối sin 90 quan hệ cos Lời giải Ta có xON 90 NOQ Xét hai tam giác vng MOP; NOQ ta có OM ON MOP NOQ xOM NOQ Ta có cos OP OQ sin 90 Vận dụng Một đu quay có bán kính 75m , tâm vịng quay độ cao 90m (H 3.7), thời gian thực vòng quay đu quay 30 phút Nếu người vào cabin vị trí thấp vịng quay, sau 20 phút quay, người độ cao mét? Hình 3.7 Lời giải Do tính đối xứng, dù đu quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ, ta thấy độ cao người sau khoảng thời gian Ở ta xét đu quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ Gắn đu quay có bán kính 75m , tâm vịng quay độ cao 90m vào hệ trục tọa độ Oxy ta sau 20 360o 240 30 Sau 20 phút quay cabin góc tức đến vị trí điểm H Khi o góc HOJ 30 HJ sin 30 OH 37,5(m) Vậy sau 20 phút quay, người độ cao 37,5 90 127,5(m) BÀI TẬP 3.1 Khơng dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức sau: a) 2sin 30 cos135 tan150 cos180 cot 60 ; 2 2 b) sin 90 cos 120 cos 0 tan 60 cot 135 ; c) cos60 sin 30 cos 30 Chú ý: 2 sin s in ; cos 2 cos ; tan tan ; cot cot Lời giải a) 2sin 30 cos135 tan150 cos180 cot 60 sin 30 cos 180 45 3tan 180 30 cos180 cot 60 2sin 30 cos 45 3tan 30 cot 60 3 2 2 2 3 1 2 2 b) sin 90 cos 120 cos 0 tan 60 cot 135 2 2 sin 90 cos 120 cos 0 tan 60 cot135 1 cos 180 60 1 cos 60 3 2 cot 180 45 2 cot45 1 cos60 sin 30 cos 30 cos30 1 2 c) 3.2 Đơn giản biểu thức sau: a) sin100 sin 80 cos16 cos164 b) 2sin 180 cot cos 180 tan cot 180 với 0 90 Lời giải a) sin100 sin 80 cos16 cos164 sin 180 80 sin 80 cos16 cos 180 16 sin 80 sin 80 cos16 cos16 2sin 80 b) 2sin 180 cot cos 180 tan cot 180 2sin cot cos tan cot 2sin cos cos 3cos sin 3.3 Chứng minh hệ thức sau: 2 a) sin cos 1 ; b) c) cos 2 90 ; sin 0 180 ; tan cot Lời giải a) Xét nửa đường tròn tâm O bán kính Ta có sin DO , cos =OC Xét tam giác vng OBC ta có OD OC 1 sin cos 1 b) tan Xét c) 90 VT 1 tan 1 cot Xét cos 2 sin 0 180 VT 1 cot 1 3.4 Cho góc sin sin cos 2 = VP 2 cos cos cos cos 2 sin cos 2 VP 2 sin sin sin 0 180 Tính giá trị biểu thức P thỏa mãn tan 3 2sin 3cos 3sin 2cos Lời giải Ta có tan 3 cos 0 nên chia tử mẫu biểu thức P cho cos ta P 2sin 3cos tan 3 3sin 2cos tan 11 BÀI TẬP THÊM CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Giá trị cos 45 sin 45 bao nhiêu? A B Chọn C Lời giải D B Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta cos 45 cos 45 sin 45 sin 45 Câu 2: Giá trị tan 30 cot 30 bao nhiêu? A Chọn C Lời giải 1 B A D Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta tan 30 tan 30 cot 30 cot 30 Câu 3: Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? A sin150O B tan150O O D cot150 C cos150O Lời giải Chọn C Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta tan150O Câu 4: Tính giá trị biểu thức P cos 30 cos 60 sin 30 sin 60 A P Chọn B P C P 1 Lời giải D P 0 D sin 30 cos 60 Vì 30 60 hai góc phụ nên sin 60 cos 30 P cos 30 cos 60 sin 30 sin 60 cos 30 cos 60 cos 60 cos 30 0 Câu 5: Tính giá trị biểu thức P sin 30 cos 60 sin 60 cos30 A P 1 B P 0 C P D P Lời giải Chọn A sin 30 cos 60 Vì 30 60 hai góc phụ nên sin 60 cos 30 P sin 30 cos 60 sin 60 cos 30 cos 60 sin 60 1 Câu 6: Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O B sin 30 cos 60 1 O O D sin120 cos 30 0 O O A sin 45 cos 45 O O C sin 60 cos150 0 Lời giải Chọn D Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta cos 30 cos 30 sin120 sin120 Câu 7: Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O O O A sin cos 0 B sin 90 cos 90 1 O sin 60O cos 60O O C sin180 cos180 Chọn D Lời giải 1 A Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta cos 0 1 sin 0 0 Câu 8: cos 0 sin 0 1 Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? O O O O A cos 45 sin 45 B cos 45 sin135 O O O O C cos 30 sin120 D sin 60 cos120 Lời giải Chọn D Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta cos120 sin 60 Câu 9: Tam giác ABC vuông A có góc B 30 Khẳng định sau sai? cos B A cos C C B sin C sin B D Lời giải Chọn A Từ giả thiết suy C 60 Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta cos B cos 30 Câu 10: Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng? A C sin BAH B sin ABC sin AHC D cos BAH Lời giải Chọn C sin BAH BAH 30 cos BAH Ta có ABC 60 sin ABC Ta có Vấn đề HAI GĨC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11: Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A sin 180 cos C sin 180 sin B sin 180 sin sin 180 cos D Lời giải Chọn C 180 Hai góc bù cho có giá trị sin Câu 12: Cho hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A sin sin C tan tan B cos cos D cot cot Lời giải Chọn D Hai góc bù cho có giá trị sin nhau, giá trị cịn lại đối Câu 13: Tính giá trị biểu thức P sin 30 cos15 sin150 cos165 A P P C B P 0 D P 1 Lời giải Chọn B 0 Hai góc 30 150 bù nên sin 30 sin150 ; Hai góc 15 165 bù nên cos15 cos165 Do P sin 30 cos15 sin150 cos165 sin150 cos165 sin150 cos165 0 Câu 14: Cho hai góc với 180 Tính giá trị biểu thức P cos cos sin sin A P 0 B P 1 C P Lời giải D P 2 Chọn C Hai góc bù nên sin sin ; cos cos Do đó, P cos cos sin sin cos sin sin cos P sin A.cos B C cos A.sin B C Câu 15: Cho tam giác ABC Tính A P 0 B P 1 C P Lời giải D P 2 Chọn A Giả sử A ; B C Biểu thức trở thành P sin cos cos sin Trong tam giác ABC , có A B C 180 180 Do hai góc bù nên sin sin ; cos cos Do đó, P sin cos cos sin sin cos cos sin 0 P cos A.cos B C sin A.sin B C Câu 16: Cho tam giác ABC Tính A P 0 B P 1 C P Lời giải D P 2 Chọn C Giả sử A ; B C Biểu thức trở thành P cos cos sin sin Trong tam giác ABC có A B C 180 180 Do hai góc bù nên sin sin ; cos cos Do đó, P cos cos sin sin cos sin sin cos Câu 17: Cho hai góc nhọn phụ Hệ thức sau sai? A sin cos B cos sin C tan cot Lời giải D cot tan Chọn A Hai góc nhọn phụ sin cos ; cos sin ; tan cot ; cot tan 2 2 Câu 18: Tính giá trị biểu thức S sin 15 cos 20 sin 75 cos 110 A S 0 B S 1 C S 2 Lời giải D S 4 Chọn C Hai góc 15 75 phụ nên sin 75 cos15 Hai góc 20 110 90 nên cos110 sin 20 2 2 Do đó, S sin 15 cos 20 sin 75 cos 110 sin 15 cos 20 cos 15 sin 20 sin 15 cos 15 sin 20 cos 20 2 Câu 19: Cho hai góc với 90 Tính giá trị biểu thức P sin cos sin cos A P 0 B P 1 C P Lời giải D P 2 Chọn B Hai góc phụ nên sin cos ; cos sin 2 Do đó, P sin cos sin cos sin cos 1 Câu 20: Cho hai góc với 90 Tính giá trị biểu thức P cos cos sin sin A P 0 B P 1 C P Lời giải D P 2 Chọn A Hai góc phụ nên sin cos ; cos sin Do đó, P cos cos sin sin cos sin cos sin 0 Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21: Cho góc tù Khẳng định sau đúng? 10 A sin C tan B cos D cot Lời giải Chọn C Câu 22: Cho hai góc nhọn Khẳng định sau sai? A cos cos C cot cot B sin sin D tan tan Lời giải Chọn A Câu 23: Khẳng định sau sai? A cos 75 cos 50 C tan 45 tan 60 B sin 80 sin 50 D cos 30 sin 60 Lời giải Chọn A Trong khoảng từ 0 đến 90 , giá trị góc tăng giá trị cos tương ứng góc giảm Câu 24: Khẳng định sau đúng? A sin 90 sin100 C tan 85 tan125 B cos 95 cos100 D cos145 cos125 Lời giải Chọn B Trong khoảng từ 90 đến 180 , giá trị góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng góc giảm - Giá trị cos tương ứng góc giảm Câu 25: Khẳng định sau đúng? A sin 90 sin150 B sin 90 15 sin 90 30 C cos 90 30 cos100 D cos150 cos120 Lời giải Trong khoảng từ 90 đến 180 , giá trị góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng góc giảm - Giá trị cos tương ứng góc giảm ChọnC Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 2 Câu 26: Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos sin 1? 11 sin cos sin 2 B 3 A cos sin 5 cos sin 5 4 D C Lời giải cos Chọn D 2 Từ biểu thức cos sin 1 ta suy cos sin 1 5 cos sin 5 5 Do ta có Câu 27: Cho biết P 3sin 5cos Giá trị 3 bao nhiêu? sin 105 P 25 A 109 P 25 C 107 P 25 B 111 P 25 D Lời giải Chọn B Ta có biểu thức sin 16 cos 1 cos 1 sin 3 3 25 P 3sin Do ta có 16 107 3 5cos 3 3 25 25 5 Câu 28: Cho biết tan Giá trị P A P C P 6sin cos cos sin bao nhiêu? P B P D Lời giải Chọn B sin 7 6sin cos tan P cos cos sin sin tan cos Ta có Câu 29: Cho biết cos cot tan P Giá trị cot tan bao nhiêu? 12 A C P P 19 13 25 13 19 P 13 B 25 P 13 D Lời giải Chọn B sin cos 1 sin 1 cos Ta có biểu thức Ta có : 2 cos sin 3 2 cot tan sin 19 cos cos 3sin P 2 cos sin cot tan 2 cos sin 13 sin cos 3 Câu 30: Cho biết cot 5 Giá trị P 2 cos 5sin cos bao nhiêu? A C P 10 26 P 50 26 100 P 26 B 101 P 26 D Lời giải Chọn D cos cos P 2cos 5sin cos sin 2 sin sin sin Ta có 3cot 5cot 1 101 2 2cot 5cot 1 cot cot 1 26 cot 0 Câu 31: Cho biết 3cos sin 1 , 90 Giá trị tan tan A tan C tan B tan D Lời giải Chọn A Ta có 3cos sin 1 3cos sin 1 cos sin 1 cos sin 2sin sin sin 2sin 13 sin 10sin 2sin 0 sin 0 sin : không thỏa mãn 90 sin sin cos tan 5 cos 0 Câu 32: Cho biết cos sin 2 , 90 Tính giá trị cot A C cot cot B D cot cot Lời giải Chọn C Ta có cos sin 2 sin 2 cos 2sin cos 2sin 4 8cos cos cos 4 8cos cos cos 1 cos 8cos 0 cos 1 0 cos 1 : khơng thỏa mãn 90 2 cos cos sin cot 3 sin Câu 33: Cho biết sin cos a Tính giá trị sin cos A sin cos a B sin cos 2a a2 1 a2 sin cos sin cos 2 D C Lời giải Chọn C Ta có sin cos a sin cos a a2 2sin cos a sin cos cos sin 2 Giá trị P tan cot bao nhiêu? Câu 34: Cho biết 14 P A P C P B 11 P D Lời giải Chọn B 1 cos sin cos sin Ta có 2sin cos sin cos 9 Ta có: 2 P tan cot tan cot 2 sin cos tan cot 2 cos sin 2 sin cos 9 2 sin cos 4 sin cos sin cos Câu 35: Cho biết A C P 15 P 19 Giá trị P sin cos bao nhiêu? B D P 17 P 21 Lời giải Chọn B sin cos Ta có 1 sin cos 5 2sin cos sin cos 5 Ta có P sin cos sin cos 2sin cos sin cos 17 BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 36: Cho tan x Tính giá trị biểu thức P 15 sin x cos x cos x 2sin x A B C Lời giải D Chọn A sin x 2 cos x sin x cos x tan x sin x P 1 cos x tan x 1 cos x 2sin x Ta có: Câu 37: Cho góc tù Điều khẳng định sau đúng? A sin C tan B cos D cot Lời giải Chọn C sin góc tù suy : cos tan Câu 38: Cho hai góc nhọn Khẳng định sau sai? A sin sin C cos sin 90 B cos cos D cot tan Lời giải sin x tan x cos x cot x tan x cot x hai góc nhọn 90 sin sin 90 cos sin sin Với , biểu diễn nửa đường tròn đơn vị Suy ra: cos cos Câu 39: Cho 0 90 Khẳng định sau đúng? A C cot 90 tan sin 90 cos B cos 90 sin tan 90 cot D Lời giải Chọn B Câu 40: Khẳng định sau khẳng định đúng? A cos cos 180 C tan tan 180 B cot cot 180 sin sin 180 D Lời giải Chọn A 16 Với hai góc bù ta có cos cos 180 Câu 41: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O Điểm M đường tròn cho sđ A M ; 0 Ox, OM B Tọa độ điểm M M cos ;sin M sin ;cos C Lời giải D M 1; Chọn B x cos OM x cos sin y M x; y OM y sin (vì OM 1 ) Gọi Khi Vậy M cos ;sin Câu 42: Cho tam giác ABC Đẳng thức sai? A C sin A B 2C sin 3C cos A B 2C C sin 2 B cos B C A sin 2 sin A B sin C D Lời giải Chọn C cos Do Câu 43: Biết A A B 2C A B C C C cos cos sin C 2 2 2 2 sin , 90 180 Hỏi giá trị tan bao nhiêu? B C Lời giải 17 5 D Chọn C Vì 90 180 cos cos sin Vậy tan A sin cos Câu 44: Cho tan Tính B B 21 38 sin cos sin 3cos 2sin B B 1 21 3 B C D 1 2 Lời giải Chọn A 1 cos cos tan tan tan sin cos B tan tan cos tan tan tan sin 3cos 2sin tan tan tan 1 3 tan tan Câu 45: Biết A sin 21 3 90 180 Hỏi giá trị cot bao nhiêu? 15 15 B 15 C 15 Lời giải 15 D 15 Chọn B cot Ta có 1 1 15 2 sin 1 4 Do 90 180 nên cot 15 0 180 Câu 46: Cho cot , Tính sin cos sin A cos 3, sin B 18 cos 3, C sin cos , sin D Lời giải cos , Chọn B Ta thấy cot nên suy 90 180 1 1 sin sin cot 3 Và: Do 0 180 nên cot Mà: Câu 47: Cho A cos cos cot sin sin sin x cos x P sin sin Tính P sin x cos x B P P C Lời giải D P Chọn D Ta có: P sin x cos x 1 2sin x.cos x Theo giả thiết: 1 24 sin x cos x sin x cos x 1 2sin x.cos x 2sin x.cos x 25 25 25 Do đó: P 1 24 49 P 25 25 (Vì P 0 ) Câu 48: Tính giá trị biểu thức P sin 30 cos 60 sin 60 cos 30 A P 1 B P 0 C P D P Lời giải Chọn A 2 Ta có P sin 30 sin 30 cos 30 cos 30 sin 30 cos 30 1 Câu 49: Biết sin 2017 sin , M cot 90 180 Tính giá trị biểu thức 2018 cos 19 A M 2017 2018 M 2018 2017 C B D M 2017 2018 M 2018 2017 1 Lời giải Chọn D M cot sin cos sin cos 2018 sin cos 2017 cos sin cos sin 20 ... cos 60? ?? sin 30? ?? sin 60? ?? A P Chọn B P C P 1 Lời giải D P ? ?0 D sin 30? ?? cos 60? ?? Vì 30? ?? 60? ?? hai góc phụ nên sin 60? ?? cos 30? ?? P cos 30? ?? cos 60? ?? sin 30? ?? sin 60? ?? cos 30? ?? cos 60? ??... 60? ?? cos 30? ?? ? ?0 Câu 5: Tính giá trị biểu thức P sin 30? ?? cos 60? ?? sin 60? ?? cos 30? ?? A P 1 B P ? ?0 C P D P Lời giải Chọn A sin 30? ?? cos 60? ?? Vì 30? ?? 60? ?? hai góc phụ nên sin 60? ?? cos 30? ??... a) 2sin 30? ?? cos135 tan1 50? ?? cos1 80? ?? cot 60? ?? sin 30? ?? cos 1 80? ?? 45 3tan 1 80? ?? 30? ?? cos1 80? ?? cot 60? ?? 2sin 30? ?? cos 45 3tan 30? ?? cot 60? ??