Skkn ứng dụng của hình học không gian vào các bài toán thực tế

PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Phần hình học khơng gian phần học khó với học sinh, ngồi việc tổng quan hình vẽ tập, học sinh vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lơgic, phương pháp luận để hình thành nên cách giải toán Trong trình dạy học qua nhiều phần kiến thức khác bắt gặp câu hỏi giống ví dụ “Học phần xong để nhằm mục đích gì, có ứng dụng vào thực tế khơng” Mặt khác kì thi trung học phổ thơng năm gần có xuất câu ứng dụng hình học vào sống khiến mơn tốn trở nên sinh động hơn, học sinh thấy việc học mơn tốn thú vị ý nghĩa Trong phần kiến thức đề thi THPT quốc gia, phần hình học khơng gian tổng hợp phần học khó đặc biệt thi trắc nghiệm, thời gian áp lực lớn cho học sinh Trước yêu cầu ngặt thời gian đề trắc nghiệm, yêu cầu cần tiếp thu học sinh, qua thời gian giảng dạy tìm hiểu tơi lựa chọn đề tài để hồn thiện kinh nghiệm mình, tư liệu để đồng nghiệp tham khảo hết để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt đề thi THPT quốc gia Trong khuôn khổ đề tài Sáng kiến kinh nghiệm, tơi chọn đề tài: “Ứng dụng hình học khơng gian vào toán thực tế’’ giúp học sinh lớp 12 hoàn thành tốt đề thi THPT quốc gia năm 2018”, giúp học sinh có nhìn thiết thực ý nghĩa hình học khơng gian 1.2 Mục đích nghiên cứu: Mục tiêu tơi hồn thiện kinh nghiệm mình, làm tư liệu để đồng nghiệp tham khảo hết để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt đề thi THPT quốc gia Từ đây, hình thành cho học sinh tư liên môn, thấy mối quan hệ liên môn môn học mà lâu học sinh khơng để ý tới, từ giúp học sinh có kỹ tốt để giải tốt tốn mơn khác, thực tiễn đời sống sau 1.3 Đối tượng nghiên cứu Cụ thể: + Các cơng thức tính sử dụng việc tính tốn hình học + Các dạng tốn áp dụng vào thực tiễn sống skkn + Các tập minh họa tập củng cố 1.4 Các phương pháp nghiên cứu đề tài: + Phương pháp thống kê, thu thập số liệu: + Phương pháp nghiên cứu, xây dựng sở lý thuyết: Vì chưa có đề tài nghiên cứu hồn chỉnh, chuẩn kiến thức nên tơi tìm hiểu qua nội dung toán, tham khảo số ý tưởng số tác giả hiểu biết để hình thành nên phương pháp luận, xây dựng thành sở lý thuyết để học sinh học tập + Phương pháp điều tra thực tế: Bằng việc quan sát học sinh làm tập lớp, việc thống kê số lượng học sinh làm toán đề thi, kiểm tra, để từ điều chỉnh dạy, định hướng cho học sinh sử dụng kết hợp linh hoạt nhiều phương pháp 1.5 Những điểm đề tài: Cho học sinh thấy giá trị toán học vào sống, đặc biệt cho nghành cơng nghiệp, kinh tế đất nước Chi phí nguyên vật liệu nhất, giá thành rẻ toán Max, Min Hơn toán học được nhìn thực tiễn cách đơn giản thơng qua tốn đo lường đơn giản, làm cho người học cảm thấy thích thú skkn PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Chương học: Hình học khơng gian lớp 11 đến lớp 12 có lượng kiến thức nhiều Trong khuôn khổ giới hạn đề tài, tơi trình bày kiến thức liên quan đến đối tượng nghiên cứu đề tài 2.1.1 Xác định hình tốn Khi xác định hình tốn cần vẽ hình theo tiêu chuẩn khơng gian 2.1.2 Xác định cơng thức tính tốn Những cơng thức tốn học thường dùng tốn thực tế bất đẳng thức si; cơng thức tính diện tích, thể tích, cơng thức hình học liên quan: a Cơng thức tính thể tích của hình chóp : Với B diện tích mặt đáy, h chiều cao hình chóp b Cơng thức thể tích của hình lăng trụ : Với B diện tích mặt đáy, h chiều cao hình lăng trụ c Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là , bán kính đáy và đường sinh là thì có: + Diện tích xung quanh: + Diện tích đáy (hình tròn): + Diện tích toàn phần hình nón: + Thể tích khối nón: d Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng , đó: + Diện tích xung quanh của hình trụ: + Diện tích toàn phần của hình trụ: + Thể tích khối trụ: e Công thức tính diện tích và thể tích của hình cầu + Diện tích mặt cầu: + Thể tích mặt cầu: skkn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Như nói trên, Hình học khơng gian tổng hợp mơn học khó, đặc biệt tốn thực tế Chính mà đề thi đại học năm trước đây, câu phần hình học khơng gian tính thể tích khối đa diện, phần mức độ (thông hiểu), câu toán thực tế mức độ (vận dụng thấp - cao) Những học sinh có học lực trung bình, trung bình – thường bỏ qua phần vất vả không chắn hay sai Điều dẫn đến việc học sinh không dành thời gian thích đáng để ơn tập phần này, phần lại học Tuy nhiên, triển khai ứng dụng toán hình học khơng gian vào thực tế học sinh có hứng thú học tập hẳn, chí số học sinh dành thời gian nhiều để nghiên cứu phần kiến thức để bù lại thiếu sót hệ thống kiến thức ơn luyện thi 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trước thực trạng học sinh trình học hình học khơng gian dẫn đến cần thiết phải truyền thụ kiến thức cho học sinh ứng dụng tốn hình học khơng gian thực tiễn Bên cạnh đó, phân phối chương trình khơng dành thời lượng cho việc triển khai nên việc triển khai phải thực lồng ghép, thường xuyên tiết dạy lý thuyết, tiết dạy tập Cụ thể : 2.3.1 Trong thể tích khối đa diện Ta lồng ghép, bắt đầu truyền thụ dần kiến thức ứng cho học sinh như: + Các toán hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác ,tháp cổ Ai câp + Các tốn hình Hình lập phương; hình hộp chữ nhật; hình lăng trụ đứng tòa tòa, thùng đựng đồ 2.3.2 Trong ‘’Khối nón - Khối trụ - Khối cầu” Sử dụng tốn phễu, đường óng nước, ống lăn sơn, hộp đựng mỹ phẩm 2.3.3 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Câu 1: Người ta muốn xây bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá th nhân công để xây bể 500000 đồng/ Nếu biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp nhất, chi phí thấp bao nhiêu: skkn Lời giải nhân công xây 500 h m3 x 2x Nhận xét: Chi phí thấp nhu cầu thiết yếu sống Xác định công thức diện tích, thể tích, áp dụng khéo léo bất đẳng thức cosi tốn học có tac dụng thiết thực sống Gọi yếu tố hình vẽ, diện tích phần phải xây bể phần xung quanh đáy Ta có Số chi phí thấp triệu Câu Một người thợ gò hàn muốn làm thùng tơn đựng thóc dạng hình hộp khơng nắp theo hình vẽ Hộp có đáy hình vng cạnh cao thể tích Tìm độ dài cạnh hình vng hộp làm tốn nguyên liệu Lời giải Lời giải skkn , chiều cho Nhận xét: Đây toán mà người thợ phải biết để có thu nhập cao Thể tích khối hộp Để hộp làm nguyên liệu diện tích tồn phần hộp nhỏ Diện tích tồn phần hộp (khơng nắp) Dấu xảy Cách Xét hàm với Câu Một xưởng sản xuất thùng nhơm hình hộp chữ nhật khơng nắp có kích thước Biết tỉ số hai cạnh đáy , thể tích khối hộp Để tốn vật liệu tổng Lời giải Ta có Theo giả thiết, ta có Tổng diện tích vật liệu (nhơm) cần dùng là: (do hộp không nắp) Xét hàm , ta Khi Cách BĐT Côsi skkn nhỏ Dấu xảy Câu Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị mẫu sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế khối cầu viên ngọc trai, bên khối trụ nằm nửa khối cầu để đựng kem dưỡng hình vẽ Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (với mục đích thu hút khách hàng) Lời giải Nhận xét: Những mẫu sản phẩm xuất nhiều thị trường Các kĩ sư thiết kế phải nắm công thức khối trụ, khối cầu để đem lại lợi nhuận cao cho công ti Xét mặt cắt hình vẽ: Gọi chiều cao bán kính đáy khối trụ nằm nửa khối cầu Ta có ; Ta có Vậy ta có Vì hệ số nên để Câu Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn chiều cao cố định Người xây tường xung quanh bên để ngăn nhà xưởng thành ba phịng hình chữ nhật có kích thước (khơng kể trần nhà) Vậy cần phải xây phịng theo kích thước để tiết kiệm chi phí nhỏ (bỏ qua độ dày tường) skkn Lời giải chiều dài, chiều rộng chiều cao phịng Đặt Theo giả thiết, ta có Để tiết kiệm chi phí diện tích tồn phần nhỏ Ta có Vì khơng đổi nên Khảo sát nhỏ với (với , ta ) nhỏ nhỏ Cách BĐT Côsi Câu 6: Dấu xảy Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu A B C D R Lời giải Chọn A Gọi đậy Ta có: O h chiều cao hình trụ Suy bán kính nắp skkn O' Để nhà sản xuất tiết kiệm ngun vật liệu diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Ta có: Đẳng thức xảy Câu Người ta cắt tờ giấy hình vng cạnh để gấp thành hình chóp tứ giác cho bốn đỉnh hình vng dán lại thành đỉnh hình chóp hình vẽ Để thể tích khối chóp lớn cạnh đáy hình chóp Lời giải Nhận xét: Đây toán thể tư sáng tạo kĩ thuật cắt, dán, có ứng dụng quan trọng làm thùng đựng đồ dạng hình chóp Ta có Chiều cao hình chóp: Suy thể tích khối chóp: skkn Khảo sát hàm , ta lớn Câu 8: Người ta muốn dùng vật liệu kim loại để gị thành thùng hình trụ trịn xoay có hai đáy với thể tích cho trước (hai đáy dùng vật liệu đó) Hãy xác định chiều cao bán kính hình trụ theo để tốn vật liệu A B C D Lời giải Chọn D Để vật liệu tốn diện tích tồn phần hình trụ nhỏ nhất.Ta có: Do nên Suy Đẳng thức xảy Khi Câu 9: Các kích thước bể bơi cho hình vẽ (mặt nước có dạng hình chữ nhật) Hãy tính xem bể chứa mét khối nước đầy ắp nước ? Lời giải Nhận xét: Đây câu hỏi mà ta thường xuyên bắt gặp đứng trước hồ nước hay bể bơi Khơng khó khăn ta xác định hình, cơng thức 10 skkn A 10m D D' B 25m 2m E A' B' F C 7m I C' J Ta thấy bể tạo thành hình hộp chữ nhật lăng trụ đứng có đáy vng hình Thể tích nước là: Câu 10: Cho bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước , , chiều dài, chiều rộng, chiều cao lòng đựng nước bể Hàng ngày nước bể lấy gáo hình trụ có chiều cao bán kính đường trịn đáy Trung bình ngày múc gáo nước để sử dụng (Biết lần múc múc đầy gáo) Hỏi sau bao nhiều ngày bể biết ban đầu bể đầy nước? Lời giải Nhận xét Hàng ngày sử dụng cơng cụ có dạng hình học quen thuộc Nếu xác định thời lượng dùng khơng bị lỡ việc Thể tích nước đựng đầy hình bể Thể tích nước đựng đầy gáo Mội ngày bể múc lấy bằng: gáo nước tức ngày lượng được 11 skkn Ta có sau ngày bể Câu 11: Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy , chiều dài lăn (hình bên) Sau lăn trọn vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích Lời giải Nhận xét Khi xác định diện tích trục lăn ta xác định số vòng lăn cần thiết cho lần nhứng sơn Diện tích xung quanh mặt trụ Sau lăn 15 vịng diện tích phần sơn là: Câu 12 Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng cần viền, mép, phần thừa) Lời giải Nhận xét: Xác định tổng diện tích vải người thợ cắt vải khơng bị lãng phí vật liệu Vậy ta cần xác định hình, tính cơng thức hình trụ hình trịn Diện tích vành nón đỉnh nón diện tích hình trịn đường kính 12 skkn Diện tích thân nón diện tích hình trụ có bán kính đáy chiều cao là: Vậy tổng diện tích vải cần để làm nên mũ là: Câu 13 Người ta cần đổ ống nước hình trụ với chiều cao , độ dày thành ống , đường kính ống Lượng bê tông cần phải đổ Lời giải Nhận xét: Khi xác định lượng bê tông cần dùng người thợ khơng bị lãng phí hay thiếu nguyên liệu xây dựng cần xác định cơng thức hình trụ Gọi thể tích khối trụ bên ngồi bên Do lượng bê tông cần phải đổ là: Câu 14: Cho đồng hồ cát hình bên (gồm hình nón chung đỉnh ghép lại), đường sinh hình nón tạo với đáy góc hình bên Biết chiều cao đồng hồ tổng thể tích đồng hồ Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía bao nhiêu? 13 skkn Lời giải Nhận xét Với toán đồng hồ cát này, kĩ sư cần xác định kích thước, thể tích để đo thời gian chuẩn Gọi chiều cao, bán kính hình nón phía phía đồng hồ Ta có: Khi đó: thể tích đồng hồ: Do hình nón đồng dạng nên Câu 15 Trong hình nón nội tiếp hình cầu có bán kính 3, tính bán kính mặt đáy hình nón tích lớn A Đáp án khác B C D Lời giải Chọn D 14 skkn Giả sử chóp đỉnh hình vẽ hình chóp tích lớn vng cao chóp Ta thấy bán kính đáy chóp, chiều Câu 16 Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao dm (mơ tả hình vẽ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi không hao hụt chuyển Tính gần h với sai số không 0,01dm) Lời giải 15 skkn Nhận xét: Đây tốn ta gặp thường xun rót rượu cần xác định lượng nước cần đổ, thông số hình nón Có chiều cao hình nón đựng đầy nước ly thứ nhất: Chiều cao phần nước ly thứ sau đổ sang ly thứ hai: Chiều cao phần nước ly thứ hai sau đổ sang ly thứ hai: Theo Ta let ta có: , suy , Thể tích phần nước ban đầu ly thứ : Thể tích phần nước ly thứ hai : Thể tích phần nước cịn lại ly thứ nhất: Mà: Câu 17 Một bồn hình trụ chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là , có bán kính đáy , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta đã rút dầu bồn tương ứng với của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại bồn (đơn vị ) 0, m 5m Lời giải C B A H O 16 skkn Nhận xét: Cần xác định cơng thức tính diện tích hình quạt, khối trụ Nhận xét suy là tam giác nửa đều Suy diện tích hình quạt là: Mặt khác: ( đều) Vậy diện tích hình viên phân cung AB là Suy thể tích dầu được rút ra: Thể tích dầu ban đầu: Vậy thể tích còn: Câu 16: Một bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh hình trụ hai lần đường kính hình cầu Biết thể tích bồn chứa nước chứa nước theo đơn vị Tính diện tích xung quanh bồn Lời giải Nhận xét: Từ mơ hình tốn ta xác định diện tích xung quanh thơng qua cơng thức tính hình trụ hình cầu Gọi đường sinh hình trụ đường trịn đáy hình trụ mặt cầu có bán kính Thể tích bồn chứa nước thể tích khối trụ có bán kính đáy đường sinh thể tích khối cầu có bán kính Do đó: Vậy diện tích xung quanh bồn nước là: Câu 18: Một Kim tự tháp Ai cập có dạng khối chóp tứ giác đều, với kích hước hình ảnh Tính thể tích kim tự tháp với kết làm tròn đến phần nguyên 17 skkn Lời giải Cạnh đáy 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi đề tài áp dụng vào thực tiễn giảng dạy, với ý tưởng đề tài, 10 năm kinh nghiệm giảng dạy tơi thấy có tác dụng, có ý nghĩa thực rõ rệt, cụ thể: Đối với học sinh: Các em có hứng thú rõ rệt với mơn học hình học khơng gian, đặc biệt em có học lực trung bình, khơng gây áp lực giải tốn cho em, kỳ thi thử đại học thi đại học năm trước thi THPT quốc gia năm gần Đặc biệt năm học nhà trường phân công dạy lớp 12 Tôi thống kê lớp sau, lớp mức độ đầu vào trung bình Tơi sử dụng sáng kiến vào dạy học kiểm tra có kết cụ thể sau: Sĩ số 40 Điểm Điểm Điểm Điểm đến đến đến đến Tỉ lệ 20% 30% 30% 20% Đối với thân: Đây nội dung quan trọng để trình giảng dạy, tùy đối tượng học sinh để truyền thụ kiến thức tổng hợp túy phù hợp, tránh gây khó khăn, nản lịng học sinh hoàn thiện, bổ sung phù hợp với tất đối tượng học sinh Đối với đồng nghiệp: Đề tài nguồn tham khảo hữu ích, nội dung, ý tưởng số ý kiến phân tích, lập luận tác giả q trình trình bày ví dụ để hoàn thiện ý tưởng, giáo án giảng dạy 18 skkn PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm hoàn toàn áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trường THPT, phù hợp với đối tượng học sinh Ưu điểm Đưa mơn tốn học đến gần với học sinh Học sinh cảm thụ toán học cách tự nhiên, hấp dẫn ý nghĩa Lượng kiến thức kỹ để giúp học sinh có cách nhìn tổng quát tư hình học Tổng hợp tốn giúp học sinh có động lực để học hình học khơng gian nâng cao điểm thi THPT quốc gia Hạn chế Những toán ứng dụng thường khó, sử dụng nhiều cơng thức, cần có tư cao, cần làm nhiều tập rút kinh nghiệm Để làm tốt tập, u cầu học sinh phải có tính cẩn thận, tính xác chủ yếu tính tốn, đặc biệt kiện đề toàn chứa tham số Các công thức tương tự nên dễ nhầm lẫn Chính vậy, q trình triển khai, từ giáo viên cần yêu cầu học sinh cẩn trọng tính tốn 3.2 Kiến nghị Kiến nghị với Sở Giáo dục Đào tạo: Sau năm, nhiều đề tài sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng cần triển khai rộng rãi để cán giáo viên tham khảo Vì mục Quản lý SKKN Trang điện tử Sở cần có thêm phần tổng hợp tất SKKN để cán giáo viên tải tham khảo Trong khn khổ hạn hẹp đề tài, với năng lực có hạn thân khơng tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý, đồng nghiệp học sinh Tôi xin cam đoan với Hội đồng khoa học nhà trường THPT Hậu Lộc 1, Hội đồng khoa học Sở GD&ĐT Thanh Hóa, Sáng kiến kinh nghiệm tơi viết từ kinh nghiệm giảng dạy thân, chọn lọc tập đề thi thử trường THPT, sách tham khảo nhiều tác giả viết khác không chép sáng kiến kinh nghiệm Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm với lời cam đoan Trân trọng cảm ơn! 19 skkn Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021 CAM KẾT KHÔNG COPY Đinh Thị Hồng 20 skkn ... vất vả không chắn hay sai Điều dẫn đến việc học sinh khơng dành thời gian thích đáng để ơn tập phần này, phần lại học Tuy nhiên, triển khai ứng dụng tốn hình học khơng gian vào thực tế học sinh... dụng để giải vấn đề Trước thực trạng học sinh trình học hình học khơng gian dẫn đến cần thiết phải truyền thụ kiến thức cho học sinh ứng dụng tốn hình học khơng gian thực tiễn Bên cạnh đó, phân... sinh Học sinh cảm thụ toán học cách tự nhiên, hấp dẫn ý nghĩa Lượng kiến thức kỹ để giúp học sinh có cách nhìn tổng quát tư hình học Tổng hợp tốn giúp học sinh có động lực để học hình học khơng gian