Cac bai toan kho quan he vuong goc

CÁC BÀI TỐN KHĨ TƯ DUY MỞ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC LATEX TƯ DUY MỞ Phương pháp vector Đây phương pháp mạnh để xử lý tốn có yếu tố vng góc ví dụ hình hộp chữ nhật, hình lập phương, khối tứ diện Trước tiên ta cần phải tìm hiểu kiến thức tảng phương pháp 1.1 1.1.1 Cơ sở phương pháp vector Quy tắc hình hộp −→ − − − → −→ −→ − → Nếu ABCD.A0 B0C0 D0 hình hộp AC0 = AB + AD + AA0 = → a + b +→ c 1.1.2 Quy tắc trọng tâm tứ diện G trọng tâm tứ diện ABCD hai điều kiện sau xảy −→ −→ −→ −→ → − GA + GB + GC + GD = −→ −→ −→ −−→ −−→ MA + MB + MC + MD = 4MG, ∀M 1.1.3 Quy tắc đồng phẳng → − − − Điều kiện cần đủ để ba vector → a , b ,→ c đồng phẳng có số m, n, p khơng đồng thời cho → − → − − − m→ a + n b + p→ c = → − − − Cho hai vector không phương điều kiện cần đủ để ba vec tơ → a , b ,→ c đồng phẳng → − → − → − có số m, n cho c = m a + n b → − − → − − Nếu ba vector → a , b ,→ c không đồng phẳng vec tơ d phân tích cách → − → − − − dạng d = m→ a + n b + p→ c 1.2 Các dạng toán phương pháp giải | DẠNG Chứng minh đẳng thức vector Phương pháp giải Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc trừ ba điểm, quy tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, để biến đổi vế thành vế Bài tập 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Chứng minh − →2 − →2 − →2 − →2 SA + SC = SB + SD LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Cho tứ diện ABCD, M N điểm thuộc cạnh AB CD thỏa mãn điều kiện −→ −→ −→ −→ MA = −2MB, ND = −2NC; điểm I, J, K thuộc AD, MN, BC cho → − −→ − → −→ − → −→ IA = kID, JM = kJN, KB = kKC − → 1− → −→ Chứng minh với điểm O ta có OJ = OI + OK 3 | DẠNG Ba vector đồng phẳng bốn điểm đồng phẳng → − − − Phương pháp giải Để chứng minh ba vector → a , b ,→ c đồng phẳng ta thực theo cách sau → − − − Chứng minh giá ba vector→ a , b ,→ c song song với mặt phẳng → − → − − − − Phân tích → c = m→ a + n b → a , b hai vector khơng phương − →− → −→ Để chứng minh bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng ta chứng minh ba vector AB, AC, AD đồng phẳng Ngoài sử dụng kết quen thuộc sau Điều kiện cần đủ để điểm D ∈ (ABC) −→ −→ −→ −→ với điểm O ta có OD = xOA + yOB + zOC x + y + z = Tính chất gọi tâm tỉ cự không gian Bài tập Cho tứ diện ABCD, điểm M, N trung điểm AB,CD Gọi P, Q − → −→ −→ −→ điểm thỏa mãn PA = kPD, QB = kQC (k 6= 1) Chứng minh M, N, P, Q đồng phẳng −→ −→ −→ −→ Cho tứ diện ABCD, điểm M, N xác định MA = xMC, NB = yND (x, y 6= 1) Tìm điều kiện − → −→ −−→ x y để ba vector AB, CD, MN đồng phẳng −→ −−→ −−→ −→ Cho hình hộp ABCD.A0 B0C0 D0 , M, N điểm thỏa MA = − MD, NA0 = − NC Chứng minh MN k (BC0 D) Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B0C0 Gọi M, N trung điểm AA0 ,CC0 G trọng tâm tam giác A0 B0C0 Chứng minh (MGC0 ) k (AB0 N) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B0 , D0 trung điểm SC0 0 cạnh SB, SD Mặt phẳng (AB D ) cắt SC C Tính SC Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm cạnh SC Mặt SB SD phẳng qua AK cắt cạnh SB, SD M, N Chứng minh + = SM SN Cho tứ diện ABCD, cạnh AB, AC, AD lấy điểm K, E, F Các mặt phẳng (BCF) , (CDK) , (BDE) cắt M Đường thẳng AM cắt (KEF) N cắt mặt NP MP phẳng (BCD) P Chứng minh =3 NA MA Cho đa giác lồi A1 A2 An (n > 2) nằm (P) S điểm nằm (P) Một mặt phẳng SA1 (α)cắt cạnhSA1 , SA2 , , SAn hình chóp S.A1 A2 An điểm B1 , B2 , , Bn cho + SB1 SB2 SAn + + = a Chứng minh mặt phẳng (α) qua điểm cố định SB2 SBn LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com | DẠNG Tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải Để tính độ dài đoạn thẳng theo phương pháp vector ta sử dụng sở q 2 → − → − → − − a =|a| ⇒|a|= → a Vì để tính độ dài đoạn MN ta thực theo bước sau → − − − Chọn ba vector không đồng phẳng → a , b ,→ c so cho độ dài chúng tính góc chúng tính → − −−→ − − Phân tích MN = m→ a + n b + p→ c Khi r q 2 → − −−→2 −−→ → − → − MN = MN = MN = m a +n b + p c r = cos A 61 Chọn đáp án A  Câu 64 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B0C0 D0 có cạnh AB = 2, AD = 3, AA0 = Góc hai mặt phẳng (AB0 D0 ) (A0C0 D) α Tính giá trị gần α A 45,2◦ B 38,1◦ C 61,6◦ D 53,4◦ Lời giải D C B A E D0 K H A0 C0 F B0 Ta chia tốn thành phần: Phần 1: Xác định góc hai mặt phẳng: • Bước 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: Trong mặt phẳng (ADD0 A0 ) gọi E giao điểm AD0 A0 D Trong mặt phẳng (A0 B0C0 D0 ) gọi F giao điểm B0 D0 A0C0 Khi EF giao tuyến hai mặt phẳng (AB0 D0 ) (A0C0 D) • Bước 2: Trong mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vng góc với giao tuyến: Trong mặt phẳng (DA0C0 ) kẻ A0 H ⊥ EF H, A0 H cắt DC0 K Ta chứng ( minh D H ⊥ EF 0 DC ⊥ A K Ta có ⇒ DC0 ⊥ (A0 D0 K) ⇒ DC0 ⊥ D0 H DC0 ⊥ A0 D0 ( DC0 ⊥ D0 H Mặt khác ⇒ DH ⊥ EF D0C k EF • Bước 3: Xác định góc hai mặt phẳng: LATEX Tư Duy Mở 55 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com 
0 D H ⊂ AB D       D H ⊥ EF
Ta có A0 H ⊂ DA0C0 ⇒ α = ((AB0 D0 ) , (DA0C0 )) = (D0 H, A0 H)    A0 H ⊥ EF   

 AB0 D0 ∩ DA0C0 = EF Phần 2: Tính góc α: Ta sử dụng định lý cosin tam giác A0 HD0 : • Bước 1: Chứng minh tam giác A0 HD0 cân: Trong tam giác 4A0 DC0 ta có EF đường trung bình, nên suy H trung điểm A0 K Vì A0 D0 ⊥ (DD0C0C) nên A0 D0 ⊥ D0 K Do tam giác 4A0 D0 K vng D0 Xét tam giác 4A0 D0 K vuông D0 có D0 K đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D0 H = A0 K AH= • Bước 2: Tính độ dài cạnh A0 K: Ta tính đường cao A0 K tam giác 4A0 DC0 thơng qua diện tích √ Áp dụng√định lý Pytago ta tính độ dài cạnh tam giác 4A0 DC0 là: A0 D = 5, A0C0 = 13, DC0 = √ Sử dụng công thức Hê-rơng ta tính SA0 DC0 = 61 √ √ √ 1 305 Mặt khác SA0 DC0 = A K × DC0 ⇒ 61 = A0 K × ⇒ A0 K = 2 √ A0 K 305 Từ suy D0 H = A0 H = = 10 • Bước 3: Tính góc α định lý cosin: Trong tam giác 4A0 HD0 ta có: !2 √ 305 − 32 2 0 0 10 HA + HD − A D −29 HD0 = cos A\ = !2 = √ 0 2HA × HD 61 305 10 HD0 = 118,4◦ Do góc hai đường thẳng A0 H D0 H 61,6◦ Suy A\ Vậy α = 61,6◦ Chọn đáp án C  Câu 65 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B0C0 có đáy tam giác cạnh a Gọi M trung điểm B0C0 , biết AB0 ⊥ A0 M AB0 = AM Cạnh bên AA0 tạo với đáy góc 60◦ Tính tan góc hai mặt phẳng (BCC0 B0 ) (A0 B0C0 ) √ 13 13 A B D C Lời giải LATEX Tư Duy Mở 56 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Vì tam giác A0 B0C0 nên A0 M ⊥ B0C0 Suy A0 M ⊥ (AB0C0 ) ⇒ (AB0C0 ) ⊥ (A0 B0C0 ) Gọi H trung điểm B0 M, tam giác AB0 M cân A nên AH ⊥ B0C0 ⇒ AH ⊥ (A0 B0C0 ) 0 0 ◦ [ Suy góc √ AA và√(A B C ) AA H = 60 ⇒ a a 39 A0 H = ⇒ AH = 4 Do (ABC) k (A0 B0C0 ) nên góc hai mặt phẳng (BCC0 B0 ) (A0 B0C0 ) góc hai mặt phẳng (BCC0 B0 ) (ABC) Website tuduymo.com C0 A0 M H B0 C A I B Gọi N trung điểm BC suy BC ⊥ (AHN) Vậy góc hai mặt phẳng (BCC0 B0 ) (A0 B0C0 ) √ 13 AH [ = α ⇒ tan α = = ANH AN Chọn đáp án A  d = 30◦ , Câu 66 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành SA = SB = SC = 11, SAB d = 60◦ SCA d = 45◦ Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB SD SBC √ √ √ √ 22 A d = 11 B d = 22 C d = 22 D d= Lời giải S A D H I D A M I M J J B B C C d = 60◦ nên SBC tam giác đều, suy BC = 11 Tam giác SBC có SB = SC = 11 SBC d = 30◦ , suy ASB d = 120◦ Khi Tam giác SAB cân S có SAB q √ d = 11 AB = SA2 + SB2 − 2SA · SB · cos ASB d = 45◦ nên SAC tam giác vng S Khi Tam giác SAC cân S có SCA p √ AC = SA2 + SC2 = 11  √ 2 √
2 2 Lại có BC + AC = 11 + 11 = 11 = AB2 nên tam giác ABC vuông C Gọi M trung điểm AB, M tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, suy SM ⊥ (ABCD) LATEX Tư Duy Mở 57 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Ta có AB k CD nên AB k (SCD) Do d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) Từ M kẻ MJ ⊥ CD J, kẻ MH ⊥ SJ H Ta có CD ⊥ MJ CD ⊥ SM nên CD ⊥ (SMJ), suy CD ⊥ MH Lại có MH ⊥ SJ MH ⊥ CD nên MH ⊥ (SJD) hay MH ⊥ (SCD) Vì d(M, (SCD)) = MH Tam giác SAM vng M nên √ 11 SM 11 d = d = ⇔ SM = AM tan SAM ·√ = tan SAM AM 2 √ √ AD · AC 11 11 · 11 Kẻ AI ⊥ CD I, MJ = AI = √ = =q √ AD2 + AC2 112 + (11 2)2 Trong tam giác SMJ vuông M ta có √ 11 11 · √ SM · MJ MH = √ =v = 22 √ !2 SM + MJ u u 11 2 11 t + √ Vậy d(AB, SD) = 22 Chọn đáp án B  Câu 67 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng√vng góc (P) √ a B C lấy điểm D, E nằm bên (P) cho BD = , CE = a Tính góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (ADE) A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 90◦ Lời giải Gọi M, N, P trung điểm EC, EA, AC Dễ thấy mặt phẳng (DMN) song song với mặt phẳng ABC nên góc mặt phẳng (ADE) mặt phẳng (P) góc (ADE) mặt phẳng( (DMN) BP⊥AC Ta có ⇒ BP⊥(ACE) BP⊥CE Mặt khác NP k BD NP = EC = BD nên BPNM hình bình hành Do BP k DN ⇒ DN⊥(EAC) Suy DN⊥EN DN⊥MN Vậy góc (P) mặt phẳng (DMN) góc d = 60◦ [ = EAC EN MN Dễ thấy ENM Chọn đáp án A E D N M B A P C  √ Câu 68 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B0C0 có AB = a, AA0 = a Gọi α góc đường thẳng A0 B B0C Giá trị cos α √ A B D C 8 LATEX Tư Duy Mở 58 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Lời giải Gọi M, N, P trung điểm BB0 , A0 B0 BC Khi ta có MN k A0 B MP k B0C nên suy α = (A0 B, B0C) = (MN, MP) Đồng thời ta có √ √ B0C A0 B AB2 + A0 A2 BC2 + B0 B2 = = a, MP = = = a MN = 2 2 C0 Q B0 N A0 0 0 Gọi Q trung điểm B0C0 Ta r có PQ k B C √⇒ PQ ⊥ (A B C ) ⇒ PQ ⊥ QN M p a2 a 13 nên NP = NQ2 + QP2 = + 3a2 = C + MP2 − NP2 5 MN P [= = − ⇒ cos α = Khi cos NMP B A · MN · MP 8 Chọn đáp án C  √ Câu 69 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2, SA ⊥ (ABCD), SA = Gọi M trung điểm AD Khoảng cách hai đường thẳng BM SC 3 C A B √ D 10 Lời giải AM AB d [ = ACB Ta có = = √ ⇒ 4MAB v 4ABC (c.g.c) nên MBA AB BC d = 90◦ hay BM ⊥ AC [ + BAC suy MBA Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BM ⇒ BM ⊥ (SAC) Gọi I giao điểm BM AC, kẻ IH ⊥ SC H Khi BM ⊥ IH nên IH đường vng góc chung BM SC √ √ √ √ AI Ta có AC = AB2 + BC2 = 3, SC = SA2 + AC2 = = IC AM 2 = nên IC = AC = √ BC 3 IC · SA Ta có 4IHC v 4SAC (g.g) nên IH = = SC S H M A D I B C Chọn đáp án C  Câu 70 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B0C0 có đáy ABC tam giác cân C, AB = 2a, AA0 = a, góc BC0 (ABB0 A0 ) 60◦ Gọi N trung điểm AA0 M trung điểm BB0 Tính khoảng cách từ điểm M đến √ mặt phẳng (BC N) √ √ √ a 74 2a 37 2a 74 a 37 A B D C 37 37 37 37 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 59 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com B0 I C0 A0 M N B C A   d0 = 60◦ Gọi I trung điểm A0 B0 Khi IC0 ⊥ (ABB0 A0 ), suy BC0 ,\ (ABB0 A0 ) = IBC √ √ √ √ IB = BC0 · sin 60◦ = a 6, = 2a 2, IC Ta có IB = B”B2 + B0 I = a 2, BC0 = cos 60◦ √ √ √ √ √ a 17 a 29 NB = AB2 + AN = , NC = A0 N 02 + A0C02 = A0 N 02 + A0 I + IC02 = 2 √ p 111 Kí hiệu p = (NB + BC0 + NC0 ) S4BC0 N = p(p − NB)(p − BC0 )(p − NC0 ) = a2 a Diện tích tam giác ABN S4ABN = √ S4ABN · IC0 2a 74 ·VABC0 N 0 0 Vậy d (M, (BC N)) = d (A , (BC N)) = d (A, (BC N)) = = S4BC0 N S4BC0 N 37 Chọn đáp án C  Câu 71 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Tam giác ABC đều, hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng ◦ SD hợp với mặt B đến mặt phẳng (SCD) √ theo a √ phẳng (ABCD) góc 30 Tính khoảng cách d từ √ √ a 21 2a 21 2a A d= B d = a C d= D d= 21 Lời giải Vì H hình chiếu vng góc S lên (ABCD) nên HD hình chiếu vng góc SD lên (ABCD) Vậy góc tạo SD (ABCD) góc SD HD [ Khi SDH [ = 30◦ SDH Gọi O giao điểm AC BD Vì H trọng tâm tam giác ABC nên √ √ 2 a a = BH = BO = · 3 S K A H B 2 1 Mặt khác BH = BO = · BD = BD 3 √3 √ 4 a 2a Suy DH = BD = BO = · = 3 3 √ √ 2a 3 2a [= Trong tam giác vng SHD ta có SH = DH tan SDH · = 3 Ta có HC ⊥ AB, AB k CD nên HC ⊥ CD LATEX Tư Duy Mở 60 D O C Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Lại có CD ⊥ SH Do CD ⊥ (SHC), suy (SHC) ⊥ (SCD) Kẻ HK ⊥ SC K Suy HK ⊥ (SCD) √ HC · SH 2a 21 Vậy d(H, (SCD)) = HK = √ = 21 HC2 + SH Ta lại có √ √ BD 3 2a 21 a 21 d(B, (SCD)) = = ⇒ d(B, (SCD)) = d(H, (SCD)) = · = d(H, (SCD)) DH 2 21 Chọn đáp án A  Câu 72 Cho hình lập phương ABCD.A0 B0C0 D0 có cạnh a Một đường thẳng d qua đỉnh D0 tâm I mặt bên BCC0 B0 Hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (BCC0 B0 ) (ABCD) cho trung điểm K MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị bé độ dài đoạn thẳng MN √ √ 5a 5a A B 10 √5 √ 3a 3a C D A0 B0 M C0 D0 K d A B N D Lời giải Kẻ ME vng góc với CB, tam giác MEN vuông E nên MN = 2EK Vậy MN bé EK bé Lúc EK đoạn vng góc chung hai đường thẳng d đường thẳng CB Qua I kẻ PQ song song với BC (như hình vẽ) Vậy d(BC, d) = d(BC, (D0 PQ)) = d(C, (D0 PQ)) = d(C0 , (D0 PQ)) = C0 H (trong C0 H vng góc với D0 P) Ta có = + = CH √ a a a √ a 5a ⇒C H = ⇒ d(BC, d) = I C A0 B0 M C0 D0 K Q I H P A N D B E C Chọn đáp án A  d = BCD d = ADC d = 90◦ , góc hai đường Câu 73 Cho khối tứ diện ABCD có BC = 3, CD = 4, ABC thẳng AD√và BC 60◦ Cơsin√góc hai mặt phẳng (ABC) (ACD) √ √ 43 43 43 43 A B D C 43 43 43 86 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 61 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Dựng điểm E mặt phẳng (BCD) cho BCDE hình bình hành Từ d = 90◦ suy BCDE hình chữ nhật giả thiết BCD Ta có AB ⊥ BC ⇒ ED ⊥ AB, mà ED ⊥ EB suy DE ⊥ AE Tương tự ta có BE ⊥ AE nên AE ⊥ (BCDE) [ = 60◦ , tam giác AED vuông E nên Lại có (AD, BC) = (AD, ED) = ADE √ [ = BC tan 60◦ = 3 AE = DE tan ADE A H K E B Gọi H, K hình chiếu vng góc E AB, AD Khi D ( C BC ⊥ BE ⇒ BC ⊥ (AEB) ⇒ EH ⊥ BC BC ⊥ AE Mà EH ⊥ AB ⇒ EH ⊥ (ABC) Tương tự EK ⊥ (ACD) √ Do ((ABC), (ACD)) = (EH, EK) Tam √ giác AEB vuông E, đường cao EH có AE = 3, EB = nên √ AE 27 12 AB = 43, AH = = √ , EH = √ AB 43 43 √ 3 Tương tự với tam giác vng AED, ta có AD = 6, AK = , EK = 2 √ AB2 + AD2 − BD2 43 d = Tam giác ABD có cos BAD = 2AB · AD 86 [ = 2025 Mặt khác HK = AH + AK − 2AH · AK · cos HAK 172 √ + EK − HK 2 43 EH [= = Tam giác EHK có cos HEK 2EH · EK√ 43 43 Vậy cos((ABC), (ACD)) = cos(EH, EK) = 43 Chọn đáp án C  Câu 74 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác AB = BC = CD = a Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc SC (ABCD) 60◦ Tính sin √ góc đường thẳng SC √ mặt phẳng (SAD) √ √ 3 A B D C 8 Lời giải S K A M D I B LATEX Tư Duy Mở C 62 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com • Gọi I giao AC BD, mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) ⇒ SI ⊥ (ABCD) d = 60◦ • Góc SC ABCD góc SCI √ √ d = 90◦ ⇒ AC = AD2 −CD2 = 3a • Có ABCD nửa lục giác nên có AD = 2a, ACD √ √ √ BC CI 3 d = a; SC = SI + IC2 = • Vì BC k AB ⇒ = = ⇒ CI = a; AI = a; SI = IC · tan SCI AD AI 3 √ a • Gọi M trung điểm AB, dễ thấy IM ⊥ AD √ d = a tan 30 = a IM = AM · tan DAI ◦ • Kẻ IK ⊥ SM Có 4SIM vng I có đường cao IK ⇒ • Có 1 a = + ⇒ IK = IK SI IM 2 d(C; (SAD)) CA 3 = = ⇒ d(C; (SAD)) = a d(I; (SAD)) IA √ d(C; (SAD)) 3 = • Gọi α góc tạo SC (SAD) ⇒ sin α = SC Chọn đáp án A  Câu 75 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 45◦ Một mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC cắt hình 0 chóp S.ABCD √ theo thiết diện tứ2 giác √ AB C D có diện tích √bằng √ a a a2 a2 A B C D S C0 D0 I B0 D A 45 ◦ Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD kẻ AC0 ⊥ SC với C0 ∈ SC Gọi AC0 ∩ SO = I qua I vẽ đường thẳng B0 D0 k BD (với B0 ∈ SB; D0 ∈ SD) Khi thiết diện hình chóp cắt (α) tứ giác AB0C0 D0 Ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ B0 D0 ⊥ (SAC) ⇒ B0 D0 ⊥ AC0 Diện tích thiết diện SAB0C0 D0 = AC0 · B0 D0 ◦ d Góc SB với đáy SBA = 45 ⇒ SA = AB = a O B √ 1 1 a = + = + = ⇒ AC0 = √ SA AC a 2a 2a C Trong tam giác vng SAC có AC0 ( AB0 ⊥ BC Mặt khác, ta có ⇒ AB0 ⊥ SB AB0 ⊥ SC LATEX Tư Duy Mở 63 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Do B0 trung điểm SB (do tam giác SAB vuông cân A) Tương tự D0 trung điểm √ SD (do tam giác SAD vuông cân A) a Do B0 D0 = BD = √ 2√ √ a a a2 Vậy SAB0C0 D0 = · √ · = 2 Chọn đáp án D  Câu 76 Cho hình lập phương ABCD.A0 B0C0 D0 Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, AD,C0 D0 Tính cosin góc hai đường thẳng MN CP M A B N D C B0 A0 P √ 15 A D0 C0 √ 10 B C √ 10 D √ 10 Lời giải M A B N I D C B0 A0 P D0 C0 Gọi I trung điểm CD, dễ thấy D0 ICP hình bình hành có CI = D0 P CI k D0 P, từ CP k D0 I, B0 = α [ mặt khác ta có MN k D0 B0 nên (MN,CP) = (D0 B0 , D0 I) = ID Không tính tổng quát gọi a (a > 0) độ dài cạnh hình lập phương Khi tính r √ a2 3a • IB0 = IC2 +CB02 = + 2a2 = LATEX Tư Duy Mở 64 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com √ 5a a • a2 + = D0 I + D0 B02 − IB02 √ = Do cos α = · ID0 · D0 B0 10 B0 D0 √ √ = 2a ; ID0 = DD02 + ID2 = r Chọn đáp án D  Câu 77 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, góc SC mp(ABC) 45◦ Hình chiếu S lên mp(ABC) điểm H thuộc AB cho HA = 2HB Tính khoảng cách hai đường thẳng SA√và BC √ √ √ a 210 a 210 a 210 a 210 A B D C 30 45 15 20 Lời giải Dựng hình bình hành ABCD, ABCD hình thoi cạnh a BC k AD ⇒ BC k (SAD) Do S d (SA; BC) = d [BC; (SAD)] = d [B; (SAD)] I K 3 BA = ⇒ d [B; (SAD)] = d [H; (SAD)] Từ HA 2 Ta có SH ⊥ (ABC) nên suy A H \ \ d (SC; (ABC)) = (SC; HC) = SCH d = 45◦ Suy SCH HC2 D B C [ = HB2 + BC2 − 2HB · BC · cos HBC =  a 2 + a2 − · √ a 7a2 a ◦ · a cos 60 = ⇒ HC = √ a d Tam giác SHC vuông H SCH nên tam giác SHC vuông cân H Từ ta có SH = HC = [ = 60◦ Do Kẻ HK ⊥ AD K ⇒ HAK √ 2a a ◦ [= HK = HA · sin HAK · sin 60 = 3 = 45◦ Kẻ HI ⊥ SK K, suy HI ⊥ (SAD) ⇒ d [H; (SAD)] = HI Xét tam giác SHA vuông H, ta có 1 = + = 2 HI HK SH √ !2 + a 3 30 √ !2 = 7a2 a √ a 210 ⇒ HI = 30 √ √ 3 a 210 210 Vậy d (SA; BC) = d [H; (SAD)] = HI = · = 2 30 20 Chọn đáp án D LATEX Tư Duy Mở 65  Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Câu 78 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác (SAB) vng góc √ với (ABCD) Tính cos√ϕ với ϕ góc tạo (SAC) (SCD) √ A B D C 7 7 Lời giải S S K K L L B C I H NO M D A H O M Gọi H, M, O trung điểm AB, CD, HM; K, N, I hình chiếu H SM, AC, SN; L giao điểm HK SO Theo giả thiết SH ⊥ (ABCD) mà CD ⊥ HM nên HK ⊥ CD, suy HK ⊥ (SCD) Tương tự, HI ⊥ (SAC) d Khi ϕ = (HK, √ √ √ √ HI) = LHI a a a 21 a 21 KS HS2 Ta có SH = , HN = , HI = , HK = , = = Lại có 2 14 KM HM HK −→ −→ −→ −−→ −→ −→ HL = HK = HS + HM = HS + HO HL 7 7 mà S, L, O thẳng hàng nên HK 10 = + = Vậy HL 7 cos ϕ = 10 HI HI = · = HL HK Chọn đáp án C  d= Câu 79 Cho hình chóp S.ABC có SA đường cao đáy tam giác ABC vuông B Cho BSC d = α Tìm sin α để góc hai mặt phẳng (ASC) (BSC) 60◦ 45◦ , gọi ASB √ √ √ 15 A sin α = B sin α = C sin α = D sin α = 5 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 66 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Kẻ BE ⊥ AC E, kẻ EF ⊥ SC F Ta có ( BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB • BC ⊥ SA ( BE ⊥ AC ⇒ BE ⊥ (SAC) ⇒ BE ⊥ SC • BE ⊥ SA ( SC ⊥ EF • ⇒ SC ⊥ (BEF) ⇒ SC ⊥ BF SC ⊥ BE S ◦ α45 F A ◦ E 60 C B d = 60◦ Khi góc (ASC) (BSC) BFE Gọi BC = x, (x > 0) √ √ x Tam giác SBC vuông cân B nên SB = BC = x, SC = x 2, BF = √ √ √ x x BE = BF sin 60◦ = · = 2 r 1 x = − = − = ⇒ AB = 2 AB BE BC 3x xr 3x√ d = AB = = 15 Vậy sin α = sin ASB SB 5 Chọn đáp án B  Câu 80 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng A, AB = AC = a, I trung điểm SC; hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC trung điểm H BC; mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc bằng√60◦ Tính khoảng cách từ √I đến mặt phẳng (SAB)√theo a √ a a a a A B D C 4 Lời giải Từ H vẽ HN ⊥ AB HK ⊥ SN Ta có AB ⊥ NH AB ⊥ SH nên AB ⊥ (SNH) Suy HK ⊥ AB Ta lại có HK ⊥ SN nên HK ⊥ (SAB) Vậy d(H, (SAB)) = HK Mặt khác (SAB) ∩ (ABC) = AB SN ⊥ AB, NH ⊥ AB [ = 60◦ nên ((SAB); (ABC)) = SNH SC 1 = ⇒ d(I, (SAB)) = · d(C, (SAB)) Ta có SI 2 CB = ⇒ d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)) HB S I K A C N H B 1 [ = AC sin 60◦ Ta có d(I, (SAB)) = · d(C, (SAB)) = · 2d(H, (SAB)) = HK = HN · sin HNK √ 2 a Suy d(I, (SAB)) = Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở 67  Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Câu 81 Cho hình lập phương, cặp đỉnh xác định đường thẳng Trong đường thẳng đó, tìm số cặp đường thẳng (khơng tính thứ tự) khơng đồng phẳng khơng vng góc với A 96 B 132 C 192 D 108 Lời giải Ta chia đường thẳng thành loại B A Loại 1: Các đường thẳng chứa cạnh mặt (ví dụ AB, AD, ) D C Loại 2: Các đường thẳng chứa đường chéo mặt (ví dụ AC, AB0 , ) B0 A0 Loại 3: Các đường thẳng không nằm nằm mặt (là đường thẳng AC0 , BD0 , CA0 DB0 ) D0 C0 Ta có • Hai đường thẳng thuộc loại song song với nhau, vng góc với nên chúng đồng phẳng, vng góc • Hai đường thẳng thuộc loại không đồng phẳng khơng vng góc chúng thuộc hai mặt kề (ví dụ AC DC0 ) Cứ mặt kề ta lại tạo cặp đường thẳng (ví dụ mặt ABCD DCC0 D0 có cặp đường thẳng thỏa mãn (AC, DC0 ) (BD,CD0 ) ) Mỗi cạnh thuộc loại tạo mặt kề nhau, có 12 · = 24 cặp đường thẳng thuộc loại thỏa mãn • Hai đường thẳng thuộc loại qua trung điểm đường nên chúng đồng phẳng • Mỗi đường thẳng thuộc loại (chẳng hạn AD) tạo với đường thẳng thuộc loại để tạo thành cặp đường thẳng khơng song song khơng vng góc (đó đường chéo mặt chứa cạnh B0C0 ) Do có 12 · = 48 cặp đường thẳng thuộc dạng thỏa mãn • Mỗi đường thẳng thuộc loại (chẳng hạn AD) tạo với đường thẳng thuộc loại để tạo thành cặp đường thẳng khơng song song khơng vng góc (BD0 CA0 ) Do có 12 · = 24 cặp đường thẳng thuộc dạng thỏa mãn • Vì AC vng góc với mặt phẳng BDD0 B0 nên cặp đường thẳng có loại vng góc với nhau, đồng phẳng Vậy có tất 24 + 48 + 24 = 96 cặp đường thẳng thỏa mãn Chọn đáp án A  Câu 82 Cho tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vng góc Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Tứ diện có mặt tam giác nhọn B Tứ diện có hai mặt tam giác nhọn C Tứ diện có ba mặt tam giác nhọn D Tứ diện có bốn mặt tam giác nhọn Lời giải LATEX Tư Duy Mở 68 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Khơng tính tổng qt ta giả sử (AB,CD) − → −→ (AC,BD) hai cặp cạnh vng góc với ⇒ AB · CD = − → −→ 0, AC · BD = Ta có −→ − → −→ − → − → − → AD · BC = CD − CA AC − AB −→ − → −→ − → − → − → − → − → = CD · AC − CD · AB − CA · AC − CA · AB −→ − → − → − → − → − → = CD · AC + AC · AC − AC · AB − → −→ − → − → = AC CD + AC − AB − → −→ = AC · BD = Website tuduymo.com A B D C Suy AD ⊥ BC A1 Dựng hình hộp hình vẽ C 2 2 2 Ta có AB +CD = AB +C1 D1 = 4(AK + BK ) = 4AD1 AD2 + BC2 = AD2 + A1 D21 = 4(AH + HD21 ) = 4AD21 D ⇒ AB2 + CD2 = AD2 + BC2 ⇔ AB2 + AC2 − BC2 = AD2 + B1 2 AC −CD H d cos DAC d dấu Do cos BAC, (1) d cos CAD d dấu Chứng minh tương tự cos BAD, (2) A d d d Từ (1) (2) suy cos BAC, cos DAC, cos BAD dấu C1 d DAC, d BAD d nhọn tù Do BAC, vng góc K D1 B Chứng minh tương tự góc đỉnh B,C, D nhọn tù vuông Xét trường hợp Trường hợp Nếu góc đỉnh nhọn, suy mặt tam giác nhọn Trường hợp Nếu tồn đỉnh có góc tù vng Khơng tính tổng qt giả sử vng A, ba đỉnh cịn lại phải góc nhọn d > 90◦ Thật Nếu BAC − → −→ − → −→ − → − → −→ − → − → AB · CD = ⇔ AB · AD − AC = ⇔ AB · AD = AB · AC − → −→ − → −→ Tương tự : AB · AD = AC · AD → −→ − → −→ − → − → d > 90◦ ⇒ − Do BAC AB· AD = AC· AD= AB · AC6  − → − → −→ − → − → −→2 − → − → d < 90◦ CB2 +CD2 − BD2 = AB − AC + AD − AC − AB − AD = 2AC2 − 2AB · AC > ⇒ BCD d < 90◦ , CDB d < 90◦ Do CBD Vậy tam giác BCD nhọn Vậy không tồn lớn đỉnh tù vuông Hay tứ diện có mặt tam giác nhọn  Chọn đáp án A Câu 83 Cho hình √ chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Biết AB = BC = a, AD = 2a, SA = a vng góc với đáy Khi giá trị sin góc hai mặt phẳng (SBD) (SCD) √ √ √ √ 14 21 14 21 A B D C 21 14 7 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 69 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ ...CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC LATEX TƯ DUY MỞ Phương pháp vector Đây phương pháp mạnh... Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com | DẠNG Tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải Để tính độ dài đoạn thẳng theo phương pháp vector ta sử dụng sở q 2... MNPQ theo a x? Bài tập [Các tốn khó] Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng (α) qua trung điểm I đoạn thẳng AG cắt cạnh AB, AC, AD điểm B0 ,C0 , D0 khác A Gọi hA , hB , hC kho? ??ng