Skkn rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán véctơ và sử dụng phương pháp véctơ để giải toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 10 KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÉCTƠ VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN" skkn Phần I: MỞ ĐẦU I- Lý lựa chọn đề tài I.1 Tính lịch sử “Cùng với KHCN, giáo dục quốc sách hàng đầu” Chủ trương thể rõ quan điểm, đường lối Đảng nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng giáo dục phát triển đất nước, lẽ giáo dục đóng vai trị định việc đào tạo lực lượng sản xuất, đem đến thành công công xây dựng đất nước, xây dựng CNXH Ngành Giáo dục triển khai thực công tác đổi giáo dục phổ thông bao gồm: Đổi sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi chương trình sách giáo khoa, đổi cơng tác quản lý đạo, đổi phương pháp dạy học, đổi cách kiểm tra đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển cách toàn diện Năm học này, Bộ Giáo dục đào tạo đưa hiệu “Xây dựng trường học thân thiện học sinh tích cực” nhằm hướng học sinh đến phát triển tồn diện Trong hệ thống mơn học đưa vào đào tạo trường phổ thông, môn Tốn đóng vai trị quan trọng, lẽ qua học toán học sinh phát triển cách tốt tư sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với hồn cảnh, phù hợp với xu phát triển đất nước ta Học tốt mơn tốn giúp học sinh học tốt nhiều môn học khác Xưa môn học mà khơng học sinh phải ngại ngùng nhắc đến, việc học tốn nhiều học sinh ln điều khó khăn Trong phân mơn tốn học phổ thơng Hình học ln coi mơn học khó khăn Tất đánh giá xuất phát từ lý khách quan chủ quan như: Học sinh chưa nắm phương pháp học tập, giáo viên cịn ơm đồm kiến thức giảng dạy, khó khăn sở lý luận việc dạy học môn v.v Học toán đồng nghĩa với giải toán Muốn làm tập, ngồi việc phải có vốn kiến thức từ công thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý cịn cần có phương pháp suy luận đắn I.2 Tính cấp thiết Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệp dạy Hình học thân, nhận thấy chất lượng dạy học hình học nói chung chưa cao: hầu hết học sinh ngại, skkn sợ học Hình học, khơng biết cách giải tốn Hình học Mà việc giải tập Hình học khơng dựa vào việc có nắm kiến thức hay khơng mà dựa nhiều vào việc nhận mối liên quan kiến thức vận dụng chúng vào toán I.3 Thực trạng Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì: - Đa số học sinh nắm vững vận dụng tốt kiến thức hình học vào việc giải tập Tuy nhiên, cịn có vài lớp số học sinh rải rác lớp nắm vững vận dụng kiến thức hình học vào việc giải tập - Nhiều học sinh không nắm kiến thức học, học trước quên sau Kỹ vận dụng kiến thức vào hoạt động giải tốn cịn yếu Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ mẻ học sinh lớp 10 Qua khảo sát kiến thức kĩ số học sinh lớp 10 trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 – 2012 sau em học kiến thức vec-tơ tơi nhận thấy em cịn bỡ ngỡ gặp nhiều lúng túng Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến thức vec-tơ lớp 10C4 10C7 có tốn sau: Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD AB'C'D' có chung đỉnh A Chứng minh rằng: a/ b/ Hai tam giác BC'D B'CD' có trọng tâm Đề 2: Cho tam giác OAB Đặt gọi C, D, E điểm cho a/ Hãy biểu thị vec-tơ qua vec-tơ b/ Chứng minh ba điểm C, D, E thẳng hàng Qua khảo sát 98 học sinh lớp có kết sau: Số Không làm Làm Chỉ làm Chỉ làm câu câu câu a câu b skkn Đề 42 25 (59,52%) (21,43%) (16,67%) (2,38%) Đề 46 27 (58,70%) 11 (23,91%) (13,04%) (4,35%) Qua làm học sinh qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy bộc lộ nhược điểm học sinh sau: - Không nắm vững kiến thức vec-tơ, khơng hiểu rõ khơng phân biệt xác kí hiệu: AB, - Khơng nắm vững quy tắc cộng, trừ vec-tơ, nhân số với vec-tơ, tích vơ hướng hai vec-tơ Khi tính tốn số em tuỳ tiện bỏ kí hiệu vec-tơ, kĩ vận dụng kiến thức vec-tơ để giải tốn cịn yếu, tốn mà chưa viết rõ quan hệ vec-tơ - Thậm chí, với tốn “Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M, N hai điểm nửa đường trịn cho dây cung AM BN cắt I Chứng minh: ”, có học sinh làm sau: (chia hai vế cho ) suy đẳng thức khơng xảy Điều chứng tỏ học sinh chưa hiểu rõ khái niệm tích vơ hướng vec-tơ Trong nhiều nguyên nhân dẫn đến kết việc học sinh không tiếp thu tốt kiến thức vec-tơ, có ngun nhân học sinh thực hành toán khái niệm vec-tơ Có lý thời lượng quy định cho học không đủ cho giáo viên học sinh làm việc Đặc biệt học sinh không thực mơn Tốn Chính lý trên, nhằm giúp em lĩnh hội tốt kiến thức vec-tơ, có kĩ giải tập vec-tơ sử dụng vec-tơ công cụ tốt để giải tốn tơi mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề: “Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ giải toán vec-tơ sử dụng phương pháp vec-tơ để giải tốn.” II Mục đích nghiên cứu Khơng có phương pháp tốt, khơng thể có kết cao Biết vận dụng kiến thức cách phù hợp có cách giải tập tốt Đặc biệt lớp 10, học sinh lần va chạm với kiến thức vec-tơ, mục đích đặt thơng qua việc dạy cho học sinh vận dụng kiến thức vec-tơ để giúp học sinh thấy được: - Các ký hiệu, chất ký hiệu vec-tơ skkn - Mối quan hệ vec-tơ với kiến thức khác hình học - Chuyển đổi tốn hình học thơng thường với toán vec-tơ - Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải tốn hình học nhờ phương pháp vec-tơ Từ giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại sợ học hình học, đặc biệt toán vec-tơ III Thời gian, địa điểm nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu, áp dụng thực năm học 2011 – 2012, hai lớp 10C4 10C7, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa Đây hai lớp có điểm đầu vào bình quân thấp khối 10 Nội dung sáng kiến trình bày cho học sinh số học tự chọn mơn Tốn số buổi học bồi dưỡng (ngồi học khóa) skkn Phần II: NỘI DUNG I- Một số kiến thức cần ý I.1 Các định nghĩa vec-tơ, kí hiệu thường dùng Cho điểm A, B thì: - Ký hiệu AB độ dài đoạn thẳng AB Như ký hiệu AB BA - Ký hiệu khác vec-tơ AB Như ký hiệu độ dài vec-tơ Như - Ký hiệu , nói chung, hai vec-tơ và, đó, - Ký hiệu độ dài đại số vec-tơ AB I.2 Các phép toán vec-tơ I.2.1 Phép cộng vec-tơ - Quy tắc ba điểm: Với điểm A, B, C thì: - Quy tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành thì: - Tính chất trung điểm: Với I trung điểm đoạn thẳng AB thì: + + , với điểm M I.2.2 Phép trừ vec-tơ Với ba điểm O, A, B thì: I.2.3 Phép nhân vec-tơ với số - Cho vec-tơ số k   Vec-tơ + hướng với vec-tơ + xác định bởi: k  ngược hướng với vec-tơ k < - Cho cho: phương với Khi đó, tồn số thực k skkn - Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng phương vec-tơ I.2.4 Tích vơ hướng hai vec-tơ - Cho trước hai vec-tơ Từ điểm O cố định, dựng vec-tơ Khi góc góc hai vec-tơ Ký hiệu: - Tích vơ hướng hai vec-tơ: - - I.3 Tọa độ vec-tơ điểm mặt phẳng Xét hệ tọa độ Oxy - - M(x; y)  - Với , k  : + + + + + + I.4 Học sinh cần rèn luyện kĩ tổng hợp nhiều vec-tơ thành vec-tơ ngược lại, cần biết phân tích vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác (thường phân tích vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc khơng phương phân tích thành hiệu hai vec-tơ khác chung gốc) Ở tập nên phân tích có cách giải khác giúp học sinh có cách nhìn linh hoạt vec-tơ skkn I.5 Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang ngơn ngữ vec-tơ ngược lại Ví dụ: TT Kiến thức hình học tổng Vec-tơ hợp 1) M trung điểm đoạn 2) thẳng AB 3) O G trọng tâm ΔABC AM trung tuyến ΔABC Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB // CD AB  CD ABCD hình bình hành , với điểm 1) 2) , với O (k  0) (A  DC) I- Hướng dẫn học sinh giải toán vec-tơ I.1 Các toán xác định vec-tơ Làm cho học sinh nắm vững khái niệm vec-tơ hướng, vec-tơ Một nguyên nhân khiến học sinh khơng giải tốn vectơ khơng hiểu rõ khái niệm vec-tơ, cách xác định vec-tơ, không hiểu rõ hai vec-tơ nhau, nhầm lần vec-tơ với đoạn thẳng bàng skkn Để giải điều này, tác giả cho học sinh làm lại phân tích kỹ lời giải học sinh qua hoạt động số (§1, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao): Cho trước vec-tơ điểm O cố định Xác định điểm A cho Có điểm A Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ cho A ): O a Hình Và yêu cầu học sinh xác định xem điểm A có thỏa mãn tốn khơng Sau phân tích cho học sinh thấy rõ rằng: Trong hình vẽ trên, vec-tơ vec-tơ có độ dài Tuy nhiên, vec-tơ có hướng từ phải sang trái vec-tơ có hướng từ trái sang phải Do hai vec-tơ không nên điểm A không thỏa mãn tốn Sau đó, tác giả u cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn toán: Đa số học sinh xác định điểm A hình vẽ sau: O A a M Hình N Qua đó, tác giả nhấn mạnh cho học sinh rằng: vec-tơ xác định điểm đầu M điểm cuổi N tứ giác MNAO hình bình hành (cần ý chặt chẽ đến thứ tự đỉnh hình bình hành) Hơn qua việc xác định thế, học sinh nhận ln có điểm A thỏa mãn tốn Ngồi ra, tác giả đưa tình sau để giúp học sinh rèn luyện hiểu rõ khái niệm vec-tơ: skkn - Điểm O trùng với điểm M A điểm nào? (A  N) - Điểm O trùng với điểm N A điểm nào? (A đối xứng với M qua N hay N trung điểm MA) - Xác định vị trí điểm O để điểm A trùng với điểm M? (O đối xứng với N qua M hay M trung điểm ON) Làm cho học sinh nắm vững khái niệm tổng, hiệu hai vec-tơ Việc xác định tổng, hiệu vec-tơ nhiều học sinh vấn đề khó khăn Qua giảng dạy vec-tơ, tác giả nhận thấy học sinh không phân biệt rõ dựng tổng vec-tơ với tổng hai cạnh tam giác Để giúp học sinh nắm vững hươn khái niệm tổng hai vec-tơ số tiếp xúc chúng, đặc biệt quy tắc ba điểm cách dựng vec-tơ tổng hai vec-tơ, tác giả cho học sinh làm lại nội dung hoạt động (§2, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao) Trước hết, tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau: b a c O Hình Yêu cầu học sinh: - Xác định điểm A, B, C cho: - Dựng vec-tơ Sau học sinh thực yêu cầu giáo viên chỉnh sửa sai sót, hình vẽ sau: skkn b A a B a+b c b+c a+b+c O Hình C Sau học sinh nắm khái niệm vec-tơ cách tương đối chắn, tác giả tiến hành cho học sinh rèn luyện khả vận dụng kiến thức vec-tơ vào giải tốn thơng qua số ví dụ, tốn cụ thể Hơn nữa, với ví dụ, tốn, tác giả ln cố gắng hướng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau, qua vận dụng nhiều kiến thức hiểu rõ thêm chất loại kiến thức áp dụng * Trước hết, tác giả cho học sinh thực hành việc xác định tổng vec-tơ thông qua tốn cụ thể, qua củng cố thêm khái niệm tổng vec-tơ, quy tắc thường dùng tổng vec-tơ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm D E cho ln có: BD = DE = EC Hãy dựng vec-tơ Giải: Cách 1: Gợi ý học sinh: - Trong phép dựng tổng hai vec-tơ, với hai vec-tơ có chung gốc nên xem xét đến quy tắc nào? (Quy tắc hình bình hành) - Vận dụng quy tắc vào tốn cụ thể sao? (Nhóm vec-tơ xác định hai cạnh hình bình hành lại với nhau) Qua hướng dẫn, học sinh thực phép dựng nêu lời giải sau: skkn K I B D O E Hình C A Dựng hình bình hành ABIC ADIE hình bình hành Từ quy tắc hình bình hành, ta có ngay: Từ đó: Dựng K đối xứng với A qua I thì: Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác khơng? Học sinh biến đổi: hình bình hành ABME ACND thì: Như vậy: Từ đó, dựng , Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì: K M B D N E A C Hình skkn Cách 3: Gợi ý học sinh: - Hãy phân tích đề theo hướng khác: Với giả thiết đề bài, nhận xét điểm D, E cạnh BC? (D trung điểm BE E trung điểm CD) - Với nhận xét đó, nhớ lại xác định xem vận dụng kiến thức để xác định tổng hai vec-tơ? (tính chất trung điểm) Qua hướng dẫn, học sinh thực phép dựng nêu lời giải sau: K M B D N E Hình C A Biến đổi: Do D trung điểm AE E trung điểm CD nên ta có: Từ đó, dựng M đối xứng với A qua D N đối xứng với A qua E thì: Như vậy: Từ đó, dựng hình bình hành AMKN ta có: * Một loại toán mà học sinh lúng túng tốn biểu diễn vec-tơ qua vec-tơ khơng phương Với loại toán này, nhiều học sinh lúng túng áp dụng quy tắc phép cộng phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, B bất kỳ, ta ln có: Cả hai quy tắc đó, mấu chốt quy tắc ba điểm phép cộng vec-tơ Chính điều này, kết hợp với đối tượng học sinh yếu nên trước cho học sinh làm toán cụ thể, tác giả cho học sinh thực hành nhiều việc skkn lấy tổng, hiệu hai vec-tơ, phân tích vec-tơ thành tổng, hiệu hai vec-tơ như: (Với I trung điểm đoạn thẳng MN) Ngoài ra, cần hướng dẫn học sinh xem xét phát vec-tơ phương, hướng toán để sử dụng vào việc biểu diễn Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả cho học sinh thực hành qua tốn đơn giản sau Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi E trung điểm BC Đặt Hãy biểu diễn vec-tơ theo vec-tơ Giải: A D O B C E Hình Cách 1: Gợi ý học sinh: - Trong tốn này, có vec-tơ với vec-tơ - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm phép cộng để biểu diễn qua tổng hiệu vec-tơ phương với vec-tơ (hoặc vec-tơ đó) Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: skkn Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải vận dụng quy tắc ba điểm bước biến đổi Hãy xem xét giả thiết tốn để biến đổi cách khác Chú ý đến yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Tiếp theo, cho học sinh thực hành việc biểu diễn vec-tơ qua vec-tơ khơng phương ví dụ: Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H Đặt Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: Gợi ý học sinh: - Trong tốn này, có vec-tơ với vec-tơ Nếu chưa có cố gắng để tạo Có thể thơng qua vec-tơ, điểm có điểm đặc biệt liên quan đến giả thiết (Lựa chọn trung điểm cạnh) - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm phép cộng để biểu diễn vec-tơ, có vec-tơ phương với ) qua tổng hiệu (Biểu diễn - Bước tiếp theo, làm tương tự để biểu diễn vec-tơ tổng (hoặc hiệu đó) chưa phương với theo vec-tơ phương với - Chú ý đến tính chất: Nếu phương với ln tồn số k   để Hơn nữa, với ba vec-tơ không phương cho trước vec-tơ biểu diễn qua vec-tơ Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: skkn A B1 B' C' C1 O H B A1 A' C Hình Gọi A' trung điểm BC thì: Mặt khác: theo tính chất trung điểm: Hơn OA' // AH nên Do đó, ta có: (1) Tương tự: Gọi B', C' trung điểm AC, AB thì: (2) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: Vậy Cách 2: Gợi ý học sinh: - Vì đường trịn có tính đối xứng nên xét điểm O vai trò trung điểm có cách suy nghĩ khác khơng? - Muốn thế, tìm cách tạo O trung điểm đoạn thẳng có gắn với vec-tơ Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: skkn A B1 C1 H B D O C A1 Hình 10 Kẻ đường kính BD đường trịn Khi đó, ta có: AD // HC  CD // AH Do tứ giác AHCD hình bình hành Vậy Mặt khác: Suy ra: hay I.2 Các độ dài vec-tơ Vấn đề mà học sinh lúng túng giải tốn vec-tơ khơng phân biệt rõ ràng khái niệm vec-tơ với độ dài vec-tơ Chính thế, nhiều học sinh cho (với ABC tam giác) Để khắc phục điều đó, trước hết, tác giả củng cố lại cho học sinh độ dài vec-tơ độ dài đoạn thẳng xác định vec-tơ (khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối vec-tơ) cho học sinh thực hành ví dụ đơn giản sau: - Cho hai điểm phân biệt A B Hãy xác định độ dài vec-tơ: (Phải phân tích để học sinh hiểu rõ ) , - Cho ba điểm phân biệt A, B, C Hãy xác định độ dài vec-tơ: , (Phải phân tích, nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ nên Hơn nữa, cần phân tích qua nhiều trường hợp hình vẽ khác nhau: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng bất kỳ; tạo thành tam giác cân, tam giác đều; thẳng hàng bất kỳ, thẳng hàng cách ) skkn Tiếp theo, học sinh nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả củng cố lại cho học sinh hai vec-tơ chúng có hướng độ dài, hai vec-tơ đối chúng ngược hướng có độ dài Đồng thời cho học sinh thực hành qua ví dụ sau: Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Đặt Chứng minh rằng: Giải: Gợi ý học sinh: - Từ giả thiết quy tắc ba điểm phép cộng, đánh giá ba độ dài vế trái (Với hướng dẫn này, đa số học sinh đánh giá ba độ dài đưa đến kết không mong muốn, giáo viên phải hướng dẫn thêm) - Hãy xem xét đến đặc biệt vec-tơ xác định nên tổng hai độ dài cịn lại Chú ý đến tính chất cạnh tam giác để đánh giá Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: B C O A D Hình 11 Ta có: đối  vec-tơ (1) Mặt khác:  Lại có: BC + AD < (OB + OC) + (OA + OD) = BD + AC (2)  Từ (1) (2) ta có: skkn * Với kiến thức độ dìa vec-tơ, hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải toán khác Sau cho học sinh rèn luyện thêm tập để khắc sâu khía niệm vec-tơ, tác giả cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài vec-tơ vào toán sau học sinh thực hiệu Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng: Nếu AD2 + BC2 =AB2 + DC2 hai đường chéo AC BD vng góc với Nếu (với điểm M bất kỳ) tứ giác ABCD hình bình hành Giải: Gợi ý học sinh: - Dựa vào tính chất “Bình phương vơ hướng vec-tơ bình phương độ dài nó” biến đổi tổng bình phương giả thiết thành hiệu bình phương vec-tơ để tạo vec-tơ xác định AC BD - Lưu ý rằng: Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Từ giả thiết suy ra: BC2 – BA2 = DC2 – DA2        AC  BD Ta có: bình hành Vậy ABCD hình II- Vận dụng kiến thức vec-tơ để giải toán Đối với em học sinh giỏi hướng dẫn em khai thác sâu kiến thức vec-tơ, coi cơng cụ hữu hiệu để giải toán khác Chẳng hạn: Chứng skkn minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, nhận dạng tam giác … Điều giúp em học sinh học tập hứng thú Các kiến thức mà em cần nắm vững để vận dụng kể đến gồm: - Tích vơ hướng hai vec-tơ: ta suy điều sau: + (I) + (II) Từ (I) ta có: (III)  Dấu (I) (III) xảy  Dấu (II) xảy  với k > với k  - Học sinh lớp 10 quen cơng thức tính diện tích tam giác sau: Nếu đặt ta có cơng thức tính diện tích tam giác ABC sau: Thật vậy:  - Trong hệ trục tọa độ Oxy, + + thì: Có thể hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức để làm tập sau: skkn Ví dụ 6: Cho a, b, c, d số thực bất kỳ, chứng minh rằng: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2) Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy Giải: Gợi ý học sinh: - Hãy xem xét (ac + bd)2, (a2 + b2), (c2 + d2) có liên quan đến khái niệm vec-tơ khơng? (Có vẻ biểu thức tọa độ tích vơ hướng độ dài vec-tơ) - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt Khi đó: Hơn nữa: Từ đó, theo (II) ta có: Bình phương vế ta có: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2) Dấu xảy hay ad = bc Ví dụ 7: Giải phương trình: (*) Giải: Gợi ý học sinh: - Nếu xem xét vế trái phương trình biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vec-tơ vec-tơ vó tọa độ nào? - Với nhận xét vế phải biểu diễn qua vec-tơ khơng? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Tập xác định: D = [–1; 3] Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt thì: Khi đó: (*)  Điều xảy với k >  skkn với x >  + x = x2(3 – x)  (x – 1)(x2 – 2x – 1) =  Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x = Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn hàm số: Giải: Gợi ý học sinh: - Trước hết, biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số (Mong muốn phải đưa dạng: ) - Với hàm số thế, đưa biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vectơ nào? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Tập xác định hàm số: D = [0; 2] Ta có: Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt  Mặt khác: Áp dụng (I) ta có: Dấu xảy với k >  Vậy, giá trị lớn hàm số Ví dụ 8: Với a, b số thực dương, tìm giá trị nhỏ hàm số: skkn Giải: Gợi ý học sinh: - Trước hết, biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số (Mong muốn phải đưa dạng: ) - Với hàm số thế, thấy chúng liên quan đến khái niệm vectơ? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Ta có: Tập xác định hàm số: D =  Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt Mặt khác, ta Khi đó: có: , Hơn theo (III): Dấu xảy với k >  Vậy hàm số có giá trị nhỏ , đạt skkn Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Trong năm học 2011-2012, tác giả giao giảng dạy Toán lớp 10C4, 10C7 lớp có chất lượng đầu vào (điểm thi tuyển sinh vào lớp 10, môn Toán) thấp so với mặt chung nhà trường Sau học xong phần vec-tơ kết học sinh hai lớp nêu phần đầu Sáng kiến kinh nghiệm Tác giả sử dụng nội dung Sáng kiến để dạy cho lớp 10C4, lớp 10C7 dạy theo giáo án trước Sau thực xong nội dung giáo án, tác gải khảo sát lại chất lượng hai lớp với thời lượng 60 phút đề kiểm tra sau: Câu 1 : Cho hai tam giác ABC A'B'C' có AA', BB', CC' đơi song song Gọi I, K trọng tâm hai tam giác O trung điểm IK 1/ Chứng minh rằng : 2/ Gọi M trung điểm A'B' G điểm thỏa mãn : ba điểm O, M, G thẳng hàng Câu 2 : Cho vec-tơ Chứng minh hai vec-tơ không phương Chứng minh vec-tơ khơng phương Khi đó, phân tích vec-tơ theo hai Câu 3 : Chứng minh với số thực x, y, z ta có : Kết thu sau : Lớp Số Không làm Điểm Làm Làm Chỉ cao câu câu câu câu 10C4 45 22 (48,89%) 14 (31,11%) (20,00%) 9,25 10C7 44 19 (43,18%) 17 (38,64%) (18,18%) 9,0 skkn Phần IV: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trên số kinh nghiệm suy nghĩ cá nhân q trình giảng dạy cơng tác năm học vừa qua Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy với kinh nghiệm trên, học sinh bước đầu thành thạo giải toán vec-tơ sử dụng vec-tơ cơng cụ hữu hiệu để giải tốn đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo học tập học sinh Thơng qua số tốn tơi muốn hình thành cho học sinh tư đuy lơgic, q trình tập dượt sáng tạo tốn học Điều góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tuy nhiên, ý kiến chưa phù hợp với tất đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh giỏi Việc áp dụng nội dung sán kiến vào giảng dạy cần bố trí hợp lý mặt thời gian Nếu trường khơng bố trí học tự chọn khó khăn mặt thời gian để áp dụng Hơn nữa, cần đến kiên trì giáo viên đối tượng học sinh áp dụng sáng kiến này là học sinh có tố chất, tư toán học chưa thật tốt, ngại học toán, đặc biệt hình học Với kết thu được, mạnh dạn nêu lên nội dung sáng kiến mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để nội dung hoàn thiện lần chỉnh sửa sau skkn ... vec-tơ, có kĩ giải tập vec-tơ sử dụng vec-tơ cơng cụ tốt để giải tốn tơi mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề: ? ?Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ giải toán vec-tơ sử dụng phương pháp vec-tơ để giải tốn.”... hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải toán khác Sau cho học sinh rèn luyện thêm tập để khắc sâu khía niệm vec-tơ, tác giả cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài vec-tơ vào toán sau học sinh thực... hướng dẫn học sinh xem xét phát vec-tơ phương, hướng toán để sử dụng vào việc biểu diễn Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả cho học sinh thực hành qua toán đơn giản sau Ví dụ 2: Cho hình