Skkn kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2 vào giải các dạng bài tậ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GD & ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP VẬN DỤNG CÔNG THỨC NGHIỆM VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀO GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Người thực hiện: Vũ Thị Tuyên Chức vụ: Giáo viên Thọ Xuân Đơn vị: Trường THCS Lê Thánh Tông SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán skkn MỤC LỤC Trang 1.PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3.Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu 2.NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình bậc hai Chứng minh số nghiệm phương trình bậc hai Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm, vơ nghiệm Áp dụng vào giải toán khác 13 Bài tập tương tự 19 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 19 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 21 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Như biết, mơn tốn học mơn khoa học tự nhiên đóng vai trị quan trọng Để học sinh có kiến thức mơn tốn vững vàng em phải chăm học tập, có phương pháp học tập đắn phải nắm kiến thức cách có hệ thống Trong nhiều học sinh chưa có phương pháp học hiệu quả, chưa biết cách hệ thống kiến thức mà học sách giáo khoa Các em trông chờ vào thầy cô giáo, thầy cô dạy biết đó, dạy dạng biết dạng Chun đề phương trình bậc hai có nhiều tác giả viết xuất nhiều tài liệu, tài liệu dài nhiều khó học sinh lớp 9, chưa làm bật ứng dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai Vì học sinh lớp khó tìm tài liệu phù hợp để hỗ trợ cho em em ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông, ôn thi vào trường chuyên thi học sinh giỏi Khi ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông, ôn thi học sinh giỏi hay ơn thi vào trường chun sâu tìm hiểu đề thi thấy đề có tốn áp dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai hệ thức Vi-ét Trong nhiều học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa, áp dụng vào tập cịn lúng túng, tốn nâng cao tiếp cận chưa tốt Bản thân tơi từ bắt đầu dạy, tơi tình cờ đọc đề thi vào trường chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá cách nhiều năm, tâm đắc với thi có cách giải độc đáo cách sử dụng cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Và q trình giảng dạy, tơi thấy nhiều tập áp dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai cho lời giải hay, ngắn gọn Vì thế, sau năm học, tơi lại tích luỹ thêm nhiều tập hay phần này, dạy đến phần tơi đưa tập nhiều em học sinh vơ ngạc nhiên lại có cách giải hay, lý thú Vì lý trên, năm học mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm để trao đổi với bạn đồng nghiệp đề tài: " Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng công thức nghiệm cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai vào giải dạng tập" Tôi hy vọng tài liệu giúp ích cho em học sinh lớp em ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông, thi vào trường chuyên thi học sinh giỏi cấp tỉnh 1.2 Mục đích nghiên cứu Với sáng kiến kinh nghiệm "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai vào giải dạng tập " mong muốn giúp em học sinh lớp nắm vững công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai Các em biết vận dụng kiến thức vào giải tập, nắm hệ thống dạng tập Từ giúp học sinh lớp giải thi đề thi vào lớp 10 THPT, thi vào lớp 10 chuyên thi học sinh giỏi Cũng qua phần này, muốn em thấy đằng sau công thức sách giáo khoa tưởng chừng skkn đơn giản khô khan điều mẻ, bổ ích lý thú Từ khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong chương trình tốn phổ thơng, phần phương trình bậc hai, hệ thức Viét phần kiến thức rộng lớn, xuyên suốt từ lớp đến lớp 12 Trong đề thi vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên toàn quốc đề thi đại học ta thường xuyên bắt gặp thi áp dụng kiến thức phương trình bậc hai hệ thức Vi-ét từ dạng đơn giản đến khó Tuy nhiên, khn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tập trung nghiên cứu việc áp dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai vào giải tập, hệ thống dạng tập phương pháp giải cho dạng Với dạng tập tơi trình bầy theo mức độ từ dễ đến khó, đặc biệt tơi hệ thống ứng dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn vào giải dạng tập nâng cao Từ giúp học sinh trình độ sử dụng tài liệu cách hiệu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa toán 9, sách tập tốn 9, sách giáo viên, tạp chí tốn học tuổi trẻ, toán tuổi thơ, sách tham khảo Trong q trình giảng dạy, tơi ln tìm hiểu đề thi vào lớp 10 THPT nhiều tỉnh thành nước, đề thi vào trường chuyên, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh nhiều tỉnh để có hệ thống tập phong phú đa dạng Và năm sau giảng dạy phần cho học sinh tơi ln tự rút kinh nghiệm để hoàn thiện năm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Ngày 4/11/2013, Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng ký ban hành Nghị Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị số 29-NQ/TW) Nghị có nội dung đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế Trong nghị 29 có nêu rõ: "Phát triển giáo dục đào tạo nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học Học đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình giáo dục xã hội" Với vị trí giáo viên trực tiếp giảng dạy, thân nhận thấy, để thực theo định hướng trước hết giáo viên phải ln ln biết tự hồn thiện mình, phải tâm huyết với nghề, có lực chun mơn vững vàng, biết làm chủ kiến thức Giáo viên phải đổi phương pháp giảng dạy, tạo học sinh động hấp dẫn Đối với mơn tốn, giảng dạy giáo viên cần giúp cho học sinh hệ thống nội dung kiến thức theo chủ đề, biết vận dụng tốt kiến thức sách giáo khoa vào giải tập toán thực tế Vì giảng dạy chuyên đề " Phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét", thân tơi ln suy nghĩ làm để học sinh nắm vững hệ thống kiến thức dạng skkn tập từ đơn giải đến phức tạp, từ tập sách giáo khoa đến thi kỳ thi mà em trải qua, từ tạo hứng thú học tập cho học sinh, hình thành học sinh tư linh hoạt, sáng tạo chủ động tiếp thu kiến thức Khơi dậy cho học sinh, em học sinh giỏi lòng say mê học tập, khao khát khám phá điều lạ Điều thể rõ nét sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình mơn tốn lớp 9, phần phương trình bậc hai đóng vai trị quan trọng Vì việc giúp học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa biết áp dụng kiến thức vào giải tập việc làm vơ cần thiết Nó giúp em vượt qua kì thi quan trọng tạo tảng kiến thức cho năm học cấp trung học phổ thông Tuy nhiên, thời gian đầu giảng dạy mơn tốn 9, dạy phần phương trình bậc hai tơi cịn lúng túng Các tập tơi cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa làm bật tầm quan trọng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai Vì học sinh học phần này, em nắm kiến thức cách dàn trải, chưa có hệ thống Các em chưa thực say mê học tập chưa thấy điều thú vị ẩn sau công thức đơn giản sách giáo khoa Sau vài năm , thân tơi có kinh nghiệm giảng dạy, tơi nghĩ phải làm để kiến thức truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có hệ thống, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, nhớ khó qn Do tơi hình thành nội dung sáng kiến kinh nghiệm mà hôm xin chia sẻ đồng nghiệp 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp sử dụng Khi giảng dạy cho học sinh lớp vận dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc nhắc lại cho học sinh kiến thức mà em học sách giáo khoa: Công thức nghiệm phương trình bậc hai: *Đối với phương trình ax2 + bx + c = (a ) biệt thức - Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt: - Nếu = phương trình có nghiệm kép: ; - Nếu < phương trình vơ nghiệm (Sách giáo khoa tốn 9, tập 2, trang 44) Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ) có a c trái dấu phương trình có hai nghiệm phân biệt *Cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai: Đối với phương trình ax2 + bx + c = (a ) b = 2b', - Nếu ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt: skkn - Nếu - Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: ; ' < phương trình vơ nghiệm (Sách giáo khoa tốn 9, tập 2, trang 48) Tiếp theo đưa hệ thống kiến thức theo sơ đồ sau: Công thức nghiệm, cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai Giải phương trình bậc hai Chứng minh số nghiệm phương trình bậc hai Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm, vơ nghiệm Ứng dụng vào giải toán khác Từ tơi giới thiệu dạng tập cho học sinh Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Khi hướng dẫn học sinh áp dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai vào giải dạng tập việc giúp học sinh hiểu áp dụng kiến thức để giải tập đơn giản nhất, giải phương trình bậc hai Với tơi giảng dạy, tập dễ tăng dần độ khó Ta tập sách tập toán 9, tập 2: Bài 1: Giải phương trình sau: a, 2x2 – 5x + = b, x2 + 4x + = c, 5x2 – x + = (Bài tập 20, sách tập toán 9, tập 2) Hướng dẫn giải: a, Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b, Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -2 c, < Phương trình vơ nghiệm Bài 2: Giải phương trình: Hướng dẫn giải: Vì > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là: skkn Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = Nhận xét: Khi đưa tập muốn củng cố kiến thức giải phương trình bậc hai dạng đơn giản, vận dụng trực tiếp công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn, mục đích giúp cho học sinh nhớ cơng thức, vận dụng công thức dạng đơn giản Trong đó, với tập tơi muốn nhấn mạnh cho học sinh rằng, phương trình sau biến đổi mà đưa phương trình bậc hai cách áp dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn ta dễ dàng tìm nghiệm phương trình Tiếp theo, ta xét phương trình bậc hai có hệ số số vơ tỉ Ta tiếp tục với tập sau: Bài 3: Giải phương trình: 4x2 – 2(1 + )x + =0 Hướng dẫn giải: Ta có: Vì > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = Nhận xét: Khi hệ số a, b, c phương trình số vơ tỉ sau tính xong cần xem có đưa bình phương tổng bình phương hiệu hay không Ở dạng này, đưa tập giải phương trình bậc hai đơn giản, mục đích muốn giúp học sinh nắm vững cơng thức nghiệm, cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai Các phương trình phức tạp khơng đề cập đến phần mà giới thiệu chuyên đề phương trình quy phương trình bậc hai Dạng 2: Chứng minh số nghiệm phương trình bậc hai Đây dạng thường gặp đề thi vào lớp 10 nhiều tỉnh, thành nước Ta thường gặp dạng chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt vô nghiệm Ta xét số tập sau: skkn Bài 1: Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + m2 – 2m + = (m tham số) Chứng minh phương trình vô nghiệm với giá trị m Hướng dẫn giải: Phương trình cho phương trình bậc hai có: Vì -3(m-1)2 với giá trị m nên -3(m - 1)2 – 16 < với giá trị m với giá trị m Vậy phương trình vơ nghiệm với giá trị m Nhận xét: Qua tập này, muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn chứng minh phương trình bậc hai vơ nghiệm ta chứng minh Bài 2: Cho phương trình: x – (m + 1)x + 2m – = (m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá năm học 2004 - 2005) Hướng dẫn giải: Phương trình cho phương trình bậc hai có: Vì nên Do phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Nhận xét: Qua tập này, muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt ta chứng minh Bài 3: Cho phương trình: , m tham số Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình Định năm học 2015 - 2016) Hướng dẫn giải: Ta có: ’ = (1 – m) – 1(-3 + m) = m2 – 2m + + – m = m2 – 3m + = skkn Vì với giá trị m nên với giá trị m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 - m = (với m tham số) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá năm học 2003 - 2004) Hướng dẫn giải: Ta có: - Nếu m Do (vì m ) nên phương trình có nghiệm - Nếu m < Do nên phương trình có nghiệm kép Vậy với giá trị m phương trình ln có nghiệm Nhận xét: Qua tập này, muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh Bài 5: Chứng minh phương trình sau có nghiệm với giá trị a, b, c: (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = Hướng dẫn giải: Biến đổi phương trình dạng: 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc) = Phương trình phương trình bậc hai có: Với a, b, c ta có: nên suy Do phương trình ln có nghiệm với giá trị a, b, c Nhận xét: Khi đưa tập này, muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được: Phương trình ban đầu khơng phải phương trình bậc hai sau biến đổi ta đưa phương trình bậc hai Khi ta áp dụng cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai để chứng minh phương trình có nghiệm Bài 6: Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị k Hướng dẫn giải: + Nếu k = 0, phương trình có dạng 2(x - 1) = x=1 + Nếu k 0, phương trình biến đổi dạng: kx2 + 2(1 - 2k) x + 3k - = (*) = (1 - 2k)2 - k(3k - 2) = 1- 4k + 4k2 - 3k2 + 2k = k2 - 2k + = (k - 1)2 Vì (k - 1)2 > với giá trị k nên phương trình (*) ln có nghiệm > với giá trị k, skkn Kết hợp hai trường hợp ta có phương trình ln có nghiệm với giá trị k Nhận xét: Khi đưa tập này, muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được: Phương trình ban đầu khơng phải phương trình bậc hai sau biến đổi ta đưa phương trình dạng ax2 + bx + c = Tuy nhiên gặp phương trình này, giáo viên cần lưu ý cho học sinh tính hệ số a khác Trong trường hợp a cần phải xét trường hợp xảy Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị a, b, c Hướng dẫn giải: Phương trình cho phương trình bậc hai có: Vì nên với giá trị a, b, c; suy phương trình ln có nghiệm với giá trị a, b, c Bài 8: Cho phương trình: (m2 – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m Phân tích, tìm cách giải: Nếu ta dùng điều kiện tốn trở nên phức tạp Vậy có cách khác để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt hay khơng Đối với tốn này, ta áp dụng kiến thức sau: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có a c trái dấu phương trình có hai nghiệm phân biệt.(Sách giáo khoa toán 9, tâp 2, trang 45) Hướng dẫn giải: Xét phương trình:(m – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = Ta có: a = m2 – 2m + = (m - 1)2 + > c = –(m2 – m + 1) = Do phương trình bậc hai (m2 – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = có a c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Nhận xét: Qua tập này, muốn chốt lại hai cách chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: skkn - Cách 1: Chứng minh phương trình có - Cách 2: Chứng minh phương trình có a c trái dấu Bài 9: Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx + 2cx + a = (2) cx + 2ax + b = (3) Hướng dẫn giải: Vì phương trình cho phương trình bậc hai nên Ta có: nên: Dó suy ra: Vậy ba số phải có số khơng âm (vì ba số âm tổng ba số phải số âm, vơ lý), suy có ba phương trình cho có nghiệm Nhận xét: Qua tập muốn chốt lại cách giải tập chứng minh phương trình bậc hai cho có nghiệm -Khi chứng minh hai phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh (hay ) - Khi chứng minh ba phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh (hay ) Các tốn khác có cách giải tương tự Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm, phương trình vơ nghiệm Khi giới thiệu dạng tập này, đưa cách giải tổng quát cho học sinh trước đưa hệ thống tập: Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) (1) - Phương trình (1) có nghiệm - Phương trình (1) có nghiệm kép - Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt - Phương trình (1) vơ nghiệm Khi đưa hệ thống tập phần này, tơi thường vào trình độ học sinh để lựa chọn tập phù hợp Nếu ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông đưa vừa phải, cịn ơn thi học sinh giỏi đưa phức tạp Sau số tập: Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + = (m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x = - skkn Hướng dẫn giải: Phương trình có nghiệm x = - khi: (-2)2 - (m + 5) (-2) - m + = + 2m + 10 - m + = m = - 20 Nhận xét: Qua chốt lại cách giải cho học sinh: Muốn tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm x0 ta thay x = x0 vào phương trình, từ suy giá trị tham số cần tìm Bài 2:Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m2 = (m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải: Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ∆’ > (m + 1)2 - m2 > 2m + > m> Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + = Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm (Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá, năm học 2000 - 2001) Hướng dẫn giải: Phương trình phương trình bậc hai có: Để phương trình có nghiệm Nhận xét: Từ 2, lần nhấn mạnh lại kiến thức cho học sinh: - Phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm - Phương trình ax + bx + c = (a 0) có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau vơ nghiệm (Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá, năm học 2006 - 2007) Hướng dẫn giải: Phương trình phương trình bậc hai có: - Nếu m < nghiệm - Nếu m Do phương trình vơ Phương trình vơ nghiệm (Vì m 0) Kết hợp hai trường hợp ta có: Phương trình vơ nghiệm m < Bài 5: Cho phương trình: (m - 1)x2 + (2m - 3)x + (m + 2) = (m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải: - Nếu m = phương trình cho có dạng: - x + = 10 skkn - Nếu m phương trình cho phương trình bậc hai có: Phương trình có nghiệm (với m 1) Kết hợp hai trường hợp ta có: Phương trình có nghịm m Nhận xét: Đối với tập 5, đa số em học sinh lớp làm quen với công thức nghệm cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai tính cho điều kiện Do đó, đưa tập 5, tơi muốn nhấn mạnh cho học sinh: Phương trình cho chưa phải phương trình bậc hai mà có dạng ax2 + bx + c = Vì với tập ta cần xét trường hợp đặc biệt a = 0; a ta tính Bài 6: Cho phương trình: mx2 – 2(m + 2)x + = (m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Hướng dẫn giải: Phương trình có nghiệm kép Nghiệm kép phương trình là: x = - Với m = nghiệm kép là: x = - Với m = nghiệm kép là: x = Nhận xét: Khi đưa 6, muốn nhấn mạnh cho học sinh nhớ rằng, phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm kép Tương tự, cần chốt lại cho học sinh: phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Qua khắc sâu kiến thức cho học sinh: Nếu phương trình ax + bx + c = có hệ số a có chứa tham số tuỳ theo u cầu tốn ta cần xét trường hợp xảy (như 5) hay đặt điều kiện (như 6) Bài 7: Cho phương trình: 4x2 + 2(m -1)x – m = (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn Hướng dẫn giải: Phương trình phương trình bậc hai có: Do phương trình ln có hai nghệm: 11 skkn Thay vào ta phương trình: Giải phương trình ta được: Nhận xét: - Khi đưa tập muốn nhấn mạnh cho học sinh: Với phương trình mà biểu diễn dạng bình phương biểu thức áp dụng cơng thức nghiệm hay cơng thức nghiệm thu gọn ta tính nghiệm phương trình dạng đơn giản, khơng chứa Khi ta có lời giải đẹp cho tốn tìm giá trị tham số để hai nghiệm cuả phương trình thoả mãn điều kiện cho trước - Với toán mà hai nghiệm x x2 có vai trị khơng giải theo cách phải xét hai trường hợp xảy x1 x2 - Bài toán ta giải theo cách quen thuộc áp dụng hệ thức Vi-ét mà xin không đề cập đến viết Bài 8: Cho phương trình: x4 + 2x2 + 2ax + (a + 1)2 = (a tham số) Tìm giá trị a để phương trình có nghiệm x0 cho x0 đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải: Giả sử phương trình có nghiệm x0 Ta có: Vì phương trình cho có nghiệm x0 nên phải tồn giá trị a để có nghiệm x0 Vì phương (*) phải có nghiệm a Phương trình (*) có nghiệm a Vì nên giá trị lớn x0 xảy a = - (x0 + 1) = -2 Nhận xét: Từ cách giải ta tìm giá trị nhỏ x0 xảy a = -1 12 skkn Trong 8, phương trình cho phương trình bậc bốn với ẩn x Với cách giải ta đổi vai trị ẩn tham số, đưa phương trình cho phương trình bậc hai với ẩn a, coi x0 tham số Từ điều kiện tồn nghiệm phương trình bậc hai ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x Phương pháp giải gọi hốn đổi vai trị ẩn tham số Qua tập này, lưu ý cho học sinh gặp phương trình mà ẩn khơng phải bậc hai tham số có bậc hai ta nghĩ đến cách giải hốn đổi vai trò ẩn tham số tương tự cách giải Dạng 4:Ứng dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn vào giải toán khác Ứng dụng 1: Ứng dụng vào giải phương trình nghiệm nguyên Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) Phân tích, tìm hướng giải: Ta thấy phương trình ẩn x y có bậc cao Do ta đưa phương trình phương trình bậc hai với ẩn, coi ẩn cịn lại tham số Khi từ điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ta giới hạn khoảng giá trị ẩn tìm giá trị nguyên suy nghiệm nguyên phương trình Hướng dẫn giải: Phương trình cho viết dạng: 3y2 + 2(3x - 14)y + 12x2 – 28x = (1) Coi phương trình phương trình bậc hai ẩn y ta có: Để phương trình có nghiệm - Nếu x = -2 Suy Khi phương trình (1) có nghiệm y = khơng số nguyên nên loại - Nếu x = - Suy y = 10 (chọn) y = (loại) - Nếu x = Suy y = (chọn) y = (loại) - Nếu x = Suy y = (chọn) y = (loại) - Nếu x = -2 Khi phương trình (1) có nghiệm y = không số nguyên nên loại Vậy phương trình có nghiệm ngun (x; y) là: (0; 0); (1; 8); (-1; 10) Nhận xét: - Nếu ta đưa phương trình phương trình bậc hai với ẩn x tính theo y lời giải phức tạp nhiều Do gặp dạng thường lưu ý cho học sinh phải xem nên đưa phương trình bậc hai với ẩn để lời giải ngắn gọn 13 skkn - Với số phương trình sau tính ta phải kết hợp với vài kiến thức số học tính nghiệm Ta xét tập sau: Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Hướng dẫn giải: Phương trình cho viết dạng: y2 + 2(2x + 1)y + 3x2 + 4x + = (2) Coi phương trình phương trình bậc hai ẩn y ta có: Phương trình (2) có nghiệm ngun số phương Đặt x2 – = n2 ( với n ) ta có: 2 x –4=n (x – n).(x + n) = Vì x + n x – n tính chẵn, lẻ với giá trị nguyên x n nên suy ra: x – n = x + n = x – n = x + n = -2 Từ ta x = hặc x = -2 - Với x = - ta tính y = - Với x = ta tính y = -5 Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên (x; y) (-2; 3) (2; -5) Nhận xét: - Trong cách giải ta sử dụng cách giải khác phương trình nghiệm ngun cách đưa phương trình ước số - Để giảm bớt việc xét trường hợp xảy phương trình (x – n).(x + n) = ta sử dụng tính chất, là: Với hai số ngun a b ta ln có a + b a – b hai đại lượng chẵn lẻ Với cách giải tương tự 2, ta có sau đây: Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2ax – (a + 3) = (a tham số) Hãy tìm tất số nguyên a cho phương trình có nghiệm ngun Hướng dẫn giải: Phương trình x – 2ax – (a + 3) = (3) phương trình bậc hai ẩn x có Phương trình (3) có nghiệm nguyên số phương Đặt a2 + a + = k2 (với k ) Ta có: Vậy a = a = - giá trị cần tìm 14 skkn Bài 4: Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình: 5(x2 + xy + y2 )= 7(x + 2y) (Trích đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh Thanh Hoá năm học 2014 - 2015) Hướng dẫn giải: Đưa phương trình cho dạng: 5y2 + (5x - 14)y + 5x2 – 7x = Coi phương trình phương trình bậc hai ẩn x, ta có: Để phương trình có nghiệm Với x = ta tính y = Với x = ta tính y = Với x = - ta tính y = Vậy phương trình có ba nghiệm ngun (x; y) là: (0; 0); (-1; 3); (1; 2) Nhận xét: Sau giới thiệu tập nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng: Khi giải phương trình nghiệm nguyên mà phương trình đưa dạng phương trình bậc hai với ẩn ta nghĩ đến phương pháp giải vận dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn tương tự với cách giải Ứng dụng 2:Ứng dụng vào giải hệ phương trình Bài 1: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Ta có: (2) Để phương trình có nghiệm ẩn x, ta phải có: (3) Mặt khác ta lại có: (2) Để phương trình có nghiệm ẩn y, ta phải có: Từ (3) (4) ta có: , khơng thoả mãn phương trình (1) Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm 15 skkn Bài 2: Giải hệ phương trình: (Trích đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh Thanh Hoá năm học 1998 – 1999, bảng A) Hướng dẫn giải: Coi phương trình (2) phương trình bậc hai ẩn x ta có: Để phương trình (2) có nghiệm x (3) Từ phương trình (2) ta có: y2 + (x - 1)y + x2 = Coi phương trình phương trình bậc hai ẩn y ta có: Để phương trình (2) có nghiệm y (4) Từ (3) (4) suy ra: (không thoả mãn (1)) Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm Bài 3: Giải hệ phương trình: (I) Hướng dẫn giải: Ta có: (I) Coi phương trình (1) phương trình bậc hai ẩn x + y, để phương trình có nghiệm ta phải có: (3) Coi phương trình (2) phương trình bậc hai ẩn x - y, để phương trình có nghiệm ta phải có: (4) Từ (3) (4) suy z = z = -2 - Với z = thay vào hệ phương trình (I) ta được: - Với z = - thay vào hệ phương trình (I) ta được: Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm (x, y, z) là: (1; 0; 2); (-1; 0; -2) Nhận xét: 16 skkn Qua tập giải hệ phương trình tơi thường chốt lại kiến thức cho học sinh: Khi gặp tập giải hệ phương trình mà hệ cho có phương trình đưa dạng phương trình bậc hai ta nên nghĩ đến việc áp dụng công thức nghiệm hay cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai để giới hạn giá trị ẩn, từ giúp ta có lời giải đẹp cho toán Ứng dụng 3: Ứng dụng vào toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài 1: Cho x, y thoả mãn: x2 + y2 = xy – x + 2y Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải: 2 Ta có: x + y = xy – x + 2y (*) Ta coi phương trình phương bậc hai với ẩn y ta có: Để tồn x; y thoả mãn điều kiện x2 + y2 = xy – x + 2y phương (*) phải có nghiệm y Do Suy ra: Vậy ta chứng minh : Bài 2: Cho thoả mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải: Ta có: - Nếu x = y = 0, ta có x3 = 1< (đúng) - Nếu x > phương trình phương trình bậc hai với ẩn y Phương trình có nghiệm khi: Với Vậy ta chứng minh Bài 3: Cho x, y, z số dương thay đổi thoả mãn: 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 Tìm giá trị lớn biểu thức B = x + y + z (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá, năm học 2016 - 2017) Hướng dẫn giải: Ta có: 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 (*) Coi phương trình phương trình bậc hai ẩn x ta có: 17 skkn Vì 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 x, y, z ngun dương nên Do đó: Vì x dương nên phương trình (*) có nghiệm: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số không âm 15 – y2 20 – z2 ta ln có: Suy ra: Dấu xảy Vậy giá trị lớn B xảy x = 1; y = 2; z = Nhận xét: Khi đưa tập chốt lại ghi nhớ cho học sinh: Trong tập chứng minh bất đẳng thức, đề có điều kiện mà biểu diễn dạng phương trình bậc hai nhớ đến cách giải vận dụng công thức nghiệm hay công thức nghiệm thu gọn, ta tìm lời giải hay cho toán Bài 4: Cho biểu thức: y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y Hướng dẫn giải: Ta có: x + 2x + = (x + 1) + > với x nên y xác định với giá trị x 2 y= (*) - Nếu y = thay vào (*) ta có x = - Nếu y (*) phương trình bậc hai với ẩn x Để tồn x Từ ta có: Giá trị nhỏ y xảy x = 18 skkn Giá trị lớn y xảy x = Vậy: Giá trị lớn y xảy x = ; Giá trị nhỏ y xảy x = Nhận xét: Phương pháp giải gọi phương pháp xác định miền giá trị hàm số Ta cần nhấn mạnh cho học sinh hàm số đưa dạng phương trình bậc hai ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách Một số tập tương tự: Bài Cho phương trình x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = Tìm m để phương trình có nghiệm kép ? Hãy tính nghiệm kép Bài Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – = với m tham số a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m Bài Cho phương trình bậc 2: x2 - (2m + 1)x + m2 = (1) a) Giải phương trình với m = b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm kép.Tìm nghiệm kép Bài Cho phương trình : 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) ( m tham số) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Bài Cho phương trình (m tham số) a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Bài Tìm tham số m để phương trình :x2 +2(m +1)x +2m2 +2m +1 = vụ nghiờm Bài Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình Èn x sau: x2 - m2x + m + = cã nghiƯm nguyªn Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: m(m-1)x2 + 2(m-1)x + 2(m-1)=0 Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số a: ax2 – 2(3a+1)x + a – = Bài 10 Giải hệ phương trình: Bài 11 Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + 13y2 – 6xy = 100 Bài 12 Giải hệ phương trình: Bài 13 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: Bài 14: Tìm giá trị tham số a để phương trình sau có nghiệm: x4 + 2ax2 + x + a2 + a = Bài 15: Tìm x để y đạt giá trị lớn thoả mãn: x2 + y2 + 2xy – 8x + 6y = 19 skkn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau nhiều năm giảng day môn tốn lớp 9, ơn tập cho học sinh thi vào lớp 10 THPT, thi vào trường THPT chuyên, thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, sau năm tơi lại tích luỹ thêm tập lí thú phần Từ đơn vị kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh hệ thống dạng tập thường gặp đề thi, củng cố phương pháp giải dạng tập Mỗi dạy cho học sinh ứng dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn vào giải dạng tập, đặc biệt giới thiệu tập ứng dụng vào giải phương trình nghiệm nguyên, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức hay phương pháp hốn đổi vai trị ẩn tham, số nhiều học sinh thấy bất ngờ với cách giải Các em thấy điều vô thú vị ẩn sau công thức đơn giản sách giáo khoa mà em học Đây nội dung tạo hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư linh hoạt cho học sinh Từ thắp sáng niềm say mê học tập học sinh Sau truyền đạt nội dung tới học sinh, học sinh dạy ghi nhớ kiến thức phương pháp giải tốt Mỗi gặp tập dạng em tự tin vận dụng kiến thức mà lĩnh hội Qua năm giảng dạy, học sinh thi vào lớp 10 THPT điểm mơn tốn tương đối cao, có nhiều em điểm tuyệt đối mơn tốn Nhiều em thi đậu vào trường chuyên Lam Sơn, khối chuyên trường đại học khoa học tự nhiên có em tiếp tục học lên THPT đạt giải học sinh giỏi cấp quốc gia mơn tốn Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, nhiều em đạt thành tích cao: giải nhất, giải nhì cấp huyện, đạt giải nhì cấp tỉnh Kết giúp tơi khẳng định sáng kiến kinh nghiệm thực đem lại hiệu giảng dạy 3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Là giáo viên trực tiếp giảng dạy nhận thấy muốn học sinh nắm vững kiến thức thầy giáo, giáo phải thực tâm huyết với nghề, phải kiên trì uốn nắn cho học sinh em chưa nắm vững kiến thức Khi củng cố nội dung kiến thức tơi ln tn thủ theo ngun tắc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Hệ thống tập đưa cho học sinh bám sát vào đề thi để tạo sức thuyết phục cho học sinh Kiến thức truyền thụ đến học sinh ln có hệ thống, dạng phải chốt phương pháp giải Để giúp học sinh có kĩ tư sáng tạo, nhạy bén học tập thực hành đòi hỏi giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp sư phạm, nhiên khơng có phương pháp vạn để đạt kết tốt kì thi mà tổng hợp nhiều phương pháp khác Khi dạy học sinh cách vận dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn vào giải dạng tập, giáo viên cần sử dụng linh hoạt, mềm dẻo, tuỳ thuộc vào khả nhận thức học sinh Sau thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy nhận thấy kinh nghiệm phù hợp với nội dung chuẩn kiến thức kĩ bám sát cấu trúc đề thi vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi, học sinh chủ 20 skkn động, tích cực việc lĩnh hội kiến thức kĩ Khơng khí học tập sơi nổi, học sinh u thích mơn học Tôi hi vọng với việc áp dụng đề tài giúp cho học sinh đạt kết cao kỳ thi mà em phải vượt qua Trên số kinh nghiệm nhỏ mà tơi đúc rút qua q trình giảng dạy từ năm học muốn chia sẻ với đồng nghiệp Tuy nhiên, thời gian có hạn tơi khơng thể trình bày tỉ mỉ, chi tiết, cụ thể; hiểu biết kinh nghiệm chắn không tránh sai sót, mong góp ý chân thành đồng nghiệp để thân học hỏi, tiếp tục trau dồi hồn thiện nhằm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy 3.2.Kiến nghị Hàng năm, phòng giáo dục đào tạo, sở giáo dục đào tạo tổ chức lớp chuyên đề đổi phương pháp giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy cách hiệu thiết thực để giáo viên có dịp trao đổi, học hỏi kinh nghiệm Phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay huyện, tỉnh cho giáo viên để áp dụng vào trình giảng dạy nhà trường XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày tháng 05 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả: Vũ Thị Tuyên 21 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán 9, tập 2.Sách tập toán 9, tập 3.Sách giá viên tốn 9, tập 4.Phương trình bậc hai số ứng dụng; tác giả Nguyễn Đức Tấn 5.500 toán chọn lọc lớp 9; tác giả Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Quang Hạnh – Ngô Long Hậu 6.Toán bồi dưỡng học sinh lớp - đại số; tác giả Vũ Hữu Bình - Tơn Thân - Đỗ Quang Thiều Ơn luyện thi vào lớp 10 mơn tốn; tác giả Tơn Thân – Mai Cơng Mãn - Nguyễn Văn Ngọc – Hồng Xn Vinh Ơn tập thi vào lớp 10 mơn tốn; tác giả Phan Dỗn Thoại(chủ biên) - Trịnh Thuý Hằng - Lại Thanh Hương – Hồng Xn Vinh Tạp chí tốn tuổi thơ 10 Các đề thi vào lớp 10 tỉnh thành nước 11 Đề thi học sinh giỏi mơn tốn lớp cấp tỉnh tỉnh Thanh Hoá 22 skkn DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Vũ Thị Tuyên Chức vụ đơn vị công tác: Tổ trưởng tổ tự nhiên, trường THCS Lê Thánh Tơng, huyện Thọ Xn, tỉnh Thanh Hố, Cấp đánh Kết giá xếp loại đánh giá TT Tên đề tài SKKN (Phòng, Sở, xếp loại (A, Tỉnh ) B, C) Một vài suy nghĩ từ Phịng A Sở C tốn Năm học đánh giá xếp loại 2003 – 2004 Tính giá trị dãy số Phòng B 2007 - 2008 Rèn luyện tư cho học Phòng C 2011 - 2012 Phòng B 2016 - 2017 sinh thơng qua dạng tập tính giá trị biểu thức Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng công thức nghiệm cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai vào giải dạng tập 23 skkn ... - 20 12 Phịng B 20 16 - 20 17 sinh thơng qua dạng tập tính giá trị biểu thức Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai vào giải dạng. .. học sinh giỏi cấp tỉnh 1 .2 Mục đích nghiên cứu Với sáng kiến kinh nghiệm "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai vào giải dạng. .. dạng tập " mong muốn giúp em học sinh lớp nắm vững công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai Các em biết vận dụng kiến thức vào giải tập, nắm hệ thống dạng tập Từ giúp học sinh