Chuyen de gioi han cua ham so 2023 hay chon loc

Cách tính giới hạn dãy số có chứa thức cực hay, chi tiết A Phương pháp giải +) Sử dụng kiến thức sau: • Với c số ta có: lim c = c, lim = Tổng quát lim (k ≥ 1) • Các phép tốn dãy có giới hạn hữu hạn - Nếu lim un = a lim = b - Nếu un ≥ với n lim un = a • Các phép tốn dãy có giới hạn vơ cực +) Phương pháp giải: a) Giới hạn dãy số dạng , f(n) g(n) biểu thức chứa => Chia (các số hạng) tử mẫu cho lũy thừa n có số mũ cao dãy dùng kết để tính Quy ước: Biểu thức có bậc Biểu thức có bậc b) Giới hạn dãy số dạng với f(n) g(n) đa thức => Rút lũy thừa n có số mũ cao sử dụng kết giới hạn dãy số vô cực để tính c) Giới hạn dãy số dạng vơ định ( dãy số dạng a) b) Các phép biến đổi liên hợp: B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính giới hạn A I = B I = - ) ta sử dụng phép biến đổi liên hợp để đưa C I = D I = + ∞ Hướng dẫn giải: Ta sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp Biểu thức liên hợp biểu thức Đáp án B Ví dụ 2: lim A + ∞ B - ∞ C -1 D bằng: Hướng dẫn giải: Đáp án B Ví dụ 3: Tính giới hạn: lim A - B C +∞ D - ∞ Hướng dẫn giải: Đáp án C Ví dụ 4: Giới hạn lim A - B C + ∞ D - ∞ Hướng dẫn giải: Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp bậc ba biểu thức Đáp án A Ví dụ 5: Tính giới hạn lim A B C + ∞ D - ∞ Hướng dẫn giải: Đáp án A Các dạng Tìm giới hạn hàm số dạng vơ định có đáp án Cách tìm giới hạn hàm số dạng 0/0, dạng vơ vơ A Phương pháp giải & Ví dụ Tìm f(x0) = g(x0) = Dạng ta gọi dạng vô định 0/0 Để khử dạng vơ định ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức: Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 ta có :f(x) = (x-x0)f1(x) * Nếu f(x) g(x) đa thức ta phân tích f(x) = (x-x0)f1(x)và : g(x) = (x-x0)g1(x) Khi , giới hạn có dạng 0/0 ta tiếp tục q trình Ví dụ minh họa Bài 1: Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn: Ta có: Bài 2: Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn: Ta có: Bài 3: Hướng dẫn: Đặt t = x - ta có: Cách tìm giới hạn hàm số dạng nhân vô A Phương pháp giải & Ví dụ Bài tốn: Tính giới hạn Ta biến đổi hạn hai dạng để làm dạng 0/0 ∞/∞ dùng phương pháp tính giới Tuy nhiên, nhiều tập ta cần biến đổi đơn giản đưa biểu thức vào (hoặc ngoài) dấu căn, quy đồng mẫu thức … Là đưa dạng quen thuộc Ví dụ minh họa Bài 1: Tính giới hạn: Hướng dẫn: Ta có: Bài 2: Tính giới hạn: Hướng dẫn: Ta có: www.VNMATH.com Những dạng vơ định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số Vậy L19 = 2x  x Ví dụ 20 : L20  lim x x  Bài giải : 2x  x (2x  4)  (x  4)  lim  x x  x x 2 L20  lim 4(2x 2  1) (x  2)(x+2) 2x  x2   lim  lim  lim  x x  x x  x x x 2 x 2 2x    lim  lim (x+2)  4ln  x x  x  lim Vậy L20 = 4ln2 -  x  e2x Ví dụ 21 : L21  xlim 0 ln(1+x ) Bài giải : ( 1 x 1)  (e2x 1) 1 x  e2x L21  lim  lim  x x ln(1+x ) ln(1+x ) 2 ( 1 x 1)  (e2x 1)  lim x ln(1+x )  x 1 e2x 1  lim  lim  x  ln(1+x ) x  ln(1+x )  e2x 1 2x  1 x 1)( (1 x )2   x  1)   lim  lim   x x   2x 2 2 ln(1+x ) ( (1 x )   x  1)ln(1+x )   ( x2 e2x 1 2x  lim  lim lim  2 x ( (1 x )2  1 x  1)ln(1+x ) x 2x x ln(1+x ) x2 e2x  2x  lim lim  lim lim  x x  ln(1+x ) x  2x x  ln(1+x ) (1  x )   x  1  1.(2)  3 Vậy L21  Kết luận : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 16 www.VNMATH.com Những dạng vơ định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số Để tính giới hạn dạng vô định hàm số mũ lôgarit, học sinh thực phép biến đổi để áp dụng giới hạn Yêu cầu học sinh phải thành thạo phép toán luỹ thừa lôgarit Để sử dụng giới hạn bản, cách thêm, bớt, nhân liên hợp, … học sinh phải biến đổi hàm số cần tìm giới hạn dạng : ln 1+f(x)  loga 1+f(x)  ef(x) 1 a f(x) 1 với lim f (x)  lim , lim , lim , lim x  x0 x  x0 f(x) x  x f(x) x  x0 x  x0 f(x) f(x) Bài tập tự luyện Tính giới hạn sau : 2) lim 1) 9x  5x x  4x  3x 3x  cosx 3) lim x x2 4) xlim 0 (1  ex )(1  cosx) 2x3  3x 1 1 x  5) lim  ln  x  x   x   6) xlim 0 esin2x  esinx 5x + tg x II GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH Giới hạn dạng vô định L  lim f(x) x  x0 g(x) (x   )    có dạng :  : lim f(x)  lim g(x)   x x x x (x  ) (x ) Để khử dạng vô định này, phƣơng pháp thông thƣờng chia tử mẫu f(x) cho luỹ thừa bậc cao tử mẫu phân thức Cụ thể nhƣ sau : g(x) 1) Nếu f(x), g(x) đa thức có bậc tƣơng ứng m, n ta chia f(x), g(x) cho xk với k = max{m, n} a m x m +a m1x m1 + +a1x+a với a m ,bn  0, m,n  N* n 1 x   b x n +b + +b1x+b0 n n 1x L  lim Khi xảy ba trƣờng hợp sau : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 17 www.VNMATH.com Những dạng vô định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số +) m = n (bậc tử mẫu nhau), chia tử mẫu cho xn ta a a a a m + m1 + + n11 + 0n x x  lim a m  a m x đƣợc: L  xlim  x  b b b b bn n bn + n 1 + + n11 + 0n x x x +) m > n (bậc tử lớn bậc mẫu, k = m), chia tử mẫu cho x ta đƣợc : m a a m1 a + + m11 + m0 x x  lim a m   x L  xlim  b bn 1 b1 b0 x  bn n + + + + x mn x mn x mn+1 x xm am + +) m < n (bậc tử nhỏ bậc mẫu, k = n), tƣơng tự nhƣ ta có : a0 a m1 am n m  n m+1   n x x 0 x L  xlim  b b bn  n 1   0n x x Học sinh cần vận dụng kết : 1 lim f (x)    lim  0, lim f (x)   lim  x x x  x f (x) x x x x f (x) 0 0 Sau xét ba trƣờng hợp này, học sinh cần tự rút nhận xét kết giới hạn cần tìm dựa vào bậc tử mẫu Lƣu ý chia tử mẫu cho xh với h min{m, n} 2) Nếu f(x), g(x) biểu thức có chứa thức ta quy ƣớc lấy giá m ( k bậc thức, m số mũ cao số hạng k thức) bậc thức Bậc tử ( mẫu) đƣợc xác định bậc cao biểu thức tử ( dƣới mẫu) Sau ta áp dụng phƣơng pháp khử nhƣ với trƣờng hợp f(x), g(x) đa thức Qua học sinh dễ dàng  phán đoán kết giới hạn dạng cần tìm  trị Ví dụ áp dụng : Ví dụ 22 : L22  xlim  2x3  3x 1 5x3  TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 18 www.VNMATH.com Những dạng vơ định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số Bài giải : Chia tử mẫu cho x3 ta đƣợc :   2x  3x 1 x x  L22  xlim  lim  x  5x3  5 x Vậy L22  Ta trình bày theo cách sau :  1 x3     2  x 2x  3x 1 x    lim x x  L22  xlim  lim  x   x     5x  5 x3    x x    3x (2x 1)(3x  x+2)   4x  2x+1  Ví dụ 23 : L23  xlim     Bài giải :  3x (2x 1)(3x  x+2)  12x  (2x+1)(3x  x+2) L23  xlim   lim    2  x     2x+1 4x 4x (2x+1)      4x  5x  x+2 x x x3      lim  lim x  x  8x3  4x 8+ x Vậy L23   Ví dụ 24 : L24  xlim  (x 1)(x  2)(x  3)(x  4)(x  5) (5x 1)5 Bài giải : (x 1)(x  2)(x  3)(x  4)(x  5)  x  (5x 1)5 L24  lim  lim x  Vậy L24         1  1  1  1   1   x  x  x  x   x     1 5   x  55 55 TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 19 www.VNMATH.com Những dạng vơ định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số x+3 x 1 Ví dụ 25 : L25  lim x  Bài giải : Chia tử mẫu cho x ta đƣợc : 1+ x+3 x L25  xlim  lim  x  2 x 1 x 1 x Vì phải đƣa x vào bậc hai nên ta xét hai trƣờng hợp : *) x    x >  x  Khi : lim x +  1+ x2 1+ 1+ x  lim x  lim x 1 x +  x +  x 1 x 1 1 12 x x x2 *) x    x <  x   x Khi đó, ta có : lim x  Vì lim x  1+ 1+ 1+ x  lim x  lim x  1 x  x  x 1 x 1  1 x x  x2 x+3  1, lim x+3  1 nên không tồn lim x+3 x  x  x 1 x 1 x 1 Ví dụ 26 : L26  xlim  9x   x  4 16x   x  Bài giải : Chia tử mẫu cho x ta đƣợc : 9x  x   9x   x  x x L26  lim  lim  5 x  x  4 16x   x  16x  x 7  x x 9x    x x x  lim x  4 16x    x x x5 Tƣơng tự Bài 25, ta xét hai trƣờng hợp : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 20 www.VNMATH.com Những dạng vô định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số *) x    x >  x  x2 , x  x4 9x  1   9 3  x x x  lim x x  0  x Khi : L+26  lim x  16x  x 16    16    x x5 x x x5 x4 *) x    x <  x   x , x   x Khi ta có : 9x  9x  1      9   x x x x x  lim  x x x x  L26  lim  lim x  16x  x 16x  x  16        x4 x x5 x x x5 x x5  x4 1  9   x x x   0   lim x   16   16    x x x Vì L+26  L26 nên ta có : L26  Kết luận : So với dạng vô định  , dạng vơ định “dễ tìm” Học sinh cần xác  định dạng cần quan tâm đến bậc tử mẫu để từ phán đốn  kết giới hạn cần tìm Chú ý giới hạn dạng hàm số có chứa  thức ta khơng nhân liên hợp Đây điểm khác biệt cân phân biệt để tránh nhầm lẫn Với giới hạn x   , cần lƣu ý hai khả x   x   phép lấy giới hạn có chứa bậc chẵn Nếu học sinh không để ý đến vấn đề dễ mắc phải sai lầm Hơn trƣờng hợp liên quan tới tốn tìm tiệm cận hàm số chứa thức Bài tập tự luyện  2x  3  4x+7  1) xlim  3x 110x 9  (2x  3)20 (3x+2)30 2) xlim  (2x+1)50 TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 21 www.VNMATH.com Những dạng vơ định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số 3) lim x  (x+1)(x  1) (x n  1) (nx)n  1   5) lim x  n+1 x5 1  x  x 1  x3  x  2x  3x 4) lim x  4x   x+2 6) xlim  ln(1  x  x) ln(1  x  x) III GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH    Dạng tổng quát giới hạn : lim f(x)  g(x) lim f(x)  lim f(x)   x x x x x x  (x  ) 0 (x ) (x ) Phƣơng pháp chủ yếu để khử dạng vô định biến đổi chúng dạng  vô định , cách đổi biến, nhân liên hợp, thêm bớt, …  Ví dụ áp dụng : Ví dụ 27 : L27  lim x   x2  x  x  Bài giải : Nhân chia biểu thức liên hợp tƣơng ứng : x  x +x , ta đƣợc : L27  lim x    lim x   ( x  x  x)( x  x +x)  x  x  x +x x  x  x  lim x2  x  x2 x  lim x  x +x x x  x +x Vì x   nên chia tử mẫu cho x ta có : lim x  Vậy L27  x x  x +x  lim x  1  1 1 x Trong ví dụ này, cách nhân liên hợp, ta chuyển giới hạn cần tìm  từ dạng    sang dạng  TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 22 www.VNMATH.com Những dạng vô định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số Ví dụ 28 : L28  lim  x+ x  x  x    Bài giải : L28  lim  x+ x  x   lim x    x x+ x  x x  lim  x+ x  x x x+ x  x  lim x  x 1  lim  ( chia tử mẫu cho x ) x+ x  x x 1+  x  lim x  Vậy L28  ( x+ x  x)( x+ x  x)  x+ x  x Ví dụ 29 : L29  lim  x  x   x  x    Bài giải : Trong ví dụ cần lƣu ý x  cần xét hai trƣờng hợp x  x  +) Khi x  : x  x     x  x   x    x  x   x    Do xlim     +) Khi x  giới hạn có dạng   Ta khử cách nhân liên hợp bình thƣờng ( x  x   x)( x  x   x) lim  x  x   x   lim  x     x   x x 3 x 1  x2  x   x2 x  x  lim  lim  lim x   x   x   2 x x 3 x x x 3 x x  x 3 1 x Khi x  x < 0, x   x TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 23 www.VNMATH.com Những dạng vô định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số 3 1  1 x x  lim   x   2 x2  x     1 1 x x x 1  lim x    x2  x   x   Vậy lim  x  x   x    , xlim     x    Qua ví dụ lần nhấn mạnh cho học sinh ý với giới hạn x  cần xét x  x  hàm số chứa thức bậc chẵn Ví dụ 30 : L30  lim  x3  3x  x  2x  x    Bài giải : Vì hàm số cần tìm giới hạn chứa thức khơng bậc nên ta thêm bớt để nhân liên hợp L30  lim  x3  3x  x  2x   lim ( x3  3x  x )  ( x  2x  x)   x    x    x  3x  x   lim  x  2x  x   G  G  xlim    x    +) G1  lim  x  3x  x   lim x    x   xlim    x  3x  x 3 x  3x 3 x  3x  x x  3x  x x  x 2  xlim  x  3x  x   3  1   1 1 x x   1 x  2x  x 2   x  2x  x  xlim  +) G  xlim     x  2x  x  lim x  2 x  2x  x x  lim x  2 2   1 2 1 1 x Vậy L30 = G1 - G2 = n   m  , (m, n  N* ) Ví dụ 31 : L31  lim  n  x 1  x m 1 x   Bài giải : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 24 www.VNMATH.com Những dạng vô định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số n   m   n   m L31  lim    lim         x 1  x m  x n  x1   x m  x    x n  x       m  n  lim    lim      G1  G m n x 1  x  x  x 1   x  x    m  (1  x  x   x m1 )  m +) G1  lim      lim x 1  x m  x  x 1  xm  (1  x)  (1  x )   (1  x m1 )  lim  x 1  xm  lim (1  x) 1  (1  x)   (1  x   x m2 )   (1  x)(1  x   x m1 )  (1  x)   (1  x   x m2 )    m  m   lim   x 1  x   x m1 m x 1 Tƣơng tự ta tính đƣợc G  Vậy L31  G1  G  n 1 m 1 n 1 m  n   2 Trong tập ta sử dụng thuật toán thêm, bớt để tách giới hạn cần tìm thành hai giới hạn tính giới hạn cách biến đổi dạng Việc thêm bớt biểu thức phải tinh tếvà phụ thuộc vào đặc điểm Kết luận : Đối với dạng vô định    , ta phải tuỳ vào đặc điểm mà vận dụng linh hoạt kỹ thêm bớt, nhân liên hợp, phân tích thành nhân tử để biến đổi khử dạng vô định Ta thƣờng chuyển chúng dạng vô định dễ  tính ,  Bài tập tự luyện   1) lim  x  x  x  x  x    2) lim  (x  1)2  (x  1)  x      3) lim  x  x  x  x  x  x  4) lim  x   x  x  x      TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 25 www.VNMATH.com Những dạng vô định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số 5) lim ln(5x  8)  ln(3x  5) 6) lim  (x  1)(x  2) (x  5)  x x  x  IV GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0. Dạng tổng quát giới hạn : lim f (x).g(x)  lim f (x)  0, lim g(x)   x  (x x ) x  (x x ) x  (x x ) Để khử dạng vô định này, ta thƣờng tìm cách chuyển chúng dạng giới  hạn khác dễ tình nhƣ , cách nhân liên hợp, thêm bớt, đổi biến …  Ví dụ áp dụng : Ví dụ 32 : L32  lim  x  x     x2   x   Bài giải : Ta khử dạng vô định cách nhân liên hợp để  đƣa dạng vô định  L32  lim  x x      x( x   x)( x   x)  x   x  lim   x x2   x TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 26 www.VNMATH.com Những dạng vô định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số x(x   x )  lim x2   x x   lim x  x    x >  x  Do : lim x  Vậy L32  x2   x x  lim x  5x x2   x  lim x  x2   x x x2 5  1 1 x Ví dụ 33 : L33  lim(1  x)tg x 1 x Bài giải : Đặt t   x ta có : x 1  t  (1  t)     t    L33  lim  t.tg  lim  t.tg       t 0  t 0   2    t t  t 2   lim  t.cotg   lim  lim  t 0  t 0 tg t  t 0 tg t   2 Vậy L33   Bài tập tự luyện 1) lim  x x    3) lim  x x       4x   2x   2) lim  x x      3x   3x        4x   8x   4) lim  tg2x.tg   x    x  4  x   5) lim  a  x  tg  x a 2a     1x   6) lim  x  e  e x    x     V GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 1 Dạng tổng quát giới hạn : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 27 www.VNMATH.com Những dạng vơ định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số lim f (x) g(x) , lim f (x)  1, lim g(x)   x x x x x x Hai giới hạn thƣờng đƣợc sử dụng tính giới hạn dạng vơ định 1 : x  1 +) xlim    e (1)   x  +) lim 1  x  x  e (2) x  Trong trình vận dụng, học sinh biến đổi dạng   lim 1   x x  f(x)  f(x) f (x)    e xlim x 0 lim 1  g(x)  g(x)  e x x lim g(x)  x x Để biến đổi giới hạn cần tìm, học sinh vận dụng mệnh đề sau (dựa vào tính liên tục hàm số mũ) “ Nếu hai hàm số f(x), g(x) thoả mãn điều kiện : 1) lim f (x)  a  x x 2) lim g(x)  b x x lim f (x) g(x) x x  ab ” Hai giới hạn mệnh đề sở để tính giới hạn dạng vơ  định Ví dụ áp dụng Ví dụ 34 : L34  lim 1+ sin2x  x x Bài giải : x L34  lim 1+ sin2x   lim 1+ sin2x  x x sin 2x sin 2x x    lim 1+ sin2x  sin 2x  x   TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) sin 2x x 28 www.VNMATH.com Những dạng vơ định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số Ta có : lim 1+ sin2x  sin 2x  e ( để học sinh dễ hiểu nên đặt t = sin2x) x sin 2x sin 2x  2lim 0 x 0 x 0 x 2x lim  Do : L34  lim 1+ sin2x  x  sin 2x   sin 2x x  x 1  Ví dụ : L35  lim   x  x     e2 43x Bài giải : Để sử dụng giới hạn ta biến đổi : x 1 1 x2 (x  2)  x 1  L35  lim   x  x    43x    lim 1   x   (x  2)   (x  2)  (x  2)    e  lim 1    x   (x  2)  Vì    3x 3x   x 3  lim  lim  xlim  (x  2) x  x  x  1   x    Bài 36 : L36  lim  tg   y   t 0   4 43x  (x  2) nên L35  e3   tg2  y  4    Bài giải : Đặt y  x  , x   y  Ta có : 4    L36  lim  tg   y   t 0   4   tg2  y  4   2tgy   lim 1   t 0   tgy  1 tg y 2tgy   tgy   lim   t 0  tgy   1 tg y 2tgy   2tgy   lim 1  t 0   tgy     1 tgy  2tgy      TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 2tgy 1 tg y 1 tgy 2tgy 29 www.VNMATH.com Những dạng vô định thường gặp tốn tìm giới hạn hàm số  1 tgy  2tgy  2tgy Vì lim 1   e  y0  tgy    2tgy  tg y  lim     lim  1  tgy   1 y0   tgy 2tgy  y0 nên L36  e1 Kết luận : Với dạng vơ định 1 , việc nhận dạng khơng khó khăn học sinh Tuy nhiên, để làm đƣợc tập, học sinh phải vận dụng tốt kỹ để đƣa giới hạn cần tìm hai giới hạn (1) (2) Hai kỹ chủ yếu đƣợc sử dụng đổi biến thêm bớt Bài tập tự luyện 1) lim 1  x  2 cot g x x 0  x2   3) lim   x  x    5) lim(cos 2x) x 0 x2 x2   tgx  sin x 2) lim   x 0  sin x   3) lim 1  sin x  cot gx x 1 1  6) lim  sin  cos  x  x x  TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) x 30 ... pháp nhân lượng liên hợp Kỹ thuật 1: Thay x = vào Suy giá trị ta cần thêm bớt Kỹ thuật 2: Cho x – = ⇔ x = sau giải hệ trị cần thêm bớt giá tương tự câu b) thay x = vào thêm bớt, cụ thể: Như giá... dẫn: Ta có: Vậy A = -2/3 Bài 6: Hướng dẫn: Ta có: Mà Cách tìm giới hạn hàm số dạng nhân vơ cực hay A Phương pháp giải & Ví dụ Bài tốn: Tính giới hạn Ta biến đổi hạn hai dạng để làm dạng 0/0 ∞/∞... Bài 4: Hướng dẫn: Bài 5: Hướng dẫn: Bài 6: Hướng dẫn: Cách tính giới hạn hàm số có chứa thức cực hay, chi tiết A Phương pháp giải - Đối với giới hạn hàm số dạng vô định , sử dụng phép biến đổi