CHUYÊN đề GIỚI hạn của hàm số

CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ PHẦN I: PHẦN LÝ THUYẾT BÀI TẬP MINH HỌA Dạng 1. Định nghĩa giới hạn Phương pháp: Định nghĩa và các tính chất Với mọi số nguyên dương , ta có: ; , , Xác định dấu hoặc dựa trên dấu của tích số, thương số, , , Ví dụ 1. Tính giới hạn a. ; b. ; c. ; d. ; Giải a. ; b. c. ; d. . Dạng 2. Giới hạn một bên Phương pháp: Nếu thì không tồn tại Nếu thì Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi . Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi . Ví dụ 2. Tìm giới hạn a. ; b. ; Giải a. ; b. Dạng 3. Khử dạng vô định Phương pháp: 1) Phương pháp khử dạng vô định khi x  +, x  – Xét hàm số: thì

Hướng dẫn giải: CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ PHẦN I: PHẦN LÝ THUYẾT BÀI TẬP MINH HỌA Dạng Định nghĩa giới hạn Phương pháp: Định nghĩa tính chất Với số nguyên dương , ta có: k Xác định dấu +∞ ( 3x + 1) ( − 3x ) Lim a x →0 c + x + x + x3 Lim x→0 1+ x x +1 ( 3x + 1) ( − 3x ) Lim x +1 x →+∞ ; lim x k = +∞ , x →−∞ lim x k +1 = −∞ x →−∞ dựa dấu tích số, thương số, –∞ Ví dụ Tính giới hạn a ; b x →0 lim x k = +∞ ; c ; Lim x →−1 =2 Lim x →0 ; d x + − x −3 Lim = x →−1 x −1 =0 x →±∞ x k lim , x → x0+ x → x0− x → ±∞ d 5x −1 Lim x →1 2x + 3x + − x x −1 Giải b ; , , + x + x + x3 =1 1+ x 5x − −1 Lim = = x →1 2x + 2+7 Dạng Giới hạn bên Phương pháp: x → x0+ ⇔ x > x0 x → x0− ⇔ x < x0 Nếu lim+ f ( x) ≠ lim− f ( x) x → x0 Nếu lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L x → x0 • • Hàm số Hàm số  f ( x) x ≠ x0 y= x = x0 k  f ( x) x > x0 y=  g ( x) x ≤ x0 lim f ( x) x → x0 x → x0 x → x0 Ví dụ Tìm giới hạn khơng tồn lim f ( x) = L x → x0 liên tục liên tục x = x0 x = x0 lim f ( x) = k x → x0 lim+ f ( x ) = lim− g ( x) x → x0 x → x0 ; a lim+ x →3 + 3x − x x−3 ; b ; x −4 x−2 lim+ x→2 Giải a + 3x − x lim+ = −∞ x →3 x−3 ; b x →2 Dạng Khử dạng vô định f ( x) = ∞ ∞ x−2 = lim+ x →2 a0 x + a1 x + + am , a0 ≠ 0, b0 ≠ b0 x n + b1 x n −1 + + bn 2) Đưa biểu thức ngồi dấu căn: ; A = A, B =B 3 0 m < n  a lim f ( x) =  m = n x →±∞  b0 ±∞ m > n x → −∞ ; Khi x = −x x2 = x Ví dụ Tính giới hạn a a 2x2 +1 lim x →+∞ x − x + 2+ x x2 + lim = lim =0 x →+∞ x − x + x →±∞ x −3+ x Dạng Khử dạng vô định Phương pháp: x+2 = +∞ x−2 x → +∞, x → –∞ m −1 m ( x − 2) ( x + 2) ∞ ∞ Phương pháp: 1) Phương pháp khử dạng vô định Xét hàm số: x2 − = lim+ x→2 x−2 lim+ 0 ; ; b lim x →+∞ x x +1 x2 + x + Giải b 1 + x x +1 x x =0 lim = lim x →+∞ x + x + x →+∞ 1 1+ + x x x → +∞ Đối với hàm phân thức: , ta phân tích f ( x) lim x → x0 g ( x ) f ( x ) ( x − x0 ) f1 ( x) = g ( x ) ( x − x0 ).g1 ( x ) rút gọn cho x − x0 Đối với biểu thức chứa thức, ta nhân lượng liên hợp để khử thức, tạo thừa số x − x0 rút gọn Ví dụ Tính giới hạn a ; b x − 16 x3 + x Lim x →−2 x + 3x − x2 + x Lim x →−4 Giải a Lim ( x − ) ( x + ) = Lim ( x − ) ( x + ) = −8 x − 16 = Lim x →−2 x3 + x x →−2 x2 ( x + 2) x2 Lim ( x − 1) ( x + ) = Lim x − = x + 3x − = Lim x →−4 x →−4 x + 4x x ( x + 4) x x →−2 b x →−4 Dạng Khử dạng vô định ∞−∞ hay 0.∞ Phương pháp: Đặt nhân tử chung lũy thừa cao x Nhân chia lượng liên hợp để khử Ví dụ Tính giới hạn sau: lim x →+∞ ( x +3 − x Quy đồng mẫu phân số Chuyển dạng 0 ) ∞ ∞ biết ; Giải lim x →+∞ ( ) x + − x = lim x →+∞ x = lim =0 x →+∞ x +3+ x 1+ +1 x PHẦN II PHẦN BÀI TẬP TỰ GIẢI (LẤY ĐIỂM MIỆNG) A PHẦN TỰ LUẬN Bài Tính giới hạn a ; b ( 3x + 1) ( − 3x ) Lim x →0 x +1 + x + x + x3 Lim x→0 1+ x ; c ; 3x2 + − x Lim x →−1 x −1 d 5x −1 Lim x →1 2x + ; e Lim x→2 x2 − x +1 x −1 HD: Thay vào (3x + 1)(2 − 3x ) = =2 x +1 lim x →0 b a 3x + − x =− −1 − c.lim x →−1 d lim x →1 Bài Tìm giới hạn a ; b + 3x − x lim+ x →3 x−3 f lim− x →3 + x + x + x3 = =1 1+ x x →0 lim ( 3− x + x ) ; c 2x +1 lim+ x →2 x − x −4 x−2 lim+ x→2 ; g 3x + lim x → 2− x + ; 5x −1 = 2x + h 2x +1 lim x →3+ x − ; ; d m 2x +1 lim− x→2 x − 2x +1 lim x →3 x − ;e ; n 3x + lim+ x →3 − x ; 2− x lim− x →2 x − x + HD: n lim− x→2 Bài 2− x 2− x −1 = lim− = lim− =− x − x + x→ ( x − 1) ( x − ) x→ 2 x − Tìm giới hạn a b 2x +1 x − 64 lim− ( − x ) x→4 lim ( x − 1) x →+∞ x2 + x + 3x + HD: a lim− ( − x ) x→4 b lim ( x − 1) x →+∞ 2x +1 = lim x − 64 x →4− ( − x ) ( x + 1) ( x − ) ( x + x + 16 ) = lim− x →4 ( − x ) ( x + 1) (x + x + 16 ) =0   1+ ÷  x +1 1 x   = lim  − ÷  =2 x + 3x + x →+∞  x  1+ + x3 x Bài Tìm giới hạn hàm số sau: ; a)  x − 3x + x >  f ( x ) =  x −1 − x x ≤  x =1 lim f ( x) , lim− f ( x) x → xo + Phương pháp: Tính x → xo , b)  x − x + x ≤ f ( x) =  x > 4 x − x=2 x → x0+ ⇔ x > x0 x → x0− ⇔ x < x0 Nếu Nếu lim f ( x) ≠ lim− f ( x) x → x0+ lim f ( x) = lim− f ( x) = L x → x0+ khơng tồn x → x0 lim f ( x) = L x → x0 lim f ( x) x → x0 x → x0 HD: a Ta có: + ) lim+ f ( x) = lim+ x →1 x →1 ( x − 1) ( x − ) = lim x − = − x − 3x + = lim+ x →1 ( x − 1) ( x + 1) x →1+ x + x −1  x + ) lim− f ( x) = lim−  − ÷ = − x →1 x →1  2 lim+ f ( x) = lim− f ( x) = − Nhận thấy: x →1 x →1 1 ⇒ lim f ( x ) = − x →1 2 b Ta có: +) lim− f ( x) = lim− ( x − x + ) = 22 − 2.2 + = x→2 x →2 x→2 x →2 +) lim+ f ( x ) = lim+ ( x − 3) = 4.2 − = lim f ( x) ≠ lim− f ( x ) ⇒ Nhận thấy: Bài Tìm a) x → 2+ m lim f ( x) x →2 x →2 Không tồn để hàm số có giới hạn tại:  + x −1 x <   f ( x) =  1− x −1  x ≥ m + x=0 ; b) x + m  f ( x ) =  x + 100 x +  x+3  x < x=0 x ≥ lim f ( x) , lim− f ( x) x → xo + x → xo Phương pháp: Tính , Để có giới hạn điểm cho lim f ( x) = lim− f ( x) = L x → x0+ x → x0 Ta giải PT để tìm m HD: a Ta có: 1  + ) lim+ f ( x) = lim+  m + ÷ = m + x →0 x →0  2 ( −1 = lim 1+ x + ) lim− f ( x) = lim− x →0 x →0 1− x −1 = lim− x→0 x2 (( 1− x ( ) x → 0− ( ) = lim + 1− x +1 ) + x2 + x ) ( + x + 1) ( ( − x ) + − x + 1) + 1) ( − x − 1) ( ( − x ) + − x + 1) + x2 −1 x → 0− + x2 x (( 3 1− x ( ) ) =0 + 1− x +1 ) + x2 + 2 3 lim+ f ( x ) = lim− f ( x) ⇔ m + x →0 x →0 Để hàm số có giới hạn x=0 b Ta có: 1 =0⇔m=− 2 x + 100 x + 3 = =1 x →0 x →0 x+3 +) lim− f ( x) = lim− ( x + m ) = m +) lim+ f ( x) = lim+ x →0 x →0 lim f ( x) = lim− f ( x) ⇔ m = Để hàm số có giới hạn x=0 Bài Tính giới hạn a ; b 3x − x + Lim x →+∞ x + x + d x2 + lim x →+∞ x − x + x → 0+ x →0 ; c x + x + − 3x − 3x ; Lim x →−∞ ; e Lim x →−∞ x + 3x + − x x − x + + 3x x − x + 10 x →+∞ x + x − lim HD: 3x − x + = x →+∞ x + x + a lim x + x + − 3x = lim x →−∞ − 3x b lim x →−∞ 1 + − 3x x x2 = − 3x −x 1+   3 − x  + + − 1÷ + −x x x 8x + 3x + − x x x   = −1 c lim = lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞   2 x − x + + 3x − x − + + 3x −x  − + − 3÷ x x x x   x +1 d lim = x →+∞ x − x + x − x + 10 e lim = =2 x →+∞ x + x − 3 −x + Bài Tính giới hạn ; b x − 16 a Lim x →−2 Giải: x3 + x x + 3x − Lim x →−4 x + 4x ;c x3 − Lim x →1 x ( x + ) − ; d Lim x →−5 x + x − 15 x+5 ( x + 2) ( x − 2) ( x + ) ( x − 2) ( x2 + 4) x − 16 a lim = lim = lim = −8 x →−2 x + x x →−2 x →−2 x2 ( x + 2) x2 ( x + ) ( x − 1) = lim x − = x + 3x − = lim x →−4 x →− x →−4 x x + 4x x ( x + 4) b lim ( x − 1) ( x + x + 1) x3 − x2 + x + c.lim = lim = lim = x →1 x ( x + ) − x →1 x →1 x+6 ( x − 1) ( x + ) ( x − 3) ( x + ) = lim x − = −8 x + x − 15 d lim = lim ( ) x →−5 x →−5 x →−5 x+5 x+5 Bài Tính giới hạn ; b ; c x+7 −2 a Lim + x − Lim x →0 4x x −1 x →1 ; d x +5 −3 x−2 lim x →2 lim x →2 x− x+2 4x +1 − ;e lim x →0 x 1+ x −1 Phương pháp: Nhân biểu thức liên hợp Giải: 4+ x −2 = lim x →0 4x a.lim x →0 b.lim x →1 = lim x →1 x+7 −2 = lim x →1 x −1 ( x − 1) (( ( 4+ x −2 4x ( ( )( 4+ x +2 4+ x +2 x+7 −2 )(( ( x − 1) (( x+7 ) x2 + − c.lim = lim x→2 x →2 x−2 + 23 x + + ( ( x − 2) ( x + 2) x→2 ( x − ) ( x + + 3) = lim ( ( x2 + − ( x − 2) ( = lim x→2 )( ) x →0 x+7 x+7 x −1 ) ) ) = lim x →1 ( x2 + + ) = x ( 4+ x +2 + 23 x + + x2 + + x+2 4x + 23 x + + x2 + + )( )( ) = lim x+7 ) ) ) = lim ) = lim x →2 ( 4+ x +2 ) = + 23 x + + = 12 x2 − ( x − 2) ( x2 + + ) = )( )( ) ) ( x− x+2 x+ x+2 4x + + ( x2 − x − 2) 4x +1 + x− x+2 d lim = lim = lim x →2 x →2 x + − x →2 x + − 4x +1 + x + x + ( 4x − 8) x + x + ( x − ) ( x + 1) ( x + + 3) x→2 ( x − 2) ( x + x + ) = lim = lim x→2 ( x + 1) ( ( 16 ) x →0 4x +1 + x+ x+2 ) ) =9 ( ) ) x = lim + x − x →0 e.lim x →0 Bài x ( ( ) 1+ x +1 )( + x −1 ) 1+ x +1 Tính giới hạn a Lim x →1 = lim x ( ) = lim 1+ x +1 x x →0 x →0 ; b x+7 − x+3 x −1 ( ) 1+ x +1 = 3x + − + x x ; c 3 lim x →0 lim x →0 1+ x − 1− x x Phương pháp: Thêm bớt lượng để nhân với biểu thức liên hợp Giải: x+7 − x+3 = lim x →1 x −1 a.lim x →1 ( )(( x+7 −2− ( x+3−2 x −1 ) ) = lim  x →1 )   x+7 −2 − x −1  x+7 −2 x + + 23 x + + x+3−2 x+3+2  = lim  − x →1 ( x − 1) x + +  ( x − 1) x + + x + +      x −1 x −1 = lim  −  x →1 ( x − 1) x + +   ( x − 1) x + + x + +     1  = −1 =−1 = lim −  x →1 3 x + +  12  x + + x + +  (( (( ( ) ) x →0 (   = lim  x →0 x  ( ( )( ) ) x+3−2    x −1   )    ) ) 3x + − − 3x + − + x = lim x →0 x b.lim   = lim  x →0   ) ) ( ( 3x + − x ( ( )( 3x 3x + +  = lim  − x →0  3x + +  ) ( − x ) (( ) −( + 5x + 5x − + 5x − x 3 x 3x + + 3x + + ( + 5x ) + 5x ) ) ) + + x +    + + 5x +  + 5x    + + 5x +   5x 3 )  =3− =1  + + x +  12  ) (( )(( ) ) ( ) 3 + x − − − x −1 1+ x − 1− x 1+ x −1 c.lim = lim = lim  − x →0 x →1 x →0  x x x   1+ x −1 1+ x + + x +1  − x −1 − x +1   = lim  −  x →0 3 x 1− x +1   x 1+ x + 1+ x +1       x x = lim  −  x →0  x 1+ x + 1+ x +1 x 1− x +1      1   = 1−1 =−1 = lim − x →0  3 1− x +1   + x + + x +  ( )(( (( (( ) ) ) ) ) ( ) lim ) ( = lim a lim ( x +3− x b lim ( x + x − 4+ x x →+∞ x →−∞ x2 + − x ( x →+∞ 2 ) ) ) ) x →+∞ ) − x −1    x  ) Bài 10 Tính giới hạn sau: a) Giải: )( ( ( ( ) ( ( ( = lim )( ( x2 + + x x2 + + x ) ( ) = lim x →+∞ x2 + x − + x2 x →−∞ x +3 − x )( b) ) lim x →−∞ ( x2 + + x x2 + x + + x2 x + x + 4+ x 2 ) ) ( x2 + x − + x2 ) =0 ) = lim x →−∞ x−4 ( x + x + + x2 )  4 x 1 − ÷ −1  x = lim = x →−∞   −x  + + +1 ÷ x x   B PHẦN TRẮC NGHIỆM Đáp án: 1C 2D 3C 4A 5B 6D 11D 12B 13D 14B 15C 16A Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A ∞ B C lim − x→ =− x Câu 2: lim + x→0 x+x x −x+1 lim x→−2 = +∞ x5 lim x→ 7D 17B = +∞ x 8D 18B 9B 19C D lim + x→ x 10C 20B ∞ =+ A − B 10 HD: Thay vào Câu 3: x +x +1 x→−1 2x3 + C −∞ D − 10 − bằng: lim B A −2 C -1 D HD: Thay vào Câu 4: 5x2 + 2x + lim x→+∞ x2 + A bằng: B C D C D 5+ + 5x2 + 2x + x x =5 lim = lim x →+∞ x →+∞ x2 + 1+ x HD: Câu 5: lim x→−3− A x −6 + 3x B −∞ +∞ x2 − x →−3 + x + ) lim− ( x − ) = (−3) − = > HD : lim− x →−3 + ) lim− ( + 3x ) = 0, + 3x < ∀ x < −3 x →−3 x2 − ⇒ lim− = −∞ x →−3 + x Câu 6: lim − x→1 A −1 −3x − x −1 bằng: B −∞ C −3 D +∞ −3 x − x →1 x −1 +) lim− ( −3x − 1) = −3.1 − = −4 < HD :lim− x →1 +) lim− ( x − 1) = 0, x − < ∀ x < x →1 ⇒ lim− x →1 −3 x − = +∞ x −1 Câu 7: 3x − 2x x→+∞ 5x4 + 3x + lim A B +∞ C − D −∞ −2 3x − x5 x HD : lim = lim x →+∞ x + x + x →+∞ + 4+ x x x 3  + ) lim  − ÷ = −2 < , x →+∞ x   5  + ) lim  + + ÷ = , + + > x → +∞ x →+∞ x x x  x x x5  −2 3x − x5 x ⇒ lim = −∞ ⇒ lim −∞ x →+∞ x →+∞ x + x + + + x x x5 Câu 8: lim − x→2 A x −1 x−2 B +∞ Câu 9: 2x + lim x →2 x − C D C D −∞ bằng: + A Câu 10: B 2x − x→+∞ − x2 +∞ −∞ −2 bằng: lim A B C −2 D HD: Chia tử mẫu cho x2 Câu 11: là: x2 − x→−1 x3 + lim A B − HD: Thay vào Câu 12: Tính x x→1 x + C D C D −2 Kết là: lim A B HD: Thay vào Câu 13: Chọn kết B ) lim 4x − 3x + x + x→−∞ A ( C +∞ : D −∞   1  HD : lim ( x5 − x3 + x + 1) = lim  x5  − + + ÷ = −∞ x →−∞ x →−∞ x x x    Câu 14: A 3x3 − x2 + lim x→−1 x−2 B HD: Thay vào Câu 15: 3x − 2x + x→+∞ 5x4 + 3x + C D C D lim A +∞ B HD: Chia tử mẫu cho x4 Câu 16: 3x2 − x5 lim x→−1 x4 + x + 5 A B HD: Thay vào Câu 17: B D bằng: x2 + 3x − lim x→−4 x + 4x A −1 C C D − ( x − 1) ( x + ) = lim x − = −4 − = x + 3x − = lim x →−4 x →−4 x →−4 x + 4x x ( x + 4) x −4 HD : lim Câu 18: A − x2 − 12x + 35 lim x→ x−5 B HD : lim x →5 C −2 D 5 ( x − ) ( x − ) = lim x − = − = −2 x − 12 x + 35 = lim ( ) x →5 x →5 x −5 x−5 Câu 19: bằng: x +2 2 x −2 lim x→− A B − 2 C D 2 ( − )( x + x2 − x + x3 + 2 HD : lim = lim x →− x →− x2 − x+ x− ( 2 2 ) )( ) + ( − 2) −( − 2) + = =− 2 ( − 2) − 2 x2 − x = lim x →− x− Câu 20: A −2x5 + x4 − lim x→−∞ 3x2 − B +∞ là: C −2 D −∞ -Hết