Đang tải... (xem toàn văn)
TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI DƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU KHÔNG VUÔNG GÓC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dựng đường thẳng chứa a và song song với b (hoặc đường thẳng chứa b và song song với a) để tính khoảng cách giữa hai[.]
TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI DƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU KHƠNG VNG GĨC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI : Dựng đường thẳng chứa a song song với b (hoặc đường thẳng chứa b song song với a) để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, u cầu tính khoảng cách đường thẳng chéo d (thuộc mặt đáy) đường thẳng SC thuộc mặt bên khối chóp trường hợp d khơng vng góc với SC Dựng hình: Tìm giao điểm C cạnh bên SC mặt đáy (giao điểm cạnh thuộc mặt bên mặt đáy) Từ C ta dựng đường thẳng xCy d Khi d(d;SC) = d(d;(Sxy)) Gọi M d HC d d(M;(Sxy)) Ta có : d(M;(Sxy)) MC MC d(M;(Sxy)) d(H;(Sxy)) d(H;(Sxy)) HC HC Chú ý: Để tính d(d;(Sxy)) ta lấy điểm thuộc d (không thiết điểm M) cho việc quy đổi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng (Sxy) dễ dàng B BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vng B có AB = a, BC a Biết SA a a) Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB Lời giải a) Dựng Bx / /AC, AE Bx (SAE) Bx Dựng AF SE d(AC;SB) AF Dựng BH AC dễ thấy AE BH Ta có: AF AE.SA SA AE a a 30 10 b) Dựng Cy/ /AB d(AB,SC) d(AB,(SCy)) Dựng AM Cy, AN SM d(AB;(SCy)) AN Lại có : AM BC a AN AM.SA SA AM 2 a 21 27 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H cạnh AB, góc mặt phẳng (BCC’B’) mặt phẳng đáy 60 Tính khoảng cách đường thẳng AA’ BC Lời giải Dựng HK BC BC (B'HK) B'KH 60 Ta có : HK HBsin 60 B'H HK tan 60 a 3a Do AA'/ / BB' d(AA';BC) d(AA';(B'C'C)) d(A;(B'C'CB)) 2d(H;(B'C'CB)) 2HE Ta có : HE HK.B'H B'H HK 2 3a 3a Do d Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, AB = AC = 2a, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AB, biết SA a Tính khoảng cách d đường thẳng SA BC Lời giải Gọi H trung điểm cạnh AB Khi SH (ABC) SH SA2 HA2 a Dựng Ax / /BC d(SA;BC) d(B;(SAx)) Dựng HK Ax (SHK) Ax Dựng HE SK d(B;(SAx)) 2d(H;(SAx)) Ta có : HK AH sin HAK d(H;(SAx)) HE Do d(SA; BC) a SH.HK SH2 HK a 2a Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB a , AC = a, tam giác SBC tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách d hai đường thẳng SB AC Lời giải Gọi H trung điểm BC Ta có SH BC Mặt khác (SBC) (ABC) SH (ABC) Ta có : BC AB2 AC2 2a SH BC a Dựng Bx / /AC d(AC;SB) d(AC;(SBx)) d(C;(SBx)) d Dựng : HK Bx, HE SK HE (SBx) d(C;(SBx)) 2d(H;(SBx)) 2HE Ta có : HK AB a SH.HK a 21 HE 2 SH2 HK Do : d 2d(H;(SBK)) 2a 21 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a, SA (ABCD) Gọi M trung điểm cạnh CD, biết SA a Tính khoảng cách hai đường thẳng SD BM Lời giải Dựng DN BM N trung điểm AB Khi d(SD;BM) d(BM;(SDN)) d(B;(SDN)) d(A;(SDN)) Dựng AE DN DN (SAE) , dựng AF SE AF SE AF (SDN) Khi AF DN Ta có : AE AN.AD AN AD 2 2a Do d(B;(SDN)) d(A;(SDN)) AF AE.SA AE SA 2 2a 2a 145 29 29 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B, AB = BC = 2a SA (ABC) Gọi M trung điểm AC Biết góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính khoảng cách d đường thẳng AB SM theo a Lời giải AB BC BC (SAB) SBA góc mặt phẳng (SBC) Ta có : BC SA (ABC) Ta có : SA ABtanSBA 2a Dựng Mx//AB Khi d(AB;SM) d(AB;(SMx)) d(A;(SMx)) Dựng AE Mx;AF SE d(A;(SMx)) AF Do AE//BC nên EAM ACB 45 Suy AE AMcos45 a Do AF SA.AE SA AE 2 2a 39 d 13 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA (ABCD) , đường thẳng SC tạo với đáy góc 45 Tính khoảng cách đường thẳng SB AC Lời giải Ta có : AC a 2;SCA (SC;(ABCD) 45 SA AC a Dựng Bx / /AC d(AC;SB) d(AC;SBx) Dựng AE Bx, AF SE d AF Ta có : BE / /AC BE BD dễ dàng suy OEBO hình chữ nhật suy AE OB d AE.SA AE SA a 2 a 10 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC a Hình chiếu vng góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thỏa mãn HA 2HB Góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) 60 Tính khoảng cách đường thẳng SA BD Lời giải Dựng HK CD SKH 60 Ta có : SH HK.tan 60 BC.tan 60 3a Dựng Ax / /BD d(SA;BD) d(BD;(SAx)) d(B;(SAx)) d(H;(SAx)) Dựng HE Ax, HF SE d(H;(SAx)) HF Ta có : tan ABD HAE ABD 60 HE HA.sin 60 Do HF 2a a 3 SH.HE SH2 HE 3a 9a d(SA; BD) 7 Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ( ABCD) Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng AB CM Lời giải BC AB BC ( SAB) SBA góc mặt phẳng Ta có: BC SA (SBC) (ABC) Ta có: SA AB tan SBA a Do AB//CM d(AB;CM) = d(AB;(CMD)) Dựng AH SD d(A;(SCD)) = AH Lại có: AH SA.AD SA AD 2 a d ( AB; CM ) Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính d khoảng cách đường thẳng AC C’D Lời giải Dễ thấy AB’//C’D d(AC;C’D) = d(C’D;(ACB’)) Khi d = d(D;(B’AC)) Mặt khác OB = OD (với O tâm hình vng ABCD) Khi d(D;(B’AC)) = d(B;(B’AC)) BD AC AC ( BB ' O) , dựng BH B ' O Do AC BB ' Suy H ( B ' AC ) h BH BO.BB ' BO BB '2 a Ví dụ 11: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn BD cho HD = 3HB Biết góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng đáy 45 Tính khoảng cách đường thẳng SA BD Lời giải Dựng HK CD CD (SHK ) (SCD; ABCD) SKH 45 Ta có: HKD vng cân K HK KD 3a 3a SH HK tan 45 2 Dựng Ax / / BD ta có: d (SA; BD) d ( BD;(SAx)) d ( H ;(SAx)) Dựng HE Ax HE OA a Dựng HF SE HF (SAx) Ta có: HF SH HE SH HE 2 3a 34 d ( SA; BD) 17 Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = 2a, AD a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, gọi M trung điểm cạnh CD Biết SM tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60 , tính khoảng cách d đường thẳng AM SB Lời giải Ta có: M AD2 DM 2a SA AM tan 60 2a Dựng Bx / / AM d ( AM ; SB) d ( A; SBx) Dựng AK Bx, AH SK Ta có: tan MAB MD MAD 30 AD BAK 30 AK ABcos30 a d ( A;( SBx)) AH a 12 a 60 5 Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AD a , hình chiếu vng góc đỉnh S xuống mặt đáy trung điểm AB, biết tam giác SCD tam giác vuông S nằm mặt phẳng tạo với đáy góc 45 Tính khoảng cách d đường thẳng SA BD Lời giải Gọi H trung điểm AB Dựng HF CD HF AD a Ta có: CD (SHF ) SFH 45 SH HF tan 45 a 2; SF HF 2a Do tam giác SCD vuông cân nên CD = 2SF = 4a Suy d ( A; BD) AB AD AB AD 4a Dựng Ax / / B D, HK Ax, HE SK 1 4a 2a 4a Ta có HK d ( A; BD) Do d ( SA; BD) HE 2 3 11 Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H tam giác ABC, biết mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60 Tính khoảng cách đường thẳng SA BD Lời giải Ta có ABC cạnh a nên H trực tâm tam giác ABC CH AB CH BC CD (SHC ) SCH 60 Ta có: OB a BD a HB HC a a Khi SH tan 60 a 2 Dựng Ax//BD,HE Ax, HF SE HE OA d ( SA; BD) HF HE.SH HE SH 2 a a Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng có AB = BC = a, A’B = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B’C Lời giải Ta có: AA ' A ' B2 AB2 a Dựng Cx / / AM d ( AM ; B ' C ) d ( AM ;( B ' Cx)) d ( M ;( B ' Cx)) d ( B;( B ' Cx)) BE Cx BF ( B 'Cx) d(B;(B'Cx)) BF Dựng BF B ' E Lại có BE 2BP , BP Suy BE 2a BF Do d ( AM ; B ' C ) AB.BM AB BM BE.BB ' BE BE a 2a a Ví dụ 16: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt bên hình vuông cạnh a Gọi D, E trung điểm BC, A’C’ Tính khoảng cách cặp đường thẳng a) B’C’ A’B b) DE AB’ Lời giải a) Do lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt bên hình vng cạnh a Nên ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng với hai đáy tam giác cạnh a Ta có: B ' C '/ / BC B ' C '/ /( A ' BC ) d(B'C';A'B) d(B'C';(A'BC)) d(B';(A'BC)) Gọi I A'B AB ' I trung điểm AB’ Khi d ( B ';( A ' BC )) d ( A;( A ' BC )) Dựng AH A ' D d ( A ';(A'BC)) AH Trong AA ' a; AD AA '.AD AA '2 AD a a 21 d AH EF / / A'B' (EFD)//(A'B'BA) DE//(A'B'BA) b) Gọi F trung điểm B’C’ FD / / B ' B Khi d(DE;AB') d(DE;(A'B'BA)) d(D;(A'B'BA)) Dựng DK AB( K AB) d (D;(A'B'BA)) DK DB sin DBK a a sin 60 Ví dụ 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB = a, AD = a , SA ( ABCD) Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm SA Tính khoảng cách hai đường thẳng SC DM Lời giải BC SA BC ( SBA) ( SBC );( ABC )) SDB 60 Ta có: BC AB Do SA AB tan 30 a Để tính d(SC;DM) ta đổi đỉnh hình chóp C.DAS có CD (SAD) Dựng Sx / / DM d (DM;SC) d (DM;(CSx)) d(D;(CSx)) Dựng DE Sx, DF CE d ( D;(SCx)) DF Do SE / / DM DE d ( S ; DM ) d ( A; DM ) a a 15 AD AM 3a 3a AD AM a Suy DF DE.CD CD DE 2 a d ( SC; DM ) Ví dụ 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, SA ( ABCD) Biết AD = 2a, AB = BC = a SD tạo với đáy góc 30 Gọi K trung điểm SD Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AK Lời giải Do SA ( ABCD) ( SD;( ABCD)) SDA 30 SA AD tan 30 2a BA AD BA ( SAD) ta cắt khối chóp B.SAD có đường cao BA Ta có: BA SA Dựng Sx / / AK d (SB; AK ) d ( AK ;(SBx)) Dựng AE Sx, AF BE d ( AK ;(SBx)) d ( A;(SBx)) AF Do AK SK 2a SD ASK 90 ADS 60 SAK cạnh Do AE d ( S ; AK ) Vậy d ( SB; AK ) a 2 SA a AF AB AE AB AE 2 a 2 ... AE a a 30 10 b) Dựng Cy/ /AB d(AB,SC) d(AB,(SCy)) Dựng AM Cy, AN SM d(AB;(SCy)) AN Lại có : AM BC a AN AM.SA SA AM 2 a 21 27 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có... SKH 60 Ta có : SH HK.tan 60 BC.tan 60 3a Dựng Ax / /BD d(SA;BD) d(BD;(SAx)) d(B;(SAx)) d(H;(SAx)) Dựng HE Ax, HF SE d(H;(SAx)) HF Ta có : tan ABD HAE ABD 60 ... M AD2 DM 2a SA AM tan 60 2a Dựng Bx / / AM d ( AM ; SB) d ( A; SBx) Dựng AK Bx, AH SK Ta có: tan MAB MD MAD 30 AD BAK 30 AK ABcos30 a d ( A;( SBx)) AH