CÁC DẠNG TOÁN VI ET THI VÀO 10 Dạng 1 Bài toán nhẩm nghiệm Phương pháp Để nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta làm như sau + B1 Tính ∆ = b2 – 4ac Nếu ∆ < 0 thì không tồn tại nghiệm[.]
Trang 1CÁC DẠNG TOÁN VI-ET THI VÀO 10Dạng 1: Bài toán nhẩm nghiệmPhương pháp
- Để nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta làm như sau:+ B1: Tính ∆ = b2 – 4ac Nếu ∆ < 0 thì khơng tồn tại nghiệm của phương trình Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2
+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 sử dụng Vi-et ta nhẩm nghiệm như sau:
- Nếu hệ số a = 1 thì phương trình có dạng x2 + bx + c = 0(*) ta phân tích hệ số c thành tích của 2 số trước rồi kết hợp với b để tìm ra 2 số thỏa mãn tổngbằng –b và tích bằng c Hai số tìm được là nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0 Tóm lại trong trường hợp này ta có kết quả sau
x2 + (u + v)x + uv = 0 x2 - (u + v)x + uv = 0
- Nếu hệ số a ≠ 1 ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa phương trình về dạng (*) rồi nhẩm nghiệm
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm :
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm :
Ví dụ : Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau
a x2 – 11x + 30 = 0b x2 – 12x + 27 = 0c 2x2 + 3x + 1 = 0d 3x2 – 2x - 1 = 0
Trang 2a Phương trình đã cho có ∆ = 112 – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Vi-et ta có (*)
Ta thấy 30 = 15.2 = (-15).(-2) = 10.3 = (-10).(-3) = 6.5 = (-6).(-5) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 11 nên hai số thỏa mãn (*) là 6 và 5
Suy ra các nghiệm của phương trình là : x1 = 5, x2 = 6
b Phương trình đã cho có ∆ = 122 – 4.27 = 144 – 108 = 36 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Vi-et ta có (*)
Ta thấy 27 = 9.3 = (-9).(-3) = 1.27 = (-1).(-27) nhưng ta cần chọn hai số cótổng bằng 12 nên hai số thỏa mãn (*) là 9 và 3
Suy ra các nghiệm của phương trình là : x1 = 3, x2 = 9 c Phương trình đã cho có: a - b + c = 2 – 3 + 1 = 0
Suy ra các nghiệm của phương trình là : d Phương trình đã cho có: a + b + c = 3 + (-2) + (-1) = 0
Suy ra các nghiệm của phương trình là :
Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tíchPhương pháp
Trang 3+ Kiểm tra điều kiện để tồn tại hai số u và v: Nếu S2 < 4P thì khơng tồn tại hai số u và v, nếu S2 ≥ 4P thì tồn tại hai số u và v
+ Trong trường hợp tồn tại, hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0
Ví dụ: Tìm hai số biết
a Tổng của chúng bằng 8, tích của chúng bằng 11b Tổng của chúng bằng 17, tích của chúng bằng 180
Giải
a.Vì S = 8, P = 11 thỏa mãn S2 ≥ 4P nên tồn tại hai số cần tìm Hai số đó là nghiệm của phương trình x2 – 8x + 11 = 0
∆ = (-8)2 – 4.11 = 64 – 44 = 20 > 0 Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Vậy hai số cần tìm là:
b.Với S = 17, P = 180 thì S2 = 289 < 4P = 720 nên không tồn tại hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài
Dạng 3: Tính giá trị hoặc viết biểu thức liên hệ giữa các nghiệmPhương pháp
Trang 4*) Sử dụng định lý Vi-et khơng cần giải phương trình ta vẫn có thể tính được tổng và tích các nghiệm hoặc các biểu thức có liên quan đến tổng và tích các nghiệm thơng qua các bước sau:
+ B1: Tính ∆ = b2 – 4ac Nếu ∆ < 0 thì phương trình vơ nghiệm do đó khơng tồn tại tổng và tích các nghiệm của phương trình Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2, ta thực hiện bước 2
+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 áp dụng Vi-et ta có Một số hệ thức thường gặp: .
*)Để tìm hệ thức giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai khơng phụ thuộc tham số ta làm như sau:
Trang 5B2: áp dụng Vi-et tìm
B3: Biến đổi kết quả khơng chứa tham số nữa
Ví dụ
Ví dụ 1: Khơng giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các
phương trình sau
a x2 – 6x + 7 = 0b 5x2 – 3x + 1 = 0
Giải
a Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac = (-3)2 – 7 = 9 – 7 = 2 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Vi-et ta có:
Vậy tổng 2 nghiệm bằng 6, tích 2 nghiệm bằng 7
b Ta có ∆ = b2 – 4ac = (-3)2 – 4.5.1 = 9 – 20 = -11 < 0 nên phương trình vơ nghiệm
Suy ra khơng tồn tại tổng và tích các nghiệm
Ví dụ 2: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 5x + 2 = 0 Khơng giải phương trình tính giá trị của biểu thức
Giải
Trang 6Vậy A = 21
Ví dụ 3: Cho phương trình (m là tham số) Tìm một hệ
thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà khơng phụ thuộc vào m.
Giải
, Vậy phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Lấy (1) – (2): x1 + x2 - 2 x1x2 = 4 không phụ thuộc vào m
Dạng 4: Sử dụng hệ thức Vi-et để xác định tính chất các nghiệm của phươngtrình bậc hai( hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, )
Phương pháp: cho phương trình ax2 + bx + c =0(a ≠ 0)
a Điều kiện để phương trình
1 Hai nghiệm cùng dấu và P > 02 Hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0
3 Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ; S > 0 và P > 04 Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ; S < 0 và P > 05 Hai nghiệm đối nhau và S = 0
6 Hai nghiệm nghịch đảo của nhau và P = 1
7 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S < 0
8 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S > 0
b Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p là một số thực)
Trang 7B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình: x1 và x2
B4- Thay x1 và x2 vào (2) Tìm giá trị tham số.
c So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0)B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 (*)
+/ Với bài tốn: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α
Ta có (*) Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m+/ Với bài tốn: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α
Ta có (*).Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m+/ Với bài tốn: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2
Ta có (*) Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m
Ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình (x là ẩn số, m là tham số) a Tìm m để phương trình có hai nghiệm
b Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Giải
a Phương trình có 2 nghiệm khi
Vậy với thì phương trình có hai nghiệmb Với thì phương trình có 2 nghiệm x1 , x2
Trang 8Ta có: Ta có Vì nên 26 – 3m ≠ 0
Chia hai vế của (*) cho ta được
Kết hợp suy ra Thay vào suy ra (thỏa mãn )
Vậy là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho phương trình (m là tham số)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phânbiệt
Giải
Trang 9Vậy với thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Bài tập vận dụng
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – 3x – 7 = 0 Khơng giải phương trình tính:
Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x2 – 3x – 1 = 0 Khơng giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 3: Cho phương trình
Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa:
Bài 4: Tìm m để phương trình x2 – 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa
mãn
Bài 5:Tìm giá trị m để phương trình x2 – 2(m – 1)x +m – 3 = 0 có 2 nghiệm tráidấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối
Bài 6:Tìm giá trị m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu vànghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
Trang 10Bài 8:Tìm m để phương trình mx2 – (5m – 2)x + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm đối nhau.
Bài 9: Cho phương trình: Tìm m để phương trình có 2
nghiệm trái dấu thỏa mãn
Bài 10: Cho phương trình: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2020 để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
Bài 11: Tìm hai số u và v biết
a u + v = 15 và u.v = 36b u + v = 4 và u.v = 7c u + v = -12 và u.v = 20
Bài 12: Tìm u – v biết u + v = 15, u.v = 36, u > vBài 13: Tìm hai số x, y biết x2 + y2 = 61 và xy = 30
Bài 14: Cho phương trình x2 – 7x + q = 0, biết hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm của phương trình
Bài 15: Cho phương trình x2 – qx + 50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia Tìm q và hai nghiệm của phương trình
Bài 16: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 2) 5x2 – 17x + 12 = 0
3) x2 – (1 + )x + 3 = 0
4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + 1 + 3 = 0 5) 3x2 – 19x – 22 = 0
Bài 17: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 5x2 + 24x + 19 = 0
2) ( + 1)x2 + 2 x + - 1 = 0 3) x2 – 11x + 30 = 0
4) x2 – 12x + 27 = 0 5) x2 – 10x + 21 = 0.
Bài 18: Cho phương trình 2x2
+ (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) Tìm một hệthức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà khơng phụ thuộc vào m.
Bài 19: Cho phương trình x2
Trang 11Bài 20: Cho phương trình 2x2
+ (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà khơng phụ thuộc vào m.
Bài 21: Cho phương trình (m + 2)x2
- (m + 4)x + 2 - m = 0 (m là tham số) Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trìnhđã cho khơng phụ thuộc vào m.
Bài 22: Cho phương trình mx2
+ 2(m – 2)x + m – 3 = 0 (m là tham số) Khi
phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trìnhđã cho khơng phụ thuộc vào m
Bài 23: Cho phương trình
Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Bài 24: Cho phương trình bậc hai:
Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2
Bài 25: Cho phương trình bậc hai
Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏhơn