Lap phuong trinh tiep tuyen cua do thi ham so

LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Cho đồ thị     C y f x Tiếp tuyến tại điểm     0 0 0 0 0 ; '''' M x y y y f x x x   Phương trình tiếp tuyến này có 3 yếu tố[.]

Trang 1

LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải

Cho đồ thị  C : y f x 

- Tiếp tuyến tại điểm M x y 0;0: y y0 f ' x0 x x0.

Phương trình tiếp tuyến này có 3 yếu tố: hồnh độ tiếp điểm x0, tung độ tiếp điểm y0 và hệ số góc: f' x0 k tan 0 , x t

- Tiếp tuyến đỉ qua A x y A; A:

Lập phương trình tiếp tuyến tổng quát tại x0 với ẩn x0 rồi cho qua A thì tính được x0

Cách khác: lập phương trình đường thẳng qua A

 

AA

y yk x x yg x

Tìm hệ số góc k hằng cách giải hệ phương trình cho tiếp điểm:

      ''g xfxxxfg

Chú ý: Với hai đường thẳng d y: ax b d, ' : ya x b'' thì có: dd' khi aa b', b' : / / 'dd khi aa b', b d'; d' khi a a ' 1.

II Ví dụ minh họa

Bài tốn 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn:

a) 3234yx  x  b) 4222.y  xx  Giải a) D. Ta có y' 3 x26 , "x y 6x6"01

y    x nên đồ thị có điểm uốn I 1; 2  Phương trình tiếp tuyến tại M x y 0;0

 00  0 '312y fxx x f x  x  nên y  3x 5. b) D. Ta có 321'44 , "124, "03

y   x  x y   x  y    x nên đồ thị có hai điểm uốn

113;93I và 113;93J

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn đó là:

8733 3y  x và 8 733 3y x

Trang 2

a) 32

263

y x  x  và có hệ số góc bé nhất b) y  x33x2 và có hệ số góc lớn nhất

Giải

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đó

ạ) 2  2

'6126 616,

y  x  x   x  dấu = khi x01 nên max 'y  6, do đó tiếp tuyến tại

 1; 1

A  là y  6x 5.

b) 2  2

'363 313,

y   x  x  x dấu = khi x0 1 nên min 'y 3, do đó tiếp tuyến tại D 1; 2 là

31.

y x

Bài toán 3 Cho hàm số 2

2xyx 

 có đồ thị  C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết nó vng góc với đường thẳng 1 8.

2y x Giải Tập xác định: D\ 2 24',2.2yxx  

 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

182

y x nên hệ số góc k 2.

Hồnh độ tiếp điểm thoả mãn phương trình:

2 122242222xxx         122,x    ta có tiếp tuyến y   2x 5 4 2. Với x2   22, ta có tiếp tuyến y   2x 5 4 2.

Bài toán 4 Cho hàm số 13

34

y x  x có đồ thị  C . Lập phương trình các tiếp tuyến của  C ,

song song với d y: 6 x

Giải

Tập xác định 32

'3.

4

D y  x 

Ta có tiếp tuyến song song với d y: 6x nên

  2203'3 6122 3.4fx  x   x x  

Trang 3

Bài toán 5 Lập phương trình tiếp tuyến đi qua A 0; 2 với đồ thị  C : yx35x22. Giải Ta có: 320050 2y x  x 2' 310y  x  x nên   2000'3 10fx  x  x

Phương trình tiếp tuyến tại M x y 0;0 bất kỳ là:  2   32 

00000

3 105 2

y x  xx x x  x 

Cho tiếp tuyến qua    2   32 

000000;2 : 23 1005 2A  x  x x  x  x 32205000205000x  x  xx   x  hoặc 0 52x 

Với x0 0 thì có tiếp tuyến y2. Với 0 5

2

x  thì có tiếp tuyến 25 2.4

y  x

Bài toán 6 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C : y2x biết tiếp tuyến cắt Oy tại

 3; 0 B Giải Với 2   x0x2 thì y'x12 2

Phương trình tiếp tuyến tại M x y 0;0

 0 00122 2yx xxx

Cho tiếp tuyến qua B(3; 0):

 0 00  0 00103232 2012 2xxxxxx   (chọn)

Vậy tiếp tuyến cần tìm: 1

3 2

y  x

Bài tốn 7 Cho hàm số 2

23xyx

 (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),

biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O

Trang 4

Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng 1. Gọi toạ độ tiếp điểm là x y0;0, ta có:2011223xx    hoặc x0 1.

Với x0  1, y01 thì phương trình tiếp tuyến y x (loại) vì A, B trùng nhau tại O

Với x0 2, y00 thì phương trình tiếp tuyến y  x 2 (thoả mãn) Vậy, tiếp tuyến cần tìm:

2.

y  x

Bài toán 8 Cho hàm số: yx3mx m 1, với m là tham số thực Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với trục Oy, tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2

Giải

Tập xác định D. Ta có y' 3 x2m.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy thì A0;m1 

Phương trình tiếp tuyến d tại A là: yy' 0 x 0  y 0 ymx m 1 Giao điểm của tiếp tuyến d với Ox là Bm;,m

m   100 Ta có: 1 . 1 . 1 1 1222OABABmSOA OByxmm Nên 2221 4OABS  m  m  mmmmmmmmm       22213 22421 4 1 Vậy m1 và m  3 2 2

Bài toán 9 Cho hàm số: 3

1xyx

 có đồ thị  C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  C đến tiếp tuyến bằng 2 2

Giải Tâp xác định DR\ 1 Ta có  24',11yxx 

Phương trình tiếp tuyến d tại M x y 0;0   C , x0 1

Trang 5

Ta có:   xxxd I ;x       220004041632 22 2161  24220002 0001811601401143xxxxxx         

Với x0 1 ta có phương trình tiếp tuyến y x 2 Với x0  3, ta có phương trình tiếp tuyến y x 6.

Bài toán 10 Cho hàm số: y x33x22. Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng, tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho OB9OA.

Giải

Tập xác định 2

, ' 36

D y  x  x

Tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho OB9OA nên hệ số góc của tiếp tuyến d là:

tan OB 9kOABOA   Do đó  2022023 01'936923 03xxxyxxxxVNx              