TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU I Phương pháp giải 1 Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau Định lí Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì * Điểm đó cách đều hai tiếp điểm *[.]
TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU I Phương pháp giải Định lí hai tiếp tuyến cắt Định lí: Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: * Điểm cách hai tiếp điểm * Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến * Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi ngoại tiếp đường tròn Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc tam giác Đường trịn bàng tiếp Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với hai phần kéo dài hai cạnh gọi đường tròn bàng tiếp tam giác Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác góc A giao điểm hai đường phân giác góc ngồi B C , giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác góc ngồi B (hoặc C ) Với tam giác, có ba đường trịn bàng tiếp II Bài tập Bài 1: (26/115/SGK T1) Cho đường trịn (O) Điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) a) Chứng minh OA BC b) Vẽ đường kính CD Chứng minh BD / / AO c) Tính độ dài cạnh ABC , biết OB 2cm ; OA 4cm Giải GT Đường tròn (O) A (O) AB AC tiếp tuyến (O) CD đường kính KL *OA BC *BD / /OA * Tính cạnh ABC OB 2cm ; OA 4cm Chứng minh a) Chứng minh OA BC Muốn chứng minh AO vng góc với BC phải chứng minh ABC cân A ABC có: AB AC (vì AB AC hai tiếp tuyến đường tròn (O) cắt A nên theo định lí Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: Điểm cách hai tiếp điểm ABC cân A (Tam giác có hai cạnh tam giác cân ) Đường phân giác AO BAC lại đường cao ứng với đáy BC ) AO BC ( AO đường phân giác BAC theo định lí…) b) Chứng minh BD / / AO BCD có OB OD OC (cũng bán kính đường trịn (O) ) CD BCD vuông B (Theo định lí: Nếu tam giác có đường trung tuyến thuộc cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng) BD BC OA BC (chøng minh trªn) BD / /OA (cùng vng góc với BC ) c) Tính độ dài cạnh ABC Muốn tính độ dài cạnh tam giác ta thường sử dụng định lí tam giác vng Định lí sử dụng nhiều định lí Py-ta-go BOA vng B (chứng minh trên) AB2 OA2 OB2 AB2 42 22 16 12 nên OA2 OB2 AB2 (Định lí Py-ta-go) AB 12 4.3 3(cm) Mà AB AC nên AC 3(cm) OBA vng B (Theo định lí tiếp tuyến ) có OB OD OC OA 2(cm) nên OBA 2 nửa tam giác OAB 30 BAC 2OAB 2.30 60 nên AB BC CA 3cm ABC tam giác Bài 2: (27/115/SGK T1) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) , kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến với đường trịn (O) , cắt tiếp tuyến AB AC theo thứ tự D E Chứng minh chu vi tam giác ADE 2AB Giải GT Đường tròn (O) Tiếp tuyến AB AC M BC Tiếp tuyến M cắt AB D cắt AC E KL Chứng minh chu vi ADC 2AB Chứng minh AB , AC , DE tiếp tuyến đường tròn (O) Muốn giải ta phải sử dụng định lí: Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: Điểm cách hai tiếp điểm…) Do ta có: DM DB ; EM EC AB AC (giả thiết) chu vi ADE là: AD DE EA AD DM EM AE AD BD EC AE AB AC AB (vì AB AC ) Bài 3: (28/116/SGK T1) Cho xAy khác góc bẹt Tâm đường tròn tiếp xúc với hai cạnh xAy nằm đường nào? Giải Gọi O tâm đường tròn tiếp xúc với hai cạnh xAy Kẻ OB Ax OC Ay OB OC (cùng bán kính đường tròn ) O cách cạnh xAy nên O nằm tia phân giác xAy Bài 4: (29/116/SGK T1) Cho xAy khác góc bẹt Điểm B thuộc tia Ax Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax B tiếp xúc với Ay Giải Làm để dựng đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh Ax điểm B tiếp xúc với cạnh Ay xAy ? Biết đường tròn tiếp xúc với hai cạnh góc tâm đường trịn cách hai cạnh góc Theo tính chất đường phân giác góc: Mọi điểm nằm phân giác góc cách hai cạnh góc Do ta có cách dựng: Vẽ tia phân giác Am xAy Vẽ Bn Ax B Bn cắt Am O Vẽ đường tròn tâm O , bán kính OB đường trịn phải dựng Đường trịn tiếp xúc với Ay O cách Ax Ay Bài 5: (30/116/SGK T1) Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB Gọi Ax By tia vng góc với AB ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, cắt Ax , By theo thứ tự C D a) Chứng minh COD 90 b) CD AC BD c) Chứng minh: Tích AC , BD không đổi điểm M di chuyển nửa đường tròn Giải GT Nửa đường tròn tâm O đường kính AB Ax tiếp xúc (O) A , By tiếp xúc với (O) B CD tiếp xúc (O) M , C Ax , D By KL *COD 90 *CD AC BD *AC.BD không đổi Chứng minh a) Chứng minh COD 90 Làm để chứng minh COD 90 ? Có nhiều cách chứng minh góc có số đo 90 Với giả thiết này: “Tiếp tuyến”, “vng góc” ta dùng định lí: “Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: * Điểm cách hai tiếp điểm *Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến *Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm O O Từ định lí ta có: O3 O4 nên O1 O2 O3 O4 mà O1 O2 O3 O4 180 180 90 Vậy COD 90 Cách khác: Theo định lí về: Hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: OC tia phân giác AOM OD phân giác MOB Mà AOM MOB hai góc kề bù, OC OD (Theo tính chất: Hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) Vì COD 90 b) Chứng minh CD AC BD Biết CD CM MD Từ ta thấy Muốn có CD AC BD ta phải làm xuất hai đẳng thức Từ hai đẳng thức vừa có ta cộng vế với vế điều phải chứng minh Theo định lí hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm ta có CM CA DM BD CM MD AC BD CD AC BD c) Chứng minh tích AC.BD khơng đổi M di chuyển nửa đường tròn Vận dụng kiến thức để chứng minh tích AC.BD khơng đổi? Muốn chứng minh đại lượng khơng đổi, ta tìm mối liên hệ đại lượng phải chứng minh không đổi với đại lượng không đổi có sẵn đề Đại lượng khơng đổi có đề đại lượng nào? Với nửa đường trịn cố định độ lớn nửa đường trịn khơng đổi, đường kính đường trịn khơng đổi dĩ nhiên bán kính đường trịn cho đại lượng khơng đổi Một tốn có nhiều đại lượng khơng đổi, ta sử dụng đại lượng không đổi cần cho việc chứng minh mà thơi Ta thấy bán kính OM đại lượng khơng đổi mà ta phải sử dụng Vì OM đường cao ứng với cạnh huyền CD COD vuông O Do COD vng O có đường cao OM ứng với cạnh huyền CD nên: OM CM MD (Theo định lí hệ thức lượng tam giác vuông “ Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền Mà CM AC MD BD (chứng minh trên) Do đó, OM AC.BD Nhưng OM không đổi nên OM không đổi Do AC.BD khơng đổi M di chuyển nửa đường trịn đường kính AB Bài 6: (31/116/SGK T1) Trên hình 82 tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn (O) a) Chứng minh 2AD AB AC BC b) Tìm hệ thức tương tự hệ thức câu a) Giải GT ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Đường tròn (O) tiếp xúc với AC F Tiếp xúc với BC E KL *2AD AB AC BC * Tìm hệ thức tương tự a) Chứng minh 2AD AB AC BC Theo định lí vẽ hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm ta có AD AF ; BD BE ; CE CF AB AC BC ( AD BD) ( AF CF ) ( BE CF ) AD AF BD BE CF CE AD AD BD BD CE CE AO Vậy 2AO AB AC BD b) Các hệ thức tương tự hệ thức câu a) là: 2BE AB BC AC 2CF AC BC AB Bài 7: (32/116/SGK T1) Cho ABC ngoại tiếp đường trịn bán kính 1cm Diện tích tam giác ABC ( A)6cm2 ; ( B) 3cm2 ; Hãy chọn câu trả lời (C ) 3 cm ; ( D)3 3cm2 Giải Câu D đáp án ... M , C Ax , D By KL *COD 90 *CD AC BD *AC.BD không đổi Chứng minh a) Chứng minh COD 90 Làm để chứng minh COD 90 ? Có nhiều cách chứng minh góc có số đo 90 Với giả thiết này:... 180 90 Vậy COD 90 Cách khác: Theo định lí về: Hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: OC tia phân giác AOM OD phân giác MOB Mà AOM MOB hai góc kề bù, OC OD (Theo tính chất: Hai tia... Hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) Vì COD 90 b) Chứng minh CD AC BD Biết CD CM MD Từ ta thấy Muốn có CD AC BD ta phải làm xuất hai đẳng thức Từ hai đẳng thức vừa