Mat cau noi tiep ngoai tiep khoi da dien vpacb

MẶT CẦU NỘI NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN I Phương pháp giải Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện và hình đa diện gọi là nội tiếp m[.]

MẶT CẦU NỘI NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN I Phương pháp giải Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện hình đa diện gọi nội tiếp mặt cầu _Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp có đường tròn ngoại tiếp _Điều kiện cần đủ để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng đáy hình lăng trụ có đường trịn ngoại tiếp Xác định tâm O mặt cầu ngoại tiếp _Hình chóp S A1 A2 An có đáy đa giác nội tiếp đường tròn  C  , gọi  trục đường trịn gọi O giao điểm  với mặt phẳng trung trực cạnh bên, chẳng hạn cạnh SA1 OS  OA1  OA2   OAn nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp _Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác nội tiếp đường tròn Gọi I , I  hai tâm đường tròn ngoại tiếp đáy II  trục đường trịn Gọi O trung điểm II  O cách đỉnh nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp hình đa diện Mặt cầu tiếp xúc với mặt hình đa diện gọi mặt cầu nội tiếp hình đa diện hình đa diện gọi ngoại tiếp mặt cầu Xác định tâm I mặt cầu nội tiếp: Tìm điểm I cách tất mặt khối đa diện Với mặt song song I thuộc mặt phẳng song song cách đều, với mặt phẳng cắt I thuộc mặt phân giác (chứa giao tuyến qua đường phân giác góc tạo đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với giao tuyến) Chú ý: 1) Với tứ diện có cách chọn đáy tam giác Nếu có mặt tam giác vng, cân, chọn ưu tiên mặt 2) Với hình chóp đều, lăng trụ sử dụng trục hình khối 3) Nếu khối đa diện có mặt cầu nội tiếp bán kính r  3V Stp 4) Nếu khối đa diện có mặt khơng nội tiếp đường trịn khơng có mặt cầu ngoại tiếp (vì có mặt phẳng chứa mặt cắt mặt cầu theo đường trịn ngoại tiếp đa giác) II Ví dụ minh họaa Bài tốn Cho hình chóp S.ABC biết SA  a, SB  b, SC  c ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc a) Định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Chứng minh điểm S, trọng tâm tam giác ABC tâm mặt cầu ngoại tiếp thẳng hàng Giải a) Gọi J trung điểm AB Vì tam giác SAB vng S nên trục  đường thẳng vng góc với mp(SAB) J Gọi I giao điểm  mặt phẳng trung trực đoạn thẳng SC I cách bốn điểm S, A, B,C Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC có tâm I có bán kính R  IA Ta có: R2  IA2  IJ  AJ a  b2  c  SC   AB            2 Diện tích mặt cầu là: S  4 R    a  b  c  b) Vì SC // IJ nên SI cắt CJ điểm G SC  2IJ nên CG  2GJ Vì CJ trung tuyến tam giác ABC nên G trọng tâm tam giác ABC  đpcm Bài toán Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a chiều cao h Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác Suy kết cho tứ diện cạnh a Giải Giả sử SH đường cao hình chóp S.ABC SH trục tam giác ABC Trong mặt phẳng (SAH), đường trung trực SA cắt SH O O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính mặt cầu R  SO Gọi I trung điểm SA tứ giác AHOI nội tiếp nên: SO.SH  SI SA  SO  SA2 SA2  2SH 2h a 3 a  3h2 Ta có SA  SH  AH  h       2 2   a  3h2  a  3h Suy R  SO  V  6h 162h3 Với tứ diện cạnh a h  a suy thể tích tương ứng Bài tốn Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a, ASB  60, BSC  90 CSA  120 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp Giải Ta có AB  a, BC  a AC  a nên tam giác ABC vuông B Gọi SH đường cao hình chóp, SA  SB  SC nên HA  HB  HC suy H trung điểm cạnh AC Tâm mặt cầu thuộc trục SH Vì góc HSA  60 nên gọi O điểm đối xứng với S qua điểm H thì: OS  OA  OC  OB  a Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm O có bán kính R  a Bài tốn Tứ diện ABCD có AB  6, CD  , cạnh lại 74 Định tâm tính diện tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện Giải Gọi M, F thứ tự trung điểm AB, CD K tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Khi K thuộc CM Hạ KO  FM O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, R  OD Ta có CM  DM  74   65 Và MF  65  16  Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Ta có R  abc 37  CK  R  4S 65 Các tam giác đồng dạng OKM CFM suy : OM CM MK CM  CM  R  CM 28   OM    4 MK MF MF MF Do OF  Suy R  OD  OF  FD   16  Vậy diện tích mặt cầu S  4 R2  100 Bài tốn Cho hình hộp ABCD.ABC D Biết góc CA (ABCD) 30 , góc mp  ABC  mp(ABCD) 45 khoảng cách từ C  đến  ACD  a Tính thể tích khối hộp cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AADE , E trung điểm CD Giải Vì AA   ABCD  nên  CA,  ABCD    ACD  90 Vì AA   ABCD  AB  BC nên   ABC  ,  ABCD    ABA  45 Ta có : d  C ;  ACD    d  D ;  ACD    d  A,  ACD    AH Với H hình chiếu A lên AD Đặt AA  x Tam giác AAB vuông cân A nên AB  x Tam giác AAC vuông A, có ACA  30 Suy AC  x Khi AD  BC  AC  AB  3x  x  x Tam giác AAD vng A , có đường cao AH 1 1 1 a      x 2 AH AA ' AD a x 2x Vậy VABCD ABCD  a a a 12 3a 3  (đvtt) 2 2 Vì ADE  AAE  90 nên tứ diện AADE nội tiếp mặt cầu đường kính AE, bán kính R 1 AE  AD2  DE  AA2  AD2  DE 2 2 3a 3a a 39   3a   2 Bài tốn Cho tứ diện SABC có SA  mp  ABC   SBC    SAB  Cho biết SB  a 2, BSC  45 a) Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b) Tính tan góc   ASB để hai mặt phẳng (SCA),(SCB) hợp góc 60 Giải a) SA  mp  ABC   SA  BC Hạ AH  SB AH  mp  SBC  Do BC  mp  SAH  suy BC  SB Các điểm A B nhìn đoạn SC góc vng nên có mặt cầu đường kính SC ngoại tiếp tứ diện SABC, bán kính: R SC SB a 2   a 2 b) Hạ AK  SC Vì AH   SBC  nên AH  SC Vậy SC  mp  AKH  nên AKH  g   SCA ,  SCB   Ta có góc AKH  60 nên AK  HK Mà AH  SA sin  ; HK  Vậy: sin   SH SA cos x  2 cos  sin   tan    cos  Bài tốn Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên a a) Tính thể tích hình chóp cho b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Giải a) Tam giác SAC tam giác có cạnh a nên có đường cao SH  a a  2 Ta có SH đường cao hình chóp nên a a3 V  a2  b) Gọi O trọng tâm tam giác SAC O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính mặt cầu là: R  OS  SH  a  S  4 R   a 3 Bài tốn Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải Tâm mặt cầu ngoại tiếp giao điểm I hai trục hình vng ABCD tam giác SAB Trục hình vng ABCD đường thẳng d vng góc với (ABCD) tâm O, trục tam giác SAB đường thẳng vng góc với (SAB) tâm K Gọi N trung điểm AB,  SAB    ABCD  nên IONK hình chữ nhật, đó: 2 a 3 a 2 a 21 R  IB  IO  OB            2 Bài tốn Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD  60 Hình chiếu H S lên mặt phẳng (ABCD) nằm đoạn thẳng AC cho CA  3CH Gọi E F trung điểm SC SD Biết BE vng góc với CF, tính thể tích khối chóp S.ABCD bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD Giải Vì ABCD hình thoi cạnh  BAD  60 nên BCD tam giác cạnh a Ta có CA  3CH nên H trọng tâm tam giác ABC a a  nên 3 Ta có HB  HC  HD    BE.CF  HE  HB HF  HBC       1 HS  HC  2HB HS  HD  2HC 2  HS  HC.HD  2HC  2.HB.HD  4.HB.HC  1 a 2a a 2a    HS      4 3  1 7a   HS   4  Mà BE  CF  BE.CF   HS  3  a 42 Ta có: VSABCD  S ABCD SH  a.a.sin 60 a 42 a 14  12 Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD giao điểm trục SH đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD đường trung trực cạnh SB tam giác SHB, R  OS Gọi M trung điểm SB Ta có hai tam giác SBH, SOM đồng dạng  SO SM  SB SH Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD 7a a  SM SB SB  9a  3a 42 R  SO    SH 2SH 28 a 42 42 Bài tốn 10 Cho hình tứ diện ABCD cạnh a, gọi B, C , D trung điểm cạnh AB, AC, AD Chứng minh hình chóp cụt BC D.BCD có mặt cầu ngoại tiếp Tính bán kính mặt cầu Giải Gọi AH đường cao hình tứ diện ABCD AH trục hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tam giác BC D , gọi I giao điểm đường thẳng AH mặt phẳng trung trực đoạn thẳng BB  IB  IC  ID  IB  IC   ID hay sáu điểm B, C, D, B, C , D nằm mặt cầu tâm I, bán kính IB Gọi K trung điểm BB  từ hai tam giác vng đồng dạng AIK ABH, ta có: IK AK BH AK   IK   BH AH AH Do IB  IK  KB2  a 3a  2a a 9a a 11a   32 16 32 Vậy bán kính mặt cầu R  IB  a 11  a 22 Bài tốn 11 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có cạnh a Giải Gọi I , I  tâm đường trịn đáy tâm mặt cầu ngoại tiếp tọa độ ABC ABC  trung điểm O II , R  OB Ta có : OB2  BI  IO2  a   a 2        a     12 Vậy bán kính R  a 21 Bài tốn 12 Cho khối đa diện có mặt cầu nội tiếp S  I , r  Tính bán kính r theo thể tích V diện tích tồn phần Stp Giải Gọi S1 , S2 , , Sn diện tích mặt khối đa diện Phân chia khối đa diện thành n hình chóp có đỉnh I đáy mặt khối đa diện 3 Ta có : V  V1  V2   Vn  S1.r  S2 r   Sn r 3 Nên V   S1  S2   Sn  r  Stp r  r  3V Stp Bài toán 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO  cạnh đáy Điểm M, N trung điểm cạnh AC, AB tương ứng Tính thể tích hình chóp SAMN bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp Giải Do ABC tam giác nên: AM  MN  NA  SAMN  AB  3 AM AN sin 60  2 3  2 Do : VSAMN  Vì SABC hình chóp nên O trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Do OM  AC, ON  AB SO   ABC  Nên ta suy : SM  AC , SN  AB SM  SN Xét tam giác vuông AOM ; SOM : OM  AM tan 30    ON SM  OM  SO     SM  , nên : S SAM  3 AM SM  ; S SAN  AN SN  2 2 Gọi K trung điểm MN SK  MN SK  SM  KM   S SMN  3   SK  nên: 2 3 MN SK  ; S AMN  MN AK  2 2 Do bán kính hình cầu nội tiếp : r  3V  Stp  2  Bài toán 14 Cho tia Sx, Sy, Sz khơng đồng phẳng cho góc xSy  120, ySz  60, zSx  90 Trên tia Sx, Sy, Sz lấy tương ứng điểm A, B, C cho SA  SB  SC  a a) Xác định hình chiếu vng góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) b) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC Giải a) Do BSC  60 , nên SBC tam giác , từ BC  a Do ASC tam giác vuông cân nên AC  a Từ tam giác cân ASB có góc đỉnh 120 nên AB  a Vì AC  CB2  2a  a  3a  AB2 nên ACB  90 Vì SA  SB  SC  a nên H cách ba đỉnh A, B, C Do H trung điểm cạnh AB b) Ta có Stp  a2 a2 a2 a2 a2     4    1 1 a a 2 a3  V  SH S ABC  2 12 Do đó: r  3V a  Stp   Bài toán 15 Cho tứ diện ABCD với AB  CD  c, AC  BD  b, AD  BC  a a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R b) Chứng minh có mặt cầu nội tiếp hình tứ diện Tính bán kính mặt cầu nội tiếp r Giải Xem tứ diện ABCD phần hình chữ nhật với kích thước m ,n, p ta có hệ:  2 2 m   a  c  b  2 m  n  c    2 2 2 m  p  a  n   b  c  a  n  p  b    2 2  p  a  b  c   Vì m2  n2  p   2R   m2  n  p a  b  c  Vậy R   a  b2  c  Ta có V  m.n p  a  b2  c  b2  c  a  a  c  b2  Stp  4S ABC  p  p  a  p  b  p  c    a  b  c  a  b  c  b  c  a  a  c  b  2 2 2 2 3V  b  c  a  a  b  c  a  b  c  Vậy r   Stp  a  b  c  a  b  c  b  c  a  a  b  c  Cách khác: Tứ diện ABCD gần nên trọng tâm O trung điểm đoạn nối trung điểm cạnh đối diện cách đỉnh, cách mặt