NỘI NGOẠI TIẾP HÌNH NÓN I Phương pháp giải Mặt cầu ngoại tiếp hình nón có tâm là tâm đường tròn ngoại tiếp thiết diện qua trục hình nón Tâm E là giao điểm của trục SO và trung trực của 1 đường sinh Bá[.]
NỘI NGOẠI TIẾP HÌNH NĨN I Phương pháp giải - Mặt cầu ngoại tiếp hình nón có tâm tâm đường trịn ngoại tiếp thiết diện qua trục hình nón Tâm E giao điểm trục SO trung trực đường sinh Bán kính r = SE - Mặt cầu nội tiếp hình nón có tâm tâm đường trịn nội tiếp thiết diện qua trục hình nón Tâm I giao điểm trục SO phân giác góc tạo đường sinh SM với OM Bán kính r = IO Chú ý: 1) Ta sử dụng tam giác vng đồng dạng để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp r = SE tính chất phân giác IO / IS = MS / MO tam giác vng IOM để tính bán kính mặt cầu nội tiếp r = IO 2) Diện tích xung quanh mặt nón: S xq = Rl Thể tích khối nón: V = R h 3) Diện tích mặt cầu: S = 4 R Thể tích khối cầu: V = R3 II Ví dụ minh họa Bài tốn Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF cạnh đáy a , cạnh bên b Tính diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp Giải Hình nón ngoại tiếp có đường sinh cạnh bên b bán kính đáy: R= AD = BC = a Vậy S xq = R.l = ab Bài toán Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên có đáy tam giác vng A Biết khoảng cách từ S đến mp ( ABC ) a , khoảng cách từ B đến mp ( SAC ) 2a , diện tích tam giác SAC 2a Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón đỉnh S với đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải Hình chóp S.ABC có cạnh bên nên hình chiếu S lên mp ( ABC ) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mà tam giác ABC vuông B nên tâm O trung điểm BC Do SO = a Gọi M trung điểm AC OM ⊥ AC Hạ OH ⊥ SM OH ⊥ ( SAC ) OH = d ( O, ( SAC ) ) = a d ( B, ( SAC ) ) = Tam giác vuông SOM ta có: 1 1 a = + = − OM = 2 2 OH OS OM OM a a SM = SO + OM = a + a 3a = 8 Tam giác SAC ta có: S SAC = 2S a 8a SM AC AC = SAC = = SM 3a Tam giác vuông OMC , SOC : OC = OM + MC = a 32a a 530 + = 12 SC = SO + OC = a + 265a a 674 = 72 12 Thể tích khối nón: 1 265a 265 a3 V = R h = OC SO = a = 3 72 216 Diện tích xung quanh hình nón a 530 a 674 a 357220 S xq = Rl = OC.SC = = 12 12 144 Bài tốn Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O; R ) ( O; R ) , OO = R Xét hình nón có đỉnh O đáy hình trịn (O; R ) a) Tính tỉ số diện tích xung quanh hình trụ hình nón b) Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần Giải a) Diện tích xung quanh hình trụ là: S1 = 2 R.R = 2 R2 Lấy đường sinh OM hình nón thì: OM = OO2 + OM = 2R2 + R2 = R Diện tích xung quanh hình nón là: S = R.R = R 3, S1 2 = = S2 3 b) Khối trụ khối nón có đáy chiều cao nên thể tích khối trụ ba lần thể tích khối nón Như vậy, mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành hai phần: Khối nón phần cịn lại tích hai lần thể tích khối nón Vậy tỉ số thể tích hai phần Bài tốn Một hình nón trịn xoay có chiều cao 3, có đáy hình trịn có bán kính Một hình lập phương nội tiếp cho mặt nằm mặt phẳng đáy, đỉnh mặt đối diện hình lập phương thuộc mặt nón Tính thể tích hình lập phương Giải Ta xét mặt phẳng chứa trục hình nón hai đỉnh đối diện đáy hình lập phương Mặt phẳng cắt hình lập phương theo thiết diện hình chữ nhật MNPQ có cạnh MQ = s , cạnh MN = s , với s độ dài cạnh hình lập phương Mặt phẳng nói cắt hình nón theo thiết diện tam giác SAB Các tam giác đồng dạng AQM ASO cho ta: s = 1− Vậy V = s3 s 2 , suy s = − (9 = −6 ) 343 Bài toán Một hình nón có chiều cao h bán kính đáy r Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón Giải Giả sử hình nón có đỉnh S có đáy đường trịn C ( O; r ) Lấy điểm A cố định đường tròn đáy gọi I điểm nằm SO cho AI phân giác góc SAO I tâm mặt cầu nội tiếp hình nón, bán kính R = IO Ta có: SA = OS + OA2 = h2 + r Theo tính chất đường phân giác, ta có: IO OA IO OA IO r = = = IS SA IO + IS OA + SA h r + h2 + r Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là: R = IO = rh r + h2 + r Bài tốn Một hình nón có chiều cao h bán kính đáy r Hãy tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón Giải Giả sử hình nón có đỉnh S lấy điểm M cố định đường tròn đáy (O; r ) tam giác SOM vng O Tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình nón giao điểm SO mặt phẳng trung trực SM , bán kính R = IS Gọi SS đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón ( SS h ) Tam giác SMS vng M , có đường cao MO nên: MO = OS OS r = h ( SS − h ) SS = r2 r + h2 +h= h h Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là: R = r + h2 2h Bài toán Cho hình nón có góc đỉnh 2 Tính tỉ số bán kính mặt cầu ngoại tiếp bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón Giải Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R bán kính mặt cầu nội tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp R bán kính đường trịn nội tiếp r thiết diện qua trục tam giác cân SBC Gọi x bán kính đáy hình nón Theo định lý hàm số sin SBC : Trong tam giác vuông OIC : tan BC sin S = 2R R = x sin 2 C r = r = x tan 45 − x 2 cot 45 − R 2 = Do tỉ số: = r sin 2 sin 2 tan 45 − 2