BÀI TẬP GÓC NỘI TIẾP I Phương pháp giải 1 Định nghĩa góc nội tiếp Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó Cung nằm giữa hai cạnh của góc được gọ[.]
BÀI TẬP GÓC NỘI TIẾP I Phương pháp giải 1.Định nghĩa góc nội tiếp Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn Cung nằm hai cạnh góc gọi cung bị chắn Một góc muốn cơng nhận góc nội tiếp đường trịn góc phải đạt hai u cầu *Yêu cầu : Đỉnh góc phải nằm đường trịn *u cầu 2: Hai cạnh góc phải chứa hai dây cung đường trịn Ví dụ hình vẽ sau : Các góc hình a, b, c góc nội tiếp Các góc hình từ đến khơng phải góc nội tiếp khơng đạt đủ hai u cầu góc nội tiếp đường trịn 2.Định lí Trong đường trịn số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn 3.Hệ :Trong đường trịn: a) Các góc nội tiếp chắn cung b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung c) Các góc nội tiếp (nhỏ 90 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vuông II Bài tập Bài 1: (15/75/SGK T2) Các khẳng định sau hay sai ? a) Trong đường trịn, góc nội tiếp chắn cung b) Trong đường trịn góc nội tiếp chắn cung Giải a) Khẳng định câu a) khẳng định (theo hệ 2) b) Khẳng định câu b) khẳng định sai.Ví dụ : Tam giác cân nội tiếp đường trịn có hai góc nội tiếp chắn hai cung khác (hai cung có số đo nhau) Bài 2: (16/75/SGK T2) Xem hình 19 ( Hai đường trịn có tâm B, C điểm B nằm đường tròn tâm C) a) Biết MAN 30 Tính PCQ b) Nếu PCQ 136 MAN có số đo ? Giải a) Với đường trịn tâm B MAN góc nội tiếp chắn MN cịn góc MBN góc tâm chắn MN theo hệ c) góc nội tiếp có số đo nửa góc tâm chắn cung Từ ta có MAN MBN ( chắn cung MN) MBN 2MAN 2.30 60 Vậy MBN có số đo 60 b) Tính MAN PCQ 136 Với đường trịn tâm C PBQ góc nội tiếp chắn PQ cịn PCQ góc tâm chắn cung PQ 2 Theo hệ c) PBQ PCQ 136 68 2 Vậy PCQ 136 MBN 68 MAN MBN 68 34 Bài 3: (17/75/SGK T2) Muốn xác định tâm đường tròn mà dùng Êke phải làm ? Giải Đặt đỉnh góc vng Êke nằm đường trịn, kẻ theo hai cạnh góc vng hai đường thẳng cho cắt đường trịn B C Nối B với C dây BC Lại đặt đỉnh Êke vị trí khác, để đỉnh Êke nằm đường tròn Kẻ hai đường thẳng theo hai cạnh góc vng Êke cho cắt đường tròn hai điểm K I Nối K với I BC KI cắt tâm đường trịn phải tìm (vì theo hệ 4: góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng) Bài 4: (18/75/SGK T2) Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu mơn PQ Bóng đặt ba vị trí A, B, C cung trịn hình 20 Hãy so sánh góc PAO; PBQ; PCQ Giải Các góc PAQ, PBQ, PCQ góc nội tiếp chắn cung PQ đường tròn nên chúng (Theo hệ 2: góc nội tiếp chắn cung nhau) Bài 5: (19/75/SGK T2) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB S điểm nằm bên ngồi đường trịn SA SB cắt đường tròn M N Gọi H giao điểm BM AN Chứng minh SH AB Giải Chứng minh Muốn chứng minh SH AB ta phải chứng minh SH đường cao ứng với cạnh AB ASB Muốn chứng minh SH AB ta phải chứng minh H trực tâm ASB Muốn chứng minh H trực tâm ASB ta chứng minh H giao điểm đường cao ASB Muốn chứng minh AN BM đường cao ASB ta dựa vào giả thiết : “AB đường kính” có đường kính có góc nội tiếp chắn nửa đường trịn, có góc nội tiếp chắn nửa đường trịn có góc vng, có góc vng có đường vng góc AMB 90 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường trịn 90 ) BM SA hay BM đường cao ứng với cạnh SA ASB Chứng minh tương tự AN đường cao ứng với cạnh SB ASB AN BM hai đường cao giao H nên H trực tâm ASB SH đường cao tam giác Hay SH AB Bài 6: (20/76/SGK T2) Cho hai đường tròn (O) O cắt A B Vẽ đường kính AC AD hai dường trịn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng Giải Muốn chứng minh điểm thẳng hàng ta sử dụng kiến thức *Định nghĩa góc bẹt Góc bẹt góc có hai cạnh làm thành đường thẳng *Định nghĩa hai góc đối đỉnh : *Tiên đề Oclit Qua điểm đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng cho v.v… Ta dùng kiến thức để chứng minh C, B, D thẳng hàng ? Với giả thiết : “Hai đường tròn (O) O cắt A B”, “Đường kính AC đường kính AD” với giả thiết đường kính ta có góc nội tiếp chắn nửa đường trịn Có hai đường kính có giao điểm hai đường trịn ta có hai góc nội tiếp chắn hai nửa đường trịn dĩ nhiên có hai góc vng, cộng hai góc vng kề mà góc 90 180 Có góc có số đo 180 có góc bẹt, có góc bẹt có thẳng hàng ABC 90 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ABD 90 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ABC ABD 90 90 180 CBD góc bẹt, theo định nghĩa góc bẹt C, B , D thẳng hàng Bài 7: (21/76/SGK T2) Cho hai đường tròn (O) O cắt A B Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) M, cắt O N (A nằm M N), tam giác MBN tam giác ?tại ? Giải Chứng minh Theo yêu cầu đề ta phải chứng minh MBN cân Làm thể để chứng minh MBN cân? Có cách chứng minh tam giác tam giác cân, sử dụng nhiều : *Muốn chứng minh tam giác tam giác cân ta chứng minh tam giác có hai cạnh (Vận dụng định nghĩa) *Muốn chứng minh tam cân ta chứng minh tam giác có hai góc (cách vận dụng định lí: Tam giác cân có hai góc đáy nhau) *Muốn chứng minh tam giác tam giác cân ta chứng minh tam giác có đường chủ yếu mang hai tính chất (cách lợi dụng tính chất hai tam giác cân: Tam giác cân có đường trung tuyến thuộc cạnh đáy vừa trung trực vừa phân giác, vừa đường cao) Còn cách chứng minh khác sử dụng Với tốn ta sử dụng cách cách vừa điểm để chứng minh BMN cân? Với giả thiết : “Hai đường tròn (O) O nhau” “ cắt hai điểm A B” Từ giả thiết ta sử dụng cách chứng minh MBN có hai góc Có nhiều cách để chứng minh BMN BNM Cách 1: Cách ta sử dụng định lí liên hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung Với đường trịn (O) BMN góc nội tiếp chắn cung AmB Với đường tròn O BNM góc nội tiếp chắn cung AnB AOB góc tâm chắn cung AmB AOB góc tâm chắn cung AnB Hai AOB AOB có khơng ? Tứ giác AOBO có : OA AO OB BO (vì bán kính hai đường trịn nhau) AOBO hình thoi (Theo dấu hiệu 1: tứ giác có cạnh hình thoi) AOB AOB (Hai góc đối hình thoi) Mà AMB AOB (số đo góc nội tiếp nửa số đo góc tâm chắn cung) ANB AO B (số đo góc nội tiếp nửa số đo góc tâm chắn cung) AMB ANB MBN cân B (Theo định lí : Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân) Cách 2: Do (O) O (giả thiết) cắt A B dây AB dây chung AmB AnB (Theo định lí: đường trịn hay hai đường trịn nhau, hai dây căng hai cung nhau) AmB AnB BMN BNM (Hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) MBN cân B (Theo định lí : Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân) Bài 8: (22/76/SGK T2) Trên đường trịn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A B) Vẽ tiếp tuyến (O) A, đường thẳng BM cắt tiếp tuyến C Chứng minh ta ln có : MA2 MB.MC Giải Chứng minh Bài toán thuộc thể loại chứng minh tích tích Muốn chứng minh tích tích ta thường dùng kiến thức bản: *Định lí Talet: Vì định lí Talet nói đến tỷ số Đã có tỷ số có tỷ lệ thức, có tỷ lệ thức có tích nhân chéo, tức có tích tích *Áp dụng tính chất phân giác tam giác Đã áp dụng tính chất phân giác tam giác có tỷ số nhau, có tỷ số có tỷ lệ thức, có tỷ lệ thức có tích tích *Áp dụng định lí trường hợp hai tam giác đồng dạng Có đồng dạng có tỷ số, có tỷ số có tích Vậy hai tam giác đồng dạng, có tam giác đồng dạng có tỷ số, có tỷ số có tích tích *Sử dụng bốn định lí hệ thức lượng tam giác vuông v.v… Bài ta sử dụng kiến thức để giải? Với giả thiết : “Đường kính”, “ tiếp tuyến “ ta sử dụng định lí hệ thức lượng tam giác vuông Do AC tiếp tuyến đường trịn (O) nên AC AB (Theo định lí tiếp tuyến) ABC vuông A Cạnh huyền BC ABC cắt đường tròn (O) M AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng) AM đường cao thuộc cạnh huyền BC nên ta có : AM MB.MC (Theo định lí 2: tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền) Bài 9: (23/76/SGK T2) Cho đường tròn (O) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M kẻ hai đường thẳng Đường thẳng thứ cắt (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt (O) C D Chứng minh : MA.MB MC.MD Giải Đề khơng nói rõ M nằm hay nằm ngồi đường trịn nên xảy hai trường hợp a) Điểm M nằm bên đường tròn Bài lại thuộc thể loại chứng minh tích tích Từ giả thiết “Hai dây AB CD cắt M nằm đường tròn” ta phải sử dụng ba định lí trường hợp hai tam giác đồng dạng Cách 1: AMD CMB có : M1 M2 Hai gãc ®èi ®Ønh th× b»ng ADM CBM Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n AC AMD ∽ CMB g.g MA MD MC MB Áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có : MA MD MA.MB MC.MD MC MB Cách 2: AMD CMB có: DAM BCM hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BmD ADM CBM hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AC AMD ∽ CMB g.g MA MD Áp dụng tính chất tỷ lệ thức: MC MB tỷ lệ thức, tích ngoại tỷ tích trung tỷ Ta có: MA MD MA.MB MC.MD MC MB b) Trường hợp M nằm bên ngồi đường trịn (O) AMD CMB có AMD CMB gãc chung cđa hai tam gi¸c ADM CAM hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n AC AMD ∽ CMB g.g MA MD MC MB Áp dụng tính chất tỷ lệ thức : Trong tỷ lệ thức, tích ngọai tỷ tích trung tỷ Do MA MD MA.MB MC.MD MC MB Bài 10: (24/76/SGK T2) Một cầu thiết kế hình 21 Có độ dài AB 40m Chiều cao MK 3m Hãy tính bán kính đường trịn chứa cung AMB Giải Gọi MI đường kính đường trịn chứa cung AMB MI 2R Ta có MI AB KA KB (Theo định lí : Trong đường trịn đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây KA KB AB 40 20 m 2 Ta có MAC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 90 ) AMC vng A Có AK đường cao thuộc cạnh huyền MC Do AK đường cao thuộc cạnh huyền MC nên: AK KM KC 1 (Theo định lí hệ thức lượng tam giác vng : Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền) Thay KA 20 KC 2R KM vào (1) ta có : 202 KM 2R KM 400 2R KM 400 6R 3KM 2R 2R R 400 409 406 R 68, m Bài 11: (25/76/SGK T2) Dựng tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm cạnh góc vng dài 2,5cm Giải Giả sử dựng ABC có BC 4cm BAC 90 AB 2,5cm Ta thấy ABC nội tiếp đường trịn (O) đường kính BC 4cm , cạnh góc vuông AB 2,5cm dây AB (O) Từ ta có cách dựng: _Vẽ đường trịn đường kính BC 4cm _Lấy B tâm quay cung tròn bán kính 2,5cm cung cắt (O) A Nối A với B A với C ta ABC vng A, có cạnh huyền BC 4cm cạnh góc vng AB 2,5cm Bài 12: (26/76/SGK T2) Cho AB, BC, CA ba dây đường tròn (O) Từ điểm M cung AB vẽ dây MN song song với BC Gọi giao điểm MN AC S Chứng minh SM SC SN SA Giải Chứng minh *Chứng minh SM SC Đây thể loại chứng minh hai đoạn thẳng Quan sát hình vẽ ta thấy SM SC hai cạnh MSC Muốn chứng minh SM SC ta chứng minh SMC cân S Muốn chứng minh SMC cân S ta phải chứng minh SMC SCM SMC SCM hai góc nội tiếp đường trịn (O) Dựa vào giả thiết “M điểm cung AB” “Dây MN song song với dây BC” Từ ta có cách chứng minh Do M điểm AB (giả thiết) AM BM Lại có CN BM (Theo định lí : đường tròn, hai cung chắn hai dây song song nhau) AM CN (cùng BM ) SCM SMC (hai góc nội tiếp chắn hai cung đường tròn) SMC cân S (Theo định lí : Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân) SM SC (hai cạnh bên tam giác cân) *Chứng minh tương tự SAN cân S SA SN ... góc 90 180 Có góc có số đo 180 có góc bẹt, có góc bẹt có thẳng hàng ABC 90 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ABD 90 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ABC ABD 90 90 ... nội tiếp chắn nửa đường trịn có góc vng, có góc vng có đường vng góc AMB 90 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường trịn 90 ) BM SA hay BM đường cao ứng với cạnh SA ASB Chứng minh tương tự AN... góc với dây qua trung điểm dây KA KB AB 40 20 m 2 Ta có MAC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn 90 ) AMC vng A Có AK đường cao thuộc cạnh huyền MC Do AK đường cao thuộc