BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN VÀ TÍNH CHẤT CHIA HẾT A Phương pháp giải Cho a, b ∈ Z và b ≠ 0 Nếu có số nguyên q sao cho a = b q thì ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a b hay a là bội của b và b là ước c[.]
Trang 1BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN VÀ TÍNH CHẤT CHIA HẾT A Phương pháp giải
Cho a, b ∈ Z và b ≠ 0 Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a b hay a là bội của b và b là ước của a
Chú ý:
- Số 0 là bội của mọi số nguyên a với a ≠ 0 - Số 0 khơng là ước của bất kì số nguyên nào - Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên
- Nếu a là ước của b đồng thời là ước của c thì a được gọi là ước chung của b và c - Nếu a là bội của b đồng thời là bội của c thì a được gọi là bội chung của b và c
+) Tính chất chia hết
Với mọi a, b, c ∈ Z, ta có
- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
- Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b
- Nếu hai số a, b đều chia hết cho c thì tổng và hiệu của chúng đều chia hết cho c
B Các Dạng toán
Dạng 1 Tìm bội của một số ngun cho trước Ví dụ 1 Tìm năm bội của −7
Trang 2Các bội của −7 có dạng tổng quát là −7 · m hoặc 7 · m, trong đó m ∈ Z Năm bội của −7 có thể là: 0; ±7; ±14
Ví dụ 2 Viết tập hợp các bội của 6 lớn hơn −15 nhưng nhỏ hơn 25 Lời Giải
Các bội của 6 có dạng tổng quát là 6 · m m ∈ Z Đó là các số: 0; ±6; ±12; ±18; ±24; ±30;
Vậy tập hợp các bội của 6 lớn hơn −15 nhưng nhỏ hơn 25 là {−12; −6; 0; 6; 12; 18; 24}
Dạng 2 Tìm các ước của một số ngun cho trước Ví dụ 3 Tìm tất cả các ước của 12
Lời Giải
Số 12 chia hết cho các số ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12 Vậy Ư(12) = {±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12}
Ví dụ 4 Viết tập hợp các ước của −18 lớn hơn −9 nhưng nhỏ hơn 9 Lời Giải
Số −18 chia hết cho các số ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18
Vậy tập hợp các ước của −18 lớn hơn −9 nhưng nhỏ hơn 9 là {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}
Ví dụ 5 Cho a là ước của −24; a < −20 b là ước của −28; b > 20 Tính tổng a + b Lời Giải
Trang 3Dạng 3 Tìm x trong đẳng thức ax = b (a # 0) Ví dụ 6 Tìm x ∈ ℤ , biết a) −13 · x = 52 b) −9 · x = −45 Lời Giải ❶ −13 · x = 52 ⇒ x = 52 : (−13) = −4 ❷ −9 · x = −45 ⇒ x = (−45) : (−9) = 5 Ví dụ 7 Tìm x ∈ ℤ , biết a) −5 · |x| = −75 (−6)3 · x b) 2 = −1944 Lời Giải ❶ −5 · |x| = −75 ⇒ |x| = (−75) : (−5) = 15 Do đó x = ±5 ❷ (−6)3 · x 2 = −1944 ⇒ x2 = (−1944) : (−6)3 ⇒ x2 = 9 = (±3)2 Do đó x = ±3
Dạng 4 Xét tính chia hết của một tổng, một hiệu, một tích
Ví dụ 8 Cho các số nguyên a, b, c, m (m ≠ 0) Biết a m; b m, chứng minh rằng
(a · c − b · c) m
Trang 4Vì { a m nên a c m
b m nên b c m do đó (a · c − b · c) m
Ví dụ 9 Cho a và b là số nguyên không đối nhau
Chứng minh rằng (a2 + a · b + 2 · a + 2 · b) (a + b)
Lời Giải
Vì a + b là hai số nguyên không đối nhau nên a + b ≠ 0
Ta có a2 + a · b + 2 · a + 2 · b = [a(a + b) + 2 · (a + b)] (a + b)
Trang 5Lời Giải Ta có x + 2 = (x − 1) + 3 Vì (x + 2) (x − 1) và (x − 1) (x − 1) nên 3 (x − 1) Do đó x − 1 ∈ Ư(3) = {±1; ±3} Ta có bảng sau: x-1 1 -1 4 -3 x 2 0 3 -2 Vậy x ∈ {−2; 0; 2; 4} Ví dụ 13 Tìm x ∈ Z để (x2 − 5x + 1) (x − 5) Lời Giải Ta có x2 − 5x + 1 = x(x − 5) + 1 Vì (x2 − 5x + 1) (x − 5) và x(x − 5) (x − 5) nên 1 (x − 5) Do đó (x − 5) ∈ Ư(1) = {±1} Suy ra x − 5 = −1 ⇒ x = 4 hoặc x − 5 = 1 ⇒ x = 6 C Bài tập tự luyện
Bài 1 Tìm các ước của −15 và tìm năm bội của −15 Lời Giải
Ước của −15 là Ư(-15) = {±1; ±3; ±5; ±15} Năm bội của −15 là {0; ±15; ±30}
Bài 2 Tìm x ∈ ℤ , biết
Trang 7Ta có bảng sau:
x + 4 1 -1 3 -3
x -3 -5 -1 -7
Vậy x ∈ {−1; −3; −5; −7}
Bài 4 Chứng tỏ rằng tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3 Lời Giải
Gọi ba số nguyên liên tiếp là a − 1; a; a + 1 a ∈ ℤ Tổng của chúng là 3a 3
Bài 5 Cho a, b là các số nguyên Chứng tỏ rằng a(a + 1) − ab(a + b) ln chia hết
cho 2
Lời Giải
Vì a, b là các số nguyên nên a(a + 1) là tích của hai số ngun liên tiếp do đó tích này chia hết cho 2
Nếu a chẵn hoặc b chẵn thì ab(a + b) 2