BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ I Phương pháp giải 1 Quy tắc cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Quy tắc cộ[.]
BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ I Phương pháp giải Quy tắc cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Quy tắc cộng đại số gồm hai bước: Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (giữ nguyên phương trình kia) Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số a) Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối b) Áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (tức phương trình ẩn) c) Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho II Bài tập Bài 1: (20/19/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số 4 x y 2 x y 2 x y 2 x y 3x y 2 x y b) 2 x y 2 3x y 3 e) a) c) 0,3 x 0,5 y 1,5 x y 1,5 d) Giải 3x y phương pháp cộng đại số 2 x y a) Giải hệ phương trình Muốn giải hệ phương trình cho phương pháp cộng đại số, ta phải vận dụng quy tắc cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau: Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để hệ phương trình Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ cho (và giữ nguyên phương trình kia) Vận dụng quy tắc ta cộng vế hệ phương trình cho: 3x y 5 x 10 x x x x 2 x y 2 x y 2 x y 4 y y y 3 x 10 Vậy hệ cho có nghiệm x; y 2; 3 2 x y phương pháp cộng đại số 2 x y b) Giải hệ phương trình Áp dụng quy tắc cộng đại số, ta trừ vế hệ cho: 2 x y 2 x y 8y Thay phương trình x y phương trình y vào hệ cho, ta có 8 y y 1 y 1 x 2 x y 2 x 3.1 2 x y Vậy hệ cho có nghiệm x; y ;1 4 x y phương pháp cộng đại số 2 x y c) Giải hệ phương trình Áp dụng quy tắc cộng đại số ta nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với 2, ta có: 4 x y 4 x y 2(2 x y ) 4.2 4 x y 4 x y 4 x y Trừ vế hệ phương trình: ta có: 4 x y 4 x y y 2 Thay phương trình x y phương trình y 2 vào hệ: 4 x y 4 x 3.(2) 4 x 4 x 12 x y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 Vậy hệ cho có nghiệm x; y 3; 2 2 x y 2 phương pháp cộng đại số 3x y 3 d) Giải hệ phương trình 2 x y 2 ta nhân hai vế phương trình thứ 3x y 3 Muốn khử ẩn số y thuộc hệ phương trình với nhân hai vế phương trình thứ hai với 3, ta có: 2(2 x y ) (2).2 4 x y 4 3(3x y ) (3).3 9 x y 9 4 x y 4 ta được: 9 x y 3 Cộng vế hệ phương trình 4 x y 4 9 x y 9 x x y y 4 13x 13 Thay phương trình 3x y 3 phương trình 13x 13 vào hệ ta được: 2 x y 2 2 x y 2 2(1) y 2 3 y x 1 13x 13 x 1 x 1 x 1 y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 1;0 0,3 x 0,5 y phương pháp cộng đại số 1,5 x y 1,5 e) Giải hệ phương trình 0,3 x 0,5 y ta nhân hai vế phương trình thứ 1,5 x y 1,5 Muốn giải hệ phương trình: với nhân hai vế phương trình thứ hai với Ta có: 5(0,3x 0,5 y ) 3.5 1,5 x 2,5 y 15 1,5 x.1 y.1 1,5.1 1,5 x y 1,5 1,5 x 2,5 y 15 ta được: 1,5 x y 1,5 Trừ vế hệ phương trình 1,5 x 2,5 y 15 1,5 x y 1,5 1,5 x 1,5 x 2,5 y y 15 1,5 4,5 y 13,5 Thay phương trình 0,3x 0,5 y phương trình 4,5 y 13,5 vào hệ cho ta có: 4,5 y 13,5 y y x 3x y 3x 4.3 3x 15 y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 5;3 Bài 2: (21/19/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số: x 3y a) 2 x y 2 5 x y 2 b) x y Giải x 3y a) Muốn giải hệ phương trình ta nhân hai vế phương trình thứ 2 x y 2 với 2, ta có: 2( x y ) 2 x y 2 x 2 x y 2 2 x y 2 4 y 6 (1 2) 2 x y x 2 x 22 y y (1 2) y (1 2) 4 4 6 (1 2) ; Vậy hệ cho có nghiệm 5 x y 2 b) Giải hệ phương trình x y Muốn giải hệ phương trình cho phương pháp cộng đại số, ta nhân hai vế phương trình thứ với 2, ta có: 2(5 x y ) 2 5 x y (a) x y x y 6 x x 6 x 6 x y y y 2 ; Vậy hệ cho có nghiệm x; y Bài 3: (22/19/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số 2 x y 11 b) 4 x y 5 x y a) 6 x y 7 3 x y 10 c) x y 3 Giải 5 x y phương pháp cộng đại số, ta nhân hai vế 6 x y 7 a) Muốn giải hệ phương trình phương trình thứ với 3, nhân hai vế phương trình thứ hai với 2, ta có: 3(5 x y ) 4.3 15 x y 12 (b) 2.(6 x y ) 7.2 12 x y 14 Cộng vế hệ (b) ta 15 x y 12 12 x y 14 15 x 12 x y y 12 14 3 x 2 x 2 2 x x x x 3 12 y 14 8 y 14 6 y 22 y 11 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y ; 11 3 2 x y 11 4 x y b) Giải hệ phương trình 4 x y 22 4 x y Nhân hai vế phương trình thứ với ta có: (c) Cộng vế hệ (c) ta được: 4 x y 22 4 x y Hệ cho vô nghiệm 27 3 x y 10 3 x y 10 0 x Hệ có vơ số nghiệm 1 3 x y 10 0 y x y 3 c) Giải hệ phương trình: Cơng thức nghiệm tổng qt là: x ; y Bài 4: (23/19/SGK, Tập 2) (1 2) x (1 2) y Giải hệ phương trình sau: (1 2) x (1 2) y Giải Áp dụng quy tắc cộng đại số ta làm phép trừ với vế hai phương trình hệ cho được: (1 2) x (1 2) y (1 2) x (1 2) y (1 2) x (1 2) x (1 2) y (1 2) y 2 y y Thay y 2 vào hai phương trình hệ ta có: 6 x (1 2) x (1 2) 2 y y 2 6 ; 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: x; y Bài 5: (24/19/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình sau: 2( x 2) 3(1 y ) 2 3( x 2) 2(1 y) 3 2( x y ) 3( x y ) ( x y ) 2( x y ) b) a) Giải 2( x y ) 3( x y ) phương pháp cộng đại số ( x y ) 2( x y ) a) Giải hệ phương trình Nếu thực phép nhân vế trái hai phương trình hệ hai hệ toán trở thành dài Do ta nên đặt ẩn phụ 2 x 3b (c) a 2b Đặt: x y a; x y b ta có: Để khử ẩn a ta nhân hai vế phương trình thứ hai (c) với ta 2a 3b 2a 4b 10 2a 2a 3b 4b 10 b 6 b x y Thay b vào hệ cho, ta có: 2a 18 2a 14 a 7 x y 7 b b b x y x y 7 x y (d ) x 1 x Thay x vào phương trình thứ (d) ta có: 13 y y x x 2 Vậy hệ cho có nhiệm x; y ; 13 7 2( x 2) 3(1 y ) 2 3( x 2) 2(1 y) 3 b) Giải hệ phương trình Để cho gọn ta đặt x a,1 y b ta có: 2a 3b 3a 2b Nhân hai vế phương trình thứ với 2, nhân hai vế phương trình thứ hai với 3, ta có: 4a 6b 9a 6b ( m) Cộng vế (m) ta có: 4a 6b 9a 6b 13a 13 Thay a a 6b ( n) a 1 vào phương trình thứ (n) ta có: 6b a 1 y x 0 x y 1 Vậy hệ cho có nghiệm x; y 1; Bài 6: (25/19/SGK, Tập 2) Ta biết rằng: đa thức đa thức tất hệ số Hãy tìm giá trị m n để đa thức sau (biến số x) đa thức P( x ) (3m 5n 1) x (4m n 10) Giải P( x ) (3m 5n 1) x 3m 5n 4m n 10 0 (4m n 10) đa thức 3m 5n 4m n 10 3m 5n 20m 5n (a) 50 Trừ vế (a) ta có: 3m 5n 20m 5n 50 3m 20m 5n 5n 50 17m 51 5n m 10 m Thay m vào (a) ta có: 3.3 5n m 5n m Vậy m n P(x) = Bài 7: (26/19/SGK, Tập 2) m n Xác định a b để đồ thị hàm số y sau: b qua hai điểm A B trường hợp ax a) A(2; 2) B( 1;3) b) A( 4; 2) B(2;1) c) A(3; 1) B( 3; 2) d) A( 3;2) B(0; 2) Giải a) Theo đề A thuộc đường thẳng AB B thuộc đường thẳng AB Điểm A(2; 2) tức y 2; x Tương tự ta có y ax b y ax a b 2a b b Từ kết ta có hệ phương trình 2a b a b 3a a b a 5 b a b b) Giống câu a) A thuộc đường thẳng AB B thuộc đường thẳng AB Ta có: 4a 2a b b 4a b 2a b (a) Trừ vế (a) ta có 4a b 2a b 4a 2a Thay a a b b 6a a vào phương trình thứ (a) ta được: b 2 b a 2 a b c) Do A(3; 1) B( 3; 2) nên ta có hệ phương trình: 3a b 3a b 3a b 3a b (b) Cộng vế (b) 3a b 3a b 3a 3a b b 2b b vào (b) ta có: Thay b 3a b 2 3a b a 2 b d) Theo đề A( 3;2) tức x y nên ta có: 3a b Tương tự có 0.a b Từ ta có hệ phương trình: 2 3a b 0.a b a b 3a b 2 Bài 8: (27/20/SGK, Tập 2) Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn) đưa hệ phương trình sau dạng hệ phương trình bậc hai ẩn giải x a) x y y 1 ;v x Hướng dẫn đặt u y x b) x 2 y Hướng dẫn đặt u 1 y 1 x v Giải x a) Đặt u u v 3u 4v y 4u 3u v ta có: 4v 4v (a) (nhân hai vế phương trình thứ với 4) Cộng vế với vế (a) ta có: 4u 3u 4u 4v 4v 3u Thay u 4v 4v 7u u 9 vào phương trình thứ (a) y u 4v 4v x y u 7 x y 36 4v u 7 u v 7 Vậy hệ cho có nghiệm là: x; y 7 ; ... 2 3a b a 2 b d) Theo đề A( 3;2) tức x y nên ta có: 3a b Tương tự có 0.a b Từ ta có hệ phương trình: 2 3a b 0.a b a b 3a b 2 Bài 8: (27/20/SGK, Tập 2) Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn) đưa... trường hợp ax a) A(2; 2) B( 1;3) b) A( 4; 2) B(2;1) c) A(3; 1) B( 3; 2) d) A( 3;2) B(0; 2) Giải a) Theo đề A thuộc đường thẳng AB B thuộc đường thẳng AB Điểm A(2; 2) tức y 2; x Tương tự ta có y ax