Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Phương pháp giải Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cũng tương tự như giải bài toán bằng cách lập phương trình đã học ở lớp G[.]
BÀI TẬP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Phương pháp giải Phương pháp giải tốn cách lập hệ phương trình tương tự giải tốn cách lập phương trình học lớp Gồm có ba bước: Bước 1: Lập phương trình - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp ẩn số - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn số đại lượng biết - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng có tốn Bước 2: Giải phương trình vừa lập Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình nghiệm thỏa mãn điều ẩn, nghiệm không, kết luận II Bài tập Bài 1: (28/22/SGK, Tập 2) Tìm hai ẩn số tự nhiên biết tổng chúng 1006 lấy số lớn chia cho số nhỏ thương số dư 124 Giải Đây toán thuộc loại: Giải toán cách lập hệ phương trình Muốn giải tốt nhẩm lại quy tắc giải toán cách lập hệ phương trình Gọi x y hai số tự nhiên cần tìm (x, y nguyên dương) Biết tổng chúng 1006 nên ta có phương trình thứ nhất: x y 1006 Gọi x số lớn, y số nhỏ Biết lấy số lớn chia cho số nhỏ thương dư 124 nên có phương trình thứ hai: x y 124 Theo ta có hệ phương trình x x y 1006 y 124 Giải hệ phương trình vừa lập: x x y 1006 y 124 x 712 2y 588 Với x 712 y x x y 2006 y 124 x y x y 2012 x y 124 3x 2136 x y 124 712 294 294 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy hai số tự nhiên phải tìm 712 294 Bài 2: (29/22/SGK, Tập 2) Giải toán cổ sau: Quýt, cam mười bảy tươi x 712 712 y 124 Đem chia cho trăm người vui Chia ba quýt Còn cam chia mười vừa xinh Quýt cam loại sinh rành bao ? Giải Gọi x số cam, y số quýt, (x, y số tự nhiên lớn 0, hay x, y * ) Số cam cộng với số quýt 17 nên ta có phương trình thứ nhaatss: x y 17 Mỗi cam bổ thành mười miếng Một quýt bổ thành ba miếng số miếng cam 10x số miếng quýt có 3y Có tất 100 miếng vừa cam qt nên có phương trình thứ hai: 10 x y 100 Theo ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình x y 17 10 x y 100 x y 17 10 x y 100 Nhân hai vế phương trình thứ với ta có: 3x y 51 10 x y 100 3x 10 x 3y 3y 51 100 7x 49 x Thay x vào phương trình thứ (a) ta có: 3.7 y x 51 21 y x 51 y 51 21 x y 30 x y x 10 Thử lại 7.10 10.3 70 30 100 Vậy có cam 10 quýt Bài 3: (30/22/SGK, Tập 2) Một ô tô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B chậm hai so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính độ dài quãng đường AB thời điểm xuất phát ô tô A Giải Muốn giải bạn học sinh phải nhớ được: Trong tốn chuyển động có ba đại lượng: * Độ dài quãng đường * Thời gian chuyển động * Vận tốc Muốn tìm độ dài quãng đường ta nhân thời gian với vận tốc Muốn tìm thời gian lấy độ dài quãng đường chia cho vận tốc Muốn tìm vận tốc lấy chiều dài quãng đường chia cho thời gian Theo công thức: Qs tg x vt Qs tg vt Qs vt tg Vận dụng kiến thức để giải tốn Gọi độ dài qng đường từ A đến B x (x > tính km), thời gian dự định từ A đến B y (y>0, tính giờ) Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm so với dự định nên ta có phương trình thứ nhất: x 35 y Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm dự định nên ta có phương trình thứ hai: x 50 y x Theo ta có hệ phương trình: 35 x 50 x Giải hệ phương trình trên: 35 x 50 y y y y x 35 y x 50 x 50 x y 350 Với x 350 y thỏa mãn điều kiện ẩn số Vậy quãng đường từ A đến B dài 350 km Thời gian dự định từ A đến B Thời gian lúc xe xuất phát 12 – = Tức xe xuất từ A lúc sáng Bài 4: (31/23/SGK, Tập 2) Tính độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng, biết tăng cạnh góc vng thêm cm diện tích tam giác tăng thêm 36 cm2, iamr cạnh góc vng 2cm giảm cạnh cm diện tích tam giác giảm 26 cm2 Giải Khi giải ta phải vận dụng cơng thức tính diện tích tam giác S tam giác vuông a.h diện tích diện tích hình chữ nhật có kích thước Gọi độ dài cạnh góc vng x (cm) y (cm) (x, y >0) Biết tăng cạnh góc vng thêm 3cm diện tích tam giác vng tăng thêm 36cm2 nên ta có phương trình thứ nhất: (x 3)( y xy 3) 36 Nếu giảm cạnh góc vng 2cm, cạnh giảm 4cm diện tích tam giác vng giảm 26cm2 nên ta có phương trình thứ hai: ( x 2)( y 4) (x Theo ta có hệ phương trình: (x 3)( y 3) 2)( y 4) xy 26 xy xy 36 26 Giải hệ phương trình trên: (x (x 3)( y 3) 2)( y 4) xy xy 36 26 xy xy 3x 4x 3y 2y x 9 xy 72 xy 52 3x y 4x y 63 60 x y 21 (a ) x y 30 Trừ vế (a) ta có: x y 21 x y 30 x 2x y y 21 30 x Thay x vào phương trình thứ (a) ta có: x y 21 y x 21 9 y x 12 Với x y 12 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng 9cm 12cm Theo Bài 5: (32/23/SGK, Tập 2) Hai vòi nước chảy vào bể nước can (khơng có nước) sau lúc mở vòi thứ sau mở thêm vòi thứ hai sau lúc đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể? Giải đầy bể Nếu đầy bể Hỏi Muốn giải thể loại toán ta phải tính sau chảy đầy phần bể? Sau vòi thứ hai chảy phần bể Sau hai vòi chảy phần bể Gọi x thời gian vòi thứ chảy đầy bể (x > 0, tính giờ) y thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể (y > 0, tính giờ) (Điều kiện x, y ) Trong vòi thứ chảy (bể) (bể) y Trong vòi thứ hai chảy Trong hai vòi chảy x 1 (bể) hay y x Từ ta có phương trình thứ nhất: x y (bể) 24 24 Nếu lúc đầu mở vòi thứ giò sau mở vòi thứ hai sau nên ta có phương trình thứ hai: x Theo ta có hệ phương trình: x y x y x x 24 y 1 x y 24 (a) 17 2x y Trừ vế (a) ta có: 1 x y 24 17 2x y x 17 2x y y 24 15 2x 15 2x Từ kết ta có hệ: 17 2x 15 24 15 24 y x y đầy bể nước 12 Với x 12 y thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy lúc đầu mở vòi thứ hai sau đầy bể nước Bài 6: (33/24/SGK, Tập 2) Hai người thợ làm cơng việc sau 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc trng bao lâu? Giải Gọi thời gian làm xong công việc người thứ x, thời gian hoàn thành công việc người thứ hai y (x, y >0) Trong người thứ làm Trong người thứ hai làm (công việc) y Hai người làm chung Từ ta có phương trình thứ nhất: (cơng việc) x x x 1 (phần công việc ) hay (công việc) y 16 y 16 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc nên có phương trình thứ hai x y 25 100 x y x Theo ta có hệ phương trình: x x Giải hệ phương trình trên: x y y x Trừ vế (a) ta có: x x 16 y y x y y 16 x x y y 16 12 16 (a) 12 16 12 y y y 48 Hai phân số có tử số nên mẫu số Thay y 48 vào phương trình thứ hệ (a) ta có: y 48 x y 48 48 16 Với x 24 y x y 24 48 48 thỏa mãn điều kiện ẩn số Vậy làm người thứ phải làm 24 hồn thành cơng việc Nếu làm người thứ hai phải làm 48 hồn thành cơng việc Bài 7: (34/24/SGK, Tập 2) Nhà Lan có mảnh vườn trồng rau cải bắp Vườn đánh thành nhiều luống, luống trồng số cải bắp Lan tính rằng: Nếu tăng thêm luống rau, luống số tồn vườn 54 Nếu giảm luống, luống tăng thêm hai số rau tồn vườn tăng thêm 32 Hỏi nhà Lan trồng cay rau bắp cải? (Số luống nhau) Giải Đây toán: Giải cách lập hệ phương trình Khi giải tốn cách lập hệ phương trình, hay lập phương trình ta phải áp dụng đầy đủ biến quy tắc học Đã gọi quy tắc khơng bớt xén, không áp dụng tùy tiện Tùy tiện, cẩu thả, thông minh, sáng tạo, linh hoạt Để phần lập luận đến lập phương trình, hay lập hệ phương trình ta nên xác định đề tốn có đại lượng biết, đại lượng chưa biết Có xác định đại lượng biết, đại lượng chưa biết ta chọn đại lượng chưa biết làm ẩn số Những tốn có đến năm đại lượng chưa biết ta chọn hai đại lượng chưa biết làm ẩn số Khi ta chọn đại lượng chưa biết mà lập phương trình cho ta phương trình đơn giản hơn, giải nhanh Gọi số lượng luống vườn nhà Lan x (luống) (x nguyên dương) Số rau luống y (cây) (y nguyên dương) Nếu tăng thêm luống rau, luống bớt ba số rau vườn 54 cây, nên ta có phương trình thứ nhất: x y xy 54 Nếu giảm luống rau, luống thêm số rau vườn tăng 32 Ta có phương trình thứ hai: x y xy 32 Giải hệ phương trình vừa lập x y xy 54 x y xy 3x y 30 x y 40 x 50 2x y 32 xy 3x y 24 xy 54 xy x y xy 32 3x y 30 x y 80 x 50 2.50 y 40 x 40 50 4y 60 x y 50 15 Với x 50 y 15 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số cải bắp vườn nhà Lan có 15.50 750 (cây) Bài 8: (35/24/SGK, Tập 2) (Bài toán cổ Ấn Độ) Số tiền mua chín yên táo rừng thơm 107 rupi Số tiền mua yên táo rừng thơm 91 rupi Hỏi giá yên táo rừng thơm rupi Giải Gọi giá yên x (rupi), giá tiền táo rừng thơm y (rupi) ( x; y * ) yên táo rừng thơm có giá trị 107 (rupi) nên có phương trình thứ 9x y 107 Giá yên táo rừng thơm có giá 91 (rupi) nên có phương trình thứ hai: 7x 7y 91 Theo ta có hệ phương trình: x y 107 x y 91 Giải hệ phương trình: x y 107 x y 91 x y 80 Với x y 9x y 8x y x y 107 104 x 8x y 104 x 24 y 104 10 thỏa mãn điều kiện ẩn Vay giá tiền yên rupi, giá táo thơm 10 rupi Bài 9: (36/24/SGK, Tập 2) Điểm trung bình vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn 8,69/lần Điểm số lần bắn 10 Số lần bắn 25 42 14 15 Hãy tìm lại số ô Giải Gọi x số lần bắn đạt điểm, y số lần bắn đạt điểm ( x, y * x, y 100) Số lần bắn 100 nên ta có phương trình thứ nhất: 25 42 x 15 y x y 100 82 x y 18 100 Theo đề điểm số trung bình sau 100 lần bắn 8,69 điểm nên ta có phương trình thứ hai: (10.25 9.42 x x y 68 7.15 y ) :100 Giải hệ phương trình trên: 8, 69 x y 18 x y 68 Để khử ẩn số y ta nhân hai vế phương trình thứ với 3x y 4x 3y 3x y 54 68 (a) 3y 3y 54 68 x 14 x 14 Thay x 14 vào phương trình thứ hệ (a) ta có: 3.14 y x 14 54 Với x 14 y 42 y x 14 54 y 54 42 x 14 y 12 x 14 x y 14 4 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số lần bắn đạt điểm 14 lần Số lần bắn đạt điểm lần Bài 10: (37/24/SGK, Tập 2) Hai vật chuyển động đường trịn đường kính 20cm, xuất phát lúc, từ điểm Nếu chuyển động chiều 20 giây chúng lại gặp Nếu chuyển động ngược chiều giây chúng lại gặp Tính vận tốc vật Giải Nhắc lại tốn chuyển động có đại lượng: * Quãng đường được: * Thời gian để quãng đường * Vận tốc quãng đường Muốn tìm quãng đường lấy vận tốc nhân với thời gian Muốn tìm vận tốc ta lấy độ dài quãng đường chia cho thời gian Muốn tìm thời gian ta lấy độ dài quãng đường chia cho vận tốc Gọi vận tốc vật chuyển động nhanh x (cm/giây), vận tốc vật chuyển động chậm y (cm/giây) (x > y> 0) Độ dài quãng đường mà hai vật chuyển động 20 (cm) (Muốn tính độ dài đường trịn ta lấy đường kính nhân với số Pi) Khi chuyển động chiều 20 giây chúng gặp nên ta có phương trình thứ nhất: 20( x y) 20 x y Nếu chuyển động ngược chiều giây chúng lại gặp nên ta có phương trình thứ hai: 4( x y) 20 x y Theo ta có hệ phương trình: x x y y Giải hệ phương trình trên: x x x y y y (a) céng trõ tõng vÕcđa hƯ(a) ta cã: y y 2x x Thay x vào phương trình thứ hệ (a) ta được: x y y x x y Vậy vận tốc vật chuyển động nhanh / giây Vận tốc vật chuyển động chậm / giây Bài 11: (38/24/SGK, Tập 2) Nếu hai vòi nước chảy vào bể chưa có nước sau 20 phút đầy bể nước Nếu mở vòi thứ 10 phút vòi thứ hai 12 phút bể nước Hỏi 15 mở rộng vịi thời gian để vịi chảy đầy bể bao nhiêu? Giải Bài toán tương tự 171 Nếu nhớ đề tốn tốt khơng nhớ đề tốn khơng ảnh hưởng đến kiến thức tốn học Điều quan trọng toán học là: Phải nhớ kiến thức bản, nhớ thể loại toán phương pháp giải thể loại tốn Nếu ta nhớ biểu thức bản, hiểu nhớ phương pháp giải thể loại tốn ta tự đề toán để giải Ta đổi 20 phút thành 80 phút Gọi thời gian vòi thứ chảy đầy bể x (phút) Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể y (phút) (Điều kiện x, y >80) Trong phút vòi thứ chảy Trong phút vịi thứ hai chảy Từ ta có phương trình thứ nhất: (bể) x (bể) y x y 80 Theo đề mở vòi thứ 10 phút, vòi thứ hai 12 phút lượng nước bể 10 x bể, nên ta có phương trình thứ hai: 15 12 y 15 1 x y 80 Từ hai phương trình ta có hệ phương trình: 10 12 x y 15 Giải hệ phương trình trên: Nhân hai vế phương trình thứ với 12 ta có: 12 x 10 x 12 y 12 y 12 10 x x x 60 10 12 x y 20 (a) Trõ tõng vÕcđa hƯ(a) ta cã: 15 12 12 y y 15 20 15 x x 120 10 12 120 y 15 Tõ ®ã ta cã: 60 x y 120 240 Với x 120 y 240 thỏa mãn điều kiện Vậy: Thời gian để vòi thứ chảy riêng để đầy bể 120 phút (2 giờ) Thời gian để vòi thứ hai chảy riêng để đầy bể 240 phút (4 giờ) Bài 12: (39/25/SGK, Tập 2) Một người mua hai loại hàng phải trả tổng cọng 2,17 triệu đồng, kể thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% loại hàng hóa thứ 8% loại hàng hóa thứ hai Nếu thuế VAT 9% hai loại hàng người phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng Hỏi khơng kể thuế VAT người phải trả tiền cho loại hàng ? Giải Gọi giá tiền loại hàng thứ không kể thuế VAT x (triệu đồng) Giá tiền loại hàng hóa thứ hai y (triệu đồng) (Điều kiện x, y >0) Theo ta ta có: (100% 10%) x (100% 8%) y 2,17 (100% 9%) x (100% 9%) y 2,18 1,1x 1, 08 y 2,17 1, 09 x 1, 09 y 2,18 x y 0,5 1,5 Với x 0,5 y 1,5 thỏa mãn điều kiện (x, y >0) Vậy giá tiền loại hàng thứ không kể VAT 0,5 triệu đồng Giá tiền loại hàng hóa thứ hai không kể VAT 1,5 triệu đồng Bài 13: Điểm trung bình 100 học sinh hai lớp 9A 9B 7,2 điểm Tính điểm trung bình học sinh lớp, biết số học sinh lớp 9A gấp rưỡi số học sinh lớp 9B điểm trung bình lớp 9B gấp rưỡi đểm trung bình lớp 9A Giải Vận dụng quy tắc giải tốn cách lập phương trình để giải tốn Gọi điểm trung bình học sinh lớp 9A x (x > 0), điểm trung bình học sinh lớp 9B y (y >0) Số học sinh lớp 9A 150% số học sinh lớp 9B, nên tổng số học sinh hai lớp 9A 9B bằng: 150% 100% 250% số học sinh lớp 9B Số học sinh lớp 9B là: 100 : 250 100 40 Số học sinh lớp 9A 100 40 60 Điểm trung bình học sinh lớp 9B gấp rưỡi điểm trung bình học sinh lớp 9A nên: y 1,5x (1) Điểm trung bình học sinh hai lớp 7,2 nên: 60 x 40 y 100 72 (2) y 1,5 x Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 60 x 40 y 100 7, Giải hệ phương trình ta x y , thỏa mãn điều kiện x, y Vậy điểm trung bình học sinh lớp 9A 6,0 Điểm trung bình học sinh lớp 9B 9,00 Bài 14: (28/22/SGK, Tập 2) Hai vòi nước chảy vào bể chứa có nước sau 30 phút (1h30’) bể đầy nước Nếu mở vòi thứ 15 phút khóa lại, mở vịi thứ hai cho chảy 20 phút bể nước Hỏi vịi chảy sau đầy bể Giải Bài toán tương tự 171, 177 Nhớ phương pháp giải thể loại toán giải cách đơn giản Gọi x thời gian (tính giờ) để vịi thứ chảy đầy bể y thời gian (tính giờ) để vịi thứ hai chảy đầy bể (Điều kiện x vòi thứ chảy vòi thứ hai chảy (bể) x (bể) y Cả hai vòi chảy theo thời gian x y (bể) (1) Trong 15 phút 1 vòi thứ chảy (bể) 4x Trong 20 phút 1 vòi thứ hai chảy (bể) 3y Và thời gian hay vòi chảy 4x 3y (bể) nên ta có phương trình thứ hai (2) 1 x y Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 1 4x 3y Giải hệ phương trình trên: Đặt x a a b a b y b ta có: 3x 3b 15a 20b 12 15a 15b 10 15a 20b 12 15a 15b 10 5b 15a 15b b 10 ;y ) a b 4x 2y 15 x 15 4 15 y x y Với x y 2 thỏa mãn điều kiện Vậy vịi thứ chảy phải hết đầy bể Vịi thứ hai chảy phải hết đầy bể ... 9A x (x > 0), điểm trung bình học sinh lớp 9B y (y >0) Số học sinh lớp 9A 150% số học sinh lớp 9B, nên tổng số học sinh hai lớp 9A 9B bằng: 150% 100% 250% số học sinh lớp 9B Số học sinh lớp 9B... 30 x y 40 x 50 2x y 32 xy 3x y 24 xy 54 xy x y xy 32 3x y 30 x y 80 x 50 2 .50 y 40 x 40 50 4y 60 x y 50 15 Với x 50 y 15 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số cải bắp vườn nhà Lan có 15 .50 750 (cây) Bài... vận tốc 50 km/h đến B sớm dự định nên ta có phương trình thứ hai: x 50 y x Theo ta có hệ phương trình: 35 x 50 x Giải hệ phương trình trên: 35 x 50 y y y y x 35 y x 50 x 50 x y 350 Với x 350 y thỏa