GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC I Phương pháp giải 1 Xét trong tập xác định (D) a) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x) với ox x nếu , ( ) ( ) aox A x A x Ký hiệu max ( ) oA[.]
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC I Phương pháp giải Xét tập xác định (D): a) Hằng số a giá trị lớn A(x) với x xo nếu: x, A( x) A( xo ) a Ký hiệu: max A( x) a x xo b) Hằng số b giá trị nhỏ B(x) với x xo nếu: x, B( x) B( xo ) b Ký hiệu: B( x) b x xo c) Hằng số a giá trị lớn A(x, y,…_) với x xo ; y yo ; x, y, A( x, y, ) A( xo , yo , ) a Ký hiệu: max A( x, y, ) a x xo ; y yo ; d) Hằng số b giá trị nhỏ B( x, y, ) với x xo ; y yo ; x, y, B( x, y, ) B( xo ; yo , ) b Ký hiệu: B( x, y, ) b x xo ; y yo ; Định lý cực trị: a) Nếu tổng hai số dương khơng đổi tích chúng lớn hai số b) Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Một số bất đẳng thức hay dùng: (đã nêu chuyên đề 21) a Bất đẳng thức Cauchy b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki c Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối d Bất đẳng thức tam giác II Một số ví dụ Dạng tam thức bậc hai đưa tam thức bậc hai Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn A( x) 2015 x x b) Tìm giá trị nhỏ B( x) x 2( x 5) c) Tìm giá trị nhỏ C ( y) ( y 2)2 ( y 5)2 * Tìm lời giải: Để tìm giá trị lớn A(x) ta phân tích A(x) thành số a trừ bình phương tổng (hoặc hiệu) Từ tìm xo để x A( x) A( xo ) a Khi max A( x) a x xo Để tìm giá trị nhỏ B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương tổng (hoặc hiệu) trừ số b Từ tìm xo để x B( x) B( xo ) b Khi B( x) b x xo Giải a) A( x) 2015 x x 2016 ( x x 1) 2016 ( x 1)2 Do ( x 1)2 0, x nên 2016 ( x 1)2 2016, x Do max A( x) 2016 x x 1 19 19 b) B( x) x x 10 x x 5 x x x 4 2 2 2 1 19 19 Do x 0, x Nên x x 2 2 2 Do B( x) 19 x 2 c) C ( y) ( y 2)2 ( y 5)2 y y y 10 y 25 29 y y 29 y y 49 49 49 y2 y y , y 4 2 2 Do C ( y) 24,5 y 1,5 Dạng đa thức biến bậc lớn hai Ví dụ 2: a) Tìm giá trị nhỏ C x4 x3 12 x2 18x 15 b) Tìm giá trị lớn D ( y 2)( y 5)( y 6)(9 y) * Tìm cách giải: a) Sử dụng tách thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất bình phương nhị thức b) Hoán vị nhân cặp làm xuất biểu thức có phần giống y 11y đặt ẩn phụ để giải Giải a) C x4 x3 x 3x 18x 27 12 x ( x 3)2 3( x 3) 12 ( x 3) ( x 3) 12 Do x x;( x 3)2 0, x ( x 3)2 ( x 3) 12 12, x Nên C 12 x b) D ( y 2)(9 y)( y 5)( y 6) y 11y 18 y 11y 30 Đặt y 11y 24 z ta có: D ( z 6)( z 6) 36 z 36 z Vậy max D 36 z y 11y 24 ( y 3)( y 8) y 3; y Dạng đa thức nhiều biến bậc hai Ví dụ 3: a) Tìm giá trị nhỏ A( x; y) x x y y 2018 b) Tìm x, y, z để đa thức B(x, y, z) có giá trị lớn B( x, y, z ) (2 x y z xy xz yz x y) * Tìm cách giải: a) Biến đổi biểu thức thành tổng bình phương nhị thức với số b) Dùng tách, thêm bớt hạng tử làm xuất bình phương biểu thức Sử dụng đẳng thức: a b2 c 2ab 2ac 2bc (a b c)2 Giải a) A( x, y) x x y y 2016 ( x 1)2 (3 y 1)2 2016 Do ( x 1)2 0, x (3 y 1)2 0, y Nên ( x 1)2 (3 y 1)2 2016 2016, x; y Do A( x, y) 2016 ( x 1; y ) b) B( x, y, z) x2 x 1 y y x2 y z xy xz yz 5 2 x 1 y x y z 6, x, y, z x 1 x Do max B( x, y, z ) y y x y z z Dạng phân thức Ví dụ 4: a) Tìm giá trị lớn biểu thức A 16 x x 19 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B x2 x2 c) Tìm giá trị lớn biểu thức C x x2 x2 x 2 Giải a) Do x x 19 ( x 1)2 18 18, x 1 16 16 , x A , x 2 ( x 1) 18 18 ( x 1) 18 18 9 Vậy max A x b) B 12 12 x 12 12 1 3, x 1 Do x x nên 2 x 3 x 3 x 3 x 3 Vậy B 3 x x x2 x x 2 1 c) C 2 x 2x x 2x x 2x Do x x ( x 1)2 x nên 1 3 ( x 1) ( x 1)2 2, x Vậy max C x ( x 1)2 Dạng chứng minh giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức Ví dụ 5: x2 x a) Chứng minh giá trị lớn A ( x 1) x 1 x 2x 1 b) Chứng minh giá trị nhỏ B x2 x x ( x 0) x * Tìm cách giải: + Phương pháp chứng minh max A( x) a (a số) Chứng minh A( x) a, x có xo cho A( xo ) a + Phương pháp chứng minh B( x) b (b số) Chứng minh B( x) b, x có xo cho B( xo ) b Giải a) Ta chứng minh A x2 x x Thật x x 2x 1 x2 x x2 x x2 2x ( x 1)2 0 x2 x x2 x x2 x ( x 1) Hiển nhiên Dấu “=” xảy ( x 1)2 x 1 x2 x b) Ta chứng minh B x Thật x x2 x2 x x2 x x2 x ( x 2) 0 x2 x2 2 x2 x2 Hiển nhiên Dấu “=” xảy ( x 2)2 x Dạng tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức M 10( x 2) x2 Tìm cách giải: Biến đổi biểu thức M để có a M b, x (a, b số) Giải x M 10 x 25 x x2 ( x 5) 1, x x2 Do M 1 x 5 *M 5( x 5) 5( x x 1) ( x 1) 5, x x2 x2 Do max M x Dạng tập áp dụng định lý, tính chất cực trị Ví dụ 7: Chứng minh định lý: 1) Nếu tổng hai số dương khơng đổi tích chúng lớn hai số 2) Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Áp dụng: a) Tìm giá trị nhỏ T 16 x , với x x2 b) Cho 7a 9b 42 với a, b Tìm giá trị lớn tích P ab Giải Gọi số dương a b Ta có a b a 2ab b (a b)2 4ab 1) Nếu a b k khơng đổi 4ab k ab Vậy max(a.b) k2 k2 k ab 2) Nếu a.b h không đổi ta có (a b)2 4h a b h Do min(a b) h a b h Áp dụng: a) T 16 x 16 x2 x2 x2 4 16 x 16 x số dương có tích ; khơng đổi nên tổng x2 x2 16 x2 chúng nhỏ x2 Ta có với x ( x 2) 64 Phương trình có nghiệm x 10 x 6 Nghiệm x 10 thỏa mãn điều kiện Vậy A 4,5 x b) Xét 63P 7a.9b 7a 9b 42 khơng đổi nên tích chúng lớn hai số 7a 9b 21 Vậy max P a 3; b Ví dụ 8: Chứng minh tổng số dương với nghịch đảo có giá trị nhỏ Áp dụng: 1 a) Với a, b tìm giá trị nhỏ A (a b) a b b) Với a, b, c tìm giá trị lớn B a b c a b c Giải 1 Gọi số dương x Thì số nghịch đảo x Ta có tích x không đổi nên tổng x x 1 nhỏ x x x x Vậy x x x a) A a b Do hai số dương nghịch đảo Theo chứng b a a b b a minh A 1 a b a b Vậy A a b b) Ta có C a b c a b c b a c b a c 1 a b b c c a Theo chứng minh ta có C Nên B C Vậy B 8 x y z Dạng tập biến bị ràng buộc hệ thức Ví dụ 9: Cho x y z a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y z b) Tìm giá trị lớn biểu thức B xy yz zx c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2B Giải a) Cách 1: x y z ( x y z )2 x y z 2( xy yz zx) 36 Mặt khác x y xy; y z yz; z x zx Do cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta được: x y z xy yz zx x y z x y z 36 x y z 36 Vậy A 12 x y z Cách 2:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số 1, 1, x, y, z ta có ( x.1 y.1 z.1) 12 12 12 x y z Hay x y z 3( x y z ) Từ A ( x y z )2 36 12, x, y, z 3 Vậy A 12 x y z b) Theo a) ta có A 2B 36 A B 3B A 2B 36 nên B 12 max B 12 x y z c) Ta có A 2B 36 mà B 12 nên: A 2B A 2B 4B 36 48 min( A 2B) 12 x y z Dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 10: a) Tìm giá trị lớn biểu thức A 1945 x 2015 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B x x 11 c) Tìm giá trị lớn biểu thức C x 16 (5 x 8)2 Giải a) Ta có: x, x 1945 x 1945 A 1945 x 1945 2015 2015 Dấu “=” xảy x x 4,5 Do max A 1945 389 x 4,5 2015 403 b) Cách 1: Sử dụng a b a b Dấu “=” xảy ab Ta có: B x x 11 x 11 x (2 x 5) (11 x) Vậy B Dấu “=” xảy (2 x 5)(11 x) Lập bảng xét dấu: x 2,5 5,5 2x - + | 11 2x + | + Vế trái - + + - (2 x 5)(11 x) 2,5 x 5,5 Do B 2,5 x 5,5 Cách 2: Lập bảng xét giá trị tuyệt đối: x 2,5 5,5 2x 5 2x 2x | 2x x 11 11 2x | 11 2x x 11 * Với x 2,5 ta có B 16 x (1) * Với 2,5 x 5,5 B (2) * Với x 5,5 ta có B x 16 (3) Từ (1), (2), (3) ta có B 2,5 x 5,5 c) Đặt x y C x 16 (5 x 8)2 x 16 x ( y y 4) 12 ( y 2)2 12 12 Vậy max C 12 y x x 2; x 1, III Bài tập vận dụng Dạng tam thức bậc hai đưa tam thức bậc hai 25.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A( x) x 8x 15 b) A( y) ( y 1)2 ( y 2)2 ( y 3)2 ( y 4) c) A( z ) ( z 2)3 ( z 2)(z z 4) Hướng dẫn giải – đáp số a) A( x) x 1 11 11, x Vậy A( x) 11 x 1 b) A( y) y 16 y 2( y 4) 34 34, y Vậy A( y) 34 y c) A( z ) z 12 z 16 6( z 1)2 10 10, z Vậy A( z) 10 z 1 25.2 Tìm giá trị lớn biểu thức: a) B( x) 15 x x b) B( y) ( y 2)2 2( y 1)2 (2 y )(2 y ) c) B( z ) 11z 22 z 33 1 1 1 1 2 10 Hướng dẫn giải – đáp số a) B( x) 24 ( x x 9) 24 ( x 3)2 24, x Vậy max B( x) 24 x b) B( y) 2 y y 10 12 2( y 1)2 12, y Vậy max B( y) 12 y 1 1 11 c) Rút gọn 1 ( bạn đọc tự rút gọn) 1 1 1 20 2 10 Lưu ý 1.3 2.4 9.11 1 ; 1 ; ; 2 2.2 3.3 10 10.10 Do B( z ) 20( z z 3) 40 20( z 1) 40, z Vậy max B( z ) 40 z Dạng đa thức biến bậc lớn hai 25.3 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức C ( x 3)( x 5)( x x 17) b) Tìm giá trị lớn biểu thức D (1 x)( x3 11x 41x 55) c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức E ( x x 18)( x x 2) d) Tìm giá trị lớn biểu thức F 2018 ( x 2014) ( x 2016) Hướng dẫn giải – đáp số a) C ( x x 15)( x x 17) Đặt x 8x 16 y ta có C y 1 y 1 y 1, y Vậy C 1 y x x b) D 1 x x 5 x x 11 x x x x 11 Đặt x x y ta có D y 3 y 3 y 9, y x x Vậy max D y x x ( x 2)(x 4) c) E ( x 6)( x 3)( x 2)(x 1) (x x 6)( x x 6) Đặt x 5x y ta có E ( y 6)( y 6) y 36 35, y Vậy E 35 y x 5x ( x 5) x x 0; x 5 d) Đặt x 2015 y F 2018 y 14 y 14 Áp dụng đẳng thức a b a 4a3b 6a 2b 4ab3 b ta có F 2018 2( y y 1) 2016 2( y y ) 2016, y Vậy max F 2016 y x 2015 Dạng đa thức nhiều biến bậc hai 25.4 a) Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ tìm giá trị đó: M ( x, y) x xy y 12 y 22 b) Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị lớn tìm giá trị đó: N ( x, y ) 2006 x y xy x y c) Tìm x, y, z để biểu thức sau đạt giá trị lớn tìm giá trị đó: P( x, y, z ) x y z x y z d) Tìm x, y, z, t để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ tìm giá trị đó: Q( x, y, z, t ) ( x y z ) x y 2t xt y 6t 113 Hướng dẫn giải – đáp số a) M ( x, y ) x y y 10 10, x, y 2 Do M ( x, y) 10 x 2; y 2 b) N ( x, y ) 2015 x y 1 y 2015, x, y 2 Do max N ( x, y) 2015 x 3; y c) P( x, y, z ) 15 x 1 y z 3 15, x, y, z 2 Do max P( x, y, z ) 15 x 1; y 2; z 3 d) Q( x, y, z, t ) x y z x t y t 3 100 100, x, y, z, t 2 2 Do Q( x, y, z, t ) 100 x 3; y 2; z 1; t 3 25.5 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: R x12 x22 x32 x102 4( x1 x2 x3 x10 ) b) Với n N n Tìm giá trị nhỏ của: S x12 22 x22 32 x32 n2 xn2 2( x1 2x2 3x3 nxn ) 2n c) Với n N n Tìm giá trị lớn biểu thức: T 2(50 x1 x2 3x3 nxn ) (12 22 33 n2 ) ( x12 x22 x32 xn2 ) Hướng dẫn giải – đáp số a) R x1 x2 x3 x10 40 40, xi (i 1; 2; ;10) 2 2 minR 40 x1 x2 x10 b) Ta có i xi2 2ixi ixi 1 Do S x1 1 x2 1 3x3 1 (nxn 1) n n, xi (i 1; 2; ; n) 2 2 n Do minS n x1 1; x2 ; x3 ; ; xn c) Ta có xi2 2ixi i xi i (i 1; 2;3; ; n) Do đó: T 100 x1 1 x2 x3 3 xn n 100, xi 2 2 Do max T 100 x1 1; x2 2; x3 3; ; xn n Dạng phân thức 25.6 a) Tìm giá trị lớn biểu thức A 200 16 x 8x 21 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B 50 x 4x c) Tìm giá trị lớn biểu thức E 2015 x y 2( x y ) 2018 2 2 Hướng dẫn giải – đáp số a) A 200 200 10, x Vậy max A 10 x 0, 25 (4 x 1) 20 20 b) B 50 50 50 25 x Vậy B 25 x 2 ( x x 4) ( x 2) 2 c) E x 2015 2015 2015 x, y Vậy max E 2016 ( x 1) ( y 1) 2016 2016 y 1 2 25.7 5x2 x a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức D x2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức E x 26 x2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức F x x 16 x2 d) Tìm giá trị lớn biểu thức G x 16 x 38 x2 x Hướng dẫn giải – đáp số a) D 4( x 2) (x x 1) ( x 1)2 4, x Vậy D x x2 x2 b) E 5( x 5) 1 5 x 5 x 5 Do x ta có x2 1 26 5 , x max E 5, x x 5 x 5 2( x 2)2 c) F 2, x Vậy F x x 4 d) Q 6 , x max Q 5,5 x 2 ( x 2) 4 25.8 a) Tìm giá trị lớn biểu thức f ( x) x x 2x 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức g ( x) x 12 x 13 2( x 2) với x x2 x Hướng dẫn giải – đáp số a) Với x 1; f ( x) 3( x 1) 3 Đặt y 2 ( x 1) x ( x 1) x 1 Ta có f ( x) y y 3 y y 3 y , y 4 2 4 Vậy max f ( x) y b) g ( x) 1 3 hay x 1 với x Vậy y y ( y 1)2 y với y ( x 2) x x2 g ( x) y hay x Dạng chứng minh giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức 25.9 a) Chứng minh giá trị nhỏ biểu thức A x2 x 15 x b) Chứng minh giá trị lớn biểu thức B c) Cho C x2 x x x2 x y chứng minh rằng: max C y C 0,5 y 2 y2 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta chứng minh A 6, x Thật x x 15 x x ( x 3) x Dấu “=” xảy x b) Ta chứng minh B 8, x Thật vậy: x, ta có: x2 4x x x 8( x x 5) 9( x 2) 0 x2 x x2 4x ( x 2)2 Hiển nhiên Dấu “=’ xảy x c) Xét C 1 y y y ( y 1) 0, y Như C 1, y, dấu “=” xảy y2 y2 y2 y nghĩa max C y 1 y y y2 y 2 0, y Như C 0,5, y, dấu “=” xảy Xét C 2 y2 2 y2 y2 y 2 nghĩa minC 0,5 y 2 25.10 Chứng minh với x Z , biểu thức: a) A 30 có giá trị lớn 30 x 4 x b) B x 26 có giá trị lớn 24 x x 3 c) C 975 x có giá trị nhỏ 31 x 1944 x 1945 Hướng dẫn giải – đáp số a) Với x A Với x Z Xét x mẫu – x số nguyên dương Phân số A có tử mẫu dương, tử 30 không đổi nên A lớn mẫu (4 – x) số nguyên dương nhỏ Do x x Khi A 30 Vậy max A 30 x 3, b) Với x B x 26 ( x 3) 23 23 23 1 1 x 3 x 3 x 3 3 x B lớn Nếu x 23 23 lớn Nếu x 0 3 x 3 x 23 23 lớn (3 x) nhỏ nên 3 x 3 x 3 x nhỏ x hay x 3 x (3 x) Z Khi max B 24 x c) Với x 1945 C Đặt E 1975 x 30 ( x 1945) 30 1 x 1945 x 1945 x 1945 30 Ta có: C nhỏ E nhỏ x 1945 * Với x 1945 E * Với x 1945 E nên C nhỏ số đối E lớn 1945 x nên 30 lớn Do 1945 x 30 lớn (1945 x) nhỏ 1945 x 1945 x (1945 x) nhỏ 1945 x Khi C 31 1945 x Z Vậy C 31 x 1944 Dạng tìm giá tị lớn nhỏ biểu thức 25.11 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: a) D 6x 1 x2 b) E c) G x2 x với x x2 x d) K x y với x y 50 x2 x x2 x Hướng dẫn giải – đáp số a) D (9 x 2) (9 x x 1) (3x 1)2 x x2 x2 Do max D x D 12 x (9 x 12 x 4) (9 x 2) (3x 2)2 1 x, 2 2(9 x 2) 2(9 x 2) 2(9 x 2) 2 2 Do D x b) E 2( x x 3) x x2 2 2, x x2 x x 2x Do max E x E x x 12 ( x x 3) (x x 9) ( x 3) , x 2 2( x x 3) 2( x x 3) 2( x x 3) 2 Do E x 3 2( x x 1) c) G ( x x 1) x x x x 1 2, x Vậy maxG x * Xét với x G x Do x nên x2 x 2x 2x 2 2 x 2x 1 x 2x 1 x2 x , x Vậy G 1,5 x 1 x 2 x d) Ta có xy x y ( x y)2 2( x y ) 100 x y 10 10 x y 10 Vậy max K 10 x y 5; K 10 x y 5 Dạng tập áp dụng định lý, tính chất cực trị 25.12 a) Chứng minh hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn b) Chứng minh hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ Hướng dẫn giải – đáp số Áp dụng trực tiếp định lý cực trị 25.13 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B ( x 8)(2 x 9) với x x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức C x với x x 1 c) Tìm giá trị lớn biểu thức D ( x x 20)(28 x 5x) Hướng dẫn giải – đáp số a) B x 25 x 72 72 x 25 x x Ta có với x 2x 72 hai số dương có tích 144 không đổi nên tổng chúng x nhỏ hai số tức là: 2x 72 x 36 Nghiệm x thỏa mãn điều kiện x Vậy minB 49 x ( x x 1) 2( x 1) b) C ( x 1) 2 x 1 x 1 Ta có với x 0, số dương x Nên C nhỏ x có tích khơng đổi x 1 ( x 1)2 Nghiệm x thỏa mãn điều kiện đầu x 1 Vậy C x c) Tổng x x 20 28 x x khơng đổi nên tích chúng lớn hai số x2 5x 20 28 x2 5x x2 5x 24 ( x 3)( x 8) x 3; x x 3 x Vậy max D 4.4 16 25.14 a) Với a, b, c tìm giá trị lớn biểu thức G 2020 b c a a b c 1 1 b) Với a, b, c, d tìm giá trị nhỏ biểu thức H (a b c d ) a Hướng dẫn giải – đáp số x a) Ta biết x 2, x Do a b (1) b a Do vai trò a, b, c nên ta giả sử a b c b c d b b c a c a Ta có a c b(a c) c(a c) ab bc c ac (2) Từ (1) (2) G 2020 2017 b c a b c a a b c a b c Vậy max G 2017 a b c a, b, c b) H 2.6 20 b a c a d a c b d b d c a b a c a d b c b d c d Vậy minH 20 a b c d a, b, c, d 25.15 Với x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 y a) K x b) L 1 1 y z yz z zx x x y x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) x( y z ) y ( z x) z( x y) Hướng dẫn giải – đáp số x z x y y z a) K y z x yz zx x y x y y z z x Ta có (xem tập 25.14) (xem ví dụ chuyên đề 20) K x y z yz zx x y Vậy K 4,5 x y z x, y, z b) Biến đổi L x y z yz zx x y yz zx x y x y z x y x z y z x y z 2 2 yz zx x y y x z x z y Vậy L 7,5 x y z x, y, z Dạng tập biến bị ràng buộc hệ thức 25.16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) D a b2 với a; b a b b) E a b2 c2 với a, b, c a b c c) F a3 b3 2ab biết a b Hướng dẫn giải – đáp số a) a b 16 a b2 2ab 2(a b2 ) (a b)2 16 2(a b2 ) a b2 Vậy D a b b) Ta có 3(a b2 c ) (a b c)2 (xem tập 21.1) Do 3E (a b c)2 Vậy E a b c c) F a3 b3 2ab (a b)(a ab b2 ) 2ab Do a b nên F 2(a ab b2 ) 2ab 2a 2b2 2a 2(2 a)2 4a 8a 4(a 1) 4, a Vậy F a b 25.17 a) Tìm giá trị lớn biểu thức G 2ab với a 2b 2; b) Tìm giá trị lớn biểu thức H 1 với a, b, c a b c a 1 b 1 c 1 Hướng dẫn giải – đáp số a) a 2b a 2b G 2ab 4(1 b)b 4(b2 b) 1 4 b 1, b Vậy maxG b a 2 b) Đặt a x; b y; c z x y z a b c nên 1 1 x yz 1 Ta có ( x y z ) (xem ví dụ chuyên đề 21) x y z 1 1 1 9 3 1 1 x y z x yz 2 x y z max H x y z a b c Dạng tập chứa dấu giá trị tuyệt đối 25.18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) L x 2010 x 2020 ; b) M x 2015 x 2016 x 2017 x 2018 ; c) N 19 x 10 19 x 1970 Hướng dẫn giải – đáp số a) Sử dụng bất đẳng thức a b a b Dấu “=” xảy ab L x 2010 x 2020 x 2010 2020 x x 2010 2020 x 10 Vậy L 10 Dấu “=” xảy (2020 5x)(5x 2010) 402 x 404 Do L 10 402 x 404 (có thể lập bảng xét giá trị tuyệt đối để giải) b) Đặt M1 x 2015 x 2018 ; M x 2016 x 2017 Giải tương tự a) ta có: minM1 2015 x 2018 M 2016 x 2017 Vậy M 2016 x 2017 c) Đặt 19 x y N y 10 y 25 1945 ( y 5)2 1945 1945 Vậy N 1945 y 19 x x 13 ;x 19 19 25.19 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) P 2y b) Q 2014 1954 y 60 60 c) T x x Hướng dẫn giải – đáp số a) max P y 3 b) y ta có: y y 60 60 1 y 60 60 2014 2014 2014 1954 2014 1954 1 y 60 60 y 60 60 60 60 Vậy max Q y c) Với x 5 T x x 3 Với 5 x 2 T x x x Do 5 x 2 nên 10 x 4 3 T Với x 2 T x x Vậy max T x 2 25.20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ... d ) a Hướng dẫn giải – đáp số x a) Ta biết x 2, x Do a b (1) b a Do vai trò a, b, c nên ta giả sử a b c b c d b b c a c a Ta có a c b(a c) c(a c)