HSG 8 đs8 CHUYÊN đề 4 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT và GIÁ TRỊ lớn NHẤT của BIỂU THỨC ( 87 trang)

CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN 8 Bộ đủ bản word cả năm GV cần thì có thể liên hệ zalo 0945943199 1 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT ĐẸP TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐTZalo 0945943199 Toán Học Sơ Đồ ĐS8 CHUYÊN ĐỀ 4 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A Kiến Thức Cần Nhớ 1 Xét trong tập xác định (D) a) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x) với o x x nếu , ( ) ( ) a o x A x A x   Ký hiệu max ( ) o A x a x x   b) Hằng số b là giá trị nhỏ nhất của B(x) với o x x.

Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUN ĐỀ HSG –TỐN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 ĐS8-CHUYÊN ĐỀ 4.GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A Kiến Thức Cần Nhớ Xét tập xác định (D): a) Hằng số a giá trị lớn A(x) với x  xo nếu: x, A( x)  A( xo )  a Ký hiệu: max A( x)  a  x  xo b) Hằng số b giá trị nhỏ B(x) với x  xo nếu: x, B( x)  B( xo )  b Ký hiệu: B( x)  b  x  xo c) Hằng số a giá trị lớn A(x, y,…_) với x  xo ; y  yo ; x, y, A( x, y, )  A( xo , yo , )  a Ký hiệu: max A( x, y, )  a  x  xo ; y  yo ; d) Hằng số b giá trị nhỏ B( x, y, ) với x  xo ; y  yo ; x, y, B( x, y, )  B( xo ; yo , )  b Ký hiệu: B( x, y, )  b  x  xo ; y  yo ; Định lý cực trị: a) Nếu tổng hai số dương không đổi tích chúng lớn hai số b) Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Một số bất đẳng thức hay dùng: (đã nêu chuyên đề 21) a Bất đẳng thức Cauchy b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki c Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối d Bất đẳng thức tam giác Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Toán Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 B Một Số Ví Dụ Dạng tam thức bậc hai đưa tam thức bậc hai Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn A( x)  2015  x  x b) Tìm giá trị nhỏ B( x)  x  2( x  5) c) Tìm giá trị nhỏ C ( y )  ( y  2)  ( y  5) * Tìm lời giải: Để tìm giá trị lớn A(x) ta phân tích A(x) thành số a trừ bình phương tổng (hoặc hiệu) Từ tìm xo để x A( x)  A( xo )  a Khi max A( x)  a  x  x o Để tìm giá trị nhỏ B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương tổng (hoặc hiệu) trừ số b Từ tìm xo để x B( x)  B( xo )  b Khi B( x)  b  x  x o Giải a) A( x)  2015  x  x  2016  ( x  x  1)  2016  ( x  1) Do ( x  1)2  0, x nên 2016  ( x  1)2  2016, x Do max A( x)  2016  x    x  1 19   19   b) B( x)  x  x  10   x  x  5   x  x      x    4 2   2 1  19 19   Do  x    0, x Nên  x     x 2 2 2   Do B( x)  19 x 2 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Toán Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 c) C ( y)  ( y  2)2  ( y  5)2  y  y   y  10 y  25 29    y  y  29   y  y     49   49 49     y2  y      y     , y 4  2 2   Do C ( y)  24,5  y  1,5 Dạng đa thức biến bậc lớn hai Ví dụ 2: a) Tìm giá trị nhỏ C  x  x3  12 x  18x  15 b) Tìm giá trị lớn D  ( y  2)( y  5)( y  6)(9  y) * Tìm cách giải: a) Sử dụng tách thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất bình phương nhị thức b) Hốn vị nhân cặp làm xuất biểu thức có phần giống y  11y đặt ẩn phụ để giải Giải a) C  x  x3  x  3x  18x  27  12  x ( x  3)2  3( x  3)2  12  ( x  3)2 ( x  3)  12 Do x   x;( x  3)2  0, x  ( x  3) ( x  3)  12  12,  x Nên C  12  x  b) D   ( y  2)(9  y) ( y  5)( y  6)     y  11y  18  y  11y  30  Đặt y  11y  24  z ta có: D  ( z  6)( z  6)  36  z  36 z Vậy max D  36  z   y 11 y  24  ( y  3)( y 8)   y  3; y  Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUN ĐỀ HSG –TỐN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Dạng đa thức nhiều biến bậc hai Ví dụ 3: a) Tìm giá trị nhỏ A( x; y )  x  x  y  y  2018 b) Tìm x, y, z để đa thức B(x, y, z) có giá trị lớn B( x, y, z )   (2 x  y  z  xy  xz  yz  x  y) * Tìm cách giải: a) Biến đổi biểu thức thành tổng bình phương nhị thức với số b) Dùng tách, thêm bớt hạng tử làm xuất bình phương biểu thức Sử dụng đẳng thức: a  b2  c  2ab  2ac  2bc  (a  b  c)2 Giải a) A( x, y)  x  x   y  y   2016  ( x  1)  (3 y  1)  2016 Do ( x  1)2  0, x (3 y  1)2  0, y Nên ( x  1)2  (3 y  1)2  2016  2016, x; y Do A( x, y )  2016  ( x  1; y  ) b) B( x, y, z )    x  x  1   y  y     x  y  z  xy  xz  yz   5 2    x  1   y     x  y  z    6, x, y, z   x 1  x     y  Do max B ( x, y, z )    y   x  y  z  z    Dạng phân thức Ví dụ 4: Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 a) Tìm giá trị lớn biểu thức A  16 x  x  19 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  x2  x2  c) Tìm giá trị lớn biểu thức C   2x  x2 x2  x  2 Giải a) Do x  x  19  ( x  1)2  18  18, x  1 16 16  , x  A    , x 2 ( x  1)  18 18 ( x  1)  18 18 Vậy max A  b) B   x 1 x   12 12 12 12  1 Do x   x nên   1  3, x x 3 x 3 x 3 x 3 Vậy B  3  x   x  x2   x  x  2   1 c) C  2 x  2x  x  2x  x  2x  Do x  x   ( x  1)2   x nên  1 3 ( x  1)  ( x  1)    2, x Vậy max C   x 1 ( x  1)  Dạng chứng minh giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức Ví dụ 5: a) Chứng minh giá trị lớn A   x2  x  ( x  1)  x  1 x  2x 1 b) Chứng minh giá trị nhỏ B  x2  2x  ( x  0) x  2 x Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 * Tìm cách giải: + Phương pháp chứng minh max A( x)  a (a số) Chứng minh A( x)  a, x có  xo  cho A( xo )  a + Phương pháp chứng minh B( x)  b (b số) Chứng minh B( x )  b, x có  xo  cho B( xo )  b Giải a) Ta chứng minh A   x2  x    x  Thật x  x  2x 1  x2  x 1  x2  x 1  x2  2x 1 ( x  1)         0 x2  2x  x2  2x  x2  2x  ( x  1) Hiển nhiên Dấu “=” xảy  ( x  1)2   x  1 x2  x   x  Thật x  b) Ta chứng minh B  x2 x2  x  x2  x  x2  x  ( x  2)    0 0 0 x2 x2 2x2 2x2 Hiển nhiên Dấu “=” xảy  ( x  2)2   x  Dạng tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức M  10( x  2) x2  Tìm cách giải: Biến đổi biểu thức M để có a  M  b, x (a, b số) Giải x M  10 x  25   x   x2   ( x  5)2   1, x x2  Do M  1  x  5 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUN ĐỀ HSG –TỐN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 5( x  5)  5( x  x  1) ( x  1)  5  5, x * M x2  x 5 Do max M   x  Dạng tập áp dụng định lý, tính chất cực trị Ví dụ 7: Chứng minh định lý: 1) Nếu tổng hai số dương khơng đổi tích chúng lớn hai số 2) Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Áp dụng: a) Tìm giá trị nhỏ T  16 x  , với x  x2 b) Cho 7a  9b  42 với a, b  Tìm giá trị lớn tích P  ab Giải Gọi số dương a b Ta có  a  b    a  2ab  b   (a  b)  4ab k2 1) Nếu a  b  k  khơng đổi 4ab  k  ab  k2 k ab Vậy max( a.b)  2) Nếu a.b  h  khơng đổi ta có (a  b)2  4h  a  b  h Do min(a  b)  h  a  b  h Áp dụng: a) T  16 x 16 x2     x2 x2 4 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Ta có với x   16 x  16 x  ;  không đổi nên tổng chúng nhỏ số dương có tích x2 x2 16 x2  x2  ( x  2)2  64 Phương trình có nghiệm x  10 x  6 Nghiệm x  10 thỏa mãn điều kiện Vậy A  4,5  x  b) Xét 63P  7a.9b 7a  9b  42 khơng đổi nên tích chúng lớn hai số 7a  9b  21 Vậy max P   a  3; b  Ví dụ 8: Chứng minh tổng số dương với nghịch đảo có giá trị nhỏ Áp dụng: 1 1 a) Với a, b  tìm giá trị nhỏ A  (a  b)    a b 1 1 b) Với a, b, c  tìm giá trị lớn B    a  b  c      a b c Giải Gọi số dương x Thì số nghịch đảo x 1 Ta có tích x  khơng đổi nên tổng x  nhỏ x   x  x x x 1  Vậy  x     x  x  a b 1 1 a b a) A   a  b         Do hai số dương nghịch đảo Theo chứng minh b a a b b a A    Vậy A   a  b Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199  1 1 a b b c  c a b) Ta có C   a  b  c                   a b c b a c b a c Theo chứng minh ta có C      Nên B   C   Vậy B  8  x  y  z Dạng tập biến bị ràng buộc hệ thức Ví dụ 9: Cho x  y  z  a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  z b) Tìm giá trị lớn biểu thức B  xy  yz  zx c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  2B Giải a) Cách 1: x  y  z   ( x  y  z )2  x  y  z  2( xy  yz  zx)  36 Mặt khác x  y  xy; y  z  yz; z  x  zx Do cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta được:  x  y  z    xy  yz  zx   x  y  z   x  y  z   36   x  y  z   36 Vậy A  12  x  y  z  Cách 2:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số 1, 1, x, y, z ta có ( x.1  y.1  z.1)  12  12  12  x  y  z  Hay  x  y  z   3( x  y  z ) Từ A  ( x  y  z ) 36   12, x, y, z 3 Vậy A  12  x  y  z  Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Toán Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 b) Theo a) ta có A  2B  36 A  B  3B  A  2B  36 nên B  12  max B  12  x  y  z  c) Ta có A  2B  36 mà B  12 nên: A  2B  A  2B  4B  36  48  min( A  2B)  12  x  y  z  Dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 10: a) Tìm giá trị lớn biểu thức A  1945  x  2015 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  x   x  11 c) Tìm giá trị lớn biểu thức C  x   16  (5 x  8) Giải a) Ta ln có: x, x   1945  x   1945 A  1945  x  2015  1945 2015 Dấu “=” xảy  x    x  4,5 Do max A  1945 389   x  4,5 2015 403 b) Cách 1: Sử dụng a  b  a  b Dấu “=” xảy  ab  Ta có: B  x   x  11  x   11  x  (2 x  5)  (11  x)  Vậy B  Dấu “=” xảy  (2 x  5)(11  x)  Lập bảng xét dấu: x 2x  10 2,5 - 5,5 + | + Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Toán Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Nháp : a  2x  1  a.x  x  2a   , có  '   a  2a  1   2a2  a  a  ; a  1 2 x 2  x  1   x  x    x  2 1        Khi : F   2 x2  2 2 x2   x 2 2 2      x  1   1  2x   x2  2x  Mặt khác : F    1   1  2 x 2 x 2  x 2  Bài 13: Tìm max của: G  6x  x2  Lời giải Nháp : a  6x   a.x  x  a   , có : x 1  '   a  a  8   a2  8a    a  1; a  9   x  3  6x    x2  6x   1   1  1 Khi : G   2 x 1 x2   x 1   3x  1   9  6x   9x  x   9     Mặt khác : G   x2  x2   x 1  Bài 14: Tìm max của: A  x  27 x  3x3  x  x  Lời giải Hạ phép chia ta : A  x  3x  Bài 15: Tìm max của: B  x  512 x2  Lời giải   Hạ phép chia ta : B  x  8x  64  x   48  48 Bài 16: Tìm max của: G  x  16 x  56 x  80 x  356 x2  x  Lời giải 73 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUN ĐỀ HSG –TỐN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199  256 256 , Đặt x  x   t  G  4t  t x  2x   Hạ phép chia ta được: G  x  x   Sau sử dụng co si 8 3x  Bài 17: Tìm max của: I  Lời giải Ta có : 3x    8  4 3x  2 2x 1 x2  Bài 18: Tìm max của: B  Lời giải Nháp : a  2x  1  a.x  x  2a   , có  '   a  2a  1   a  1; a  2 x 2  x  1   2x    x2  2x   1      Khi ; B   x2  x2   x 2   x  1  x  x   x  2 1        Mặt khác : B   2 2 x2  2  x 2 2 2 x 2     x2 y  x2  x2  y   Bài 19: Tìm max của: G  x4  x4 y2  y2  Lời giải x2 y  x4  x2 y  x4  1   Ta có : G  4 2 4 2x  x y  y  2 x   y x  y 2  Bài 20: Tìm max của: H     x4  x  1 Lời giải Đặt x   t  x  t   x  t  2t  , H  Đặt 74 t  2t   2    t t2 t2  a  H  2a2  2a  t Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Bài 21: Tìm max của: I  x  16 x  71 x  x  22 Lời giải Hạ phép chia ta : I   27 , mà x  8x  22   x     x  8x  22 Bài 22: Tìm max của: P  x2 x4  Lời giải Nháp : Đặt x  t  a  t  at  t  a   a   t 1   2 x 1  x2  x4  2x2  1 1        Khi : P   , Không xảy dấu 4 2 2 x  x  x            2  x2  x4  2x2  1  x  1        Mặt khác : P   4 2 x 1 2 x 1  x 1   Bài 23: Tìm max của: G   x4  x  1 Lời giải Đặt x   t  x  t   x  t  2t  t  2t  2    , đặt  a  G  2a2  2a  Khi : G  t t t t Bài 24: Tìm P   x  1 x2  Lời giải Nháp : a  4x   a.x  x  2a   , có  '   a  2a     a  2; a  1 x 2 2  x  1  4x   2 x  x   2     22 Khi : P   x2  x2   x 2  75 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199  4x   x2  4x   1     1 Mặt khác : P   x2   x 2  x2  x2  x  Bài 25: Tìm max của: K  Lời giải Ta có : K   Nháp : a  x x x2 2 1 2 x   a   a.2 a   a  , có :  a x  a x  x  a    x x2 Bài 26: Tìm max của: M  4x 1 x2  Lời giải Nháp : a  4x   a.x  x  3a   , có  '   a  3a  1   a  1; a  x 3 Bài 27: Tìm max của: P  12 x  13 x2  2x  Lời giải Nháp : a  12 x  13  a.x  2a.x  3a  12 x  13  , x  2x  Có  '   a    a  3a  13   a  4; a  x2 Bài 28: Tìm GTLN biểu thức: , GTLN đạt giá trị x x  x2  Lời giải Ta có : P ( x )  1 x2  x2    = x x  x  P( x) x2  x  Bài 29: Tìm GTNN biểu thức: M  x  2x 1 ( x  1) Lời giải 76 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Ta có : M  x  x    x  1  x  2x 1  1 1  x   x  12  1 3 Đặt  t , ta có: M  t  t    t     x 1  2 4 Bài 30: Tìm giá trị lớn biểu thức: B   x  1 x3  x2  x  Lời giải Ta có: B   x  1 x  x  x 1 Do x    B    x  1 x   x  1  x   x  x  1    x  1  x 1  , Dấu x=0 x 1 2 Bậc tử bậc mẫu Bài 1: Tìm GTN N biểu thức sau a A  x2  2x  ( x  0) x2 c C  x2  2x  x2  b B  d D  x2  x  ( x  1) ( x  1) x  x  2016 x2 Lời giải a A  x2  2x  3( x  x  3) ( x  3) 2 2 ( x  0)      x   Amin   x  2 x 3x 3x 3 b B  x2  x  x  x  x  x  x  x  ( x  1) 3 ( x  1)        x  1 ( x  1) 4( x  1) 4( x  1) 4( x  1) 4( x  1) 4 c C  2( x  x  3) x  x  x2  ( x  2)       x  2 2( x  2) 2( x  2) 2( x  2) 2( x  2) d D  x  x  2016 2016 x  x.2016  2016 ( x  2016) 2015 2015      x  2016 x2 2016 x x2 2016 2016 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a A  x  x  19 3x  x  b B  x2  2x  x2  Lời giải 77 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUN ĐỀ HSG –TỐN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 a A  x  x  19 2(3 x  x  7)  5   2 2 3x  x  3x  x  3x  x   83 83 1 60 1  M  3x  x    x     x  Amax  M  Amax   2 x 83  12 12 83  12 b B  x  x  x  x  x  2( x  2)   x  x  ( x  1)       x 1 x2  x2  x2  x2  Bài 3: Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau a A  3x  x  x2  b B  x2  2x  x2  x  Lời giải a A  x  x  2( x  1) ( x  1) ( x  1)       x  1 x2  x2  x2  x2  +) A  x  x  x  ( x  x  1) ( x  1)       x 1 x2  x2  x2  x2  b B  x  x  x  (2 x  x  2) 3x     2  x  x2  x  x2  x  x2  x  +) Với x   A  3x 2 2 1 x  x 1 1  x x 1 1 1 3 1        A 2  2   x  2 x x 2 x x Ta lại có:  Bài 4: Tìm GTLN A  x  x  10 x2  2x  Lời giải A  3  78   1  3  Amax    [( x  1)  2]min  ( x  1)    x  1  2 x  2x  ( x  1)   ( x  1)   max 1   x  1  Amax   x  1 ( x  1)  2 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Bài 5: Tìm GTLN biểu thức sau A  x  x  10 x2  2x   x  R Lời giải 3x  x  10 1  3     x  1 Ta có: A  2 x  2x  2  x  1  Bài 6: Tìm max của: C    x2  x  x 1 Lời giải C 2 2x 2x  a.x  a  x  , có    a   a  1 , Nháp : a  x 1 x 1  2x  x2  2x   1    1  Khi : C   x2   x 1    x  1  2x  x2  2x   1      3 Mặt khác : C   x2  x2   x 1  Bài 7: Tìm max của: N  x2  x  x2  Lời giải N  1 x x  a.x  x  a  , có :    4a2   a   , Nháp : a  2 x 1 x 1  x 1 x2  2x  1   1    Khi ta có : N   2 x2  2  x 1     x 1  x  x    x  1 3   1      Mặt khác : N   2 2 2 x 1 2 x 1  x 1      x  x  17 Bài 8: Tìm max của: Q  x  2x  Lời giải Ta có : Q   79 2 2   , mà x  x    x  1    x  2x  x  2x  2 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Bài 9: Tìm max của: R  x  16 x  41 x  x  22 Lời giải x  16 x  44  3 2 Ta có : R  , x  x  22 x  x  22 Mà x  x  22   x      Bài 10: Tìm max của: P   x  4 6  3 1     x  4  x2 x  x  2010 Lời giải Hạ phép chia ta : P   Nháp : a  x  2010 , x  x  2010 2 x  2010  a.x  2a.x  2010a  x  2010  x  x  2010 Có  '   a  1  a  2010a  2010    a  1; a  2009 Làm tương tự Bài 11: Tìm max của: Q  x2  x  x2  2x  Lời giải Hạ phép chia ta : Q   Q 2   t  1 t2 2 x  , Đặt x   t , ta có : x  2x  2t  2t  1     , Đặt  a  Q  a2  2a  2 t t t t Bài 12: Tìm max của: A  2x2  4x  x2 Lời giải A  2 80 4  , Đặt  t  A  4t  4t  x x x Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Bài 13: Tìm max của: H  x  x  17 x  3x  Lời giải Hạ phép chia ta : H   Nháp : a  3x  x  3x  3x   a.x  3a.x  3x  5a   , có : x  3x     x  1  a  5a    11a  26a    a  Bài 14: Tìm max của: K  13  67 , 11 x2  4x  x2 Lời giải K  1 1  , đặt  t  K  t  4t    t     3 x x x Bài 15: Tìm max của: N  x2  x  x2  2x  Lời giải Hạ phép chia ta : N   2 , mà x  x   x  3   x2  2x  Bài 16: Tìm max của: Q  x  x  1999 x3 : x  3x  x  3x  x Lời giải Thực phép tính ta : Q  Đặt x  x  1999 1999  1  , x x x  t  Q  1999t  2t  x Bài 17: Tìm max của: D  x2  x  x2  2x  Lời giải D 2 81 2 , mà x  x   x  3   x2  2x  Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Bài 18: Tìm max của: F  x2  2x  x2  2x  Lời giải F  1 4 x x  2x  2 Nháp : a  4 x , có  a x  a x  a  a   '  a   a.2a   a   2   x2  2x  Bài 19: Tìm max của: H  x  xy  y x  xy  y Lời giải Với y = ta H = Với y ≠ Chia cá tử mẫu cho y ta được: x2 x   x 2t  2t  6t  y y  2 , đặt  t  H  H y t  2t  t  2t  x x   y y Nháp : a   6t   at  2at  5a  6t   , t  2t  Có :  '   a  3  a  5a  1   a  1; a  Bài 20: Tìm max của: J  , làm giống x2  x2  x  Lời giải Ta có : J   Nháp : a  x x  x 1 2 x 1  a.x  a.x  x  a  , có    a  1  4a.a   a  1; a  x  x 1  x2  2x    x  1    x Khi : J     1      2 x  x 1  x  x 1   x  x 1  82 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Toán Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199  x 1 x2  2x       Mặt khác : J    2  x  x 1 3 3 x  x 1  Bài 21: Tìm max của: Q   y  xy x  xy  y Lời giải x x  3t y Chia tử mẫu cho y ta được: Q  , đặt  t  Q  y x x t  3t    y y  Nháp : a   3t  at  3at  4a  3t   , có :    a  1  4a  4a  5  t  3t  => a  1; a  x2  y2 Bài 22: Tìm max của: R  x  xy  y Lời giải Chia tử mẫu cho y x2 4 x t2  y2  t  R  ta được: R  , Đặt y 3t  4t  x2 x   y y t2   3at  4at  5a  t   , Nháp : a  3t  4t  Có  '  4a2   3a  1 5a     a  1; a  Bài 23: Tìm max của: A  11 x  x  23 x  x  10 Lời giải A  1 13 x  x  10 y2 Bài 24: Tìm max của: B  x  12 xy  y 83 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Toán Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Lời giải Chia tử mẫu cho y ta được: B  x x  12  y y , Đặt x  t  B  y 9t  12t  3y2 Bài 25: Tìm max của: D  25 x  20 xy  y Lời giải Chia tử mấu cho y ta được: D  25 Bài 26: Tìm max của: E  x x  20  y y , Đặt x  t  D  t 25t  20t  4x2  6x   x  2 Lời giải 4t  10t  10  4  , Đặt x   t  x  t  4t  , : E  t t t Đặt  a  E  5a2  10a  t Bài 27: Tìm max của: F  x  x  14 x2  2x  Lời giải t  6t  9  1  Đặt x   t  x  t  2t  , Khi : F  t t t Đặt  a  F  9a2  6a  t Bài 28: Tìm max của: G  4x2  6x  x  3x  Lời giải Hạ phép chia ta : G   84 1 x  3x  2 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUYÊN ĐỀ HSG –TOÁN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 x  xy  y Bài 29: Tìm max của: H  x  xy  y Lời giải x2 x   x 3t  2t  y y  t  H  ta được: H  , Đặt y 9t  6t  x2 x 6 2 y y Chia tử mẫu cho y 3t  2t   9at  6at  2a  3t  2t   , Nháp: a  9t  6t  2 có :  '   3a  1   9a  3 2a  1   a  ; a  3 Bài 30: Tìm max của: I  x  22 x  19 x2  x  Lời giải I  4 Đặt 6x   x  2 , Đặt x   t  I   t  2  t  4  t t2  a  I  9a2  6a  t Bài 31: Tìm max của: K  x  30 x  9x2  6x  Lời giải K  1 Đặt 24 x   3x  1 , đặt 3x   t  3x  t   K   3t   11  1  2 t t t  a  K  11a2  3a  t Bài 32: Tìm max của: M  x  xy  y 2 x  10 xy  y Lời giải Với y = M = 85 x2  2 2x Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUN ĐỀ HSG –TỐN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Với y ≠ chia tử mẫu cho y Đặt x2 x 5 2 y y ta được: M  , x x 2  10  y y x t  5t   t  M  y 2t  10t  t  5t  2  2at  10at  7a  t  5t  , có :   25  2a  1   2a  1 7a  2 2t  10t  Nháp a  17    a  ; a  22 Bài 33: Tìm max của: N  22 x  58 xy  73 y x  xy  y Lời giải 22 Chia tử mấu cho y ta được: N  N  22  Đặt 30t  15 t  2 x2 x  58  73 x 22t  58t  73 y y , Đặt  t  N  y t  4t  x2 x   y y2 , Đặt t   a  N  22  30  a    15 a  22  30 a  45 30 45  22   a a2 a  b  N  22  30b  45b2 a Bài 34: Tìm max của: P  x  xy x2  y2 Lời giải Chia tử mẫu cho y ta được: P  Nháp: a  x2 x 6 x 8t  6t 6t  y y  t  P   8 , Đặt 2 y t 1 t 1 x 1 y 6t   at  a  6t   , có  '   a  a  8   a  1; a  9 t 1 x  3x  Bài 35: Tìm max của: Q  x  2x 1 86 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 Tốn Học Sơ Đồ CÁC CHUN ĐỀ HSG –TỐN Bộ đủ word năm GV cần liên hệ zalo 0945943199 Lời giải Q  1 Đặt x   x  1 , Đặt x   t  x  t  Khi : Q   t  1  1  2 t t t  a  Q  a2  a  t Bài 36: Tìm max của: R  x  xy  y x  xy  y Lời giải Với y = R = Với y ≠ Chia tử mẫu cho y x2 x  1 y2 y ta được: R  , x x  1 y2 y x t2  t  2t  1 Đặt  t  R  y t  t 1 t  t 1 Nháp : a  2t 2  at  at  a  t    a   4a.a   a  2; a  , có   t  t 1 87 Liên Hệ Chuyển Giao Tài Liệu WORD CHẤT-ĐẸP-TIỆN Có Phí Hỗ Trợ ĐT/Zalo 0945943199 ... Tìm giá trị lớn biểu thức D  (1  x )( x3  11x  41 x  55) c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức E  ( x  x  18) ( x  x  2)  d) Tìm giá trị lớn biểu thức F  20 18  ? ?( x  20 14) 4  ( x  2016 )4 ... định lý cực trị 13 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  ( x  8) (2 x  9) với x  x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức C  x  với x  x 1 c) Tìm giá trị lớn biểu thức D  ( x  x  20 )( 28  x  x) Hướng... Vậy ( x  2) x2 x2 g( x)   y 1 hay x  Dạng chứng minh giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức a) Chứng minh giá trị nhỏ biểu thức A  x  x  15 x   x2  4x  b) Chứng minh giá trị lớn biểu thức