A Phương pháp giải & Ví dụ 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu Kí hiệu Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) tr[.]
A Phương pháp giải & Ví dụ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định miền D Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D nếu: Kí hiệu: Số nếu: Kí hiệu: Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sử dụng bảng biến thiên Bước Tính đạo hàm f'(x) Bước Tìm nghiệm f'(x) điểm f'(x)trên K Bước Lập bảng biến thiên f(x) K Bước Căn vào bảng biến thiên kết luận Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số không sử dụng bảng biến thiên Trường hợp Tập K đoạn [a; b] Bước Tính đạo hàm f'(x) Bước Tìm tất nghiệm xi ∈[a; b] phương trình f'(x) = tất điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'(x) khơng xác định Bước 3.Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi) Bước So sánh giá trị tính kết luận Trường hợp Tập K khoảng (a; b) Bước Tính đạo hàm f'(x) Bước Tìm tất nghiệm xi ∈ (a; b) phương trình f'(x) = tất điểm αi ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định Bước Tính Bước So sánh giá trị tính kết luận Chú ý: Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x - 3x2 - 9x + đoạn [-2; 2] Hướng dẫn Ta có: y' = 3x2 - 6x - = ⇔ Mà y(-2) = 0; y(2) = -20; y(-1) = Suy Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Hướng dẫn Tập xác định: D = [-2; 2] Ta có: Khi y' = ⇔ Có y(√2) = 2√2, y(2) = ,y(-2) = -2 Vậy Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x - sin2x đoạn [π/2; π] Hướng dẫn Ta có y' = - 2cos2x = ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ Xét x ∈[(-π)/2; π] ta x = ±π/6; x = 5π/6 f((-π)/2) = -π/2; f(π) = π; f((-π)/6) = -π/6 + √3/2; f(π/6) = π/6 - √3/2; f(5π/6) = 5π/6 + √3/2 Suy B Bài tập vận dụng Câu 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f(x) = x - 3x2 - 9x + 35 đoạn [-4; 4] Hiển thị đáp án Hàm số f(x) liên tục [-4; 4] Ta có f'(x) = 3x2 - 6x - 9; f'(x) = ⇔ f(-4) = -41; f(-1) = 40; f(3) = 8;f(4) = 15 Do Câu 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 2] [0; Hiển thị đáp án Hàm số cho xác định liên tục đoạn [0; 2] Ta có Tính y(0) = 1/3; y(2) = -5 Suy Câu 3: Gọi m giá trị nhỏ hàm số Hiển thị đáp án đoạn [2; 4] Tìm m Hàm số liên tục đoạn [2;4] Ta có Tính y'(2) = 7; y'(4) = 19/3; y'(3) = Suy m = Câu 4: Tìm giá trị lớn số giá trị nhỏ hàm đoạn [-1; 6] Hiển thị đáp án Hàm số cho xác định liên tục đoạn [-1; 6] Ta có: y' = ⇔ x = 5/2 ∈[-1; 6] y(-1) = y(6) = 0, y(5/2) = 7/2 Vậy Câu 5: Tìm tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f(x) = |x| + [-1; 1] Hiển thị đáp án Ta có Ta có bảng biến thiên hàm số cho Vậy Bài tập trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Câu 1: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = -2x4 + 4x2 + đoạn [0; 2] là: A B C D khơng có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Ta có y' = -8x3 + 8x ; y' = Vì y(0) = 5; y(1) = 7; y(2) = -11 nên Câu 2: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x - 3x + [-1; 3/2] là; A 15/8 B C 15/8 D 15/8 Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Ta có Vì y(-1) = 5; y(1) = 1; y(3/2) = 15/8 nên Câu 3: Giá trị nhỏ hàm số y = x - + 4/x đoạn [1; 3] là: A B C D Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : ĐKXĐ: x ≠ 0; Có y(1) = 0; y(2) = -1; y(3) = -2/3 nên Câu 4: Giá trị lớn hàm số đoạn [0;2] là: A B C D Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Câu 5: Giá trị nhỏ hàm số A B -1/3 C -1 D Hiển thị đáp án Đáp án : B [0;2] là: Giải thích : Ta có A Phương pháp giải & Ví dụ Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm giá trị thực tham số a để hàm số y = -x3 - 3x2 + a có giá trị nhỏ đoạn [-1; 1] Hướng dẫn Đạo hàm f'(x) = -3x2 - 6x ⇒ f'(x) = ⇔ Ta có Theo ra: Ví dụ 2: Cho hàm số với m tham số thực Tìm giá trị m để hàm số có giá trị nhỏ đoạn [0; 3] -2 Hướng dẫn TXĐ: D = R\{-8} Ta có Khi Ví dụ 3: Cho hàm só m đề hàm số thỏa mãn Hướng dẫn (với m tham số thực) Tìm giá trị B Bài tập vận dụng Câu 1: Cho hàm số f(x) = x3 + (m2 + 1)x + m2 - với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có giá trị nhỏ đoạn [0; 2] Hiển thị đáp án Đạo hàm f'(x) = 3x2 + m2 + > 0,∀ x ∈ R Suy hàm số f(x) đồng biến Theo ra: Câu 2: Cho hàm số với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có giá trị nhỏ đoạn [0; 1] -2 Hiển thị đáp án Đạo hàm Suy hàm số f(x) đồng biến Theo ra: Câu 3: Tìm tất giá trị m để giá trị nhỏ hàm số Hiển thị đáp án Ta có đoạn [1; 2] Nếu m < 3: nên hàm số đồng biến (1; 2) (nhận) Nếu m > 3: nên hàm số nghịch biến (1; 2) Câu 4: Tìm giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y = |x2 2x + m| đoạn [-1; 2] Hiển thị đáp án Xét hàm số f(x) = x2 - 2x + m đoạn [-1; 2], ta có f'(x) = 2(x - 1) f'(x) = ⇔ x = Vậy: TH1 TH2 TH3 Câu 5: Cho hàm số với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có giá trị nhỏ đoạn [0; 1] -2 Hiển thị đáp án Đạo hàm Suy ,∀ x ∈[0; 1] hàm số f(x) đồng biến [0;1] Theo ra: Trắc nghiệm Tìm m để hàm số có Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ thoả mãn điều kiện Câu 1: Cho hàm số f(x) = x3 + (m2 + 1)x + m2 - với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có giá trị nhỏ đoạn [0; 2] A m = ±1 B m = ±√7 C m = ±√2 Hiển thị đáp án Đáp án : D D m = ±3 Giải thích : Đạo hàm f'(x) = 3x2 + m2 + > 0,∀ x ∈ R Suy hàm số f(x) đồng biến [0; 2] → f(x) = ⇔ m2 - = ⇔ m = ±3 Theo ra: Câu 2: Cho hàm số với m tham số thực Tìm giá trị lớn m để hàm số có giá trị nhỏ đoạn [0; 3] -2 A m = B m = C m = -4 D m = Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Đạo hàm Suy ,∀ x ∈ [0; 3] hàm số f(x) đồng biến đoạn Theo ra: trị m lớn m = giá Câu 3: Cho hàm số Với tham số m thỏa mãn A m = B m = C m = D m = Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Đạo hàm Suy hàm số f(x) hàm số đơn điệu đoạn [1; 2] với m ≠ Khi Câu 4: Cho hàm số với m tham số thực Tìm tất giá trị m > để hàm số có giá trị lớn đoạn [0; 4] nhỏ A m ∈ (1; 3) B m ∈ (1; 3√5 - 4) C m ∈ (1; √5) D m ∈ (1; 3] Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Đạo hàm Lập bảng biến thiên, ta kết luận Vậy ta cần có Câu 5: Cho hàm số y = x3 - 3x + Tìm tìm tập hợp tất giá trị m > 0, để giá trị nhỏ hàm số D = [m + 1; m + 2] bé là: A (0; 1) B (1/2; 1) C (-∞; 1)\{-2} D (0; 2) Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Ta có : Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞) Trên D =[m + 1; m + Ycbt Kết hợp điều kiện Suy m (0; 1) 2], với m > , ta có : ... trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x - sin2x đoạn [π/2; π] Hướng dẫn Ta có y'' = - 2cos2x = ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ Xét x ∈[(-π)/2; π] ta x = ±π/6; x = 5π/6 f((-π)/2) = -π/2; f(π)... Tìm giá trị thực tham số a để hàm số y = -x3 - 3x2 + a có giá trị nhỏ đoạn [-1; 1] Hướng dẫn Đạo hàm f''(x) = -3x2 - 6x ⇒ f''(x) = ⇔ Ta có Theo ra: Ví dụ 2: Cho hàm số với m tham số thực Tìm giá... hàm só m đề hàm số thỏa mãn Hướng dẫn (với m tham số thực) Tìm giá trị B Bài tập vận dụng Câu 1: Cho hàm số f(x) = x3 + (m2 + 1)x + m2 - với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có giá