Bai tap dau hieu tiep tuyen cua duong tron co dap an toan 9

BÀI TẬP DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN I Phương pháp giải Định lí Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là mộ[.]

Trang 1

BÀI TẬP DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

I Phương pháp giải

Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của một đường trịn và vng góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy

là một tiếp tuyến của đường tròn

( )AOAxyxyOA   

xylà tiếp tuyến của ( )O

II Bài tập

Bài 1: (21/111/SGK T1)

Cho VABC có AB3, mAC4, BC5.Vẽ đường tròn ( ;B BA) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn Giải GT ABCV có : 3AB , AC4, BC5Đường trịn tâm B bán kính BA

KL AClà tiếp tuyến của đường trịn tâm

B

bán kính BA

Chứng minh

Đọc thuộc đề bài, vẽ hình chính xác, ghi giả thiết và kết luận (Làm tốn mà khơng ghi giả thiết, kết luận thì khơng phải là giải toán trừ bài toán quá đơn giản)

Sau khi vẽ hình, ghi giả thiết kết luận ta đặt câu hỏi để tư duy: Làm thế nào để chứng minh được AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA?

Trang 2

Cách chứng minh trên dựa vào định lí: “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của một đường tròn và vng góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường trịn”

Do vậy: Muốn chứng minh AClà tiếp tuyến của đường trịn tâm Bbán kính BAta phải chứng minh VABCvng tại B

Muốn chứng minh được VABCvuông tại Bta sử dụng định lí “ Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh cịn lại thì tam giác đó là tam giác vng” Ta có: 22222222525399 1625416BCABABACAC 222

BCABAC Vậy VABCvuông tại B Hay ACBA tại A nên AC là tiếp tuyến của đường trịn tâm B bán kínhBA

Bài 2: (22/111/SGK T1)

Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm Bnằm ngoài đường thẳng d Hãy dựng một đường tròn ( )O đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A

Giải

Biết rằng đường tròn Otiếp xúc với đường thẳng A

thì tâm O của đường trịn nằm trên đường thẳng vng góc với đường thẳng tại A

Đường trịn O lại đi qua điểm Bnằm ngoài đường thẳng d Như vậy đường tròn ( )O đồng thời đi qua hai điểm Avà B

nên tâm Ocủa đường tròn này cách đều Avà B Ophải nằm trên trục của đoạn thẳng AB

Do đó ta có cách dựng:

 Dựng Axdtại A

 Dựng trung trực của đoạn thẳng AB

 Giao điểm của Axvà trung trực của ABlà tâm O của đường tròn

 Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA là đường trịn phải dựng

Trang 3

Đố: Dây cơroa trên hình 76 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâmA, B, C Chiều quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ Tìm chiều quay của đường tròn tâm Avà đường tròn tâm C(cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ)

Giải

Chiều quay của đường tròn tâm Avà chiều quay của đường tròn tâm Ccùng chiều quay của kim đồng hồ

Bài 4: (22/111/SGK T1)

Cho đường tròn ( )O , dây ABkhác đường kính, qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến tại Acủa đường tròn tại điểm C

a) Chứng minh rằng CBlà tiếp tuyến của đường trịn

b) Cho bán kính của đường trịn bằng 15cm, AB24cm Tính độ dài của OC

Giải GT Đường trịn ( )ODây ABđường kính ACOAOH  ABtại HOHACCKL * BCOB* TínhOCkhi 15OA cm, AB24cm

a) Chứng minh BClà tiếp tuyến của ( )O

Muốn chứng minh BClà tiếp tuyến của ( )O ta phải chứng minh được BCOC.

Muốn chứng minh được OBBCta phải chứng minh được OBC· 90

Muốn chứng minh được OBC· 90 ta phải chứng minh được VOBCVOAC(vì VOACvng tại

Trang 4

Muốn chứng minh VOBAVOACphải chứng minh được BCAC.

Muốn chứng minh được BC ACphải chứng minh được VABCcân tại C

Muốn chứng minh được VABCcân tại Cta phải tận dụng được giả thiết: “kẻ OH  AB “

AOB

V có OA OB (cùng là bán kính của một đường trịn) VAOB cân tại O (Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân) đường cao OHthuộc đáy AB(Theo giả thiết: OH AB) lại là trung trực của đoạn thẳng AB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu của đoạn thẳng đó) 

ACB

V cân tại C(VACBcó đường cao đồng thời là đường trung trực của cạnh AB) ACBC

OACV và VOBCcú: (cạnh chung) (chứng minh trên)OAOBROCOCACBC ÃÃ( )90

OACOBC c c cOACOBC

VV (hai góc tương ứng của hai ta giác bằng nhau)

BCOBBC

 là tiếp tuyến của ( )O b) Tính độ dài của OC

AOB

V cân tại O(chứng minh trên) Đường cao OHthuộc đáy ABlại là trung tuyến nên

2412()22ABHAHB cm AOH

V vng tại Hnên 222

OA OH AH (Định lí Py-ta-go)

22222

1512225 14481819()

OH OA AH OH cm

OAC

V vuông tại A(Định lí về tiếp tuyến), AHlà đường cao ứng với cạnh huyền OC  vận dụng các định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải

Cách 1: Vận dụng định lí 1:

Do VOACvng tại Cnên: 2

.

OA OC OH(Định lí 1: Trong tam giác vng bình phương mỗi cạnh góc vng bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vng đó trên cạnh huyền) 221522525()99OAOCcmOH Cách 2:

Trang 5

2

.

AH HO HC(Theo định lí 2: Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền)

221214416()99AHHCcmOH Do đó OCOHHC 9 1625(cm) Bài 5: (25/112/SGK T1)

Cho đường trịn ( )O , bán kính OAR, dây BCOAtại trung điểm Mcủa OA a) Tứ giác OCABlà hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường trịn tại B, nó cắt đường thẳng OAtại E Tính độ dài BEtheo R

Giải GT Đường trịn ( ; )O RBCOAtại MMOMABEOB; BEOAEKL *OCABlà hình thoi *Tính BEtheo R Chứng minh

a) Chứng minh OBAClà hình thoi

Có 4 cách chứng minh tứ giác là hình thoi

Muốn chứng minh tứ giác OBACta dùng cách chứng minh nào để kết luận nó là hình thoi? Có nhiều cách chứng minh tứ giác OBAClà hình thoi

Cách 1: OBA

V có MOMA(giả thiết) nên BMlà trung tuyến ứng với cạnh OA, BM OA(giả thiết)

BM

 lại là đường cao ứng với cạnh OAVOBAcân tại BOBOA (1) Tương tự cũng có VOCAcân tại C COCA(2)

Lại có OBOC(2 bán kính 1 đường trịn) (3)

Trang 6

Cách 2:

Do OABCnên MBMC(Theo định lí: Trong một đường trịn, đường kính vng góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy (4)

Cũng có MOMA(giả thiết) (5)

Từ (4) và (5) ta có OBAClà hình bình hành (Theo dấu hiệu 5: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành)

Hình bình hành OBAC lại có OBOC(R)nên nó là hình thoi (Theo dấu hiệu 2: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi)

Cách 3:

Do OABC(giả thiết) nên MBMC(định lí 2) Và OMMA(giả thiết) BMOV và VCMAcó: ·· (chứng minh trên)90 (giả thiết)MBMCBMOCMAMOMA ÃÃ( )

BMOCMA c g cMBOMCA

VV (2 góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Mà MBO· vì ·

MCAở vị trí so le trong nên OA/ /CA  6Chứng minh tương tự cũng có BA/ /OC  7

Từ  6 và  7 ta có OBAClà hình bình hành (Theo dấu hiệu 1: Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành)

Hình bình hành OBAClại có hai đường chéo BCvà OAvng góc với nhau nên lại là hình thoi (Theo dấu hiệu 3: Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau là hình thoi)

Các cháu học sinh hãy chứng minh tứ giác OBAClà hình thoi theo dấu hiệu 4 b) Tính độ dài của BE theo R

Theo câu a) VOBAcân tại Bnên OBBA nhưng OBOA(R) nên

V

OBBAAOOBA đều

OBE

V vng tại Bcó ·BOE 60 (góc của VOABđều)

· 90 60 30

2

OE

BEOOB

Trang 7

OBE

V vuông tại Bnên 222

OE OB BE (Định lí Py-ta-go) 222222222(2 )4333BEOEOBRRRRRBERRCách khác: AOBV có OBOARvà OBBA(chứng minh trên) OBBAAORAOB

 V đều BOA· 60 và CBA· 30· 30 30 60

CBEOBE

      V là nửa của tam giác đều nên:

33