CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN LỚP 9 BÀI 5 DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Câu 1 Cho tam giác ABC có AC = 3cm, AB = 4cm; BC = 5cm Vẽ đường tròn (M; NM) Khẳng định nào sau đây là đúng? A Đường t[.]
Trang 1CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN LỚP 9
BÀI 5: DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Câu 1: Cho tam giác ABC có AC = 3cm, AB = 4cm; BC = 5cm Vẽ đường tròn (M; NM) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Đường thẳng BC cắt đường tròn (C; CA) tại một điểm B AB là cát tuyến của đường tròn (C; CA)
C AB là tiếp tuyến của (C; CA) D BC là tiếp tuyến của (C; CA)
Lời giải
+) Xét tam giác ABC có:
BC2 = 52 = 25; AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25 BC2 = AB2 + AC2 ABC vuông tại A (định lý Pytago đảo)
AB AC mà A (C; CA) nên AB là tiếp tuyến của (C; CA) Đáp án cần chọn là: C
Câu 2: Cho tam giác MNP có MN = 5cm; NP = 12cm; MP = 13cm Vẽ đường tròn (M; NM) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A NP là tiếp tuyến của (M; MN) B MP là tiếp tuyến của (M;MN)
C MNP vuông tại M D MNP vuông tại P
Trang 2+) Xét tam giác MNP có MP2 = 132 = 169; NM2 + NP2 = 52 + 122 = 169 MP2 = NM2 + NP2
MNP vuông tại N (định lý Pytago đảo)
MN NP mà N (M; MN) nên NP là tiếp tuyến của (M; MN) Đáp án cần chọn là: A
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A; đường cao AH và BK cắt nhau tại I Khi đó đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường trịn đường kính AI?
A HK B IB C IC D AC
Lời giải
Gọi O là trung điểm AI Xét tam giác vng AIK có: OK = OI = OA K O;AI
2
(*) Ta đi chứng minh OK KH tại K
Trang 3Vì tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên H là trung điểm của BC Xét tam giác vng BKC có HK = HB = HC = BC
2
Suy ra tam giác KHB cân tại H nên HKB HBK (2) Mà HBKKAH (cùng phụ với ACB) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra góc HKB = góc AKO mà:
AKOOKI = 90o HKBOKI = 90o OKH = 90o hay OK KH tại K (**)
Từ (*) và (**) thì HK là tiếp tuyến của đường trịn đường kính AI Đáp án cần chọn là: A
Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của A trên BD M, N lần lượt là trung điểm của BH, CD Đường nào sau đây là tiếp tuyến của đường trịn tâm A, bán kính AM?
A BN B MN C AB D CD
Lời giải
Lấy E là trung điểm của AH Do M là trung điểm của BH (gt) nên EM là đường trung bình của AHB AM // AB và EM = 1
2AB
Hình chữ nhật ABCD có CD // AB và CD = AB mà N là trung điểm của DC, suy ra
DN // AB và DN = 1
2 AB
Từ (1) và (2) ta có AM // DN và AM = DN
Trang 4Do EM // AB mà AB AD (tính chất hình chữ nhật) AH DM (dt) nên E là trực tâm của ADM
Suy ra DE AM, mà DE // MN (cmt) MN AM tại M Vì vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn (A; AM)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Đường trịn đường kính BH cắt AB tại D, đường trịn đường kính CH cắt AC tại E Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A DE là cát tuyến của đường trịn đường kính BH B DE là tiếp tuyến của đường trịn đường kính BH C Tứ giác AEHD là hình chữ nhật
D DE DI (với I là trung điểm BH)
Lời giải
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BH và CH
Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường trịn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID DE hay ODI = 90o
Vì D, E lần lượt thuộc đường trịn đường kính BH và HC nên ta có
BDHCEH = 90o
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật
Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD = OH = OE = OA Suy ra ODH cân tại I ODHOHD
Ta cũng có IDH cân tại I IDHIHD
Trang 5 ID DE
Ta có ID DE, D (I) nên DE là tiếp tuyến của đường trịn đường kính BH
Từ chứng minh trên, suy ra các phương án B, C, D đúng Đáp án cần chọn là: A
Câu 6: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H Xác định tâm F của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, H, E
A F B B F là trung điểm đoạn AD C F là trung điểm đoạn AH D F là trung điểm đoạn AE
Lời giải
Gọi F là trung điểm của AH
Xét hai tam giác vng AEH và ADH ta có FA = FH = FE = FD = AH
2
Nên bốn đỉnh A, D, H, E cùng thuộc đường tròn tâm F bán kính AH
2
Đáp án cần chọn là: C
Vận dụng: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm BC Đường tròn (F) ở trên nhận các đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến?
A ME; MD B ME C MD D EC
Trang 6AH cắt BC tại K AK BC vì H là trực tâm tam giác ABC Ta chứng minh ME EF tại E
FAE cân tại F (vì FA = FE) nên FEA FAE MEC cân tại M (vì ME = MC = MB = BC
2 ) nên MECMCE Mà BAKECB (cùng phụ với ABC) nên MECFEA
MECFECFEAFECMEF = 90o ME EF tại E
Từ đó ME là tiếp tuyến của F;AH2
Tương tự ta cũng có MD là tiếp tuyến của F;AH2
Đáp án cần chọn là: A
Câu 7: Cho nửa đường tròn đường kính AB, C là một điểm thuộc nửa đường trịn Vẽ dây BD là phân giác góc ABC BD cắt AC tại E, AD cắt BC tại G H là điểm đối xứng với E qua D Chọn đáp án đúng nhất: AHGE là hình gì?
A Hình bình hành B Hình thoi C Hình vng D Hình chữ nhật
Trang 7Vì D thuộc đường trịn đường kính AB nên BD AD BD là đường cao của ABG, mà BD là đường phân giác của ABG (gt) nên BD vừa là đường cao vừa là đường phân giác của ABG
Do đó ABG cân tại B suy ra BD là trung trực của AG (1) Vì H đối xứng với E qua D (dt) nên D là trung điểm của HE (2) Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của HE và AG
Do đó tứ giác AHGE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Mà HE AG nên HGE là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi) Đáp án cần chọn là: B
Vận dụng: Cho nửa đường trịn đường kính AB, C là một điểm thuộc nửa đường tròn Vẽ dây BD là phân giác góc ABC BD cắt AC tại E, AD cắt BC tại G H là điểm đối xứng với E qua D Chọn câu đúng:
A AH là tiếp tuyến của đường trịn đường kính AB B HG là tiếp tuyến của đường trịn đường kính AB C ADB = 90o
D Cả A và C đều đúng
Trang 8Vì D thuộc đường trịn đường kính AB nên BD AD BD là đường cao của ABG, mà BD là đường phân giác của ABG (gt) nên BD vừa là đường cao vừa là đường phân giác của ABG
Do đó ABG cân tại B suy ra BD là trung trực của AG (1) Vì H đối xứng với E qua D (dt) nên D là trung điểm của HE (2) Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của HE và AG
Do đó tứ giác AHGE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Mà HE AG nên HGE là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi) Vì tứ giác AHGE là hình thoi nên AH // GE (3) và HE AG (tính chất) nên ADB = 90o (do đó C đúng)
Xét ABG có BD và AC là đường cao, mà BD cắt AC tại E Suy ra E là trực tâm của ABG, do đó GE AB (4)
Từ (3) và (4) suy ra AH AB
Do đó AH là tiếp tuyến của đường trịn đường kính AB Đáp án cần chọn là: D
Câu 8: Cho hình vẽ dưới đây Biết BAC = 60o; AO = 10cm Chọn đáp án đúng
Độ dài bán kính OB là:
A 4 3 B 5 C 5 3 D 10 3
Lời giải
Từ hình vẽ ta có AB, AC là tiếp tuyến của (O) tại B, C suy ra OC AC tại C
Suy ra ABO = ACO (c – g – c) nên BAO CAO BAC2
Trang 9Xét ABO có OB = AO.sinA = 10.sin30o = 5cm Đáp án cần chọn là: B
Thông hiểu: Cho hình vẽ dưới đây Biết BAC = 60o; AO = 10cm Chọn đáp án đúng
Độ dài tiếp tuyến AB là:
A 4 3 B 5 C 5 3 D 10 3
Lời giải
Từ hình vẽ ta có AB, AC là tiếp tuyến của (O) tại B, C suy ra OC AC tại C
Suy ra ABO = ACO (c – g – c) nên BAO CAO BAC2
= 30oXét ABO có AB = AO.cosA = 10.cos30o = 5 3
Đáp án cần chọn là: C
Trang 10Độ dài bán kính OB là:
A 4 3 B 5 C 4 D 8 3
Lời giải
Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) tại B, C suy ra OB AB tại B và OC AC tại C
Từ đó ABO = ACO (c – g – c) nên BAO CAO BAC2
= 60oXét ABO có OB = AO.sinA = 8.sin60o = 4 3 cm
Đáp án cần chọn là: A
Thông hiểu: Cho hình vẽ dưới đây Biết AB và AC là hai tiếp tuyến của (O), BAC = 120o; AO = 8cm Chọn đáp án đúng
Độ dài đoạn AB là:
Trang 11Lời giải
Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) tại B, C suy ra OB AB tại B và OC AC tại C
Từ đó ABO = ACO (c – g – c) nên BAO CAO BAC2
= 60oXét ABO có AB = AO.cosA = 8.cos60o = 4 cm
Đáp án cần chọn là: D
Câu 10: Cho nửa đường tròn (O; R), AB là đường kính Dây BC có độ dài R Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 3R Chọn câu đúng
A AD là tiếp tuyến của đường tròn B ACB = 90o
C AD cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt D Cả A, B đều đúng
Lời giải
Vì AB là đường kính của (O; R) nên AB = 2R
Vì D thuộc tia đối của tia CB nên BD = CD + BC = 3R + R = 4R Suy ra AB 2R 1 BC; R 1
BD 4R 2 AB 2R 2
Xét ABD ∽ CBA (c.g.c) DABACB
Mà C thuộc (O; R) và AB là đường kính nên OC = OA = OB = AB
Trang 12Suy ra ACB vuông tại C hay ACB = 90o Do đó DABACB = 90o hay AD AB Suy ra AD là tiếp tuyến của (O; R)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 11: Cho xOy, trên Ox lấy P, trên Oy lấy Q sao cho chu vi
POQ bằng 2a không đổi Chọn câu đúng
A PQ luôn tiếp xúc với một đường trịn cố định B PQ khơng tiếp xúc với một đường tròn cố định nào C PQ = a
D PQ = OP
Lời giải
Gọi I là giao điểm các tia phân giác của xPQ; yQP và A, B, C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, PQ và Oy
Vì I thuộc phân giác của góc xPQ nên IA = IB Xét PAI và PBI có:
+ IA = IB (cmt) + Chung PI
+ PAIPBI = 90o
nên PAI = PBI (cạnh huyền – cạnh góc vng) Suy ra PA = PB
Trang 13OA + OC = OP + PA + OQ + QC = OP + PB + OQ + QB = OP + PQ + QO = 2a (do chu vi OPQ bằng 2a)
Vì IA = IB và IB = IC (cmt) nên IA = IC Xét OAI và OCI có:
+ IA = IC (cmt) + OAIOCI = 90o+ cạnh chung OI
nên OAI = OCI (cạnh huyền – cạnh góc vng) OA = OC = 2a
2
= a
Vì a khơng đổi và A, C thuộc tia Ox, Oy cố định nên A và C cố định Do A và C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, Oy nên hai đường thẳng AI và CI cố định hay I cố định
Do I và A cố định nên độ dài đoạn thẳng AI không đổi
Do IA = IB (cmt) nên IB là bán kính của đường trịn (I; IA) mà IB PQ tại B nên PQ tiếp xúc với đường tròn (I; IA) cố định
Đáp án cần chọn là: A
Câu 12: Cho (O; R) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại tiếp điểm A khi:
A dOA tại A và A (O) B dOA C A (O) D d // OA
Lời giải
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường trịn và vng góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13: “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường trịn và… thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn” Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là:
Trang 14Lời giải
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường trịn và vng góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn
Đáp án cần chọn là: B
Câu 14: Cho (O; 5cm) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 5cm), khi đó:
A Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ hơn 5cm B Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn hơn 5cm C Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 5cm D Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 6cm
Lời giải
Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bắn kính của đường trịn đó
Đáp án cần chọn là: C
Câu 15: Cho (O; 4cm) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4cm), khi đó:
A Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ hơn 4cm B Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 4cm C Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn hơn 4cm D Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 5cm
Lời giải
Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bắn kính của đường trịn đó
Đáp án cần chọn là: B
Câu 16: Cho đường tròn (O; 2cm) bán kính OB Vẽ dây BC sao cho
OBC = 60o Trên tia OB lấy điểm M sao cho BM = 2cm
A MC là tiếp tuyến của (O) B MC là cát tuyến của (O) C MC BC D MCB = 45o
Trang 15Tam giác OBC cân tại O có OBC = 60o
Nên tam giác OCB là tam giác đều suy ra BC = OB = OC = 2 Xét tam giác OCM có BC = OB = BM = 2 = OM
2 nên OCM vuông tại C
OC CM MC là tiếp tuyến của (O; 2cm) Đáp án cần chọn là: A
Vận dụng
Cho đường trịn (O; 2cm) bán kính OB Vẽ dây BC sao cho OBC = 60o Trên tia OB lấy điểm M sao cho BM = 2cm Tính độ dài MC
A MC = 2 2 cm B MC = 3 cm C MC = 2 3 cm D MC = 4cm
Lời giải
Tam giác OBC cân tại O có OBC = 60o
Nên tam giác OCB là tam giác đều suy ra BC = OB = OC = 2 Xét tam giác OCM có BC = OB = BM = 2 = OM
Trang 16Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng OCM, ta có M2 = OC2 + MC2
MC2 = OM2 – OC2 = 42 – 22 = 12 MC = 2 3 cm Đáp án cần chọn là: C
Câu 17: Từ một điểm A ở bên ngồi đường trịn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) Đường thẳng vng góc với OB tại O cắt tia AC tại N Đường thẳng vng góc với OC cắt tia AB tại M Tứ giác AMON là hình gì?
A Hình bình hành B Hình thoi C Hình thang D Hình chữ nhật
Lời giải
Dễ có AMON là hình bình hành (ON // AM; OM // AN) Ta chứng minh OM = ON
Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:
OBMOCN = 90o; OB = OC = R, và OMBOCNA OBM = OCN OM = ON AMON là hình thoi Đáp án cần chọn là: B
Trang 17tia AC tại N Đường thẳng vuông góc với OC cắt tia AB tại M Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O)? A OA = 2R B OA = 32 R C OA = 3R D OA = 43 R Lời giải
Dễ có AMON là hình bình hành (ON // AM; OM // AN) Ta chứng minh OM = ON
Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:
OBMOCN = 90o; OB = OC = R,
và OMBOCNA
OBM = OCN
OM = ON AMON là hình thoi
Vậy OA MN mà độ dài OA bằng 2 lần khoảng cách từ O đến MN Do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
Khoảng cách từ O đến MN bằng R OA = 2R Đáp án cần chọn là: A
Câu 18: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C Chọn khẳng định đúng:
Trang 18C BC AB D BC // AB
Lời giải
Ta có: OC AB OC đi qua trung điểm của AB
OC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của ABC ABC cân tại C
ACO BCOAC CB AOC = BOC (c – g – c) OB BC BC là tiếp tuyến của (O) Đáp án cần chọn là: B
Vận dụng: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C Cho bán kính của đường trịn bằng 15cm; AB = 24cm Tính OC
A OC = 35cm B OC = 20cm C OC = 25cm D OC = 15cm
Trang 19Gọi I là giao điểm của OC và AB AI = BI = AB 12cm
2
Xét tam giác vuông OAI có OI = OA2 AI2 = 9cm Xét tam giác vng AOC có AO2 = OI.OC OC =
22
AO 15
OI 9 = 25cm Vậy OC = 25cm
Đáp án cần chọn là: C
Câu 19: Cho đường trịn (O), dây MN khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với MN, cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn ở điểm P Chọn khẳng định đúng?
A PN là tiếp tuyến của (O) tại P B MOP = PON C PN là tiếp tuyến của (O) tại N D ONP = 80o
Trang 20Gọi I là giao điểm của MN và OP
Ta có OP MN tại I I là trung điểm của MN
PI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của MNP MNP cân tại P MPO NPOPM PN PMO = PNO (c – g – c) PMOPNO = 90o ON NP
PN là tiếp tuyến của (O) Đáp án cần chọn là: C
Vận dụng: Cho đường tròn (O), dây MN khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với MN, cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn ở điểm P Cho bán kính của đường trịn bằng 10cm; MN = 12cm Tính OP
A OP = 12,5cm B OP = 17,5cm C OP = 25cm D OP = 15cm
Lời giải
Gọi I là giao điểm của MN và OP
Ta có OP MN tại I I là trung điểm của MN Nên IM = MN 12
2 2 = 6cm
Xét tam giác OMI có OI = OM2 MI2 102 62 = 8cm