Dang bai tap cuc tri co tham so 0ccgf

CỰC TRỊ CÓ THAM SỐ I Phương pháp giải Điều kiện cần để hàm số có cực trị Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x Khi đó, nếu f có đạo hàm tại 0x thì  0 0f x  Điều kiện đủ để hàm số có cực trị có h[.]

CỰC TRỊ CÓ THAM SỐ I Phương pháp giải Điều kiện cần để hàm số có cực trị Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f   x0   Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu: - Cho y  f  x  liên tục khoảng (a;b) chứa x0 , có đạo hàm khoảng  a; x0   x0 ;b  : Nếu f   x  đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f   x  đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y  f  x  có đạo hàm cấp hai khoảng (a;b) chứa x0 : Nếu f   x0   f   x0   f đạt cực tiểu x0 Nếu f   x0   f   x0   f đạt cực đại x0 Chú ý: 1) Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp D, không đạt biên 2) Tung độ cực trị y  f  x  x  x0 có hướn tính: Hàm số bất kỳ: dùng phép y0  f  x0  Hàm đa thức: chia đạo hàm y  q  x  y  r  x   y0  r  x0  Hàm hữu tỉ: đạo hàm riêng tử, riêng mẫu y  f  x  u  x0  u  x0  u  x  y0  v  x v  x0  v  x0  Đặc biệt: Với hàm bậc có CĐ, CT y  f  x   q  x  y  r  x  phương trình đường thẳng qua CĐ, CT y  r  x  II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm m để hàm số: y    m2  5m  x3  6mx  x  đạt cực đại x  Giải D Ta có y  3  m2  5m  x  12mx  Nếu hàm số đạt cực đại x  y 1  3m2  3m    m  m  2 Ta có y  6  m  5m  x  12m Thử lại: Với m  y  36 x  12 nên y 1  24  , hàm số đạt cực đại x  Với m  2 y  36 x  24 nên y 1  12  , hàm số đạt cực tiểu x  (loại) Vậy với m  hàm số đạt cực đại x  x  1  m  x  Bài tốn Tìm m để hàm số: y  đạt cực tiểu x  xm Giải D \ m Ta có y  x  2mx  m  m   x  m Nếu hàm số đạt cực tiểu x  y     m2  m    m  1 m  Thử lại: Với m  1 y  Do y   x  1  x  2  y    2   x  điểm cực đại hàm số: loại x2  x  4  x 3  y   x2 x2  x  2 Với m  y  Do y  x2  x  1  x  3  y   x 1 x 1  x  1  y     nên x  điểm cực tiểu hàm số Vậy giá trị cần tìm m  Bài tốn Tìm hàm số f  x   ax3  bx  cx  d cho hàm số f đạt cực tiểu điểm x  0, f    đạt cực đại điểm x  1, f 1  Giải Ta có f   x   3ax  2bx  c Vì f    nên d  Hàm số đạt cực tiểu điểm x  nên f     c  Vì f 1  nên a  b  Hàm số đạt cực đại điểm x  nên f  1  3a  2b  a  b  a  2  3a  2b  b  Ta có hệ phương trình  Thử lại: f  x   2 x3  3x , f   x   6 x  x, f   x   12 x  f      Hàm số đạt cực tiểu điểm x  : thỏa mãn f  1  6  Hàm số đạt cực đại điểm x  : thỏa mãn Bài tốn Tìm số thực p q cho hàm số f  x   x  p   2; 2  q đạt cực đại điểm x 1 Giải Ta có f   x    q  x  1 , với x  1 Nếu q  f   x   với x  1 Hàm số khơng có cực đại, cực tiểu: loại Nếu q  phương trình: f   x   x2  2x   q  x  1  có hai nghiệm phân biệt x1  1  q x2  1  q BBT: x 1  q  y + 1  q 1    + y Hàm số đạt cực đại điểm  2; 2   1  q  2   q  q     p  f    p         Bài tốn Tìm a để đồ thị hàm số y  x2  ax2  x  có cực trị hồnh độ điểm cực trị hàm số thỏa mãn x12 x22  7 x22 x12 Giải D Ta có y  x  ax  Vì y hàm số bậc hai nên hàm số có cực trị y  x   có hai nghiệm phân biệt     a2    a  2 a  Gọi x1 x2 hai nghiệm y  x   S  x1  x2  a, P  x1 x2  2  x1 x2   x12  x22  x12 x22 Ta có:            9 x2 x1  x2 x1   x1 x2   S  2P2  2      a  2   a  P   Chọn giá trị a   a  Bài tốn Tìm m để hàm số: y  x  2mx   3m2 có hai điểm cực trị nằm hai phía xm trục Oy Giải Điều kiện x  m Ta có y  x  2mx  m2   x  m Đồ thị có cực trị phía trục tung  y  có nghiệm x1 , x2  m x1 x2   m2    1  m  mx    4m  x  4m  Bài tốn Tìm m để hàm số: y  có cực trị hai giá trị cực trị x 1 trái dấu Giải Điều kiện: x  Ta có y  mx  2mx   x  1 , đặt g  x   mx  2mx  Đồ thị có cực trị  m  0,   0, g  x    m  3 m  Ta có x1  x2  2, x1 x2   nên yCĐ yCT  m   2mx1   4m  2mx2   4m    4m x1 x2  2m   4m  x1  x2     4m   2  12m  2m   4m     4m     20m   m  Bài toán Tìm m để đồ thị y  x   m  1 x  m  4m có cực đại cực tiểu, đồng thời x2 điểm cực trị với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông O Giải Điều kiện x  2 , y  x  x   m2  x  2 y    x    m  x  2  m Hàm số có cực trị m  là: A  2  m; 2  , B  2  m;4m   Tam giác OAB vuông O  OAOB 0   m   m     2  4m     m2  8m    m  4  (thỏa mãn) Bài tốn Tìm m để đồ thị hàm số: y  x3  3x  mx  có cực đại, cực tiểu hai điểm cách đường thẳng d : y  2 x Giải D Ta có y  3x  x  m Điều kiện có CĐ CT    3m   m  Ta có y   x   y   m  1 x  m  nên đường thẳng qua điểm CĐ, CT 3 3 3  1 1 1  d  : y   m  1 x  m  3  Điều kiện CĐ, CT cách d : y  2 x d  song song với d d qua trung điểm I 1; m  1 đoạn nối CĐ, CT 1   m  1  2, m   m   2.1  m  m  1 (chọn) 3  Bài toán 10 Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị: y  x  3mx   m  1 x  m3  3m Giải Tập xác định D  y  3x  6mx   m  1 ,    0, x nên đồ thị ln ln có CĐ CT với hoành độ x1 , x2 Lấy y  x  chia cho y  x  ta có: y  x    x  3 Do đó: y1  y  x1    x1  3 m  y  x    x  m  3 m  y  x1    x1  m   2  x1  m  3 m y2  y  x2    x2   y  x2    x2  m   2  x2  m  3 3 nên đường thẳng qua CĐ, CT y  2  x  m  ... CT 3 3 3  1 1 1  d  : y   m  1 x  m  3  Điều kiện CĐ, CT cách d : y  2 x d  song song với d d qua trung điểm I 1; m  1 đoạn nối CĐ, CT 1   m  1  2, m   m   2.1