30 bai tap cuc tri trong hinh hoc khong gianpdf vsasi

CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 111 Cho hình chóp S ABC có SA = a , SB = a , SC = a Tính thể tích lớn V max khối chóp cho a3 a3 a3 D V max = Câu 112 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài đường chéo AC ' = 18 Gọi S diện tích tồn phần hình hộp cho Tìm giá trị lớn S max S A Vmax = a3 B V max = C V max = A S max = 36 B S max = 18 C S max = 18 D S max = 36 Câu 113 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD ) SC = Tính thể tích lớn V max khối chóp cho 80 20 40 B V max = C V max = D V max = 24 3 Câu 114 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác có SA = SB = SC = Tính thể tích lớn V max khối chóp cho A V max = 1 B V max = C V max = D V max = 12 12 12 Câu 115 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD = Các cạnh bên Tìm thể tích lớn V max khối chóp cho A V max = 130 128 125 250 B V max = C V max = D V max = 3 3 Câu 116 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh 1; SO vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD ) SC = Tính thể tích lớn V max khối chóp cho A V max = 3 3 B V max = C V max = D V max = 27 27 Câu 117 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AD = a Các cạnh bên hình chóp a Tính thể tích lớn V max khối chóp cho A V max = 8a B V max = C V max = 8a3 D Vmax = a3 a 3 Câu 118 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông C , AB = Cạnh bên A V max = SA = vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC ) Tính thể tích lớn V max khối chóp cho 1 1 B V max = C V max = D V max = 12 Câu 119 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân C , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC ) Biết SC = 1, tính thể tích lớn V max khối chóp A V max = cho 2 3 B V max = C V max = D V max = 12 12 27 27 Câu 120 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A AB = Các cạnh bên SA = SB = SC = Tính thể tích lớn V max khối chóp cho A V max = 5 B V max = C V max = D V max = 3 Câu 121 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA = y A V max = (y > 0) vuông góc với mặt đáy (ABCD ) Trên cạnh AD lấy điểm M đặt AM = x (0 < x < a) Tính thể tích lớn V max khối chóp S ABCM , biết x + y = a2 a3 3a3 a3 a3 C V max = D V max = B V max = 24 8 Câu 122 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 4, SC = mặt A V max = bên (SAD ) tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích lớn V max khối chóp cho A V max = 40 B V max = 40 Câu 123 Cho hình chóp S ABC có SA = x C V max = 80 D V max = 80 (0 < x < ) , tất cạnh lại Tính thể tích lớn V max khối chóp cho 1 1 B V max = C V max = D V max = 12 16 Câu 124 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x = B x = C x = D x = 14 Câu 125 Trên ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đơi, lấy điểm A , B, C cho OA = a, OB = b, OC = c Giả sử A cố định cịn B, C thay đổi ln ln thỏa OA = OB + OC Tính thể tích lớn V max khối tứ diện OABC A V max = a3 a3 a3 a3 B V max = C V max = D V max = 32 24 Câu 126 Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đơi vng góc với nhau, độ dài cạnh BC = a, SB = b, SC = c Tính thể tích lớn V max khối tứ diện cho A V max = abc abc abc abc B V max = C V max = D V max = 12 24 Câu 127 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a vuông góc với mặt đáy (ABCD ) Trên SB, SD lấy hai điểm M , N cho A V max = SM SN = n > Tính thể tích lớn V max khối chóp S AMN biết = m > 0, SD SB 2m + 3n = a3 a3 a3 a3 B V max = C V max = D V max = 24 48 72 Câu 128 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình vng Biết tổng diện tích tất mặt khối hộp 32 Tính thể tích lớn V max khối hộp cho 64 70 56 80 A V max = C V max = D V max = B V max = 9 9 Câu 129 Cho hình lăng trụ đứng tích V có đáy tam giác Khi diện tích tồn phần hình lăng trụ nhỏ độ dài cạnh đáy bao nhiêu? A 4V B V C 2V D 6V A V max = ( Câu 130 Cho hình chóp S ABCD có SA = x < x < ) , tất cạnh lại Với giá trị x thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất? 3 B x = C x = D x = 2 Câu 131 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) A x = Gọi a góc hai mặt phẳng (SBC ) (ABC ), tính cosa thể tích khối chóp S ABC nhỏ B cos a = C cos a = D cos a = 3 Câu 132 Cho khối chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B Khoảng cách từ A đến · = SCB · = 90 Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp mặt phẳng (SBC ) a 2, SAB A cos a = S ABC tích nhỏ a 10 B AB = a C AB = 2a D AB = 3a Câu 133 Cho tam giác OAB cạnh a Trên đường thẳng d qua O vng góc với mặt phẳng (OAB ) lấy điểm M cho OM = x Gọi E , F hình chiếu vng góc A AB = A MB OB Gọi N giao điểm EF d Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ a a a A x = a B x = C x = D x = 12 2 Câu 134 Cho tam giác ABC vuông cân B , AC = Trên đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (ABC ) lấy điểm M , N khác phía so với mặt phẳng (ABC ) cho AM AN = Tính thể tích nhỏ V m in khối tứ diện MNBC 1 B V = C V = D V = 12 Câu 135 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông C , SA = AB = Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC ) Gọi H , K hình chiếu vng góc A V = A lên SB SC Tính thể tích lớn V max khối chóp S AHK 2 3 B V max = C V max = D V max = 6 Câu 136 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ¢B ¢C ¢D ¢ có AB = x , AD = 3, góc đường thẳng A V max = A ¢C mặt phẳng (ABB ¢A ¢) 300 Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật tích lớn 3 15 B x = C x = D x = 2 5 Câu 137 Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích mặt 36 độ dài đường chéo Tính thể tích lớn V max khối hộp chữ nhật cho A x = A Vmax = 16 B V max = 12 C Vmax = D Vmax = 6 Câu 138* Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Dựng hình lập phương có cạnh tổng ba kích thước hình hộp chữ nhật Biết thể tích hình lập phương ln gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật Gọi S tỉ số diện tích tồn phần hình lập phương diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Tìm giá trị lớn S max S 16 32 48 B S max = C S max = D S max = 10 5 Câu 139* Cho hình chóp S ABC có SA = 1, SB = 2, SC = Gọi G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng (a ) qua trung điểm I SG cắt cạnh SA , SB, SC A S max = 1 + + 2 SM SN SP 18 A T = B T = C T = D T = 7 Câu 140* Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, thể tích V Gọi M trung điểm cạnh SA, N điểm nằm cạnh SB cho SN = NB; mặt phẳng (a ) M , N , P Tính giá trị nhỏ T m in biểu thức T = di động qua điểm M , N cắt cạnh SC , SD hai điểm phân biệt K , Q Tính thể tích lớn V max khối chóp S MNKQ A V max = V B V max = V C V max = 3V D V max = 2V Vấn đề CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 111 Gọi H hình chiếu A mặt phng (SBC ) ắ ắ đ AH ^ (SBC ) Ta có AH £ AS · Dấu '' = '' xảy AS ^ (SBC ) A · £ SB.SC SB.SC sin BSC 2 S Dấu '' = '' xảy SB ^ SC 1 ỉ1 AS = SA.SB.SC Khi V = S D SBC AH Ê ỗỗ SB ìSC ữ ữ ữ ỗ ứ 3 è2 Dấu '' = '' xảy SA, SB, SC đơi vng góc với · S D SBC = B H C a SA.SB.SC = Chọn D 6 Câu 112 Gọi a, b, c ba kích thước hình hộp chữ nhật Khi S = (ab + bc + ca) Vậy thể tích lớn khối chóp V max = Theo giả thiết ta có a2 + b2 + c2 = AC '2 = 18 Từ bất đẳng thức a + b2 + c ³ ab + bc + ca , suy S = (ab + bc + ca)£ 2.18 = 36 Dấu '' = '' xảy Û a = b = c = Chọn D Câu 113 Đặt cạnh BC = x > Tam giác vng ABC , có AC = 16 + x S Tam giác vng SAC , có SA = SC - AC = Diện tích hình chữ nhật S ABCD = AB.BC = x 20 - x = S ABCD SA = x 20 - x 3 Thể tích khối chóp VS ABCD x 20 - x £ x2 + Suy VS ABCD £ ( 20 - x A Áp dụng BĐT Cơsi, ta có B x ) C D = 10 40 10 = 3 Dấu " = " xảy Û x = 20 - x Û x = 10 Vậy V max = 40 Chọn A x 20 - x 0;2 Câu 114 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì S ABC hình chóp Þ SO ^ (ABC ) ( Cách Xét hàm số f (x ) = ) Đặt AB = x > Diện tích tam giác S D ABC = Gọi M trung điểm BC Þ AM = Tam giác vng SOA , có SO = x2 S x x Þ OA = AM = 3 SA - OA = - x2 A 1 x2 3- x2 S D ABC SO = = x - x 3 12 x - x 0; , ta max f (x ) = f Xét hàm f (x ) = 12 (0; ) Khi VS ABC = ( ) C O M B = Chọn A ( ) æx + x + - x ữ ỗỗ ữ = ữ ữ ứ 2 ỗố Cõu 115 Gi O = AC Ç BD Vì SA = SB = SC = SD suy hình chiếu S mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Þ SO ^ (ABCD ) Cách Ta có x - x = x x (6 - x ) £ Đặt AB = x > Tam giác vuông ABC , có AC = AB + BC = Tam giác vng SOA , có S x + 16 SO = SA - AO = SA - AC = 128 - x 1 128 - x Khi VS ABCD = S ABCD SO = x 3 1 128 = x 128 - x £ (x + 128 - x ) = 3 ( ) x B O C Dấu '' = '' xảy x = 128 - x Û x = Suy VS ABCD £ D 128 Chọn B A Câu 116 Đặt OA = OC = x Tam giác vuông AOD , có S AD - OA = 1- x OD = Suy BD = - x Diện tích hình thoi S ABCD = OA.BD = x 1- x Tam giác vng SOC , có A B SC - OC = 1- x Thể tích khối chóp VS ABCD = S ABCD SO SO = = x O C D 2 x - x - x = x (1 - x ) 3 ỉ1 Xét hàm f (x ) = x (1- x ) (0;1) , ta c max f (x ) = f ỗỗ ữ ữ= ỗố ữ ữ (0;1) ứ 3 Chọn D 27 Cách Áp dụng BDT Cơsi, ta có Suy V max = x (1 - x ) = 2 x (1 - x )(1 - x ) £ 3 æ2 x + - x + - x ÷ ỗỗ ữ = ữ ỗố ữ 27 ø Câu 117 Do SA = SB = SC = SD = a nên hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD ) trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp đáy, tứ giác ABCD hình chữ nhật Gọi H = AC Ç BD , suy SH ^ (ABCD ) Đặt AB = x > Ta có S AC = AD + AB = Tam giác vng SHA , có SH = Khi VS ABCD 2 x + 16a AC = 8a2 - x 1 = S ABCD SH = AB AD.SH 3 SA - A D H C B 8a2 - x a a 8a3 x.4a = x 8a2 - x £ (x + 8a2 - x ) = Chọn A 3 3 Câu 118 Đặt AC = x > S 2 Suy CB = AB - CA = - x = ( ) x 4- x2 AC.CB = 2 1 Khi VS ABC = S D ABC SA = x 4- x2 1 ỉx + - x ữ ữ Ê ỗỗỗ = Chn A ữ ÷ 6è ø Diện tích tam giác S D ABC = ( ) B A C S Câu 119 Giả sử CA = CB = x > Suy SA = 2 SC - AC = 1- x 1 Diện tích tam giác S D ABC = CA.CB = x 2 1 Khi VS ABC = S D ABC SA = x - x Xét hàm f (x ) = B x x C ỉ 2ư ÷ (0;1) , ta c max f (x ) = f ỗỗỗ ữ Chn D = ữ ữ (0;1) ỗố ứ 27 x 1- x Cách Ta có x - x = A x x (2 - x ) £ æx + x + - x ÷ ỗỗ ữ = ữ ỗ ữ ø è ® I tâm đường tròn ngoại Câu 120 Gọi I trung điểm BC Suy IA = IB = IC ¾ ¾ tiếp tam giác ABC Theo giả thiết, ta có SA = SB = SC suy I hình chiếu ca S trờn mt phng (ABC ) ắ ắ đ SI ^ (ABC ) Đặt AC = x > Suy BC = AB + AC = x + S Tam giác vuông SBI , có SI = Diện tích tam giác vng S D ABC 15 - x x = AB AC = 2 SB - BI = 1 x 15 - x S D ABC SI = 3 2 2 1 x + 15 - x = x 15 - x £ = Chọn A 12 12 C B I Khi VS ABC = ( ) Câu 121 Từ x + y = a2 Þ y = a2 - x ỉBC + AM ÷ Din tớch mt ỏy S ABCM = ỗỗ ữ ữ AB = ỗố ứ A S ổa + x ửữ ỗỗ ữa ốỗ ứữ Th tớch chóp VS ABCM = S ABCM SA ổ a + x a = ỗỗ a ÷ a - x = (a + x ) a - x ÷ ÷ ø ỗố x y A a a M D C ỉa 3a2 Xét hàm f (x ) = (a + x ) a - x (0;a) , ta max f (x ) = f ỗỗ ữ = ữ ỗố2 ữ (0;a) ø a3 Chọn B Câu 122 Gọi H trung điểm AD Þ SH ^ AD Suy V max = B Mà (SAD ) ^ (ABCD ) Þ SH ^ (ABCD ) S Giả sử AD = x > HD + CD = Suy HC = Tam giác vuông SHC, có SH = Khi VS ABCD x2 + 16 SC - HC = 20 - x2 A B H 1 = S ABCD SH = AB AD.SH 3 C D x2 1 80 x 20 = x 80 - x £ (x + 80 - x ) = Chọn D 3 Câu 123 Ta có tam giác ABC SBC tam giác cạnh Gọi N trung điểm BC Trong tam giác SAN , kẻ SH ^ AN (1) Ta có ® SN = ● SN đường cao tam giác SBC ¾ ¾ ìï BC ^ AN ùớ ắắ đ BC ^ (SAN ) ắ ắ đ BC ^ SH (2) ùùợ BC ^ SN S Từ (1) (2) , suy SH ^ (ABC ) = ( ) Diện tích tam giác ABC S D ABC = Khi VS ABC = S D ABC SH x C A 1 3 S D ABC SN = = 3 Dấu '' = '' xảy « H º N Chọn B £ Câu 124 Hình vẽ Cách làm tương tự Tam giác BCD cạnh ® BN = V ABCD lớn H Û N Khi ANB vng Trong tam giác vng cân ANB , có AB = BN = Chọn A H N B A x C B H N D Câu 125 Từ giả thiết ta có a = b + c Do OA, OB, OC vuông góc đơi nên VOABC = Dấu '' = '' xảy Û b = c = 1 ỉb + c a3 ÷ abc = a (bc)£ a ỗỗ = ữ ứ 6 ỗố ÷ 24 a Chọn C ìï x + y = a ïï Câu 126 Đặt AB = x , AC = y, AS = z Ta có ïí x + z = b2 ïï ïï y + z = c2 ỵ S c z b y A x C a B Khi V = (2 xy )(2 yz )(2 zx ) xyz ắắ đV2 = 288 (x + y )(y + z )(z + x ) a b2 c abc ắắ đV Ê 288 288 24 Du '' = '' xảy x = y = z ắ ắ đ a = b = c Chn D £ = Câu 127 Thể tích khối chóp S ABD V S ABD = Ta có a3 S VS AMN SM SN = = mn VS ABD SB SD ắắ đ V S AMN = mn.V S ABD = 2.m 3.n Mặt khác mn = mna3 £ M N B A 2m + 3n 2 = C D ìï 2m = 3n 1 a3 Dấu '' = '' xảy Û ïí Suy VS AMN £ Chọn B Þ m = ; n = ïï 2m + 3n = 72 ỵ Câu 128 Đặt a độ dài cạnh hình vng đáy, b chiều cao khối hộp với a, b > ỉ16 Theo giả thiết ta có 2a2 + ab = 32 Û 2a (a + 2b) = 32 Û a (a + 2b) = 16 b = ỗỗ - aữ ữ ữ ỗ ứ 2ố a Do b > ắ ắ đ 16 - a > đ a < a ỉ16 Khi thể tích khối hộp V = a ỗỗ - aữ ữ ữ= - a + 8a ứ ỗố a Xột hm f (a) = - ỉ 64 3 a + 8a (0;4) , ta max f (a) = f ỗỗ ữ ữ= ỗố ữ ữ 0;4 ( ) ø Chọn D Câu 129 Gọi h > chiều cao lăng trụ; a > độ dài cạnh đáy Theo giả thiết ta có V = S day h = a2 4V h ắ ắ đ h= a Diện tích tồn phần lăng trụ: S = S day + S xung quanh = Áp dụng BĐT Cơsi, ta có S toan phan = = a2 4V + 3a 2 a a2 3V + a a2 3V 3V a2 2 3V 3V + + ³ 33 = 3 2V 2 a a a a a2 3V 3V = = Û a = 4V Chọn A a a Câu 130 Gọi O tâm hình thoi ABCD Þ OA = OC Dấu '' = '' xảy Û Theo ra, ta có D SBD = D CBD Þ OS = OC Từ (1) (2) , ta có OS = OA = OC = Suy OA = x2 + OB = (1) (2) AC Þ D SAC vng S Þ AC = AB - OA = 3- x2 x2 + S A B H O D C (x + 1)(3 - Diện tích hình thoi S ABCD = 2.OA.OB = x2 ) Ta có SB = SC = SD = , suy hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giỏc BCD ắ ắ đ H ẻ AC SA.SC x Trong tam giác vng SAC , ta có SH = = 2 SA + SC x +1 Khi V S ABCD = (x + 1)(3 - x2 ) x x2 + = 1 ỉx + - x ÷ ÷ x - x Ê ỗỗỗ = ữ ữ 6 è ø Chọn C Dấu '' = '' xảy Û x = - x Û x = Câu 131 Gọi M trung điểm BC , kẻ AH ^ SM (H Ỵ SM ) (1) Suy V S ABCD £ Tam giác ABC cân suy BC ^ AM Mà SA ^ (ABC ) Þ SA ^ BC Suy BC ^ (SAM )Þ AH ^ BC (2) Từ (1) (2) , suy AH ^ (SBC ) nên d éëA, (SBC )ù û= AH = S Tam giác vuông AMH , có AM = sin a Tam giác vng SAM , có SA = AM tan a = cos a Tam giác vuông cân ABC , BC = AM A 9 Diện tích tam giác S D ABC = BC AM = AM = = sin a - cos2 a Khi V = S D ABC SA = cos a ).cos a ( H Xét hàm f (x ) = (1- cos2 x ).cos x , ta f (x ) £ 3 Suy V ³ C M B 27 Chọn B Cách Đặt AB = AC = x ; SA = y Khi VS ABC = x y Dấu " = " xảy cos a = Vì AB, AC , AS đơi vng góc nên ® VSABC = Suy x y ³ 81 ¾ ¾ 1 1 1 = = + + ³ 33 d éëA, (SBC )ù x x y x y û 27 x y³ Dấu " = " xảy x = y = 3 ¾ ¾ ® cos a = Câu 132 Gọi D điểm cho ABCD hình vng ìï AB ^ AD Ta cú ùớ ắắ đ AB ^ (SAD ) ắ ắ đ AB ^ SD Ã = 90 đ AB ^ SA ùù SAB ợ Tng tự, ta có BC ^ SD Từ suy SD ^ (ABDC ) Kẻ DH ^ SC (H ẻ SC ) ắ ắ đ DH ^ (SBC ) S é ù Khi d éëA, (SBC )ù û= d ëD, (SBC )û= DH Đặt AB = x > Trong tam giác vng SDC, có 1 1 1 = + Û = + 2 2 2 DH SD DC SD x a ( Suy SD = ax x - 2a2 x3 x - 2a2 C D ) Thể tích khối chóp VS ABC = Xét hàm f (x ) = H A B 1 ax a x3 VS ABCD = = x - 2a2 x - 2a ( ) ( ) a 2; + ¥ , ta f (x ) = f a = 3a2 (a ;+ ¥ ) Chọn B Câu 133 Do tam giác OAB cạnh a Þ F trung điểm OB Þ OF = ìï AF ^ OB Ta có ïí Þ AF ^ (MOB ) Þ AF ^ MB ïïỵ AF ^ MO Mặt khác, MB ^ AE Suy MB ^ (AEF )Þ MB ^ EF Suy D OBM ∽ D ONF nên OB ON OB.OF a2 = Þ ON = = OM OF OM 2x Ta có V ABMN = V ABOM + V ABON = ö a2 ổ a3 ỗỗx + a ữ ữ S D OAB (OM + ON ) = ³ ữ ữ 12 ỗố 2x ứ 12 a2 a Chọn B Û x= 2x Câu 134 Đặt AM = x , AN = y suy AM AN = x y = Đẳng thức xảy x = a M O A E F B N AC Tam giác vuông ABC , có AB = BC = = M 2 AB = Diện tích tam giác vuông S D ABC = S D ABC (AM + AN ) 1 = (x + y ) ắ Cosi ắắ đ xy = 3 Dấu " = " xảy x = y = Chọn D A Ta có V MNBC = V M ABC + V N ABC = C B N Câu 135 Đặt AC = x (0 < x < 2) S 2 Tam giác vuông ABC , có BC = AB - AC = - x Tam giác SAB cân A , có đường cao AH suy H SH trung điểm SB nên = SB Tam giác vng SAC , có K H SK SA SA = SK SC Þ = = SC SC + x2 V SH SK = = Ta có S AHK = VS ABC SB SC x + x + ắắ đ VS AHK = C A B ỉ1 x 4- x2 2 ữ ỗ V = S SA = ữ ỗ D ABC S ABC ÷ ø x2 + x2 + x + ỗố3 Xột hm f (x ) = ỉ2 2 x 4- x2 ÷ = Chọn A (0;2) , ta max f (x ) = f ỗỗ ữ ữ çè ø ÷ (0;2) x +4 Câu 136 Vì ABCD A ¢B ¢C ¢D ¢ hình hộp chữ nhật suy BC ^ (ABB ¢A ¢) Khi A ¢B hình chiếu A ¢C mặt phẳng (ABB ¢A ¢) · · ¢B ¢C, (ABB ¢A ¢) = (· A ¢C, A ¢B ) = CA Suy 30 = A Đặt BB ¢= h (h > 0) D' C' B' A' h C D A Tam giác vng A ¢B ¢B, có A ¢B = x B A ¢B ¢2 + BB ¢2 = x + h · ¢B = BC Û tan 30 = Tam giác vng A ¢BC , có tan CA Û x + h2 = 27 2 A ¢B x +h ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD A B C D V = BB S ABCD = 3xh æx + h 27 81 81 ÷ ÷ Áp dụng BĐT Cơsi, ta cú 3xh Ê ỗỗ = = ị V max = ữ ỗố ứ ữ 2 ìï x = h > 27 Dấu " = " xảy Û ïí Þ x2 = Þ x= Chọn B ïïỵ x + h = 27 2 Câu 137 Giả sử a, b, c kích thước hình hộp chữ nhật Độ dài đường chéo hình chữ nhật a2 + b2 + c2 Tổng diện tích mặt (ab + bc + ca) ìï (ab + bc + ca) = 36 ï Theo giả thiết ta có í Û ïï a2 + b2 + c2 = ïỵ Ta cần tìm giá trị lớn V = abc ì ïíï ab + bc + ca = 18 ïïỵ a2 + b2 + c2 = 36  Ta có (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + (ab + bc + ca)= 72 Þ a + b + c = 2  Ta có (b + c) ³ 4bc Û - a ³ éê18 - a - a ù Û £ a £ ú ë û é ù= a3 - 2a2 + 18a Khi V = abc = a éë18 - a (b + c)ù û= a êë18 - a - a ú û ù f a = a a + 18 a Xét hàm số ( ) với a Ỵ 0;4 ú, ta û ( ) ( ( ) ) ( max f (x ) = f (0;4 2ù ú û ( ) = f (4 ) = Chọn C ỉa + b + c ÷ Nhận xét Nu s dng V = abc Ê ỗỗ = 16 sai dấu '' = '' khơng xảy ữ ữ ỗố ứ Cõu hi tng t Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất ác cạnh 32 độ dài đường chéo Tính thể tích lớn V max khối hộp chữ nhật cho ĐS: V max = 16 Câu 138* Theo giả thiết ta có cạnh hình lập phương a + b + c ● Hình hộp chữ nhật có: V = abc S = (ab + ac + bc) ● Hình lập phương có: V ' = (a + b + c) S 'tp = (a + b + c) 2 Suy S = (a + b + c) S1 = S2 ab + bc + ca 3 Ta có (a + b + c) = 32abc Û (a + b + c) a3 = 32 æb c ổ bc ỗb c ữ ỗỗ + + 1ữ ữ ữ ữ = 32 ỗỗốa a ứ ữ ỗốa a ứ a2 ỡù b ùù = x (x + y + 1) ïa ¾¾ ® (x + y + 1) = 32 xy Û xy = Đặt ïí ïï c 32 = y ïï ïỵ a 2 (x + y + 1) (x + y + 1) t2 t = x + y + 1> Khi S = = ắ ắ ắ ắắ đ S = 96 x + y + xy t + 32t - 32 (x + y + 1) x+ y+ 32 Ta có (x + y + 1) = 32 xy £ (x + y ) ¾¾ đ t Ê (t - 1) ắđ t - 8t + 16t - £ ắđ Ê t Ê + Xét hàm f (t ) = t2 đoạn éê2;3 + ù , ta max f (t ) = f (4 ) = ú é ù ë û t + 32 t - 32 10 êë2;3+ ú û Chọn D uur uur uur uur Câu 139* Do G trọng tâm D ABC ắ ắ đ SG = SA + SB + SC uu r uuu r uuu r uu r uur ỉSA uuur SB uuur SC uur SG ổSA SB SC ắắ đ SI = ỗỗ SM + SN + SP ữ SI = ỗỗ SM + SN + SP ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ứ SI ỗốSM SN SP ứ ỗốSM SN SP ỉSA SB SC SA SB SC ÷ + + = 1« + + = Do I , M , N , P ng phng nờn ỗỗ ữ ữ ỗ ố ứ SM SN SP SM SN SP Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có ỉ ổ ử2 1 2 ữ ỗỗ çç SA + SB + SC ÷ + + SA + SB + SC ³ ÷ ÷ ( ) ÷ ữ ỗốSM SN SP ứ ỗốSM SN SP ø ( ) 36 18 = Chọn C 2 SA + SB + SC Cách trắc nghiệm Do với hình chóp nên ta chọn trường hợp đặc biệt SA , SB, Suy T ³ SC đơi vng góc tọa độ hóa sau: S º O (0;0;0) , A (1;0;0) , B (0;2;0) ỉ1 ỉ1 1 đ I ỗỗ ; ; ữ C (0;0;3) Suy G ỗỗỗ ; ;1ữ ữ ữ ữắ ắ ố3 ứ ốỗ6 ứữ Khi ú mt phẳng (a ) cắt SA , SB, SC M (a;0;0), N (0; b;0), P (0;0; c) x y z 1 + + = T = + + a b c a b c ỉ1 1 1 1 1 ẻ (a ) ắ ắ đ (a ): + + = Vỡ I ỗỗ ; ; ữ ữ ỗố6 ữ ứ a b c ắắ đ (a ): ỉ1 1 1 ổ1 ổ1 1ử 1ử 18 ữ ữ ỗ ç Ta có 12 = çç + + ữ đT ữ ữ ữ ữ Ê ốỗỗ62 + 32 + 22 ứ ữ ốỗỗa2 + b2 + c2 ứ ữắ ắ ỗố6 a b c ø SK Câu 140* Gọi a = (0 £ a £ 1) SC Vì mặt phẳng (a ) di động qua điểm M , N cắt cạnh SC , SD hai điểm phân biệt K , Q nên ta có đẳng thc ắđ + SA SC SB SD + = + SM SK SN SQ SD SQ 2a = + ắắ đ = a SQ SD + a S N M Q P D A B Ta có VS MNKQ VS ABCD = C ỉ4a 1ỉ 2a ữ ỗỗSM SN SK + SM SK SQ ữ = ỗỗ = ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố SA SB SC SA SC SD ø è a + ø a + Xét hàm f (a) = 2a 1 đoạn [0;1], ta max f (a) = f (1) = Chọn B 0;1 [ ] a+ ... ¢A ¢) = (· A ¢C, A ¢B ) = CA Suy 30 = A Đặt BB ¢= h (h > 0) D'' C'' B'' A'' h C D A Tam giác vng A ¢B ¢B, có A ¢B = x B A ¢B ¢2 + BB ¢2 = x + h · ¢B = BC Û tan 30 = Tam giác vng A ¢BC , có tan CA... nhật ABCD A ¢B ¢C ¢D ¢ có AB = x , AD = 3, góc đường thẳng A V max = A ¢C mặt phẳng (ABB ¢A ¢) 300 Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật tích lớn 3 15 B x = C x = D x = 2 5 Câu 137 Cho hình... lớn V max khối chóp S MNKQ A V max = V B V max = V C V max = 3V D V max = 2V Vấn đề CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 111 Gọi H hình chiếu A mặt phẳng (SBC ) ¾ ¾ ® AH ^ (SBC ) Ta có AH