1. Trang chủ
  2. » Tất cả

46 bai tap ve nguyen ham tich phan va ung dung co dap an oozjj

27 0 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 27
Dung lượng 651,78 KB

Nội dung

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I NGUYÊN HÀM Nếu có hàm số f(x) việc đi tính đạo hàm của nó chỉ cần áp dụng các công thức đã biết, công việc có vẻ không khó lắm Thế nhưng tì[.]

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I: NGUYÊN HÀM Nếu có hàm số f(x) việc tính đạo hàm cần áp dụng cơng thức biết, cơng việc khơng khó Thế tìm hàm số có đạo hàm f(x) khó nhiều, có nghĩa ta phải tìm hàm số g(x) cho g'  x   f  x  Hãy nghiên cứu kĩ vấn đề này! Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định K cho F '  x   f  x  F(x) gọi nguyên hàm hàm số f  x  K Định lí Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f(x) K Định lí Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng G  x   F  x   C với C số Định lí Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất nguyên hàm: -  f '  x  dx  f  x   C -  kf  x  dx  k  f  x  dx -  f  x   g  x  f  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Bảng nguyên hàm Chú ý: Cơng thức tính vi phân f(x) d f  x   f '  x  dx Ví dụ du  u '.dx , dt  t '.dx với u, t hàm theo biến x Với u hàm số  0dx  C  0du  C  dx  x  C  du  u  C x Trang  dx  1 x  C    1  1 u  du  1 u  C    1  1 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  e dx  e  e du  e x x  a dx  x C u ax C ln a u  a du  u C au C ln a  cos xdx  sin x  C  cosu du  sinu  C  sin xdx   cos x  C  sinu du   cosu C  cos x  sin x dx  tan x  C  cos dx   cot x  C  sin u u du  tanu  C du   cotu  C Các phương pháp tính nguyên hàm  Phương pháp Sử dụng bảng nguyên hàm:   Ví dụ 1: Tính    x  dx  cos x  Lời giải x5  4 Ta có    x dx  dx  x dx  tan x  C   cos2 x   cos x    Ví dụ 2: Tính   2x   dx khoảng  0;   x2   Lời giải    3 dx  x dx  dx  x  x dx Ta có   2x      3 2 x  x   x  3x  C  x  3 x  C 3 Ví dụ 3: Tính  3cos x   dx x 1 khoảng  ;   Lời giải Ta có x 1 x 1  3cos x   dx   3cos xdx   dx  3sin x  1  Ví dụ 4: Tính    e x 1  dx x  Trang x 3x dx  C  3sin x  C 3 ln Lời giải 1  Ta có    ex 1  dx   dx  e e x dx  ln x  e.e x  C x x   Phương pháp Đổi biến số sin x Ví dụ 5: Tính  dx cos x Phân tích Để ý ta đặt t  cos x  dt  d  cos x    sin xdx , ta cần chuyển tất theo biến t Muốn ta biến đổi sin x   cos2 x   t Lời giải 1  cos x  sin x dx , đặt t  cos x  dt  d  cos x    sin xdx sin x Ta có:  dx   cos x cos4 x Lúc này:  cos x   cos x 1  C sin x 1 t2 t t 1 4 2 dx   dt   t dt  t dt    C    cos4 x  t4   3 1 3 x 1  2x  dx Ví dụ 6: Tính Phân tích Khi nguyên hàm có dạng phân thức bậc tử lớn bậc mẫu ta thường dùng phép chia đa thức để giải Lời giải Ta có x 1   x  2x  dx   1  2x   dx   dx   2x  dx   C   2x  dx Đặt t  2x   dt  2dx  dx  Lúc này: Do đó: 1 dt dt dt 1  ln t  ln 2x   C t 2  2x  dx   t   x 1 x  2x  dx   ln 2x   C  Phương pháp Nguyên hàm phần Chú ý:  Các loại hàm bản: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ  Khi nguyên hàm có dạng tích hai hàm nhân ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Trang  Thứ tự đặt u logarit, đa thức, lượng giác, mũ (đọc tắt lô đa lượng mũ), sau đặt u tồn lượng cịn lại đặt dv Ví dụ 7: Tính  ln  sin x  dx cos x Lời giải cos x  u  ln sin x  du  dx    sin x Đặt  dv  dx  v  tan x  cos x Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có:  ln  sin x  cos x dx  tan x.ln  sin x    tan dx  tan x.ln  sin x   x  C cos x sin x Ví dụ 8: Tính  cos xdx Lời giải Đặt t  x  dt  x dx  dx  dx  2tdt , nguyên hàm viết lại thành: 2t  2t cos tdt  2 t cos tdt , tiếp tục dùng nguyên hàm phần để giải u  t du  dt  Đặt  , áp dụng công thức nguyên hàm phần ta được: dv  cos tdt v  sin t  cos xdx  2 t cos tdt  2t.sin t  2 sin t.dt  2t.sin t  2cos t  C  x.sin x  2cos x  C Chú ý: Khi đặt dv  f  x  dx ta tính v theo công thức v   f  x  dx , hẳn nhiều em hỏi sau tính xong có thêm số C ví dụ lại khơng thấy C, thật người ta chọn C  Trang PHẦN II: TÍCH PHÂN Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn:  Liên tục đoạn  a; b   F(x) nguyên hàm f(x) đoạn  a; b  Lúc hiệu số F  b   F  a  gọi tích phân từ a đến b kí hiệu b  f  x  dx  F  b   F  a  a Chú ý:  a, b gọi cận tích phân b a  b  f  x  dx   a b a a b a  b  f  x  dx    f  x  dx  b b a a  Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số tức  f  x  dx   f  t  dt  F  b   F  a  Tính chất tích phân    b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx với a  c  b b b a a  kf  x  dx  k  f  x  dx với k số khác b b b a a a  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Chú ý: Để tính tích phần từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm sau thay cận b vào theo cơng thức  f  x  dx  F  b   F  a  a Ví dụ 1: Tính tích phân I   A I  x x2  dx B I  C I  Lời giải Đặt t  x   t  x   tdt  xdx Trang D I  Đổi cận: x   t  1; x   t  2 t Ta I   dt   dt  t  t 1 Chọn đáp án D  Ví dụ 2: Tính tích phân I    x  cos5 x  sin xdx A B C D Lời giải   0 Ta có I   x sin xdx   sin x.cos5 xdx u  x du  dx  Đặt  dv  sin x.dx  v   cos x  Khi đó:   /2   x sin xdx   x cos x    cos xdx   sin x  02  0   t  x  Đặt t  cos x  dt   sin xdx Đổi cận  2 t   x    t6  Khi  sin x.cos xdx   t dt   t dt      0 0 Vậy I   5  6 Chọn đáp án A Ví dụ 3: Tính tích phân I   A  ln 3 I B  ln x  dx x  ln 3 I C Lời giải Đặt u  ln x  du  dx x Đổi cận: x   u  0; x   u  ln Trang  ln 3 I 3 D  ln  I 3 ln  Khi đó: I  u3 u dy  ln  ln 3  3 Chọn đáp án C Ví dụ 4: Tính tích phân I   x x  dx A I  53 15 B I  23 15 C I  253 D I  253 15 22 D I  32 Lời giải Đặt t  x  Suy t  x  Do tdt  xdx x   t  2; x   t  3 Suy I    t   t.tdt    t  4t  dt 2  t 4t  63 64 253 I      5 15 15  2 Chọn đáp án D Ví dụ 5: Tính tích phân I   x A I  2 2  B I   x   e x dx 2 1 C I  Lời giải Có I   x   1 0 x   e x dx   x x  1dx   xe x dx  I1  I Đặt t  x   t  x   tdt  xdx Đổi cận: x   t  1; x   t  2 Suy I1   t3 2 1 t dt   31 u  x du  dx x x x  I  xe  e dx  e  e 1 Đặt  , suy   x x 0 dv  e dx v  e   Vậy I  22 Chọn đáp án C Trang e2 Ví dụ 6: Tính tích phân sau I   x  1 ln x  x ln x e dx A I  e4  e2   ln 2 B I  e4  e2   ln 2 C I  e4  e2   ln 2 D I  e4  e2   ln Lời giải e2 I  x  1 ln x  x ln x e e2 dx   e e2 e2 e2 x2 1 1  dx   dx    x   dx   dx  J  K x x ln x x x ln x   e e e e2 e2  x2  1 e4  e2  J    x   dx    ln x   1 x  e e  e2 e2 1 K dx   d  ln x   ln ln x x ln x ln x e e e2 e  ln e4  e2 I   ln 2 Chọn đáp án C dx  d  ln x  x Chú ý: 1  Ví dụ 7: Tính tích phân I   x  e x   dx x  A I  e2  B I  e2 C I  e2  D I  e2  Lời giải 2 I   xe dx   dx  I1  I x 1 2 u  x du  dx x   I1  xe   e x dx  2e2  e  ex  e2 Đặt  x x 1 dv  e dx v  e I2  x   I  e2  Chọn đáp án A Ví dụ 8: Tính tích phân I   x 3x  1dx Trang A I  B I  C I  D I  Lời giải Đặt t  3x   t  3x   tdt  3xdx Đổi cận: x   t  1, x   t  2 t3 I   t 2dt   31 91 Chọn đáp án A  Ví dụ 9: Tính tích phân I    x   sin 3xdx A B C  D 10 Lời giải u  x  Đặt  ta dv  sin 3xdx du  dx  cos 3x   v       x   cos 3x  2 Do I       cos 3xdx  0     x   cos 3x   sin 3x  I        0  0 Chọn đáp án C e Ví dụ 10: Tính tích phân I   x 1  ln x  dx 3e2  A I  3e2  B I  3e C I  Lời giải x2 Đặt: u   ln x;dv  xdx Suy du  dx; v  x e e e x2 x2 x2 3e2   Khi đó: I  1  ln x    xdx  1  ln x   21 4 1 Chọn đáp án D Trang e 3e2  D I   Ví dụ 11: Tính tích phân sau I   x   cos 2x  dx A I  32    16 B I  32   16 C I  32    16 D I  32    16 Lời giải Đặt: u  x, dv    cos 2x  dx Suy ra: du  dx, v  2x  sin 2x    1 2       4 I  x  2x  sin 2x     2x  sin 2x  dx     x  cos 2x  2   0 0  0 I 32    16 Chọn đáp án A 2x  1 Ví dụ 12: Tính tích phân I   x2  x 1 1 A I   32  B I   34 dx  C I    1 D I   3 Lời giải Đặt u  x  x   u  x  x   2udu   2x  1 dx Đổi cận: x  1  u  1; x   u  3 I  2udu  u  2du  2u 2   1 Chọn đáp án C Ví dụ 13: Tính tích phân I   A I  ln  2 x2 1 ln xdx x2 B I  ln  2 C I  ln  Lời giải  du  dx u  ln x  x   Đặt  x2 1   dv  dx  v   x    x x   Trang 10 D I  ln 2  Tính I   xe2x dx Đặt u  x  du  dx; dv  e2x dx  v  e 2x 1 x e2 e2x I2  e2x   e2x dx   20 Vậy I  I1  I   e2  4 e2  12 Chọn đáp án B  ln x  Ví dụ 19: Tính tích phân I     1 xdx x  1 e A I  e3 B I  e C I  e2 D I  e2 3e  2e D I  3e  2e Lời giải ln x  ln x  I     1 xdx   dx   xdx x x  1 1 e e e e e e e e ln x ln x dx   ln xd  ln x    *  x 2 1 x2 e2   *  xdx  2 => I  e2 Chọn đáp án D 1  Ví dụ 20: Tính tích phân I      ln xdx x x  1 e A I  3e  2e B I  e4 2e C I  Lời giải e e ln x ln x dx   dx Ta có: I   x x 1 e e e ln x 1 dx   ln xd  ln x   ln x  + I1   x 2 1 Trang 13 e ln x dx x2 + Tính I   Đặt u  ln x, dv  e I2   1 1 dx  du  , v  x x x e e ln x 1   dx     1 x 1x e x1 e Vậy I  3e  2e Chọn đáp án A Ví dụ 21: Tính tích phân I  11 A I   ln xdx 3x    x  1 B I   ln C I   ln D I   ln Lời giải Đặt t  3x   t  3x   2tdt  3dx  dx  x   t  2; x  tdt 11 t 3 xdx t2  1  2  dt     dt  t  t    x  1 3x  t  1  2 t 1  2 Suy I      dt   t  ln   ln   t  t  1 t 1  3 2 Chọn đáp án C  Ví dụ 22: Tính tích phân I   x  x  cos x  dx 3  A I   24 3   2 B I  24 3  C I   1 24 Lời giải   0 Ta có: I   x 2dx   x cos xdx Trang 14 3   2 D I  24  x3 Với I1   x 2dx    3 24  Với I   x cos xdx u  x du  dx Đặt   dv  cos xdx v  sin x   I2  x sin x   sin xdx  Vậy I      cos x 02   2 3   1 24 Chọn đáp án C  Ví dụ 23: Tính tích phân I    2x  sin x  cos xdx A I    C I    B I   Lời giải   0 I   sin x.cos xdx   2x.cos xdx    1 I1   sinx.cosxdx   sin x.d  sin x   sin x  2 0  I   2x cos xdx u  2x du  2dx Đặt   dv  cos xdx v  sin x    I2  2x sin x  2 sin xdx    2cos 02     I    Chọn đáp án A Trang 15 2 D I     Ví dụ 24: Tính tích phân I    x  sin x  cos xdx A I    B I    C I    D I    Lời giải   0 I   x cos xdx   sin x cos xdx  I1  I u  x  du  dx Đặt  dv  cos xdx  v  sin x    I1  x sin x   sin xdx       cos x 02   2  sin x I2   sin xd  sin x    3 I   Chọn đáp án A Ví dụ 25: Tính tích phân I    x  1  e x  3 dx A I  e  B I  e  C I  e  Lời giải   u  x  du  dx    x x  dv   e  3 dx  v   e  3x   I   x  1  e  3x     e x  3x  dx x 0     x  1  e  3x    e x  x   e  0  x Chọn đáp án A Chú ý: v    ex  3 dx   ex  3x   C , chọn C  Trang 16 D I  e  Ví dụ 26: Tính tích phân I   2x  x  ln 1  x   dx A I  B I  C I  D I  11 Lời giải 1 0 Ta có: I   2x  x  ln 1  x   dx   2x 2dx   2x ln 1  x  dx  I1  I 1 2 Tính: I1   2x dx  x  3 Tính: I2   2x ln 1  x  dx  dx  u  ln 1  x  du  Đặt   x 1  dv  2xdx v  x  x2 x2   Do đó: I2  x ln 1  x    dx  ln   dx  ln    x    dx x 1 x 1 x 1  0 0 1 1 1 1   ln   x  x  ln 1  x    2 0 Vậy: I    Chọn đáp án B    ln x  dx Ví dụ 27: Tính tích phân I   x   x 1  A I  ln10  B I  ln10  C I  ln10  Lời giải 2x   I  x  ln x  dx   dx   x.ln xdx x 1  x 1  1 2 Tính: I1   2 d  x  1 2x dx   ln x   ln  ln   2 1 x  1 x 1 Tính I   x ln xdx Trang 17 D I  ln10   du  dx  u  ln x   x Đặt   dv  xdx  v  x  2 x2 x I2  ln x   dx  2ln  2 1 Vậy I  ln  ln  3  ln10  4 Chọn đáp án A e Ví dụ 28: Tính tích phân I   x  2x  ln x  dx A I  2e4  e2 B I  2e4  e2  C I  2e4  e3 D I  2e 4 D I  45  8ln 2 Lời giải e e e 1 I   x  2x  ln x  dx  2 x 3dx   x ln xdx e 2 x 3dx  e x   e4  1 2 e   2 e  e2  e 1 2 Ta có:  x ln xdx   x ln x   x dx   e  x   2 x    1 e e I   x  2x  ln x  dx  1 e2  2e4  e2  e  1    4 Chọn đáp án B Ví dụ 29: Tính tích phân I   x 3x  2ln  x  1  dx A I  45 B I  8ln C I  Lời giải 3 2 I   3x 2dx   2x ln  x  1 dx  x  I1  19  I1 3 I1   2x ln  x  1 dx Trang 18 45  8ln 2 3 u  ln  x  1 x2 Đặt  , suy I1  x ln  x  1   x 2d  ln  x  1   9ln   dx x 1 dv  2xdx 2  x2     9ln    x   dx  9ln    x  ln x    8ln   x 1   2 2 Vậy I  45  8ln 2 Chọn đáp án C Ví dụ 30: Tính tích phân I   A I  ln 3 x  ln x dx x B I  C I  ln  D I  Lời giải 2 ln x dx x Ta tách tích phân I sau: I   xdx   2 x2  * I1   xdx  2 ln x * I2   dx Đặt t  ln x  dt  dx x x Đổi cận: x   t  ln 2; x   t  ln I2   t3 t dt  ln  Vậy I  I1  I2  ln 3 ln  Chọn đáp án C  x  1.x  ln x   dx 1   x   Ví dụ 31: Tính tích phân I  A I   C I  1 11 ln   5 1 11 ln   5 B I   1 11 ln   5 D I   1 11 ln   5 Lời giải Trang 19 ln   x  1.x  ln x  I   dx    x2   5  x  1.xdx  1    ln x  x  1.xdx     dx x   x  1.d  x  1   x 1   5 1 1  ln x    1  x  dx   x ln x  1   x   dx   ln  x   ln   Do đó: I   1 11 ln   5 Chọn đáp án D  Ví dụ 32: Tính tích phân I   x  x  sin x  dx A I  3   B I  7  12 C I   D I   Lời giải     0 0 I   x 2dx   x sin xdx   x 2dx   xd  cos x      x3 3    x cos    cos xdx     sin x  3   3 0 Chọn đáp án A Ví dụ 33: Tính tích phân I    4x  3 ln xdx A I  16ln  B I  14ln  C I  14ln  Lời giải   u  ln x du  dx Đặt   x dv  4x  dx      v  2x  3x  2x  3x dx  14ln    x  3x  x Khi đó: I   2x  3x  ln x    14ln    22  3.2   12  3.1  14ln  10    14ln  Chọn đáp án C Trang 20 D I  16ln  ... C ln a  cos xdx  sin x  C  cosu du  sinu  C  sin xdx   cos x  C  sinu du   cosu C  cos x  sin x dx  tan x  C  cos dx   cot x  C  sin u u du  tanu  C du   cotu  C Các...  dx  v  tan x  cos x Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có:  ln  sin x  cos x dx  tan x.ln  sin x    tan dx  tan x.ln  sin x   x  C cos x sin x Ví dụ 8: Tính  cos xdx Lời... x dx cos x Ví dụ 15: Tính tích phân I   A I   B I   C I   Lời giải     sin x sin x dx   dx   dx  I1  I 2 cos x cos x cos x 0 I    dx  tan x cos x I1   Đặt t  cos x

Ngày đăng: 15/02/2023, 15:10

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN