Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I NGUYÊN HÀM Nếu có hàm số f(x) việc đi tính đạo hàm của nó chỉ cần áp dụng các công thức đã biết, công việc có vẻ không khó lắm Thế nhưng tì[.]
CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I: NGUYÊN HÀM Nếu có hàm số f(x) việc tính đạo hàm cần áp dụng cơng thức biết, cơng việc khơng khó Thế tìm hàm số có đạo hàm f(x) khó nhiều, có nghĩa ta phải tìm hàm số g(x) cho g' x f x Hãy nghiên cứu kĩ vấn đề này! Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định K cho F ' x f x F(x) gọi nguyên hàm hàm số f x K Định lí Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G x F x C nguyên hàm f(x) K Định lí Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng G x F x C với C số Định lí Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất nguyên hàm: - f ' x dx f x C - kf x dx k f x dx - f x g x f x dx f x dx g x dx Bảng nguyên hàm Chú ý: Cơng thức tính vi phân f(x) d f x f ' x dx Ví dụ du u '.dx , dt t '.dx với u, t hàm theo biến x Với u hàm số 0dx C 0du C dx x C du u C x Trang dx 1 x C 1 1 u du 1 u C 1 1 1 x dx ln x C u du ln u C e dx e e du e x x a dx x C u ax C ln a u a du u C au C ln a cos xdx sin x C cosu du sinu C sin xdx cos x C sinu du cosu C cos x sin x dx tan x C cos dx cot x C sin u u du tanu C du cotu C Các phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp Sử dụng bảng nguyên hàm: Ví dụ 1: Tính x dx cos x Lời giải x5 4 Ta có x dx dx x dx tan x C cos2 x cos x Ví dụ 2: Tính 2x dx khoảng 0; x2 Lời giải 3 dx x dx dx x x dx Ta có 2x 3 2 x x x 3x C x 3 x C 3 Ví dụ 3: Tính 3cos x dx x 1 khoảng ; Lời giải Ta có x 1 x 1 3cos x dx 3cos xdx dx 3sin x 1 Ví dụ 4: Tính e x 1 dx x Trang x 3x dx C 3sin x C 3 ln Lời giải 1 Ta có ex 1 dx dx e e x dx ln x e.e x C x x Phương pháp Đổi biến số sin x Ví dụ 5: Tính dx cos x Phân tích Để ý ta đặt t cos x dt d cos x sin xdx , ta cần chuyển tất theo biến t Muốn ta biến đổi sin x cos2 x t Lời giải 1 cos x sin x dx , đặt t cos x dt d cos x sin xdx sin x Ta có: dx cos x cos4 x Lúc này: cos x cos x 1 C sin x 1 t2 t t 1 4 2 dx dt t dt t dt C cos4 x t4 3 1 3 x 1 2x dx Ví dụ 6: Tính Phân tích Khi nguyên hàm có dạng phân thức bậc tử lớn bậc mẫu ta thường dùng phép chia đa thức để giải Lời giải Ta có x 1 x 2x dx 1 2x dx dx 2x dx C 2x dx Đặt t 2x dt 2dx dx Lúc này: Do đó: 1 dt dt dt 1 ln t ln 2x C t 2 2x dx t x 1 x 2x dx ln 2x C Phương pháp Nguyên hàm phần Chú ý: Các loại hàm bản: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ Khi nguyên hàm có dạng tích hai hàm nhân ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Trang Thứ tự đặt u logarit, đa thức, lượng giác, mũ (đọc tắt lô đa lượng mũ), sau đặt u tồn lượng cịn lại đặt dv Ví dụ 7: Tính ln sin x dx cos x Lời giải cos x u ln sin x du dx sin x Đặt dv dx v tan x cos x Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có: ln sin x cos x dx tan x.ln sin x tan dx tan x.ln sin x x C cos x sin x Ví dụ 8: Tính cos xdx Lời giải Đặt t x dt x dx dx dx 2tdt , nguyên hàm viết lại thành: 2t 2t cos tdt 2 t cos tdt , tiếp tục dùng nguyên hàm phần để giải u t du dt Đặt , áp dụng công thức nguyên hàm phần ta được: dv cos tdt v sin t cos xdx 2 t cos tdt 2t.sin t 2 sin t.dt 2t.sin t 2cos t C x.sin x 2cos x C Chú ý: Khi đặt dv f x dx ta tính v theo công thức v f x dx , hẳn nhiều em hỏi sau tính xong có thêm số C ví dụ lại khơng thấy C, thật người ta chọn C Trang PHẦN II: TÍCH PHÂN Định nghĩa Cho hàm số y f x thỏa mãn: Liên tục đoạn a; b F(x) nguyên hàm f(x) đoạn a; b Lúc hiệu số F b F a gọi tích phân từ a đến b kí hiệu b f x dx F b F a a Chú ý: a, b gọi cận tích phân b a b f x dx a b a a b a b f x dx f x dx b b a a Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số tức f x dx f t dt F b F a Tính chất tích phân b c b a a c f x dx f x dx f x dx với a c b b b a a kf x dx k f x dx với k số khác b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx Chú ý: Để tính tích phần từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm sau thay cận b vào theo cơng thức f x dx F b F a a Ví dụ 1: Tính tích phân I A I x x2 dx B I C I Lời giải Đặt t x t x tdt xdx Trang D I Đổi cận: x t 1; x t 2 t Ta I dt dt t t 1 Chọn đáp án D Ví dụ 2: Tính tích phân I x cos5 x sin xdx A B C D Lời giải 0 Ta có I x sin xdx sin x.cos5 xdx u x du dx Đặt dv sin x.dx v cos x Khi đó: /2 x sin xdx x cos x cos xdx sin x 02 0 t x Đặt t cos x dt sin xdx Đổi cận 2 t x t6 Khi sin x.cos xdx t dt t dt 0 0 Vậy I 5 6 Chọn đáp án A Ví dụ 3: Tính tích phân I A ln 3 I B ln x dx x ln 3 I C Lời giải Đặt u ln x du dx x Đổi cận: x u 0; x u ln Trang ln 3 I 3 D ln I 3 ln Khi đó: I u3 u dy ln ln 3 3 Chọn đáp án C Ví dụ 4: Tính tích phân I x x dx A I 53 15 B I 23 15 C I 253 D I 253 15 22 D I 32 Lời giải Đặt t x Suy t x Do tdt xdx x t 2; x t 3 Suy I t t.tdt t 4t dt 2 t 4t 63 64 253 I 5 15 15 2 Chọn đáp án D Ví dụ 5: Tính tích phân I x A I 2 2 B I x e x dx 2 1 C I Lời giải Có I x 1 0 x e x dx x x 1dx xe x dx I1 I Đặt t x t x tdt xdx Đổi cận: x t 1; x t 2 Suy I1 t3 2 1 t dt 31 u x du dx x x x I xe e dx e e 1 Đặt , suy x x 0 dv e dx v e Vậy I 22 Chọn đáp án C Trang e2 Ví dụ 6: Tính tích phân sau I x 1 ln x x ln x e dx A I e4 e2 ln 2 B I e4 e2 ln 2 C I e4 e2 ln 2 D I e4 e2 ln Lời giải e2 I x 1 ln x x ln x e e2 dx e e2 e2 e2 x2 1 1 dx dx x dx dx J K x x ln x x x ln x e e e e2 e2 x2 1 e4 e2 J x dx ln x 1 x e e e2 e2 1 K dx d ln x ln ln x x ln x ln x e e e2 e ln e4 e2 I ln 2 Chọn đáp án C dx d ln x x Chú ý: 1 Ví dụ 7: Tính tích phân I x e x dx x A I e2 B I e2 C I e2 D I e2 Lời giải 2 I xe dx dx I1 I x 1 2 u x du dx x I1 xe e x dx 2e2 e ex e2 Đặt x x 1 dv e dx v e I2 x I e2 Chọn đáp án A Ví dụ 8: Tính tích phân I x 3x 1dx Trang A I B I C I D I Lời giải Đặt t 3x t 3x tdt 3xdx Đổi cận: x t 1, x t 2 t3 I t 2dt 31 91 Chọn đáp án A Ví dụ 9: Tính tích phân I x sin 3xdx A B C D 10 Lời giải u x Đặt ta dv sin 3xdx du dx cos 3x v x cos 3x 2 Do I cos 3xdx 0 x cos 3x sin 3x I 0 0 Chọn đáp án C e Ví dụ 10: Tính tích phân I x 1 ln x dx 3e2 A I 3e2 B I 3e C I Lời giải x2 Đặt: u ln x;dv xdx Suy du dx; v x e e e x2 x2 x2 3e2 Khi đó: I 1 ln x xdx 1 ln x 21 4 1 Chọn đáp án D Trang e 3e2 D I Ví dụ 11: Tính tích phân sau I x cos 2x dx A I 32 16 B I 32 16 C I 32 16 D I 32 16 Lời giải Đặt: u x, dv cos 2x dx Suy ra: du dx, v 2x sin 2x 1 2 4 I x 2x sin 2x 2x sin 2x dx x cos 2x 2 0 0 0 I 32 16 Chọn đáp án A 2x 1 Ví dụ 12: Tính tích phân I x2 x 1 1 A I 32 B I 34 dx C I 1 D I 3 Lời giải Đặt u x x u x x 2udu 2x 1 dx Đổi cận: x 1 u 1; x u 3 I 2udu u 2du 2u 2 1 Chọn đáp án C Ví dụ 13: Tính tích phân I A I ln 2 x2 1 ln xdx x2 B I ln 2 C I ln Lời giải du dx u ln x x Đặt x2 1 dv dx v x x x Trang 10 D I ln 2 Tính I xe2x dx Đặt u x du dx; dv e2x dx v e 2x 1 x e2 e2x I2 e2x e2x dx 20 Vậy I I1 I e2 4 e2 12 Chọn đáp án B ln x Ví dụ 19: Tính tích phân I 1 xdx x 1 e A I e3 B I e C I e2 D I e2 3e 2e D I 3e 2e Lời giải ln x ln x I 1 xdx dx xdx x x 1 1 e e e e e e e e ln x ln x dx ln xd ln x * x 2 1 x2 e2 * xdx 2 => I e2 Chọn đáp án D 1 Ví dụ 20: Tính tích phân I ln xdx x x 1 e A I 3e 2e B I e4 2e C I Lời giải e e ln x ln x dx dx Ta có: I x x 1 e e e ln x 1 dx ln xd ln x ln x + I1 x 2 1 Trang 13 e ln x dx x2 + Tính I Đặt u ln x, dv e I2 1 1 dx du , v x x x e e ln x 1 dx 1 x 1x e x1 e Vậy I 3e 2e Chọn đáp án A Ví dụ 21: Tính tích phân I 11 A I ln xdx 3x x 1 B I ln C I ln D I ln Lời giải Đặt t 3x t 3x 2tdt 3dx dx x t 2; x tdt 11 t 3 xdx t2 1 2 dt dt t t x 1 3x t 1 2 t 1 2 Suy I dt t ln ln t t 1 t 1 3 2 Chọn đáp án C Ví dụ 22: Tính tích phân I x x cos x dx 3 A I 24 3 2 B I 24 3 C I 1 24 Lời giải 0 Ta có: I x 2dx x cos xdx Trang 14 3 2 D I 24 x3 Với I1 x 2dx 3 24 Với I x cos xdx u x du dx Đặt dv cos xdx v sin x I2 x sin x sin xdx Vậy I cos x 02 2 3 1 24 Chọn đáp án C Ví dụ 23: Tính tích phân I 2x sin x cos xdx A I C I B I Lời giải 0 I sin x.cos xdx 2x.cos xdx 1 I1 sinx.cosxdx sin x.d sin x sin x 2 0 I 2x cos xdx u 2x du 2dx Đặt dv cos xdx v sin x I2 2x sin x 2 sin xdx 2cos 02 I Chọn đáp án A Trang 15 2 D I Ví dụ 24: Tính tích phân I x sin x cos xdx A I B I C I D I Lời giải 0 I x cos xdx sin x cos xdx I1 I u x du dx Đặt dv cos xdx v sin x I1 x sin x sin xdx cos x 02 2 sin x I2 sin xd sin x 3 I Chọn đáp án A Ví dụ 25: Tính tích phân I x 1 e x 3 dx A I e B I e C I e Lời giải u x du dx x x dv e 3 dx v e 3x I x 1 e 3x e x 3x dx x 0 x 1 e 3x e x x e 0 x Chọn đáp án A Chú ý: v ex 3 dx ex 3x C , chọn C Trang 16 D I e Ví dụ 26: Tính tích phân I 2x x ln 1 x dx A I B I C I D I 11 Lời giải 1 0 Ta có: I 2x x ln 1 x dx 2x 2dx 2x ln 1 x dx I1 I 1 2 Tính: I1 2x dx x 3 Tính: I2 2x ln 1 x dx dx u ln 1 x du Đặt x 1 dv 2xdx v x x2 x2 Do đó: I2 x ln 1 x dx ln dx ln x dx x 1 x 1 x 1 0 0 1 1 1 1 ln x x ln 1 x 2 0 Vậy: I Chọn đáp án B ln x dx Ví dụ 27: Tính tích phân I x x 1 A I ln10 B I ln10 C I ln10 Lời giải 2x I x ln x dx dx x.ln xdx x 1 x 1 1 2 Tính: I1 2 d x 1 2x dx ln x ln ln 2 1 x 1 x 1 Tính I x ln xdx Trang 17 D I ln10 du dx u ln x x Đặt dv xdx v x 2 x2 x I2 ln x dx 2ln 2 1 Vậy I ln ln 3 ln10 4 Chọn đáp án A e Ví dụ 28: Tính tích phân I x 2x ln x dx A I 2e4 e2 B I 2e4 e2 C I 2e4 e3 D I 2e 4 D I 45 8ln 2 Lời giải e e e 1 I x 2x ln x dx 2 x 3dx x ln xdx e 2 x 3dx e x e4 1 2 e 2 e e2 e 1 2 Ta có: x ln xdx x ln x x dx e x 2 x 1 e e I x 2x ln x dx 1 e2 2e4 e2 e 1 4 Chọn đáp án B Ví dụ 29: Tính tích phân I x 3x 2ln x 1 dx A I 45 B I 8ln C I Lời giải 3 2 I 3x 2dx 2x ln x 1 dx x I1 19 I1 3 I1 2x ln x 1 dx Trang 18 45 8ln 2 3 u ln x 1 x2 Đặt , suy I1 x ln x 1 x 2d ln x 1 9ln dx x 1 dv 2xdx 2 x2 9ln x dx 9ln x ln x 8ln x 1 2 2 Vậy I 45 8ln 2 Chọn đáp án C Ví dụ 30: Tính tích phân I A I ln 3 x ln x dx x B I C I ln D I Lời giải 2 ln x dx x Ta tách tích phân I sau: I xdx 2 x2 * I1 xdx 2 ln x * I2 dx Đặt t ln x dt dx x x Đổi cận: x t ln 2; x t ln I2 t3 t dt ln Vậy I I1 I2 ln 3 ln Chọn đáp án C x 1.x ln x dx 1 x Ví dụ 31: Tính tích phân I A I C I 1 11 ln 5 1 11 ln 5 B I 1 11 ln 5 D I 1 11 ln 5 Lời giải Trang 19 ln x 1.x ln x I dx x2 5 x 1.xdx 1 ln x x 1.xdx dx x x 1.d x 1 x 1 5 1 1 ln x 1 x dx x ln x 1 x dx ln x ln Do đó: I 1 11 ln 5 Chọn đáp án D Ví dụ 32: Tính tích phân I x x sin x dx A I 3 B I 7 12 C I D I Lời giải 0 0 I x 2dx x sin xdx x 2dx xd cos x x3 3 x cos cos xdx sin x 3 3 0 Chọn đáp án A Ví dụ 33: Tính tích phân I 4x 3 ln xdx A I 16ln B I 14ln C I 14ln Lời giải u ln x du dx Đặt x dv 4x dx v 2x 3x 2x 3x dx 14ln x 3x x Khi đó: I 2x 3x ln x 14ln 22 3.2 12 3.1 14ln 10 14ln Chọn đáp án C Trang 20 D I 16ln ... C ln a cos xdx sin x C cosu du sinu C sin xdx cos x C sinu du cosu C cos x sin x dx tan x C cos dx cot x C sin u u du tanu C du cotu C Các... dx v tan x cos x Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có: ln sin x cos x dx tan x.ln sin x tan dx tan x.ln sin x x C cos x sin x Ví dụ 8: Tính cos xdx Lời... x dx cos x Ví dụ 15: Tính tích phân I A I B I C I Lời giải sin x sin x dx dx dx I1 I 2 cos x cos x cos x 0 I dx tan x cos x I1 Đặt t cos x