Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT 1 Kiến thức Theo yêu cầu của chuẩn kiến thức môn Toán lớp 12 THPT hiện hành, học sinh cần hiểu, nhớ các khái niệm và kết q[.]
Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT Kiến thức Theo u cầu chuẩn kiến thức mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần hiểu, nhớ khái niệm kết Các khái niệm: Định nghĩa nguyên hàm hàm số (trên khoảng K ) Định nghĩa tích phân Ký hiệu nguyên hàm, ký hiệu tích phân, cận trên, cận tích phân, Khái niệm diện tích hình thang cong Khái niệm thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình thang cong quanh trục Ox Các kết quả: f x dx F x C F x f x ' Chú ý: Khoảng K khoảng xác định f x Vì vậy, cách xác, phải có F' x f x , x K Do đó, x dx ln x C kết sai f x dx f x C ' Kết có nghĩa f x nguyên hàm f ' x (nếu f x f ' x có tập xác định) Các tính chất ngun hàm Cơng thức đổi biến số nguyên hàm Công thức nguyên hàm phần Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp Các tính chất tích phân Cơng thức đổi biến số tích phân Cơng thức tích phân phần Cơng thức tính diện tích hình thang cong Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Cơng thức tính thể tích khối xoay tạo thành quay hình thang cong quanh trục Ox Kỹ Theo yêu cầu Chuẩn kỹ mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần luyện tập để thành thục kỹ đây: Có khả tái khái niệm, két nêu mục đây, tình cụ thể; Biết kiểm tra hàm số F x có phải nguyên hàm hàm số f x hay không Biết kiểm tra tính đắn khẳng định f x dx F x C Biết tính đạo hàm hàm số đơn giản ( học chương trình Tốn 11) phục vụ yêu cầu kiểm tra xem hàm số F x có phải nguyên hàm hàm số f x hay không ( kiểm tra tính đắn khẳng định f x dx F x C ) Biết dùng tính chất nguyên hàm công thức nguyên hàm hàm số thường gặp để tính nguyên hàm hàm số đơn giản Biết tính tích phân hai cách: sử dụng định nghĩa tích phân đưa tốn tìm ngun hàm; sử dụng phương pháp tính tích phân: phương pháp khai triển, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần Biết số dạng hàm số tích phân phần: x f x , f x hàm số ekx b , cos kx b , sin kx b , ln kx b Biết biến đổi biểu thức lượng giác, biết giải phương trình lượng giác đơn giản ( học chương trình Tốn 10 Tốn 11) Biết tính diện tích hình thang cong tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Biết tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình thang cong quanh trục Ox Vơi tốn tính tích phân hàm số chưa dấu giá trị tuyệt đối , tốn tính diện tích hình phẳng, học sinh cần nắm vững kỹ phá dấu giá trị tuyệt đối, biết xét dấu biểu thức Đặc biệt, học sinh nên nắm tính chất: Nếu hàm số liên tục không triệt tiêu điểm khoảng có dấu khơng đổi khoảng học lớp 11 Một số ví dụ Ví dụ (Câu 23 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Tìm nguyên hàm hàm số f x x A f x dx x 1 C f x dx 2x 1 C 2x C B f x dx x 1 D f x dx 2x 1 C 2x C Hướng dẫn giải: Cách 1: Học sinh cần nắm vững kỹ kiểm tra tính đắn khẳng định f x dx F x C phải nhứ cách tính đạo hàm thức, tích hai hàm số Cách giải: Áp dụng công thức ' 2x 1 x 1 x 1 ' 2x 1 2 2x 1 ' u u' u uv u' v uv' ta có: 2x 1 x x 1 x x 1 ' ' ' 2x 1 ' 2 x x 1 2x 1 2x 1 Do với số thực k : ' k k 2x 1 2x 1 2x 1 k x 1 k x 1 2x 1 ' x 3k x ' x 3k k Vậy B đáp án Cách 2: Học sinh viết f x x 1 tính f x dx phương pháp đổi biến số Ví dụ (Câu 25 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Tính tích phân I cos3 x sin xdx B I D I Hướng dẫn giải: Hàm số lấy tích phân hàm lượng giác x Có hai cách tính tích phân loại này: biến đổi lượng giác tích thành tổng để đưa tích phân cos kx , sin kx đổi biến số để đưa tính tích phân hàm lũy thừa Cách giải 1: Áp dụng công thức biến tích thành tổng, ta có: cos x cos2 x , cos x sin x sin x 2 1 cos3 x sin x sin x 1 cos2 x sin x sin x cos2 x 4 1 sin x sin x A I 4 C I 1 1 Do đó, I sin x sin x dx sin xdx sin xdx 40 80 0 Áp dụng công thức sin kxdx cos os cos kx C cos2n , ta : 1 0 sin xdx cos x 1 1 Tương tự 0 sin xdx 0 Do I , C đáp án Cách giải 2: Đặt t cos x sin x cos x nên sin xdx dt ' Đổi cận: x t , x t 1 1 t4 Do đó, I t dt t dt 1 0 1 Ví dụ (Câu 26 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): e Tính tích phân: I x ln xdx 1 e2 e2 e2 B I C I D I 4 Hướng dẫn giải: Hàm số dươi dấu tích phân tích phân phương pháp tích phân phần A I Đặt u ln x , dv xdx du x2 Do áp dụng cơng thức tính tích phân dx , v x phần, ta có: e e x2 x2 e2 e2 x e2 e2 e2 I ln x dx xdx 2 x 21 2 2 4 1 e e D đáp án Ví dụ (Câu 27 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x đồ thị hàm số y x x D 13 37 81 A B C 12 12 Hướng dẫn giải: Học sinh cần nắm kỹ tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Trước tiên, cần tìm giao điểm hai đồ thị, học sinh cần biết cách viết phương trình xác định hồnh độ giao điểm hai đường, biết giải phương trình (bậc 3) Sau cần viết cơng thức tính diện tích tích phân (có chứa giá trị tuyệt đối) cuối phải tính tích phân đây, phương trình xác định hồnh độ giao điểm hai đồ thị x3 x x x x3 x 2x x x x 2 (1) Phương trình có nghiệm phân biệt, viết theo thứ tự tăng 2;0;1 Từ đó, diện tích cần tính S x x x dx Chú ý (1) khơng có nghiệm khoảng 2;0 , 0;1 2 , suy x x x không đổi dấu khoảng đó, x x x dx 2 2 2 x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx Tính tích phân dấu giá trị tuyệt đối, ta 2 0 x x3 x x x dx x 2 3 x x3 x x x dx x 12 0 37 Từ S Đáp án A 12 12 Ví dụ (Câu 28 Đề minh họa mơn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 1 e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox D V e2 A V 2e C V e2 B V 2e Hướng dẫn giải: Học sinh thường lúng túng muốn vẽ đồ thị hàm số y x 1 e x Thực ra, ta khơng cần vẽ hình H mà cần giải phương trình tìm hồnh độ giao điểm hai đường y x 1 e x y (trục hồnh), phương trình x 1 e x Phương trình có nghiệm x Do đó, cơng thức tính V V x 1 e x dx Tính tích phân này, ta tìm V Ở đây, phương trình xác định hồnh độ giao điểm hai đường y x 1 e x y x 1 e x Phương trình có nghiệm x Do đó, V x 1 e x dx x 1 4e2 x dx 0 Đặt u x 1 , dv 4e dx du x 1 dx , v 2e2 x 2x Do 1 1 2x 2x 2x 2x x 1 4e dx x 1 2e 2.e x 1 dx 2 4e x 1 dx (1) 2 0 0 Lại đặt u x , dv 4e dx du dx , v 2e 2x Do 4e x 1 dx x 1 2e 2x 2x 1 2e2 x dx e2 x e2 e2 (2) 0 Từ (1) (2) suy 2x x 1 4e2 x dx 2 e2 e2 Suy V e2 Đáp án D II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM 1 Tìm nguyên hàm hàm số f x A f x dx C f x dx 2x 2x C 2x C Tìm hàm số F x , biết F ' x x 1 1 C 2x 1 x 1 C F x C x 1 2x 1 A f x sin x cos x f x dx 2x C D f x dx 2x C x 1 1 C x 1 2x 1 C D F x x 1 2x 1 A F x Tìm hàm số f x , biết f ' x B B F x cos x sin x C 1 C sin x sin x C B f x sin x C D f x cos x C f x Tìm hàm số F x thỏa mãn điều kiện F ' x x C x2 B F x x2 ln x x2 ln x C D F x x2 ln x C A F x C F x Tìm nguyên hàm f x 2017x 2017 x C ln 2017 2017 x 1 C C f x dx x 1 Tìm nguyên hàm f x x e f x dx A A x xe f x dx C ln x B f x dx 2017 D f x dx 2017 x x C ln 2017 C x e1 B f x dx C e 1 C f x dx e.x e 1 D f x dx x e C C Hàm số sau không nguyên hàm hàm số f x A F x x2 x 1 x 1 B F x x2 2x x 1 ? x2 x x 1 x 3x x 1 Tìm nguyên hàm F x hàm số f x biết F sin x 2 C F x x2 x 1 D F x A F x x B F x sin x C F x cot x D F x cot x 1 Tìm hàm số F x biết F x 3x x đồ thị y F x cắt trục tung điểm có tung ' độ e A F x x x e B F x cos2 x e C F x x x x D F x x x x e 10 Biết f u du F u C Tìm khằng định f x 3 dx F x C B f x 3 dx F x 3 C A C f x 3 dx F x 3 C D f x 3 dx 2F x 3 C 11 Cho hàm số f x thỏa mãn điều kiện f ' x cos2 x f 2 2 Tìm khẳng định sai? B f x x sin x A f x x sin x D f C f 1 2x 12 Tìm nguyên hàm F x f x x biết F e A F x x ln e x ln 1 C F x x ln e x ln 1 x x 2 1 ln e e ln TÍCH PHÂN B F x 13 Cho a b c , b b a c 2 D F x e c f x dx , f x dx Tính f x dx a c A c f x dx 2 B a f x dx a c C c f x dx D f x dx a a 14 Biết f x hàm liên tục f x dx , tính f 3x dx 0 A f 3x dx B C f 3x dx 0 x f x dx D f 3x dx 15 Biết hàm số f x có đạo hàm f ' x liên tục f , f x dx 3 Tính ' f A f B f 16 Xét tích phân I xdx 1 x 1 C f 4 D f 2 đặt t x Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? 2t 2t dt t 1 A dx 2tdt B I C I 2t 2t dt t D I 17 Đặt I A dx dx x x 9 3sin t dt cos2 t x ln 3 Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? cos t B dx x x2 sin tdt 3cos t tan t C I sin tdt cos t tan t D I 36 dx x tan t Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? x2 18 Đặt I A x 1 tan t B dx 1 tan t dt C I dt D I 19 Xét tích phân I xdx x 1 1 3 Nếu đặt t x khẳng định khẳng định sau đúng? 3 A I t t dt B I t 3t dt 4 D I t t dt C I t 3t dt 20 Khẳng định ? 2 A sin xdx cos xdx 2 0 2 2 0 0 A tan x x tan2 x ' 4 x tan xdx x tan x x 04 tan x x dx 0 x tan xdx D x tan xdx 2 ln 32 22 Tìm khẳng định sai ? ' d cos x xdx 0 cos x 0 sin x A cos x cos x D sin xdx cos2 xdx 21 Khẳng định sai ? C B sin xdx cos2 xdx C sin xdx cos2 xdx B B 3 x sin x x 0 cos2 x dx cos x 0 dx cos x 1 sin x dx ln C cos x sin x 0 D x sin x 2 dx ln x cos 23 Khẳng định sai ? A Với t 3cos x cos x 2tdt t2 sin xdx 3 B Nếu đặt t 3cos x cos x sin x 3cos x dt t t dx C dt ln t ln t 1 t 1 t D cos x sin x cos x ln3 24 Tính I A I 6e dx ln 3e2 x 1 dx ex B I 4e ln 25 Tính I ln 2 C I ln 2 A I C I ln 2 D I ln 2 x 1 x e 1 e D I 5e B I e e3 x dx ex A I 26 Tính I C I 6e dx 1 B I e 1 e D I e 1 e e e 2 e 1 e e e a 27 Giải phương trình ẩn a sau cos xdx 0 A a C a k 2 , k 28 Biết a e 2 dx ex 1 k 2 , k D a k , k B a e2 e Khẳng định ? A a B a D a C a 1 29 Biết a ecos x cos x cos xdx e Tìm khẳng định sai ? 3 A sin a sin , 3 B cos a cos , 3 C tan a tan , 3 D cot a cot , a 2a sin x 0 sin x dx , a số cho 30 Tính a 2a sin x A dx 2a a sin x a 2a sin x a B dx 1 sin x a 2a sin x a 0 sin x dx ln 2 C a 2a sin x 0 sin x dx ln a D 31 Tìm khẳng định sai ? 10 sin xdx cos2 x sin x A B sin xdx C 1 2 cos x 4sin x e 32 Biết 10 sin xdx cos2 x sin x D 3sin xdx cos2 x sin x dx 10 a 3ln x ln x a phân số tối giản dx , a, b hai số nguyên dương b x b Khẳng định sai ? A 1 cos x sin xdx n 2n B 1 cos x n sin xdx n 1 C 1 cos x n sin xdx n 1 D 1 cos x sin xdx n 2n 34 Trong giá trị n cho sau đây, tìm n để cos n x sin xdx A n B n C n D n 3x 1 dx 35 Biết 15 64 x a a phân số tối giản Hãy 3ln , a, b nguyên dương b 6x b tính ab A ab 5 36 Cho B ab 12 1 tan x cos x dx D ab C ab a a ,trong a, b nguyên dương phân số tối giản Khẳng định b b ? A a b B ab 37 Khẳng định sai ? C a 10b A sin x sin xdx 0 1 B cos x sin xdx 2 3 C tan x sin xdx 1 4 D cos x sin xdx 1 D a2 b2 38 Tính sin x cos xdx 0 A sin x cos xdx 0 B sin x cos xdx 0 C sin x cos xdx 0 39 Tìm khẳng định sai ? D sin x cos xdx 0 1 x x A sin e dx cos , 0 1 x x B cos e dx sin , 0 1 C sin xe x dx sin , 0 1 D cos xe x dx cos , 0 40 Biết B a b 7 a x 3x dx ln b , a phân số tối giản b a, b nguyên dương Khẳng định sai ? A a b 11 41 Biết F ' x C a b 22 D a b 7 a sin x cos2 x b , F , F , F 2 sin x cos x 6 3 4 Tìm hàm số F x / A F x x B F x x 3 tan x cot x 12 tan x cot x C F x x 2 D F x x tan x cot x 42 Tính sin x cos x 1 sin x cos x dx A sin x cos x 1 sin x cos x dx 2 B C dx 1 sin x cos x 1 sin x cos x dx D 43 Tính sin x cos x 1 sin x cos x dx ln x dx x3 ln x ln 1 x dx 16 A sin x cos x 1 sin x cos x ln x ln C dx x 16 B 2 D ln x ln dx x 16 ln x ln dx x 16 44 Tính sin x cos xdx cos x sin x cos xdx 1 ln A cos x B sin x cos xdx 1 ln cos x C sin x cos xdx 0 cos x 1 ln 2 sin x cos xdx ln cos x D 45 Tính dx cos x A dx 0 cos x ln dx C ln cos x 46 Tính cos x ln D dx dx 2x dx 2x C dx A cos x ln B ln B dx 2x ln D dx 2x dx 2x ln ln 47 Tính sin x cos x dx A sin x cos x dx 2 B sin x cos x dx C sin x cos x dx D sin x cos x dx 48 Tính x 2 e 2x dx A 2x x e dx C 2x x e dx 3e2 B 3e2 D sin x 4 dx 49 Tính sin x 1 sin x cos x 2x x e dx 2x x e dx 5 3e2 3e2 sin x 43 4 A dx sin x 1 sin x cos x sin x 4 4 B dx sin x 1 sin x cos x sin x 43 4 C dx sin x 1 sin x cos x sin x 4 4 D dx sin x 1 sin x cos x e x 50 Tính ln xdx 5e3 A x ln xdx 32 5e2 B x ln xdx 32 e e C e x ln xdx 5e4 32 e D x ln xdx 5e 32 tan x 0 cos x dx 51 Tính A tan x 0 cos x dx ln tan x 10 dx ln C cos x 4x 1 52 Tính A C tan x 10 0 cos x dx 27 ln B 2x 4x 1 2x 4x 1 2x tan x 10 dx ln D cos x dx dx 10 ln dx 22 ln B D 4x 1 dx 22 ln dx 22 ln 3 2x 4x 1 2x 53 Tính sin x sin x cos x dx A sin x sin x dx cos x B C sin x sin x cos x dx 27 23 dx 35 29 sin x sin x 34 dx 27 cos x 54 Tính ln x x 1 2 D sin x sin x cos x dx 3 ln 27 ln16 A dx x 1 3 C ln x ln x x 1 dx ln 27 ln16 B ln x x 1 dx ln 27 ln16 dx ln 27 ln16 D ln x x 1 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 55 Kí hiệu S diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số liên tục y f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x a , x b hình vẽ bên Khẳng định sai ? (hình vẽ trang 67) b A S f x dx a b B S f x dx a b C S f x dx b D S a f x dx a 56 Kí hiệu S diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số f x liên tục, trục hoành hai đường thẳng x a , x b hình vẽ bên Khẳng định ? (hình vẽ trang 67) b A S f x dx a b B S f x dx a b C S f x dx b D S a f x dx a 57 Kí hiệu S diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y x , trục hoành hai đường thẳng x 1 , x hình vẽ bên Tìm khẳng định đúng? (hình vẽ trang 67) A S x dx 1 C S x dx 1 1 B S x dx x 3dx D Khơng có khẳng định 58 Kí hiệu S t diện tích hình thang vng giới hạn đường thẳng y x , trục hoành hai đường thẳng x , x t 1 t Khẳng định sai ? A S t t t 1 B S t nguyên hàm f t 2t , t 1;5 C Hình thang vng giới hạn đường thẳng y x , trục hoành hai đường thẳng x , x có diện tích S x 1 dx D Hình thang vng giới hạn đường thẳng y x , trục hoành hai đường thẳng x , x có diện tích 30 59 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị y cos x , y sin x hai đường thẳng x , x A S 1 B S C S 2 D S 2 60 Gọi S số đo diện tích hình phẳng giới hạn parabol y x 3x parabol y x x Tính cos S A cos S B cos S C cos S D cos S 61 Gọi S số đo diện tích hình phẳng giới hạn đường y x sin x , trục hoành hai đường thẳng x , x Khẳng định sai ? B cos2S D sin S S S 1 C tan 62 Kí hiệu S1 , S2 diện tích hình vng cạnh diện tích hình phẳng giới hạn A sin đường y x , y , x 1 , x Chọn khẳng định A S1 S2 B S1 S2 C S1 S2 D S2 6 S1 63 Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đường y ln x , y , x , x e e 1 viết dạng S a Tìm khằng định sai e A a2 3a B a2 a C a2 3a D 2a2 3a 64 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường parabol y x 3x hai đường thẳng y x , x D S 111 799 B S C S 42 300 65 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đường y x , x y A S A S B S C S 4,5 D S 66 Hình phẳng H có diện tích S gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn đường y x , x y , y Tính S A S 20 B S 30 C S 40 D S 50 67 Kí hiệu S1 , S2 , S3 diện tích hình vng đơn vị (có cạnh đơn vị), hình trịn đơn vị (có bán kính đơn vị), hình phẳng giới hạn hai đường y x , y 1 x Tính tỉ số S1 S3 S2 A S1 S3 S2 B S1 S3 S2 C S1 S3 S2 D S1 S3 S2 68 Kí hiệu V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục Ox hai đường thẳng x a , x b (như hình vẽ bên) xung quanh trục Ox Khẳng định ? ( hình vẽ trang 69) b b A V f x dx B V f x dx a a b C V f x dx a b D V f x dx a 69 Gọi V thể tích hình cầu bán kính R Khẳng định sai ? A Hình cầu bán kính R khối trịn xoay thu quay nửa hình giới hạn đường y R2 x2 R x R đường thẳng y xung quang trục Ox R B V R R2 x2 dx R x3 C V R x R D Khơng có khẳng định 70 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x , y , x , x xung quanh trục Ox A V B V 9 C V 18,6 D V 93 71 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y tan x , y , x , x A V B V xung quanh trục Ox 2 C V D V ln 72 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x , y xung quanh trục Ox A V 2 B V 71 82 C V 512 15 D V 73 Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình cầu bán kính đơn vị thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường thẳng y 2 x đường cong y x xung quanh trục Ox Hãy so sánh V1 , V2 A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 74 Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình cầu bán kính đơn vị thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng H giới hạn đường cong y xung quanh trục Ox Hãy tính tỉ số A V1 V2 B V1 V2 đường y , x , x 2x V1 V2 C V1 V2 D V1 2 V2 III GỢI Ý – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN Gợi ý – Hướng dẫn giải Câu Để kiểm tra đẳng thức u ' Dùng công thức f x dx F x C cần kiểm tra đẳng thức F x f x ' u' u ' ' u Câu Dùng công thức u u Câu Cần nhớ sin n 0, n Câu 10 Đặt u x u' 1 I f x 3 dx f u dx f u u' dx f u x u' x dx 2 Áp dụng công thức đổi biến số, ta I 1 F u x C F x 3 C 2 x 2 Câu 12 f x e x e Câu 14 Đặt t 3x Câu 15 Vì f x nguyên hàm f ' x nên f x dx f f ' Câu 20 Đổi biến số t x Câu 28 Đặt t e x , ta tính e Từ đó, a e e2 e e2 e e2 e ln e2 e 1 Vậy đáp A dx ln e2 e 1 x ... x cos xdx cos x sin x cos xdx 1 ln A cos x B sin x cos xdx 1 ln cos x C sin x cos xdx 0 cos x 1 ln 2 sin x cos xdx ln cos x D 45 Tính dx cos... x tan x cot x 42 Tính sin x cos x 1 sin x cos x dx A sin x cos x 1 sin x cos x dx 2 B C dx 1 sin x cos x 1 sin x cos x dx ... 2 A sin xdx cos xdx 2 0 2 2 0 0 A tan x x tan2 x '' 4 x tan xdx x tan x x 04 tan x x dx 0 x tan xdx D x tan xdx 2 ln