Câu 1 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng (A) Từ ta suy ra (B) Từ ta suy ra ADVERTISING (C) Vì nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (D) Nếu thì B là trung điểm của đoạn thẳng AC[.]
Câu 1: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề (A) Từ (B) Từ ta suy ta suy ADVERTISING (C) Vì (D) Nếu nên bốn điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng B trung điểm đoạn thẳng AC Lời giải: Câu 2: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau (A) Vì nên N trung điểm đoạn MP (B) Vì I trung điểm đoạn AB nên từ điểm O ta có: (C) Từ hệ thức (D) Vì phẳng ta suy ba vec tơ đồng phẳng nên bốn điểm A, B, C, D thuộc mặt Lời giải: Chọn D Với điểm A, B, C, D không gian ta ln có: nên khơng thể suy A, B, C, D đồng phẳng Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Ta có bằng: Lời giải: Câu 4: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? (A) Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c (B) Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c a vng góc với c (C) Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c (D) Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (a,b) Lời giải: Chọn B Vì đường thẳng a vng góc với đường thẳng b nên (a, b) = 90° Mà b // c nên (a; c) = (a; b) = 90° Do đó, đường thẳng a vng góc với đường thẳng c Câu 5: Trong mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề (A) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với (B) Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (C) Hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với cắt theo giao tuyến d Với điểm A thuộc (α) điểm B thuộc (β) ta có đường thẳng AB vng góc với d (D) Nếu hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với mặt phẳng (γ) giao tuyến d (α) (β) có vng góc với (γ) Lời giải: Chọn D (A) Sai, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba cắt Khi giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba (B) Hai mặt phẳng vng góc với có đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng Vậy (B) sai (C) sai (D) Đúng (Định lí trang 109 SGK) Câu 6: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: (A) Hai đường thẳng a b khơng gian có vector phương vector u vector v Điều kiện cần đủ để a b chéo a b khơng có điểm chung hai vector u vector v không phương (B) Cho a, b hai đường thẳng chéo vng góc với Đường vng góc chung a b nằm mặt phẳng chứa đường vng góc với đường (C) Khơng thể có hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên (SAB) (SCD) vng góc với mặt phẳng đáy (D) Cho vector u vector v hai vector phương hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (α) vector n vector phương đường thăng Δ Điều kiện cần đủ để Δ ⊥ (α) vector n nhân vector u vector n nhân vector v Lời giải: Chọn C +) Mệnh đề (A) Vì hai vecto phương u→ ; v→không phương với nên suy hai đường thẳng a b không song song, không trùng (1) Vì a b khơng có điểm chung nên hai đường thẳng không cắt (2) Từ (1) (2) suy ra, hai đường thẳng a b vị trí chéo +) Mệnh đề (B) Giả sử đường vng góc chung a b c a ⊥ b +) Mệnh đề (C) sai Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi AB cắt CD H Cho SH vng góc với mặt phẳng đáy Câu 7: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? (A) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng (B) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng (C) Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng (D) Ba đường thẳng cắt đôi không nằm mặt phẳng đồng quy Lời giải: Chọn D (A) Sai xảy trường hợp ba đường thẳng đồng quy khơng đồng phẳng (B) Sai đường thẳng thứ ba qua giao điểm hai đường thẳng cho xảy trường hợp ba đường thẳng không nằm mặt phẳng (C) Sai xảy trường hợp đồng quy không đồng phẳng (D) Đúng Câu 8: Trong mệnh đề sau , mệnh đề đúng? (A) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song (B) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng cắt (C) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song (D) Hai đường thẳng khơng cắt khơng song song chéo Lời giải: Chọn A (A) Đúng (B) Sai – Vì hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng cắt (C) Sai - Chúng cắt chéo (D) Sai - Chúng trùng Câu 9: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? (A) Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng chéo (B) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng cắt (C) Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng vng góc với (D) Một mặt phẳng (α) đường thẳng a khơng thuộc (α) vng góc với đường thẳng b (α) song song với a Lời giải: Chọn D (A) sai chúng nằm tronng mặt phẳng song song với mặt phẳng cho cắt Hoặc chúng chéo (B) sai chúng song song với (C) sai chúng nằm mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song cắt (D) Câu 10: Tìm mệnh đề mệnh đề sau (A) Đoạn vuông góc chung hai đường thẳng kéo đoạn ngắn đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai đường thẳng ngược lại (B) Qua điểm cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước (C) Qua điểm cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước (D) Cho ba đường thẳng a, b, c chéo đơi Khi ba đường thẳng nằm ba mặt phẳng song song với đôi Lời giải: Chọn A (A) Đúng (B) Sai Vì qua điểm cho trước ta dựng vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước (C) Sai Qua điểm cho trước kẻ vơ số đường thẳng vng góc với đường thẳng a cho trước Các đường thẳng nằm mặt phẳng qua điểm cho vng góc với đường thẳng a (D) Sai Câu 11: Khoảng cách hai cạnh đối tứ diện cạnh a kết kết sau đây? Lời giải: Xét tứ diện ABCD tứ diện cạnh a ADVERTISING Gọi I K trung điểm BC AD Ta có: IA = ID (hai trung tuyến hai tam giác nhau) Nên tam giác IAD cân I Do IK ⊥ AD Tương tự ta có: IK ⊥ BC Ta có: AI=a√ 2AI=a32 (đường trung tuyến tam giác đều) AK=AD2=a2AK=AD2=a2 Vậy IK đường vng góc chung hai cạnh đối diện AD BC tứ diện Tam giác AIK vuông K nên: Vậy d(AD, BC) = IK = a√2a2 Chọn đáp án B Câu 12: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề ? a) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng chúng song song ; b) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng chúng song song ; c) Mặt phẳng (α) vng góc với đường thẳng b b vng góc với thẳng a, a song song với (α) d) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng chúng song song e) Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng chúng song song Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Sai (vì a nằm mp(α), xem hình vẽ) d) Sai, chẳng hạn hai mặt phẳng (α) (β) qua đường thẳng a a ⊥ mp(P) nên (α) (β) vng góc với mp(P) (α) (β) cắt e) Sai, chẳng hạn a b mp(P) mp(P) ⊥ d Lúc a b vng góc với d a b khơng song song Câu 13: Trong điều khẳng định sau đây, điều đúng? a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo đoạn ngắn đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai đường thẳng ngược lại b) Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước c) Qua đường thẳng có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng khác cho trước d) Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng chéo cho trước đường vng góc chung hai đường thẳng Lời giải: Câu a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo đoạn ngắn đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai đường thẳng ngược lại (xem mục c) Tính chất khoảng cách hai đường thẳng chéo (Bài – chương III) Câu b) sai Qua điểm có vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Câu c) sai Vì trường hợp đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta có vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Để có khẳng định ta phải nói: Qua đường thẳng khơng vng góc với mặt phẳng có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho Câu d) sai Vì đường vng góc chung hai đường thẳng phải cắt hai đường Câu 14: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Mặt phẳng (α) qua A vuông góc với cạnh SC cắt SB, AC, SD B', C', D' Chứng minh B'D' song song với BD AB' vng góc với SB Lời giải: Ta có: => ∆SBC vng B Tương tự: => ∆SCD vng D b) Ta có BC ⊥ (SAB) (chứng minh trên) AB' ⊥ BC Chứng minh tương tự ta có AD ⊥ (SCD) => AD' ⊥ SD Dễ thấy ∆SAD = ∆SAB (cạnh – góc – cạnh) => AB' = AD' (hai đường cao xuất phát từ đỉnh) => ∆SAD' = ∆SAB' => SD' = SB' (cạnh tương ứng) Mà SD = SB (do ∆SAD = ∆SAB nên SD'SD=SB'SBSD'SD=SB'SB => B'D' // BD Cách khác: Ta chứng minh B’D’//BD sau: Câu 15: Hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a có BAD ^ = 60 o Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SO= 3a Gọi E trung điểm đoạn BC, F trung điểm đoạn BE a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vng góc với mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến mặt phẳng (SBC) Lời giải: a) Theo giả thiết BAD ^ = 60 o nên theo tính chất hình thoi BCD ^ = 60 o hay tam giác BDC Suy BD = a Xét tam giác BOE có BO = BE = a OBE ^ = 60 nên tam giác BOE Do OF đường cao ta OF ⊥ BC b) Kẻ OH ⊥ SF Suy d(O, (SBC)) = OH Ta có: Tam giác OBF vuông F nên Gọi K hình chiếu A (SBC), ta có AK // OH Trong ∆AKC OH đường trung bình, đó: Câu 16: Tứ diện ABCD có hai mặt ABC ADC nằm hai mặt phẳng vng góc với Tam giác ABC vng A có AB = a, AC = b Tam giác ADC vuông D có CD = a a) Chứng minh tam giác BAD BDC tam giác vuông b) Gọi I K trung điểm AD BC Chứng minh IK đường vng góc chung hai đường thẳng AD BC Lời giải: b) Gọi J trung điểm AC suy KJ // BA (đường trung bình ∆ABC) Mà BA ⊥ (ADC) => KJ ⊥ (ADC) => KJ ⊥ AD (1) Ta có IJ // DC (đường trung bình ∆ADC) Mà DC ⊥ AD => IJ ⊥ AD (2) Từ (1) (2) suy ra: AD ⊥ (KIJ) => AD ⊥ IK (3) Ta lại có: ∆BAI = ∆CDI (cạnh – góc - cạnh) Suy IB = IC => ∆BIC cân đỉnh I => IK ⊥ BC (4) Từ (3) (4) suy IK đoạn vng góc chung AD BC Câu 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Chứng minh BC’ vng góc với mặt phẳng (A’B’CD) b) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AB’ BC’ Lời giải: a) Ta có tứ giác BCC’B’ hình vng nên BC' ⊥ B'C (1) Mặt khác A'B' ⊥ (BCC'B') => A'B' ⊥ BC' (2) Từ (1) (2) suy ra: BC' ⊥ (A'B'CD) b) Do AD’ // BC’ nên mặt phẳng (AB’D’) mặt phẳng chứa AB’ song song với BC’ Ta tìm hình chiếu BC’ mặt phẳng (AB’D’) Gọi E, F tâm mặt bên ADD’A’ BCC’B’ Từ F kẻ FI ⊥ B'E Ta có BC’//AD’ mà BC' ⊥ (A'B'CD) => AD' ⊥ (A'B'CD) IF ⊂ (A'B'CD) AD' ⊥ IF (3) EB' ⊥ IF (4) Từ (3) (4) suy ra: IF ⊥ (AB'D') Vậy IF hình chiếu F mặt phẳng (AB’D’) Qua I ta dựng đường thẳng song song với BC’ đường thẳng hình chiếu BC’ mặt phẳng (AB’D’) Đường thẳng qua I song song với BC’ cắt AB’ K Qua K kẻ đường thẳng song song với IF, đường cắt BC’ H KH đường vng góc chung AB’ BC’ Thật vậy: Tam giác EFB’ vng góc F, FI đường cao thuộc cạnh huyền nên Câu 18: Trong không gian tập hợp điểm M cách hai điểm cố định A B A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB C Mặt phẳng vng góc với AB A D Đường thẳng qua A vng góc với AB Lời giải: Đáp án: A Giải thích: Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực Câu 19: Cho a, b, c đường thẳng khơng gian Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Nếu a ⊥ b b ⊥ c a // c B Nếu a vng góc với mặt phẳng (α) b // (α) a ⊥ b C Nếu a // b b ⊥ c c ⊥ a D Nếu a ⊥ b , b ⊥ c a cắt c b vng góc với mặt phẳng (a; c) Lời giải: Đáp án: A Giải thích: Nếu a c trùng nên đáp án A sai Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cạnh huyền BC = a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) trùng với trung điểm BC Biết SB = a Tính số đo góc SA (ABC) A 30° B 45° C 60° D 75° Lời giải: Đáp án: C Giải thích: Gọi H trung điểm BC suy AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2 Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Tính số đo góc SA (ABC) A 60° B.90° C 45° D 30° Lời giải: Đáp án: C Giải thích: Do H hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC) Vậy AH hình chiếu SH lên mp(ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) = ∠ SAH Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH Vậy tam giác SAH vuông cân H ⇒ SAH = 45° Chọn C Câu 22: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ (ABC) tam giác ABC không vuông Gọi H, K trực tâm tam giác ABC tam giác SBC Số đo góc tạo SC (BHK) là: A 45° B 120° C 90° D 65° Lời giải: Đáp án: C Giải thích: