BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ VĂN THẮNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE AMPERE LOẠI ELLIPTIC Chuyên ngành Toán Giải tích (Phương trình vi phân & tích phân) Mã số 60 46[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ VĂN THẮNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE LOẠI ELLIPTIC Chun ngành: Tốn Giải tích (Phương trình vi phân & tích phân) Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến q thầy khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội trang bị cho tơi kiến thức cần thiết q trình học tập nhà trường Đặc biệt xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn, chân thành sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thầy cho giảng bổ ích, hướng dẫn tơi vấn đề khoa học tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình thực đề tài luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội, trường THPT Phiêng Khoài tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ suốt q trình học tập để tơi hồn thành khóa học Cuối tơi xin nói lên lời biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè người thân, người ln động viên tơi q trình học tập, sẵn sàng chia sẻ với hạnh phúc khó khăn sống Hà Nội, ngày 15 tháng 10 năm 2011 Học viên Vũ Văn Thắng Mục lục LỜI NÓI ĐẦU R-độ cong hàm lồi số tính chất 1.1 1.2 1.3 Một số khái niệm Giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.1.3 Mặt phẳng giá 1.1.4 Siêu diện lồi R-độ cong hàm lồi số tính chất 1.2.1 Ánh xạ tiếp xúc 1.2.2 Bổ đề hội tụ mặt phẳng giá 1.2.3 Các tính chất ánh xạ tiếp xúc siêu diện lồi 1.2.4 R-độ cong hàm lồi 10 1.2.5 Sự hội tụ yếu R-độ cong 11 Một số tính chất hàm lồi liên quan đến R-độ cong chúng 17 1.3.1 17 Các định lí so sánh tính 1.3.2 Các bổ đề hình học số đánh giá 19 1.3.3 Hàm biên hàm lồi 23 1.3.4 Giá parabolic siêu mặt đồ thị lồi 25 Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic 2.1 27 Sự cản trở điều kiện cần tính giải toán Dirichlet 2.2 Nghiệm suy rộng nghiệm yếu phương trình Monge-Ampere loại elliptic 2.3 30 Bài toán Dirichlet tập hàm lồi Q(A1 , A2 , , Ak ) 2.4 27 33 Sự tồn tính nghiệm yếu toán Dirichlet phương trình Monge-Ampere det(zij ) = ϕ(x) R(Dz) 36 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình Monge-Ampere lĩnh vực Tốn học, có nhiều ứng dụng thực tiễn như: Hình học, Vật lý, Thiên văn học, Lý thuyết điều khiển tối ưu, nhiều nhà khoa học nghiên cứu quan tâm Phương trình Monge-Ampere loại elliptic phần nội dung phương trình Monge-Ampere Nhiều toán đưa đến việc xác định nghiệm suy rộng tốn Dirichlet phương trình loại Loại nghiệm suy rộng cho phép tìm nghiệm toán Dirichlet khái niệm độ cong mở rộng tìm mặt cong có độ cong Gauss cho trước Nội dung luận văn “Nghiệm suy rộng phương trình MongeAmpere loại elliptic” hồn thành chủ yếu dựa tài liệu “Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equations” tác giả I J Bakelman [1] Ngoài phần Mở đầu Kết luận, nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Trình bày kiến thức sở số khái niệm Giải tích lồi, khái niệm R-độ cong hàm lồi số tính chất chúng Chương 2: Là phần nội dung luận văn, trình bày nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic Bao gồm: cản trở điều kiện cần tính giải tốn Dirichlet, nghiệm suy rộng nghiệm yếu phương trình Monge3 Ampere loại elliptic, toán Dirichlet lớp hàm lồi, tồn tính nghiệm yếu tốn Dirichlet phương trình Monge-Ampere det(zij ) = ϕ(x) R(Dz) Mặc dù thân cố gắng hạn chế thời gian, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất Trong chương mở rộng toán tử Monge–Ampere R(grad z) det(zij ) n-chiều lớp hàm lồi tổng quát Sự mở rộng cho hàm tập hồn tồn cộng tính khơng âm ω(R, z, e), R(p) hàm khả tích địa phương Rn e tập Borel miền lồi, mở, bị chặn hàm lồi z(x) Hàm ω(R, z, e) gọi R-độ cong hàm lồi z(x) 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Giải tích lồi Tập lồi K gọi tập lồi đoạn thẳng xy hoàn toàn chứa K hai điểm x, y ∈ K hay xt = tx + (1 − t)y ∈ K, ∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1] Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất 1.1.2 Hàm lồi Hàm f : K → R (K tập lồi Rn ) gọi hàm lồi f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)y, ∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1] 1.1.3 Mặt phẳng giá Giả sử E n không gian điểm Euclide n-chiều S tập E n Mặt phẳng α gọi mặt phẳng giá tập S α ∩ S 6= ∅ tồn tập S nằm phía mặt phẳng α 1.1.4 Siêu diện lồi Tập F gọi siêu diện lồi n-chiều E n+1 tồn khối lồi (n + 1)-chiều H E n+1 cho F tập liên thông ∂H 1.2 1.2.1 R-độ cong hàm lồi số tính chất Ánh xạ tiếp xúc Ký hiệu x1 , x2 , , xn , xn+1 tọa độ Descartes không gian Euclide (n + 1)-chiều E n+1 E n siêu phẳng xn+1 = Đặt xn+1 = z gọi x = (x1 , x2 , , xn ) (x, z) = (x1 , x2 , , xn , z) điểm không gian E n E n+1 Giả sử G miền lồi, mở, bị chặn E n Gọi Sz đồ thị hàm z(x) : G → R, tức Sz = {(x, z) : z = z(x), x ∈ G} Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất Gọi W + (G) W − (G) lớp hàm lồi lõm xác định G Nếu z(x) ∈ W + (G) z(x) ∈ W − (G) Sz gọi siêu diện lồi siêu diện lõm Gọi Rn = {p = (p1 , p2 , , pn )} khơng gian n-chiều với tích vơ hướng (p, q) = n X pi qi i=1 |p| = (p, p)1/2 độ dài véctơ p ∈ Rn Khi Rn gọi khơng gian Gradient Giả sử z(x) hàm lồi xác định G α mặt phẳng giá tùy ý Sz Nếu: z − z0 = (p0 , x − x0 ) = p01 (x1 − x01 ) + + p0n (xn − x0n ) (1.1) phương trình α điểm (x0 , z0 ) ∈ Sz ∩α Điểm p0 = (p01 , p02 , , p0n ) ∈ Rn gọi ảnh mặt phẳng giá α biểu thị p0 = χz (α) (1.2) Tập hợp χz (x0 ) = [ χz (α) (1.3) α gọi ảnh tiếp xúc điểm x0 , x0 điểm G α mặt phẳng giá Sz điểm (x0 , z(x0 )) ∈ Sz Rõ ràng tập χz (x0 ) tập đóng Rn Nếu χz (x0 ) bao gồm điểm siêu diện lồi Sz có mặt phẳng tiếp tuyến điểm (x0 , z(x0 )) Điểm (x0 , z(x0 )) gọi điểm trơn Nếu z(x) hàm lồi Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất tuyến tính mẩu χz (x0 ) khối đa diện lồi đóng khơng gian Gradient Rn , số chiều 0, 1, 2, , n Lấy e tập G Tập hợp χz (e) = [ χz (x0 ) (1.4) x0 ∈e tập không gian Gradient Rn gọi ảnh tiếp xúc e Khi ánh xạ χz : G → Rn gọi ánh xạ tiếp xúc Người ta chứng minh hàm tập χz (e) đo Lebesgue Rn e tập Borel G Do ta xét hàm tập Z ω(R, z, e) = R(p)dp (1.5) χz (e) vành tập Borel G, R(p) hàm khả tích địa phương Rn Hàm (1.5) gọi R-độ cong hàm lồi z(x) 1.2.2 Bổ đề hội tụ mặt phẳng giá Bổ đề 1.1 Lấy dãy siêu diện lồi Szk hội tụ tới siêu diện lồi Sz , zk (x) z(x) hàm lồi xác định G Lấy điểm (x0 , zk (x0 )) ∈ Sz Khi giới hạn dãy hội tụ mặt phẳng giá αk Szk điểm (xk , zk (xk )) ∈ Sz mặt phẳng giá của Sz điểm (x0 , zk (x0 )) Chứng minh Mọi siêu diện lồi Szk nằm bên mặt phẳng giá αk với k = 1, 2, Khi Sz nằm bên siêu phẳng α = lim αk Vì α k→∞ qua điểm (x0 , zk (x0 )) ∈ Sz nên α mặt phẳng giá Sz điểm (x0 , zk (x0 )) ... trình Monge- Ampere loại elliptic phần nội dung phương trình Monge- Ampere Nhiều tốn đưa đến việc xác định nghiệm suy rộng tốn Dirichlet phương trình loại Loại nghiệm suy rộng cho phép tìm nghiệm. .. 25 Nghiệm suy rộng phương trình Monge- Ampere loại elliptic 2.1 27 Sự cản trở điều kiện cần tính giải toán Dirichlet 2.2 Nghiệm suy rộng nghiệm yếu phương trình Monge- Ampere. .. giải tốn Dirichlet, nghiệm suy rộng nghiệm yếu phương trình Monge3 Ampere loại elliptic, toán Dirichlet lớp hàm lồi, tồn tính nghiệm yếu tốn Dirichlet phương trình Monge- Ampere det(zij ) = ϕ(x)