BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————— * ——————— PHAN TRỌNG TIẾN NGHIỆM β NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON JACOBI VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— PHAN TRỌNG TIẾN NGHIỆM β -NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— PHAN TRỌNG TIẾN NGHIỆM β -NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Văn Bằng PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn TS Trần Văn Bằng PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Các kết trình bày luận án chưa cơng bố luận văn, luận án khác Nghiên cứu sinh Phan Trọng Tiến LỜI CẢM ƠN Luận án thực Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn khoa học thầy giáo TS Trần Văn Bằng PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Sự định hướng quý Thầy nghiên cứu, nghiêm khắc Thầy học tập hướng dẫn tận tình quý Thầy làm việc yếu tố tác động nên việc hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến với Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Đinh Nho Hào (Viện Toán học), PGS.TS Khuất Văn Ninh, PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, TS Nguyễn Văn Tuyên (Trường ĐHSP Hà Nội 2), TS Trần Quân Kỳ (Trường ĐHSP Huế), GS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Trần Đình Kế (Trường ĐHSP Hà Nội), PGS.TS Đỗ Đức Thuận (Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội) động viên cho tác giả góp ý, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy, cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả thời gian học tập nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn anh chị nghiên cứu sinh thành viên Xêmina Giải tích, khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, trao đổi, chia sẻ khoa học sống Tác giả gửi lời cảm ơn đến Khoa Tốn, Phịng Đào tạo - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, nơi tác giả học tập nghiên cứu thời gian làm nghiên cứu sinh; Trường Đại học Quảng Bình khoa Khoa học Tự nhiên Trường Đại học Quảng Bình, nơi tác giả công tác, giảng dạy nơi cử tác giả làm nghiên cứu sinh Tác giả gửi lời cảm ơn đến tất nhà khoa học, thầy cơ, người thân, bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tinh thần vật chất dành cho tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương DƯỚI VI PHÂN β -NHỚT 15 1.1 Tính β -khả vi 15 1.2 Dưới vi phân β -nhớt 22 Chương NGHIỆM β -NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTONJACOBI TRONG KHÔNG GIAN BANACH 36 2.1 Tính nghiệm β -nhớt 36 2.1.1 Nghiệm β -nhớt 37 2.1.2 Nghiệm bị chặn 40 2.1.3 Nghiệm không bị chặn 46 2.2 Tính ổn định tồn nghiệm β -nhớt 59 2.2.1 Tính ổn định 59 2.2.2 Sự tồn 60 Chương ỨNG DỤNG CỦA NGHIỆM β -NHỚT ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 67 3.1 Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn 67 3.1.1 Bài toán điều khiển tối ưu-nguyên lý quy hoạch động Bellman với hàm giá trị trơn 67 3.1.2 Tính chất hàm giá trị tốn điều khiển tối ưu 70 3.2 Ứng dụng nghiệm β -nhớt toán điều khiển tối ưu 72 Chương PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI VỚI BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRÊN KHỚP NỐI VỚI HÀM CHI PHÍ KHÔNG BỊ CHẶN 83 4.1 Bài toán điều khiển tối ưu khớp nối 83 4.1.1 Khớp nối 83 4.1.2 Bài toán điều khiển tối ưu 84 4.1.3 Một số tính chất hàm giá trị đỉnh 88 4.2 Phương trình Hamilton-Jacobi nghiệm nhớt 92 4.2.1 Hàm thử 92 4.2.2 Trường véctơ 93 4.2.3 Định nghĩa nghiệm nhớt 93 4.2.4 Hàm Hamilton 94 4.3 Nguyên lý so sánh tính 98 4.4 Ứng dụng nghiệm nhớt toán điều khiển tối ưu 103 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 109 KÍ HIỆU RN Khơng gian Euclide N chiều; ei Véctơ đơn vị thứ i RN ; Ω Tập mở không gian Banach X với biên ∂ Ω; C (Ω) C (Ω) DF+ u(x) DF− u(x) β Dβ+ u(x) Dβ− u(x) B (x, r) B (x, r) ∇β f τβ Xβ∗ Dβ (X ) Dβ∗ (X ) Hβ Hβ∗ diam(S ) Không gian hàm liên tục Ω; β -đạo hàm hàm f ; Tôpô X ∗ tương ứng với hội tụ β ; Không gian véctơ tôpô (X ∗ , τβ ); Tập hàm bị chặn, Lipschitz, β -khả vi X ; Tập hàm g ∈ Dβ (X ); ∇β g : X → Xβ∗ liên tục; Tồn hàm bướu b ∈ Dβ (X ); Tồn hàm bướu b ∈ Dβ∗ (X ); Đường kính tập S : sup{kx − yk : x, y ∈ S}; t.ư Tương ứng; h.k.n Hầu khắp nơi; a∨b L(x, y ) Lp lp max{a, b}; Không gian hàm khả vi liên tục tập Ω; Trên vi phân Fréchet hàm u x; Dưới vi phân Fréchet hàm u x; Borno β X ; Trên vi phân β -nhớt hàm u x; Dưới vi phân β -nhớt hàm u x; Hình cầu đóng tâm x bán kính r; Hình cầu mở tâm x bán kính r; Đoạn thẳng nối hai điểm x, y ; Không gian hàm f đo |f |p khả tích; P∞ Khơng gian dãy số thực (xn )n với n=1 |xn |p hội tụ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình Hamilton-Jacobi cấp một lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến có nhiều ứng dụng, xuất nhiều lĩnh vực học, điều khiển tối ưu, đặc biệt bao gồm lớp phương trình quy hoạch động tốn điều khiển tối ưu tất định, thường gọi phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman Nói chung, lớp phương trình Hamilton-Jacobi phi tuyến thường khơng có nghiệm cổ điển Do loại nghiệm yếu nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu nghiệm nhớt số Lý thuyết nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng xuất từ đầu năm 80 kỷ trước báo [23] M G Crandall P L Lions, đơng đảo chuyên gia toán học thừa nhận tiếp tục phát triển, ngồi nước có M G Crandall, P L Lions, J M Borwein, D Preiss, L.C Evans, [18, 20, 22, 25, 26, 30] nước có T D Vân, N Hoàng, T V Bằng, [7, 8, 32] Sở dĩ đặt tên "nghiệm nhớt" lớp phương trình xét ban đầu nghiệm trùng với nghiệm tìm phương pháp triệt tiêu độ nhớt Nghiệm nhớt khái niệm nghiệm suy rộng phù hợp cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Nghiệm nhớt nói chung hàm liên tục, thỏa mãn cặp bất đẳng thức vi phân thông qua hàm thử đủ trơn qua khái niệm vi phân, vi phân Trong [23], khái niệm nghiệm nhớt định nghĩa cách sử dụng vi phân Fréchet, sau nhà toán học mở rộng cách thay vi phân Fréchet loại vi phân khác vi phân Hadamard, Hadamard yếu, Gâteaux tổng quát hóa β -dưới vi phân (xem [18]), với β borno (xem mục 1.2.) Đối với phương trình Hamilton-Jacobi, có hai tốn thường nghiên cứu, tốn Dirichlet u + H (x, u, Du) = Ω, u = ϕ ∂ Ω toán Cauchy ut + H (x, u, Du) = Ω × [0, T ], u = ϕ ∂ Ω × [0, T ], u(x, 0) = u0 Ω Trong luận văn chúng tơi tập trung nghiên cứu tốn Dirichlet Thực tế cho thấy, nghiên cứu tính đặt chỉnh toán Dirichlet lý thuyết nghiệm nhớt, vấn đề nghiệm phức tạp nhất, tồn nói chung giải nhờ phương pháp Perron ([34]) phụ thuộc liên tục vào kiện hệ khơng q khó tính nghiệm Phương pháp để chứng minh tính nghiệm phương pháp gấp đôi số biến Theo phương pháp này, điểm quan trọng tìm hàm phạt thích hợp để đạt mục đích đặt với nguyên lý biến phân tương ứng với lớp hàm liên quan tới toán xét Từ năm 1993, nguyên lý biến phân trơn chứng minh Deville [26] sử dụng công cụ quan trọng để chứng minh tính nghiệm β -nhớt phương trình Hamilton-Jacobi có dạng u+F (Du) = f, với giả thiết hàm Hamilton F liên tục Xβ∗ vế phải f liên tục bị chặn X lớp nghiệm lớp hàm liên tục bị chặn Cũng sử dụng nguyên lý Borwein [19] chứng minh tính nghiệm β -nhớt lớp hàm liên tục bị chặn phương trình u + H (x, Du) = Tuy nhiên, không cần thiết phải áp dụng ngun lý cho phương trình có dạng tổng qt u + H (x, u, Du) = tập Ω ⊂ X, [20], Crandall Lions thiết lập tính nghiệm Fréchet-nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi có dạng tổng quát cách sử dụng tính chất Radon-Nikodym giả thiết Tính chất Radon-Nikodym hiểu hàm ϕ nhận giá trị thực hình cầu đóng B X hàm bị chặn, nửa liên tục ε > 0, tồn phần tử x∗ ∈ X ∗ có chuẩn khơng vượt q ε cho ϕ + x∗ đạt cực tiểu B Bài toán điều khiển tối ưu giới thiệu vào năm 1950 (xem [14]) J Zabczyk trình bày tương đối hồn thiện khơng gian hữu hạn chiều không gian Hilbert (xem [42]), tốn có nhiều ứng dụng Tốn học, Vật lý lĩnh vực khác Theo nguyên lý quy hoạch động, hàm giá trị tốn điều khiển tối ưu khả vi nghiệm phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman tương ứng, xem [19, 30] Tuy nhiên, hàm giá trị thường không khả vi, số phương pháp khác giới thiệu để nghiên cứu hàm giá trị Nghiệm nhớt lần công cụ hiệu để nghiên cứu lý thuyết điều khiển tối ưu Trong [10], tác giả đưa điều kiện cần, đủ cho toán điều khiển tối ưu không gian hữu hạn chiều cách sử dụng vi phân Fréchet mà công cụ tiếp cận sử dụng nghiệm nhớt Tiếp cận toán điều khiển tối ưu thông qua nghiệm nhớt vi phân khác chưa nhiều, đặc biệt hàm giá trị không bị chặn Về áp dụng nghiệm nhớt kể đến Y Achdou, S Oudet [4], Khang [35] nghiên cứu nghiệm nhớt khớp nối, mạng lưới thu kết đáng ý áp dụng vào toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn Y Giga, T Namba [29] áp dụng thành công lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi với đạo hàm phân thứ theo nghĩa Caputo Áp dụng nghiệm nhớt cách hiệu toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên (xem [5]) Gần phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối mạng lưới nghiên cứu nhiều cơng trình [2, 3, 4, 11, 12, 35, 37] Trong cơng trình đó, tác giả tập trung giải tính chất hàm giá trị toán điều khiển tối ưu, nguyên lý so sánh nghiệm nhớt toán điều khiển tối ưu trường hợp hàm chi phí ` bị chặn Mặc dù đạt số kết quan trọng song dường giả thiết đưa cơng trình tương đối chặt Với phân tích trên, chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu β -dưới vi phân, tính nghiệm β -nhớt toán Dirichlet phương trình Hamilton-Jacobi có dạng u + H (x, Du) = u + H (x, u, Du) = 0, tính ổn định tồn nghiệm β -nhớt chúng tơi quan tâm Ngồi nghiệm β -nhớt cịn có nhiều ứng dụng tốn điều khiển