Nghiệm nhớt của các phương trình monge ampere phức suy biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOMKID MANYVANH NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH MONGE - AMPERE PHỨC SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— SOMKID MANYVANH NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH MONGE - AMPERE PHỨC SUY BIẾN Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS DƯƠNG QUANG HẢI Thái Nguyên - Năm 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Dương Quang Hải Các tài liệu luận văn trung thực Các kết chích luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cảm đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn đẫ cảm ơn thơng tin tích dẫn luận văn rõ nguồi gốc Tác giả Somkid MANYVANH Xác nhận Khoa chuyên môn Xác nhận Người hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An TS Dương Quang Hải i Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Dương Quang Hải Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tình kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè ln động viên, khích lệ, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Somkid Manyvanh ii Mục lục Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu 1 Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến 1.1 Toán tử Monge-Ampère phức 1.2 Phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic 1.3 Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = v 1.4 Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = eεϕ v 13 1.5 Nguyên lý so sánh nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 17 Sự tồn nghiệm nhớt liên tục phương trình Monge Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29 2.1 Phương pháp Preron tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29 2.2 Sự tổn nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đa tạp Kahler compact 32 Kết luận Tài liệu tham khảo iii 36 37 Mở đầu Trong năm gần đây, phương trình Monge-Ampère phức suy biến đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều quan tâm nghiên cứu cách sử dụng công cụ lý thuyết đa vị Phương pháp nghiệm nhớt giải phương trình Elliptic suy biến đa tạp compact đa tạp Riemann đầy đủ đạt kết quan trọng gần M Crandall, H Ishii, P.L Lions vào năm 1992 Một cách tự nhiên, phương pháp nghiệm nhớt áp dụng vào để nghiên cứu nghiệm phương trình Monge- Ampère kiểu elliptic dạng: (ω + ddc ϕ)n = eϕ v, ω dạng Kahler nhẵn v dạng thể tích nhẵn đa tạp Kahler compact n chiều X Tuy nhiên, yêu cầu đa tạp Riemann compact đầy đủ, tensor độ cong Riemann không âm nên phương pháp nghiệm nhớt M Crandall, H Ishii, P.L Lions khơng thể áp dụng vào tìm nghiệm phương trình Monge-Ampère phức suy biến trường hợp tổng quát Tính nghiệm phương trình Monge-Ampère phức suy biến chứng minh kết nghiên cứu T Aubin [2] ST Yau [12] vào năm 1978 tồn 30 năm chưa tiếp tục nghiên cứu cách kết hợp công cụ lý thuyết đa vị phương pháp nghiệm nhớt Đề tài luận văn "Nghiệm nhớt phương trình MongeAmpère phức suy biến" đặt mục đích tìm hiểu nghiên cứu nghiệm yếu phương trình Monge-Ampère đa tạp phức Bằng phương pháp xây dựng nghiệm nhớt, đề tài giới hạn nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến đa tạp Kahler compact Từ kết nghiên cứu trên, phần cuối đề tài dành cho việc nghiên cứu chứng minh lại giả thuyết Calabi tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge – Ampère phức suy biến kiểu Eliptic đa tạp Kahler compact trực tiếp mà không sử dụng kỹ thuật Định lý nối tiếng Aubin-Yau tính liên tục Các kết luận văn trình bày dựa vào tài liệu tham khảo số [7] Nội dung đề tài luận văn "Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến" chia làm chương Chương trình bày số kiến thức lý thuyết đa vị phức giải tích phức hàm đa điều hòa dưới, miền siêu lồi, miền giả lồi, miền giả lồi mạnh, toán tử Monge-Ampère, phương trình Monge - Ampère phức, Từ nghiên cứu tồn nghiệm nhớt phương trình Monge – Ampère phức suy biến đa tạp phức liên thông hữu hạn chiều, nghiên cứu tồn nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đa tạp phức compact Cuối chương, luận văn nghiên cứu điều kiện nguyên lý so sánh nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đa tạp phức compact Chương áp dụng nguyên lý so sánh nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic chương 1, luận văn trình bày chứng minh tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic Cuối cùng, luận văn sử dụng nguyên lý toàn cục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều để thể xây dựng lại nghiệm nhớt phương trình chứng minh tính liên tục cách trực tiếp mà không sử dụng kết định lý Aubin-Yau tính liên tục Chương Nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức suy biến 1.1 Toán tử Monge-Ampère phức Định nghĩa 1.1.1 (Hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới) Giả sử (Ω, d) không gian metric, hàm u : Ω → R ∪ {−∞} gọi nửa liên tục {z ∈ Ω : u (z) < r} tập mở với r ∈ R Một hàm u gọi nửa liên tục −u nửa liên tục Từ định nghĩa giới hạn lim sup, có hàm u nửa liên tục với z0 ∈ Ω, ta có lim sup u (z) = u (z0 ) , z→z0 lim sup u (z) = inf {sup {u (z) : z ∈ Ω, d (z, z0 ) < ε}} z→z0 ε>0 Điều có nghĩa là, với α > u(z0 ) tồn ε > cho u(z) < α với d (z, z0 ) < ε Một hàm thực liên tục vừa nửa liên tục dưới, vừa nửa liên tục Định nghĩa 1.1.2 (Hàm điều hòa dưới) Giả sử Ω tập mở C Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi điều hòa Ω nửa liên tục trên Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với ω ∈ Ω tồn δ > cho với ≤ r ≤ δ ta có 2π u (ω) ≤ 2π u ω + reit dt (1.1) Chú ý với định nghĩa hàm đồng −∞ Ω xem hàm điều hòa Ω Ký hiệu tập hợp hàm điều hòa Ω SH (Ω) Mệnh đề 1.1.3 Nếu f : Ω → C hàm chỉnh hình Ω log |f | hàm điều hịa Ω Định nghĩa 1.1.4 (Hàm đa điều hòa dưới) Giả sử Ω ⊂ Cn tập mở, u : Ω → [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên, không đồng −∞ thành phần liên thơng Ω Hàm u gọi đa điều hịa Ω với a ∈ Ω b ∈ Cn , hàm λ → u (a + λb) điều hòa −∞ thành phần liên thông tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} Ký hiệu PSH(Ω) lớp tất hàm đa điều hòa Ω Và ký hiệu PSH_ (Ω) tập hàm đa điều hòa âm Ω Định nghĩa 1.1.5 (Tập đa cực) Tập E ⊂ Cn gọi tập đa cực với điểm a ∈ E có lân cận V a hàm u ∈ PSH(V ) cho E ∩ V ⊂ {z ∈ V : u (z) = −∞} Định nghĩa 1.1.6 Nếu u ∈ C (Ω) tốn tử (ddc u)n = 4n n!det ∂ 2u dV, ∂zj ∂ z¯k n z1 ∧ dz2 ∧ d¯ z2 ∧ ∧ dzn ∧ d¯ zn độ đo thể tích dV = 2i dz1 ∧ d¯ Cn gọi toán tử Monge-Ampère phức Tiếp theo, nhắc lại nguyên lý so sánh hàm đa điều hòa bị chặn tập giải tích Cn Cho u ∈ PSH(V ) hàm bị chặn địa phương, đa điều hòa tập giải tích V Giả sử dim V = k Khi đó, ta định nghĩa quy nạp toán tử Monge-Ampère hàm u phần quy Vr V sau ddc u với m m := ddc u(ddc u)m−1 , k Và độ đo (ddc u) xác định V (ddc u k ddc u)k , := E E∩Vr với tập Borel E V Tiếp theo, nguyên lý so sánh sau chứng minh Bedford vào năm 80 kỷ trước Định lý 1.1.7 Cho u, v hàm đa điều hòa bị chặn V Giả sử lim (u(z) − v(z)) Khi đó, ta có z→∂V (ddc u k ddc v)k := u dạng thể tích dương cho ε > Khi đó, ta có ngun lý so sánh nhớt tồn cục phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv ) Chứng minh Giả sử ε = Đặt u∗ nghiệm bị chặn u∗ nghiệm bị chặn phương trình (DM Aεv )+ Chọn C > cho hai nghiệm u∗ u∗ có L∞ - chuẩn thỏa mãn ≤ C/1000 Vì u∗ − u∗ hàm nửa liên tục đa tạp compact M Suy u∗ − u∗ đạt giá trị cực đại điểm x ˆ1 ∈ M Chọn hệ tọa độ phức (z , .z n ) lận cận điểm xˆ1 đồng song chỉnh hình lân cận mở điểm xˆ1 với hình cầu phức B(0, 4) bán kính 4, ánh xạ điểm xˆ1 thành tâm hình cầu Sử dụng phép phân hoạch đơn vị, xây dựng metric Riemann đa √ tạp phức M đồng với metric Kahler k 2−1 dz k ∧ dz k hình cầu tâm bán kính Cho điểm (x, y) ∈ M × M , định nghĩa d(x, y) hàm khoảng cách Riemann Hàm d2 liên tục thuộc lớp c2 lân cận đường chéo ∆ dương (> 0) bên đường chéo ∆ ⊂ M × M Tiếp theo, xây dựng hàm khơng âm ϕ1 nhẵn M × M công thức sau n z i (x) − z i (y) ϕ1 (x, y) = χ(x, y) 2n , i=1 χ hàm khơng âm, nhẵn thỏa mãn ≥ χ ≥ 0, χ ≡ hình cầu B(0, 2)2 χ = lân cận biên ∂B(0, 3)2 Cuối cùng, xét hàm trơn thứ hai M × M thỏa mãn ϕ2 Chọn B(0,1)2 < −1, ϕ2 M −B(0,2)2 > 3C η > cho −η giá trị chung ϕ2 ϕ2 |∆ 24 Lấy tích chập hàm (ξ, ξ ) → max(ξ, ξ ) hàm ρ nủa xác định dương, nhẵn cho BR2 (0, η) = {ρ > 0} nhận hàm nhẵn maxη R2 cho: • maxη (ξ, ξ ) = max(ξ, ξ )nếu |ξ − ξ | ≥ η • maxη (ξ, ξ ) > max(ξ, ξ )nếu |ξ − ξ | < η Định nghĩa hàm ϕ3 ∈ C ∞ (M , R) ϕ3 = maxη (ϕ1 , ϕ2 ) Khi đó, ta có • ϕ3 ≥ 0, • ϕ−1 (0 = ∆ ∩ {ϕ2 ≤ −η}), • ϕ3 |M −B(0,2)2 > 3C Định nghĩa hàm hω ∈ C (B(0, 4), R) vị địa phương nhẵn lên biên ω mở rộng thành hàm nhẵn toàn M Khơng tính tổng qt, ta giả sử hω ∞ < C/10 Đặc biệt, ddc hω = ω w∗ = u∗ + hω nghiệm nhớt phương trình (ddc ϕ)n = eϕ W hình cầu B(0, 4), với W dương liên tục Mặt khác, ta có w∗ = u∗ + hω nghiệm nhớt phương trình Cố định α > Xét điểm (xα , yα ) ∈ M cho Mα = w∗ (x) − w∗ (y) − ϕ3 (x, y) − αd2 (x, y) 2 (x,y)∈B(0,4) = w∗ (xα ) − w∗ (yα ) − ϕ3 (xα , yα ) − αd2 (xα , yα ) sup Cận sup xác định tính cực đại hàm nửa liên tục Vì ∅3 (ˆ x1 , xˆ1 ) = nên ta có bất đẳng thức 2C + C/5 ≥ Mα ≥ w∗ (ˆ x)1 − w∗ (ˆ x)1 ≥ Theo cách dây dựng, ta có điểm (xα , yα ) ∈ B(0, 2)2 Để tiếp tục chứng minh định lý, cần đến kết sau Bổ đề 1.5.14 [5, Mệnh đề 3.7] Ta có lim αd2 (xα , yα ) = Với điểm α→∞ 25 giới hạn (ˆ x, yˆ) dãy (xα , yα ) thỏa mãn xˆ = yˆ, xˆ ∈ ∆ ∩ {ϕ2 − η} w∗ (ˆ x) − w∗ (ˆ x) = u∗ (ˆ x) − u∗ (ˆ x) = max w∗ (x) − w∗ (x) − ϕ3 (x, x) x∈B(0,4) = max2 u∗ (x) − u∗ (x) − ϕ3 (x, x) x∈M = u∗ (ˆ x1 ) − u∗ (ˆ x1 ) = w∗ (ˆ x1 ) − w∗ (ˆ x1 ) lim inf w∗ (xα ) − w∗ (yα ) ≥ w∗ (ˆ x1 ) − w∗ (ˆ x1 ) α→+∞ Tiếp theo, sử dụng [5, Định lý 3.2] với hàm u1 = w∗ , u2 = −w∗ , ϕ = 1, địa phương hóa hình cầu B(0, 2) cho d trở αd + ϕ3 Với α thành hàm khoảng cách Euclide Sử dụng công thức đạo hàm thứ thứ hai cho bình phương hàm u1 , u2 , ϕ, nhận kết sau Bổ đề 1.5.15 Với ε > 0, tồn điểm (p∗ X∗ ), (p∗ X ∗ ) ∈ Cn × Sym2R (Cn ) cho (1) (p∗ , X∗ ) ∈ J 2+ w∗ (xα ), (2) (−p∗ , −X ∗ ) ∈ J 2− w∗ (yα ), (3) Ma trận đường chéo khối với phần tử (X∗ − X ∗ ) thỏa mãn: −(ε−1 + A )I ≤ X∗ 0 −X ∗ ≤ A + εA2 , A = D2 ϕ(xα , yα ), tức A=α I −I −I I + D2 ϕ3 (xα , yα ) A bán kính phổ ma trận A (giá trị lớn giá trị tuyệt đối giá trị riêng ma trận đối xứng A) Theo cách xây dựng, ta có chuỗi Taylor hàm ϕ3 điểm ∆ ∩ {ϕ2 < −η} triệt tiêu đến bậc 2n Bẳng cách biến đổi tính tốn trực tiếp, ta có ∆ ∩ {ϕ2 < −η} trù mật ∆ ∩ {ϕ2 ≤ −η} chuỗi Taylor hàm ϕ3 triệt tiêu đến bậc 2n ∆ ∩ {ϕ2 ≤ −η} Đặc biệt, ta có D2 ϕ3 (xα , yα ) = O(d(xα , yα )2n ) = o(α−n ) 26 Suy A α Chọn α−1 = ε suy −(2α)I ≤ X∗ 0 −X ∗ ≤ 3α I −I −I I + o(α−n ) Từ suy giá trị riêng X∗ , X ∗ O(α) giá trị riêng X∗ , −X ∗ o(α−n ) Tiếp theo, cổ định X ∈ Sym2R (Cn ) ký hiệu X 1,1 (1; 1)- dạng Nó ma trận Hermite Rõ ràng giá trị riêng ma trận X∗1,1 , X ∗1,1 O(α) giá trị riêng ma trận X∗1,1 − X ∗1,1 o(α−n ) Vì (p∗ , X∗ ) ∈ J 2+ w∗ (xα ) nên từ định nghĩa nghiệm nhớt suy X 1,1∗ xác định dương tích n giá trị riêng thỏa mãn ≥ c > theo α Đặc biệt, giá trị riêng nhỏ X 1,1∗ thỏa mãn ≥ cα−n+1 Từ bất đẳng thức X∗1,1 + o(α−n ) ≤ X ∗1,1 suy X ∗1,1 > det(X ∗1,1 )/ det(X∗1,1 ) ≥ + o(α−1 ) Cuối cùng, (p∗ , X∗ ) ∈ J 2+ w∗ (xα ) (−p∗ , −X ∗ ) ∈ J 2− w∗ (yα ), theo định nghĩa nghiệm nhớt, ta có ∗ det(X ∗1,1 ) ew (yα ) W (yα ) ≤ w (x ) e ∗ α W (xα ) det(X∗1,1 ) ∗ Lấy giới hạn α → +∞, ta ≤ elim sup w (yα )−w∗ (x∗ ) Áp dụng Bổ đề 1.5.14 cho trường hợp w∗ (ˆ x) ≥ w∗ (ˆ x), suy u∗ (ˆ x) ≥ u∗ (ˆ x) Vậy Định lý 1.5.13 chứng minh Vì v > nên nghiệm phương trình (DM Aεv )+ nghiệm phương trình (DM Aεv ) Do đó, ta cần chứng minh nguyên lý so sánh nhớt toàn cục phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Aεv )+ Định nghĩa 1.5.16 Một đa tạp phức compact X gọi thuộc lớp Fujiki X tồn hàm ϕ ω - đa điều hòa bị chặn địa phương thỏa mãn phương trình (w + ddc ϕ)nBT = eϕ v, theo nghĩa đa vị Hệ 1.5.17 Giả sử X đa tạp phức compact, ω (1, 1) - dạng, thực, đóng, liên tục với vị địa phương lớp C , v > dạng thể tích 27 nửa xác định dương thỏa mãn X v > Nếu w ≥ X w ≥ tồn nghiệm nhớt ϕ ∈ C (X) phương trình Monge - Ampère phức (DM A)w,v : (ω + ddc ϕ)n = eϕ v Nếu X đa tạp phức compact thuộc lớp Fujiki nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức (DM A)w,v đồng với hàm w-đa điều hòa ϕ X thỏa mãn phương trình (w + ddc ϕ)nBT = eϕ v, theo nghĩa đa vị Chứng minh Sử dụng cách xây dựng nghiệm yếu phương trình phương trình Monge - Ampère phức suy biến trường hợp v > dạng thể tích nửa xác định dương thỏa mãn X v > áp dụng Định lý 1.5.13 28 Chương Sự tồn nghiệm nhớt liên tục phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic Cho X đa tạp Kahler compact n- chiều, v > dạng thể tích nửa xác định dương với trù mật liên tục, ε ≥ cho ω (1, 1) dạng đóng, thực, nhẵn có lớp đối đồng điều nửa xác định dương thỏa mãn {ω}n > 2.1 Phương pháp Preron tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic Bằng cách kết hợp phương pháp nghiệm nhớt kỹ thuật lý thuyết đa vị để tìm nghiệm phương trình Monge-Ampère phức suy biến có dạng (ω + ddc ϕ)n = eεϕ v, với ε ≥ Ở đây, cách sử dụng cách xây dựng cận nghiệm nhớt nghiệm theo nghĩa đa vị, nguyên lý so sánh toàn cục nghiệm nhớt kỹ thuật đa vị Kolodziej [11, 6], hồn tồn tiếp cận cách tìm nhiệm phương trình Monge-Ampère phức suy biến độc lập thay cho cách giải S.T Yau [12] giả thuyết Calabi tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge - 29 Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Av ) sau (ω + ddc ϕ)n = eεϕ v Trong trường hợp ε = 1, nguyên lý so sánh nhớt toàn cục áp dụng phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A1v ), ta chứng minh tính liên tục nghiệm nhớt (hay nghiệm vị) phương trình (DM A1v ) phương pháp Perron Cụ thể, có định lý sau Định lý 2.1.1 (Phương pháp Preron) Giả sử nguyên lý so sánh nhớt toàn cục áp dụng phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A1v ) phương trình (DM A1v ) có nghiệm bị chặn u nghiệm nhớt bị chặn u Khi đó, ta có hàm ϕ = sup w | u ≤ w ≤ u w nghiệm nhớt (DM A1v ) nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v ) Đặc biệt, hàm ϕ hàm w-đa điều hòa dưới, liên tục ϕ nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v ) theo nghĩa đa vị Chứng minh Thật vậy, theo [5, Bổ đề 4.2 ] suy cận ϕ nghiệm nhớt phương trình (DM A1v ) nghiệm nhớt (DM A1v ) hàm nửa liên tục Do đó, hàm ϕ nghiệm nhớt phương trình (DM A1v )+ Ký hiệu ϕ∗ bao hàm nửa liên tục ϕ Chúng ta ϕ∗ nghiệm nhớt phương trình (DM A1v ) Bằng phương pháp chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại ϕ∗ khơng nghiệm nhớt phương trình (DM A1v ) Cố định x0 ∈ X hàm q khả vi lớp C (2) cho ϕ∗ − q đạt giá cực tiểu địa phương điểm x0 F+ (qx ) < Do đó, ta có vx0 > Chúng ta xây dựng nghiệm nhớt U cho U (x1 ) > ϕ(x1 ) với x1 ∈ X Điều mâu thuẫn dẫn đến hàm ϕ∗ nghiệm nhớt theo nguyên lý so sánh nhớt ta có ϕ∗ ≥ ϕ Vì ϕ = ϕ∗ ≥ ϕ∗ nên ϕ = ϕ∗ = ϕ∗ nghiệm nhớt liên tục Và ta có điều phải chứng minh Xây dựng nghiệm nhớt U sau: Đặt (z , .z n ) hệ tọa độ với tâm x0 cho đồng phôi địa phương với hình cầu đơn vị phức 30 giả sử v > hình cầu phức Khi đó, với γ, δ, r > đủ nhỏ ta có (2) qγ , δ = q + δ − γ z thỏa mãn F+ (qγ,δ ) < với z(x) ≤ r Chọn δ = (γr2 )/8, r > đủ nhỏ Vì ϕ∗ (x) − q(x) ≥ với z(x) ≤ r nên ta có ϕ(x) ≥ ϕ∗ (x) > qγδ (x) r/2 ≤ z(x) ≤ r Khi đó, ta định nghĩa hàm U xác định bởi: U (x) = max(ϕ(x), qδ,γ (x)), z(x) ≤ r U (x) = ϕ(x) trường hợp lại Suy ra, hàm U nghiệm nhớt phương trình (DM A1v )+ nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v ) giả sử v > phần có liên quan X Chọn dãy (xn ) hội tụ đến x0 cho ϕ(xn ) → ϕ∗ (x0 ) Khi đó, ta có qγ,δ(xn ) → ϕ∗ (x0 ) + δ Vì vậy, với n ta có U (xn ) = qγ,δ (xn ) > ϕ(xn ) Cuối cùng, chứng minh hàm ϕ nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v ) theo nghĩa đa vị Nó xuất phát từ lập luận trước lý thuyết đa vị Thật vậy, ϕ nghiệm nhớt, theo Mệnh đề 1.4.3, ta có (ω + ddc ϕ)nBT ≥ eεϕ v Bằng phương pháp phản chứng, chọn B ⊂ hình cầu mà (ωd dc ϕnBT = eεϕ v) Nghiệm toán Dirichlet hàm đa điều hòa liên tục ψ B với (ω + ddc ψ)nBT = eεψ v ψ = ϕ ∂B Theo nguyên lý so sánh Bedford Taylor suy ψ ≥ ϕ ψ ≥ ϕ theo giả thiết Do đó, hàm ϕ nghiệm nhớt Với t > đủ nhỏ, ta có ϕ0 = max(ϕ, ψ − t) nghiệm nhớt khác với ϕ0 > f tập mở Điều mâu thuẫn với định nghĩa bao hàm ϕ Vậy Định lý 2.1.1 chứng minh Nhận xét 2.1.2 Trong trường hợp ε = 0, tức ta có (ω + ddc ϕ)n = v đa tạp Kahler compact nghiệm nghiệm phương trình không tồn áp dụng phương pháp chứng minh Perron việc xây dựng tính liên tục nghiệm phương trình Monge - Ampère phức (ω + ddc ϕ)n = v Định lý 2.1.3 [6] Cho X đa tạp phức compact thuộc lớp Fujiki Cho v độ xác suất nửa xác định dương với Lp - trù mật, p > cố định ω ≥ (1, 1) - dạng thực, nhẵn, nửa xác định dương thỏa mãn n X ω = Khi đó, hàm ω - đa điều hịa bị chặn địa phương 31 X chuẩn hóa X ϕ = cho độ đo Monge - Ampère thỏa mãn phương trình (ω + ddc ϕ)nBT = v hàm liên tục 2.2 Sự tổn nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đa tạp Kahler compact Trong phần này, nghiên cứu tính liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic đa tạp Kahler compact Giả sử X đa tạp Kahler compact v dạng thể tích nửa xác định dương, liên tục Cổ định β dạng Kahler X Xét điều kiện (∗) X sau: (∗) ∃η > 0∃ψ ∈ L∞ ∩ P SH(X, ω) : (ω + ddc ψ)n ≥ ηβ n Trong [4] [6] chứng minh X đa tạp Kahler compact, ω (1, 1)-dạng nửa xác định dương với X ω n > (X, ω) thỏa mãn điều kiện (∗) Khi đó, sử dụng ngun lý tồn cục nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic Định lý 2.1.1 xây dựng nghiệm nhớt phương trình chứng minh tính liên tục cách trực tiếp mà khơng sử dụng kết định lý Aubin-Yau tính liên tục [2, 12] Định lý 2.2.1 Giả sử X đa tạp Kahler compact, ω (1, 1)dạng nửa xác định dương với X ω n > v độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục X Khi đó, điều kiện (∗) thỏa mãn tồn hàm ω -đa điều hòa ϕ nghiệm nhớt (tương đương nghiệm đa vị) phương trình Monge - Ampère phức suy biến (ω + ddc ϕ)n = eϕ v Chứng minh Tính nhất: Nếu ω dạng Kahler X điều kiện (∗) thỏa mãn, v clà đo đo dương theo [6, Mệnh đề 4.3] suy tính nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A1 v) Sự tồn tại: Trong trường hợp tổng quát, xây dựng nghiệm nhớt phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A1 v) phương pháp 32 xấp xỉ [6] Thật vậy, trước tiên giả sử v độ đo dương X lớp {ω} nửa xác định dương thỏa mãn X ω n > Với < ε ≤ 1, tồn hàm ω + εβ - đa điều hòa uε thỏa mãn (ω + εβ + ddc uε )n = euε v Vì dãy (uε ) dãy compact tương đối theo L1 (X) nên supX uε bị chặn ε 0+ Mặt khác, ta có e supX uε ωn = ≥ v(X) ωn X X supX uε bị chặn dưới, Đặt wε := uε − supX uε Vì wε dãy hàm compact tương đối hàm (ω + β) - đa điều hòa nên tồn số C > cho với < ε ≤ ta có X wω dv ≥ −C theo [9] Từ tính lõm logarithm suy (ω + β)n ≥ sup uε + log log X X (ewε dv) ≥ sup uε − C X X Do đó, dãy hàm supX uε bị chặn Tiếp theo, dãy (uε ) giảm ε hội tụ giảm đến 0+ Thật vậy, giả sử < ε ≤ ε cố định δ > Khi đó, hàm uε , uε đa điều hòa Theo nguyên lý so sánh ta có (ω + εβ + ddc uε )n ≤ (uε ≥uε +δ) (ω + εβ + ddc uε )n (uε ≥uε +δ) Vì (ω + εβ + ddc uε )n ≥ (ω + ε β + ddc uε )n ≥ eδ (ω + εβ + ddc uε )n tập hợp (uε ) ≥ uε + δ có độ đo Lebesgue Vì δ > tùy ý suy uε ≤ uε Đặt u = limε→0 uε giới hạn giảm hàm uε Theo cách xây dựng, u hàm ω - đa điều hịa Nó theo [6, Mệnh đề 1.2, Định lý 2.1 Mệnh đề 3.1] suy u bị chặn nghiệm (đa vị) phương trình Monge-Ampère phức (ω + ddc u)n = eu v Từ đó, suy điều kiện (∗) thỏa mãn Theo Hệ 3.2, suy hàm u liên tục nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampère phức (ω + ddc u)n = eu v 33 Ta cịn phải tính xác định dương v Vì {ω} nửa xác định dương thỏa mãn X ω n > v độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục nên phương trình Monge-Ampère phức giải (ω + ddc ϕε )n = eϕε [v + εβ n ] , ϕε hàm ω - đa điều hòa dưới, liên tục < ε ≤ Vì e supX ϕε ωn ≥ + X βn X nên ta có supX ϕε bị chặn Từ tính chất lõm logarit nên Mε := supX ϕε bị chặn Thật vậy, đặt ψε := ϕε −Mε Khi đó, ta có (ψε ) dãy compact tương đối hàm ω đa điều hòa Do đó, tồn số C > cho X ψε (v +β n ) ≥ −C Vì n v + εβ n ψε v + εβ log e ≥ ψε ≥ ψε (v + β n ) ≥ −C n n X v + εβ X v + εβ nên suy ω n ≥ Mε + log + ε log X β n − C X Do đó, dãy (Mε ) bị chặn Cuối cùng, ta chứng minh dãy (ϕε ) compact tương đối L1 (X) Thật vậy, theo [6, Mệnh đề 2.6 Mệnh đề 3.1] suy hàm ϕε bị chặn ε hội tụ giảm xuống tới Từ [6, Bổ đề 2.3] với tính bị chặn dãy (ϕε ) suy với < δ