LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy giáo TS Trần Văn Bằng và PGS TS Hà Tiến Ngoạn Sự định hướng của quý Thầy trong nghiên cứu, sự[.]
LỜI CẢM ƠN Luận án thực Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn khoa học thầy giáo TS Trần Văn Bằng PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Sự định hướng quý Thầy nghiên cứu, nghiêm khắc Thầy học tập hướng dẫn tận tình quý Thầy làm việc yếu tố tác động nên việc hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến với Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Đinh Nho Hào (Viện Toán học), PGS.TS Khuất Văn Ninh, PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, TS Nguyễn Văn Tuyên (Trường ĐHSP Hà Nội 2), TS Trần Quân Kỳ (Trường ĐHSP Huế), GS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Trần Đình Kế (Trường ĐHSP Hà Nội), PGS.TS Đỗ Đức Thuận (Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội) động viên cho tác giả góp ý, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy, khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả thời gian học tập nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn anh chị nghiên cứu sinh thành viên Xêmina Giải tích, khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, trao đổi, chia sẻ khoa học sống Tác giả gửi lời cảm ơn đến Khoa Tốn, Phịng Đào tạo - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, nơi tác giả học tập nghiên cứu thời gian làm nghiên cứu sinh; Trường Đại học Quảng Bình khoa Khoa học Tự nhiên Trường Đại học Quảng Bình, nơi tác giả cơng tác, giảng dạy nơi cử tác giả làm nghiên cứu sinh Tác giả gửi lời cảm ơn đến tất nhà khoa học, thầy cô, người thân, bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tinh thần vật chất dành cho tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương DƯỚI VI PHÂN β -NHỚT 15 1.1 Tính β -khả vi 15 1.2 Dưới vi phân β -nhớt 22 Chương NGHIỆM β -NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTONJACOBI TRONG KHÔNG GIAN BANACH 36 2.1 Tính nghiệm β -nhớt 36 2.1.1 Nghiệm β -nhớt 37 2.1.2 Nghiệm bị chặn 40 2.1.3 Nghiệm không bị chặn 46 2.2 Tính ổn định tồn nghiệm β -nhớt 59 2.2.1 Tính ổn định 59 2.2.2 Sự tồn 60 Chương ỨNG DỤNG CỦA NGHIỆM β -NHỚT ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 67 3.1 Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn 67 3.1.1 Bài toán điều khiển tối ưu-nguyên lý quy hoạch động Bellman với hàm giá trị trơn 67 3.1.2 Tính chất hàm giá trị tốn điều khiển tối ưu 70 3.2 Ứng dụng nghiệm β -nhớt toán điều khiển tối ưu 72 Chương PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI VỚI BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRÊN KHỚP NỐI VỚI HÀM CHI PHÍ KHƠNG BỊ CHẶN 83 4.1 Bài toán điều khiển tối ưu khớp nối 83 4.1.1 Khớp nối 83 4.1.2 Bài toán điều khiển tối ưu 84 4.1.3 Một số tính chất hàm giá trị đỉnh 88 4.2 Phương trình Hamilton-Jacobi nghiệm nhớt 92 4.2.1 Hàm thử 92 4.2.2 Trường véctơ 93 4.2.3 Định nghĩa nghiệm nhớt 93 4.2.4 Hàm Hamilton 94 4.3 Nguyên lý so sánh tính 98 4.4 Ứng dụng nghiệm nhớt toán điều khiển tối ưu 103 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 109 KÍ HIỆU RN Không gian Euclide N chiều; ei Véctơ đơn vị thứ i RN ; Ω Tập mở không gian Banach X với biên ∂ Ω; C (Ω) C (Ω) DF+ u(x) DF− u(x) β Dβ+ u(x) Dβ− u(x) B (x, r) B (x, r) ∇β f τβ Xβ∗ Dβ (X ) Dβ∗ (X ) Hβ Hβ∗ diam(S ) Không gian hàm liên tục Ω; β -đạo hàm hàm f ; Tôpô X ∗ tương ứng với hội tụ β ; Không gian véctơ tôpô (X ∗ , τβ ); Tập hàm bị chặn, Lipschitz, β -khả vi X ; Tập hàm g ∈ Dβ (X ); ∇β g : X → Xβ∗ liên tục; Tồn hàm bướu b ∈ Dβ (X ); Tồn hàm bướu b ∈ Dβ∗ (X ); Đường kính tập S : sup{kx − yk : x, y ∈ S}; t.ư Tương ứng; h.k.n Hầu khắp nơi; a∨b L(x, y ) Lp lp max{a, b}; Không gian hàm khả vi liên tục tập Ω; Trên vi phân Fréchet hàm u x; Dưới vi phân Fréchet hàm u x; Borno β X ; Trên vi phân β -nhớt hàm u x; Dưới vi phân β -nhớt hàm u x; Hình cầu đóng tâm x bán kính r; Hình cầu mở tâm x bán kính r; Đoạn thẳng nối hai điểm x, y ; Không gian hàm f đo |f |p khả tích; P∞ Khơng gian dãy số thực (xn )n với n=1 |xn |p hội tụ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình Hamilton-Jacobi cấp một lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến có nhiều ứng dụng, xuất nhiều lĩnh vực học, điều khiển tối ưu, đặc biệt bao gồm lớp phương trình quy hoạch động tốn điều khiển tối ưu tất định, thường gọi phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman Nói chung, lớp phương trình Hamilton-Jacobi phi tuyến thường khơng có nghiệm cổ điển Do loại nghiệm yếu nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu nghiệm nhớt số Lý thuyết nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng xuất từ đầu năm 80 kỷ trước báo [23] M G Crandall P L Lions, đơng đảo chun gia toán học thừa nhận tiếp tục phát triển, ngồi nước có M G Crandall, P L Lions, J M Borwein, D Preiss, L.C Evans, [18, 20, 22, 25, 26, 30] nước có T D Vân, N Hoàng, T V Bằng, [7, 8, 32] Sở dĩ đặt tên "nghiệm nhớt" lớp phương trình xét ban đầu nghiệm trùng với nghiệm tìm phương pháp triệt tiêu độ nhớt Nghiệm nhớt khái niệm nghiệm suy rộng phù hợp cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Nghiệm nhớt nói chung hàm liên tục, thỏa mãn cặp bất đẳng thức vi phân thông qua hàm thử đủ trơn qua khái niệm vi phân, vi phân Trong [23], khái niệm nghiệm nhớt định nghĩa cách sử dụng vi phân Fréchet, sau nhà toán học mở rộng cách thay vi phân Fréchet loại vi phân khác vi phân Hadamard, Hadamard yếu, Gâteaux tổng quát hóa β -dưới vi phân (xem [18]), với β borno (xem mục 1.2.) Đối với phương trình Hamilton-Jacobi, có hai tốn thường nghiên cứu, tốn Dirichlet u + H (x, u, Du) = Ω, u = ϕ ∂ Ω toán Cauchy ut + H (x, u, Du) = Ω × [0, T ], u = ϕ ∂ Ω × [0, T ], u(x, 0) = u0 Ω Trong luận văn chúng tơi tập trung nghiên cứu tốn Dirichlet Thực tế cho thấy, nghiên cứu tính đặt chỉnh toán Dirichlet lý thuyết nghiệm nhớt, vấn đề nghiệm phức tạp nhất, tồn nói chung giải nhờ phương pháp Perron ([34]) phụ thuộc liên tục vào kiện hệ khơng q khó tính nghiệm Phương pháp để chứng minh tính nghiệm phương pháp gấp đôi số biến Theo phương pháp này, điểm quan trọng tìm hàm phạt thích hợp để đạt mục đích đặt với nguyên lý biến phân tương ứng với lớp hàm liên quan tới toán xét Từ năm 1993, nguyên lý biến phân trơn chứng minh Deville [26] sử dụng cơng cụ quan trọng để chứng minh tính nghiệm β -nhớt phương trình Hamilton-Jacobi có dạng u+F (Du) = f, với giả thiết hàm Hamilton F liên tục Xβ∗ vế phải f liên tục bị chặn X lớp nghiệm lớp hàm liên tục bị chặn Cũng sử dụng nguyên lý Borwein [19] chứng minh tính nghiệm β -nhớt lớp hàm liên tục bị chặn phương trình u + H (x, Du) = Tuy nhiên, không cần thiết phải áp dụng nguyên lý cho phương trình có dạng tổng qt u + H (x, u, Du) = tập Ω ⊂ X, [20], Crandall Lions thiết lập tính nghiệm Fréchet-nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi có dạng tổng quát cách sử dụng tính chất Radon-Nikodym giả thiết Tính chất Radon-Nikodym hiểu hàm ϕ nhận giá trị thực hình cầu đóng B X hàm bị chặn, nửa liên tục ε > 0, tồn phần tử x∗ ∈ X ∗ có chuẩn khơng vượt q ε cho ϕ + x∗ đạt cực tiểu B Bài toán điều khiển tối ưu giới thiệu vào năm 1950 (xem [14]) J Zabczyk trình bày tương đối hồn thiện khơng gian hữu hạn chiều không gian Hilbert (xem [42]), tốn có nhiều ứng dụng Tốn học, Vật lý lĩnh vực khác Theo nguyên lý quy hoạch động, hàm giá trị toán điều khiển tối ưu khả vi nghiệm phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman tương ứng, xem [19, 30] Tuy nhiên, hàm giá trị thường không khả vi, số phương pháp khác giới thiệu để nghiên cứu hàm giá trị Nghiệm nhớt lần công cụ hiệu để nghiên cứu lý thuyết điều khiển tối ưu Trong [10], tác giả đưa điều kiện cần, đủ cho tốn điều khiển tối ưu khơng gian hữu hạn chiều cách sử dụng vi phân Fréchet mà công cụ tiếp cận sử dụng nghiệm nhớt Tiếp cận toán điều khiển tối ưu thông qua nghiệm nhớt vi phân khác chưa nhiều, đặc biệt hàm giá trị khơng bị chặn Về áp dụng nghiệm nhớt kể đến Y Achdou, S Oudet [4], Khang [35] nghiên cứu nghiệm nhớt khớp nối, mạng lưới thu kết đáng ý áp dụng vào toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn Y Giga, T Namba [29] áp dụng thành công lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi với đạo hàm phân thứ theo nghĩa Caputo Áp dụng nghiệm nhớt cách hiệu toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên (xem [5]) Gần phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối mạng lưới nghiên cứu nhiều cơng trình [2, 3, 4, 11, 12, 35, 37] Trong cơng trình đó, tác giả tập trung giải tính chất hàm giá trị toán điều khiển tối ưu, nguyên lý so sánh nghiệm nhớt toán điều khiển tối ưu trường hợp hàm chi phí ` bị chặn Mặc dù đạt số kết quan trọng song dường giả thiết đưa cơng trình tương đối chặt Với phân tích trên, chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu β -dưới vi phân, tính nghiệm β -nhớt tốn Dirichlet phương trình Hamilton-Jacobi có dạng u + H (x, Du) = u + H (x, u, Du) = 0, tính ổn định tồn nghiệm β -nhớt chúng tơi quan tâm Ngồi nghiệm β -nhớt cịn có nhiều ứng dụng tốn điều khiển tối ưu, sở chúng tơi quan tâm đến tìm điều kiện cần điều kiện đủ cho toán điều khiển tối ưu không gian vô hạn chiều Hướng tiếp cận nghiệm nhớt khớp nối nghiên cứu Dựa mơ hình có nghiệm nhớt theo phương pháp cổ điển, vấn đề tính nghiệm nhớt, ứng dụng nghiệm nhớt cho toán điều khiển tối ưu khớp nối hứa hẹn cho ta kết có ý nghĩa Trên lý để lựa chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Nghiệm β -nhớt phương trình Hamilton-Jacobi ứng dụng toán điều khiển tối ưu” Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 β -dưới vi phân Khi sử dụng β -dưới vi phân, điều mà ta quan tâm tính chất β -dưới vi phân có cịn giữ lại giống vi phân Fréchet hay không Trong tài liệu giới thiệu β -dưới vi phân [19, 26] chưa có khảo sát vấn đề này, tính chất chúng tơi trình bày chương Để nghiên cứu tính nghiệm β -nhớt phương trình Hamilton-Jacobi cơng cụ sử dụng nguyên lý biến phân trơn Trong [26], Deville Godefroy chứng minh nguyên lý biến phân trơn không gian Banach X thỏa mãn giả thiết (Hβ∗ ) u, v hai hàm bị chặn xác định X cho u nửa liên tục v nửa liên tục Khi với ε > 0, tồn x, y ∈ X, p ∈ Dβ+ u(x), q ∈ Dβ− v (y ) cho: (a) kx − yk < ε kp − qk < ε; (b) Với z ∈ X, v (z ) − u(z ) ≥ v (x) − u(y ) − ε Trong việc chứng minh tính nghiệm β -nhớt phương trình HamiltonJacobi ta cần mở rộng kết trên, nghĩa cần có đánh giá độ lớn p p kx − yk kpk, kx − yk kqk Kết đưa chương thể quan tâm Cho đến kết vi phân β -nhớt thể [19, Định lý 2.9], kết là: Cho X khơng gian Banach có chuẩn tương đương với chuẩn β -trơn f1 , · · · , fN N hàm nửa liên tục X Giả sử (f1 , · · · , fN ) nửa liên tục PN n=1 fn đạt cực tiểu x Khi đó, với ε > 0, tồn xn ∈ x + εB x∗n ∈ Dβ− fn (xn ), n = 1, · · · , N, cho |fn (xn ) − fn (x)| < ε, P ∗ kx∗n k diam({x1 , · · · , xN }) < ε, n = 1, · · · , N k N n=1 xn k < ε Trong kết địa phương này, tính chất (f1 , · · · , fN ) nửa liên tục địa phương tương đối mạnh, điều dẫn đến tính cho lớp nghiệm phương trình Hamilton-Jacobi bị thu hẹp Vấn đề tiếp tục đặt làm giảm giả thiết hàm fn 2.2 Nghiệm β -nhớt phương trình Hamilton-Jacobi khơng gian Banach Chúng ta biết có nhiều loại đạo hàm (trên đạo hàm) chúng tài liệu tham khảo Trong số đó, đạo hàm theo nghĩa Fréchet, Hadamard, Gâteaux Mordukhovich sử dụng rộng rãi [15, 25, 27, 38, 39, 30] Rõ ràng, với lớp phương trình HamiltonJacobi, việc sử dụng đạo hàm khác dẫn đến loại nghiệm nhớt khác Trong nghiên cứu [9, 23, 20, 21, 30], nghiệm nhớt đặc trưng nửa đạo hàm Fréchet Mặt khác, nhiều cơng trình có, để nghiên cứu tính chất định tính nghiệm nhớt ta cần đến tính trơn chuẩn Tuy nhiên điều không cho hầu hết không gian Banach L1 Để khắc phục vấn đề này, tác giả [19, 25] đề xuất khái niệm Borno β, đạo hàm β -nhớt, β -nghiệm nhớt đạt tính nghiệm cho phương trình Hamilton-Jacobi có dạng u + H (x, Du) = Chúng quan tâm đến kết tính nghiệm phương trình Hamilton-Jacobi [19], với mong muốn mở rộng kết tính [19] cho lớp phương trình rộng u + H (x, u, Du) = thiết lập tồn tính ổn định nghiệm β -nhớt giả thiết định 2.3 Ứng dụng nghiệm nhớt toán điều khiển tối ưu Theo nguyên lý quy hoạch động [19] hàm giá trị V (x) toán điều khiển tối ưu xác định: với x ∈ X t > 0, Z t V (x) = inf e−λs f (yx (s, α), α(s))ds + e−λt V (yx (t, α)) α∈U 10 Chúng sử dụng nguyên lý quy hoạch động [19] để chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu, hàm khơng bị chặn, nghiệm β -nhớt phương trình Hamilton-Jacobi Hơn chúng tơi cịn thiết lập điều kiện cần, điều kiện đủ cho toán điều khiển tối ưu không gian vô hạn chiều cách sử dụng nghiệm β -nhớt Trong [20], tác giả trình bày nghiệm Fréchet-nhớt khơng gian Banach thiết lập tính nghiệm Fréchet-nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi Một giả thiết đưa để chứng minh tính nghiệm giả thiết Radon-Nikodym Trong [19], tính nghiệm β -nhớt không gian Banach lớp hàm liên tục bị chặn Nội dung nghiên cứu chúng tơi chứng minh tính nghiệm β -nhớt mà khơng cần sử dụng giả thiết Radon-Nikodym đồng thời lớp hàm nghiệm nới rộng Cụ thể hơn, hàm giá trị trình bày [19] hàm bị chặn tập trung nghiên cứu để đạt kết Một vấn đề chúng tơi quan tâm tìm điều kiện cần điều kiện đủ cho toán điều khiển tối ưu không gian vô hạn chiều với công cụ sử dụng nghiệm β -nhớt 2.4 Phương trình Hamilton-Jacobi với toán điều khiển tối ưu khớp nối với hàm chi phí khơng bị chặn Trong [13] [24] tác giả nghiên cứu toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn không gian hữu hạn chiều với giả thiết tốc độ tăng trưởng hàm chi phí `i khơng vượt q hàm đa thức, nghiên cứu trường hợp hàm chi phí `i có độ tăng trưởng khơng vượt hàm mũ hàm đa thức cách mở rộng giả thiết [4] [35] sau nghiên cứu toán điều khiển tối ưu khớp nối cách sử dụng nghiệm nhớt Cụ thể, thay giả thiết (H1) [4] [35] hàm chi phí là: Với i = 1, · · · , N, hàm `i : Ji × Ai → R liên tục bị chặn Tồn môđun liên tục ωi cho với x, y thuộc Ji với a ∈ Ai , |`i (x, a) − `i (y, a)| ≤ ωi (|x − y|), ∗ giả thiết (H2) (H2) (xem mục 4.1.2.) cho 11 ... 3.1.2 Tính chất hàm giá trị toán điều khiển tối ưu 70 3.2 Ứng dụng nghiệm β -nhớt toán điều khiển tối ưu 72 Chương PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON- JACOBI VỚI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRÊN KHỚP NỐI VỚI HÀM... tồn nghiệm phương trình chúng tơi • Chương Ứng dụng nghiệm nhớt toán điều khiển tối ưu Trong chương này, chúng tơi chứng minh hàm giá trị tốn điều khiển tối ưu nghiệm β -nhớt phương trình Hamilton- Jacobi. .. Chứng minh tính ổn định tồn nghiệm β -nhớt phương trình Hamilton- Jacobi dạng tổng quát u + H (x, u, Du) = 3) Chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu nghiệm β -nhớt phương trình Hamilton- Jacobi