Bước đầu tìm hiểu nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN TRƯƠNG TRÍ DŨNG BƯỚC ĐẦU TÌM HIỂU NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng – 2015 –1– ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN TRƯƠNG TRÍ DŨNG BƯỚC ĐẦU TÌM HIỂU NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Niên khóa 2011 – 2015 –1– LỜI CÁM ƠN Trong suốt q trình thực khóa luận, em nhận hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo hướng dẫn: TS Nguyễn Duy Thái Sơn thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Em xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, TS Nguyễn Duy Thái Sơn toàn thể q thầy khoa Tốn giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành tốt khóa luận Bằng nổ lực thân, khóa luận hồn thành Tuy nhiên khn khổ thời gian có hạn lực thân cịn nhiều hạn chế, khóa luận khó tránh khỏi sai sót Em mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn sinh viên để thân tiếp tục hoàn thiện bước đường học tập Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 04 năm 2015 Sinh viên TRƯƠNG TRÍ DŨNG –1– MỤC LỤC Lời cám ơn Mục lục Mở đầu Chương 1: Ký hiệu kiến thức mở đầu 1.1 Ký hiệu: 1.1.1 Ký hiệu hình học: 1.1.2 Ký hiệu hàm số: 1.1.3 Các ký hiệu đạo hàm: 1.1.4 Các không gian hàm: 1.1.5 Các hàm vectơ: 10 1.2 Kiến thức tôpô: 10 1.3 Kiến thức giải tích thực: 12 1.3.1 Độ trơn hàm trơn hóa: 12 1.3.2 Công thức phần dư khai triển MacLauren / Taylor: 13 1.3.3 Hội tụ đều: 14 Chương 2: Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng 15 2.1 Những ý tưởng ban đầu nghiệm nhớt: 15 2.2 Định nghĩa nghiệm nhớt: 16 2.3 Tính hợp lý nghiệm nhớt: 20 2.4 Tính nghiệm nhớt: 24 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 –2– MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung phương trình đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng có nhiều ứng dụng thực tế Được bắt đầu nghiên cứu từ kỷ 18 lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến đến chưa hoàn thiện Một tốn phương trình vi phân đạo hàm riêng có ý nghĩa thực tiễn chắn có nghiệm Tuy nhiên có nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng mà ta nghiên cứu, đặc biệt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến khơng có nghiệm cổ điển Do mà ta cố gắng xây dựng lý thuyết nghiệm suy rộng nghiệm yếu chúng, đặc biệt tính Khoảng năm 1981, M G Crandall P L Lions đưa khái niệm nghiệm nhớt (một loại nghiệm yếu) đông đảo chuyên gia chấp nhận tiếp tục phát triển Từ đến có hàng vạn báo sách chuyên khảo viết nghiệm nhớt nhiều vấn đề mở chưa giải Từ ta thấy tầm quan trọng ý nghĩa to lớn nghiệm nhớt việc nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng Nhận thức tầm quan trọng nghiệm nhớt nhằm giúp bạn đọc có hiểu biết ban đầu nghiệm nhớt phương trình vi phân đạo hàm riêng, em chọn: “BƯỚC ĐẦU TÌM HIỂU NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp –3– Mục tiêu nghiên cứu: Tìm kiếm nhiều tài liệu khác nhau, nghiên cứu kỹ, củng cố kiến thức cũ, tìm hiểu kiến thức nghiệm nhớt phương trình vi phân đạo hàm riêng Sau trình bày lại kiến thức luận văn hy vọng khóa luận hồn thành – trở thành tài liệu tham khảo có ích cho sinh viên muốn tìm hiểu phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung hay nghiệm nhớt nói riêng Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm nhớt phương trình vi phân đạo hàm riêng Phạm vi nghiên cứu: Một số tính chất nghiệm nhớt phương trình Hamilton – Jacobi Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu để thu thập thông tin trình bày nội dung phục vụ cho yêu cầu đề tài Nội dung đề tài: Chương 1: Ký hiệu kiến thức mở đầu Chương giới thiệu ký hiệu thường dùng trình bày vắn tắt kiến thức sở sử dụng Chương Chương 2: Nghiệm nhớt phương trình Hamilton – Jacobi Chương đề cập đến khái niệm nghiệm nhớt tính chất nghiệm nhớt tính hợp lý tính Kết luận –4– CHƯƠNG KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1 KÝ HIỆU: 1.1.1 Ký hiệu hình học: (i) ℝ không gian Euclid thực (ii) ℝ ={ =( , – chiều )∈ℝ | ,…, > 0} nửa khơng gian mở phía (iii) Một điểm ℝ thường ký hiệu ( , )=( , ta thường dùng = viết (iv) (v) = ( , ( , )= biến thời gian Một điểm x ∈ ℝ ) với ’ = ( , = biên , , ) ,…, ∪ )∈ℝ ,…, bao đóng ∈ℝ | − |< hình cầu mở ℝ với tâm x bán kính r > (vi) ( , ) hình cầu đóng với tâm x bán kính r > (vii) ∝ ( ) thể tích hình cầu đơn vị (0,1) ℝ : ∝( )= Và (viii) Nếu Γ 2+1 ∝ ( ) diện tích mặt cầu đơn vị =( , ,…, = ) (0,1) ℝ =( , ,…, , | |= –5– ) thuộc ℝ thì: 1.1.2 Ký hiệu hàm số: → ℝ, ta viết ( ) = ( , (i) Nếu : Ta nói trơn (ii) Nếu : →ℝ ( ∈ ) ( ) ( ∈ ) hàm khả vi vô hạn ∈ ℕ∗ ), ta viết ( ( )= Hàm ) ,…, ( ), thành phần thứ ( ), … , ( = 1, … , ) (iii) Nếu Σ mặt trơn ( − 1) chiều ℝ , ta viết để ký hiệu tích phân mặt Nếu Σ lấy theo độ đo ( − 1) – chiều đường cong ℝ , ta ký hiệu tích phân đường đường cong C lấy theo độ dài cung (iv) Các trung bình: trung bình hình cầu ( , ), trung bình mặt cầu (v) Hàm : ( , ) → ℝ gọi liên tục Lipschitz | ( ) − ( )| ≤ | − | với số với , Lip [ ] ∶= sup , ∈ –6– ∈ Ta viết | ( ) − ( )| | − | (vi) Tích chập ∗ hàm , : ( ∗ )( ): = (vii) Cho ( ) ( − ) tập hợp số thực, = ±∞); (a) Ta nói điểm tụ hai hàm số xác định Khi đó: không đáng kể = ( ) ∈ ℝ ( → → viết tồn hàm số ℎ xác định cho ( ) = ( )ℎ( ), ∀ ∈ \{ } lim ℎ( ) = → = ( ) (b) Ta viết → tồn hàm số ℎ xác định cho ( ) = ( )ℎ( ), ℎ bị chặn với ≠ đủ gần ∀ ∈ 1.1.3 Các ký hiệu đạo hàm: Giả thiết : (i) → ℝ, ⊂ ℝ ( ) ⬚ ( ) = lim → Ở đây, ( ) , tồn giới hạn = (0, … ,0,1,0, … 0) ∈ ℝ vectơ đơn vị trục tọa độ (1 ≤ ≤ ) (ii) Ta thường viết (iii) Tương tự = thay cho = , (iv) Ký hiệu đa số: –7– , v.v =( (a) Một vectơ có dạng , ), thành phần ,…, số nguyên không âm, gọi đa số bậc | |= + + ⋯+ (b) Cho trước đa số , ký hiệu | | ≔ (c) Nếu hàm ( ) điểm ℝ Ta coi (d) = ∑| (e) Với = 1, ta gọi | … ( ) ký hiệu tập tất đạo nguyên không âm, hàm riêng bậc Với = … | | = ,…, vectơ gradient = 2, ta coi phần tử ⎛ =⎜ ⎜ ma trận ⋯ ⋮ ⎞ ⎟ ⎟ ⋮ ⋯ ⎝ ⎠ × ma trận Hessian (v) ∆ = = tr( ) toán tử Laplace u (vi) Thỉnh thoảng ta dùng số gắn với ký hiệu , , … để ký hiệu biến lấy đạo hàm Chẳng hạn như: = = ( , )( ∈ℝ , ,…, , –8– ∈ ℝ ), =( ,…, ) 2.3 Tính hợp lý nghiệm nhớt: Khái niệm nghiệm nhớt tương thích với khái niệm nghiệm cổ điển Để kiểm tra điều này, trước hết ta chứng minh nghiệm cổ điển phương trình ( , )+ ( , ) =0 , liên tục bị chặn nghiệm nhớt Thật vậy, xét ℝ × [0; ∞) nghiệm toán (2.1), ∈ liên tục bị chặn Khi đó: Nếu trơn đạt cực đại địa phương ( , ) ∈ ℝ × [0, ∞) − ( , )= Do đó: ( , ) ( , )+ , Tương tự với trường hợp ta chứng minh ( , ) = − trơn ( , )+ , ( , )= ( , )+ ( , ) , ( , ) = đạt cực tiểu địa phương ( , ( , ) = Vậy ), nghiệm nhớt toán (2.1) Bây ta chứng minh nghiệm nhớt đủ trơn nghiệm cổ điển Để làm điều này, ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Cho : ℝ → ℝ hàm liên tục khắp nơi khả vi điểm Khi tồn hàm (ℝ ) cho ∈ ( )= ( ) − đạt cực đại ngặt địa phương – 20 – (2.16) (2.17) Chứng minh:  Trước hết, ta giả thiết: Thật vậy, (0) ≠ = 0, (0) = 0, (0) = (2.18) (0) ≠ Thay cho u ta xét hàm cho bởi: ( )= ( + (0) = Dễ thấy )− ( )− ( )∙ (0) = Hơn ∃ ∈ (ℝ ): ( ) = ( ) ⇔∃ ∈ (ℝ ): (0) = (0) Thật vậy, xét ( ) = ( + − − − đạt cực đại ngặt địa phương )− ( )− Khi đó: ( − )( ) = ( − )( + Do đạt cực đại ngặt địa phương ) đạt cực đại ngặt địa phương ∃ lân cận thủng ( )∙ nên cho ( − )( ) > ( − )( ) Do đó: ( − )(0) = ( − )( ) > ( − )( ) = ( − )( − ⇒ ( − )(0) > ( − )( ) Với Vậy ∃ ảnh ∈ qua phép tịnh tiến dời điểm (ℝ ): (0) = (0) – 21 – − ∀ ∈ )∀ ∈ ∀ ∈ đạt cực đại ngặt địa phương  Trở lại với bổ đề 2.1, liên tục khắp nơi giả thiết (2.18) ta đặt ( ) = | | ( ), với : ℝ → ℝ liên tục (0) = Đặt: ( ): = max | ( )| ( ≥ 0) ∈ ( ; ) Khi : [0; ∞) → [0; ∞) liên tục, (0) = q đơn điệu không giảm Đặt | | ( ): = ( ) +| | ( ∈ ℝ ) | | Ta có: | | ( ) ≤ (2| | − | |) max [| |, | |] ≤ | | (2| |) | | ⇒ ≤ ( ) ≤ | | (2| |) + | | Do với x = 0, ta có: (0) = Với ≠ 0, Vậy ∈  Với ( )= (0) = (2 ) − ( )+2 | | | | ( ℝ ) ≠ 0, | | ( )− ( )= | | ( )− ( ) −| | | | ≤ | | (| |) − (2| | − | |) [| |, | |] −| | = | | (| |) − | | (| |) − | | = −| | < = (0) − (0) Vậy − đạt cực đại ngặt địa phương – 22 – Định lý 2.1 (Tính hợp lý nghiệm nhớt) Cho : ℝ × [0; ∞) → ℝ nghiệm nhớt toán (2.1) khả vi điểm ( , ) ∈ ℝ × (0; ∞) Khi đó: ( , )+ ( , ) = , Chứng minh:  Theo bổ để 2.1: ∃ ≔ Đặt (ℝ ∈ ): ∗ , với → → → đạt cực đại ngặt địa phương ( , ) hàm làm trơn chuẩn ℝ Khi đó: lân cận đủ nhỏ ( , ) đạt cực đại điểm ( , ) với ( , ) → ( , ) − Do đó, − → Theo định nghĩa nghiệm nhớt, ta có: ( , )+ ( , ) ≤ , Chuyển qua giới hạn → 0, ta có: ( , )+ Hơn nữa, ( , ) nên , khả vi ( , ( , )= ) ( , ) ( , ) ≤ − đạt cực đại ngặt địa phương ( , )= ( , ) Do đó: ( , )+ , ( , ) ≤ (2.19)  Theo bổ để 2.1: ∃ ⇒ ∈ + (ℝ ): − − đạt cực đại ngặt địa phương ( , đạt cực tiểu ngặt địa phương ( , ) – 23 – ) ⇒ − (− ) đạt cực tiểu ngặt địa phương ( , ) Vậy ∃ (ℝ ∈ ): − đạt cực tiểu ngặt địa phương ( , ) Bằng cách chứng minh tương tự trên, ta có: ( , )+ ( , ) ≥ , (2.20) Từ (2.19) (2.20) ta có: ( , )+ , ( , ) = 2.4 Tính nghiệm nhớt: Một tính chất quan trọng nghiệm nhớt tính Ta > xét toán cố định thời điểm + ( , = )=0 ℝ × (0, ] ℝ × { = 0} (2.21) Một hàm liên tục bị chặn gọi nghiệm nhớt toán = ℝ × { = 0}, bất đẳng thức (2.14) (tương ứng (2.15)) (2.21) thỏa mãn − đạt cực đại (tương ứng cực tiểu) địa phương ( , ) ∈ ℝ × (0, ) Bổ đề 2.2 (Cực trị thời điểm cuối) Cho nghiệm nhớt tốn (2.21), ∈ (ℝ × (0, ]) − đạt cực đại (tương ứng cực tiểu) địa phương điểm ( , ) ∈ ℝ × (0, ] Khi đó: ( , )+ ; ( , Chứng minh: – 24 – ) ≤0 (tương ứng ≥ 0) = Ta cần chứng minh bổ đề cho trường Vấn đề ta có phép hợp − đạt cực đại địa phương điểm ( , ); ta xem cực đại ngặt Đặt ( , )= ( , )+ Khi với với − > đủ nhỏ, đạt cực đại địa phương điểm ( , ) ∈ (0, ) ( , ) → ( , ) ( , )+ ⇒ ( , )+ → Vì ( , ) ≤0 , , Chuyển qua giới hạn ∈ ℝ , ∈ (0, ) − ( , ) + ( − ) ≤0 → 0, ta ( , )+ , ( , ) ≤ Chứng minh tương tự ta bất đẳng thức ngược chiều − đạt cực tiểu địa phương ( , ) Định lý 2.2 (Tính nghiệm nhớt) Xét tốn (2.21) với hàm Hamilton H thỏa điều kiện liên tục Lipschitz | ( , ) − ( , )| ≤ | − | | ( , ) − ( , )| ≤ | − |(1 + | |) với , , , thuộc ℝ ; > số Khi tốn (2.21) có nghiệm nhớt nghiệm Chứng minh:  Giả sử hai nghiệm nhớt tốn (2.21) := sup ( ℝ ×[ , ] – 25 – − ) > (2.22) Chọn < , < đặt Φ( , , , ): = ( , ) − ( , ) − (t + s) − (| − | + ( − ) ) − (| | + | | ) (2.23) với , thuộc ℝ , ∈ (0, ] Do liên tục bị chặn nên Φ liên tục bị chặn Do tồn điểm ( , , )∈ℝ , × (0; ] cho Φ( , , )= , ℝ max ×( ; ] Φ( , , , ) (2.24)  Từ (2.24), ta có: ⇒ ( , )− ( , − ⇒ ( + (| , )− ( + | +( − )+ Φ( , (| − ) ≥ Φ(0,0,0,0) , ) ) ) − (| | + | | ) ≥ − | +( − ) ) + (| | + | | ) ≤ ( , )− ( , Do bị chặn ∃ (| | +( − ) − (0,0) + (0,0) ≤ − ) )≤ ⇒ (với ⇒| − |, | Đồng thời ta có − ) − (0,0) + (0,0) ∈ ℝ cho ( , )− ( , ⇒ (0,0) − (0,0) | = ( ) − − , |≤ |≤ số thực đó) → (| | + | | ) ≤ – 26 – | | (2.25) Do đó: (| | + | |) = (| | + | |) ≤ + (| | + | |) + 2(| | + | | ) ≤ ≤ (Với ⇒ (| | + | |) =  (2.24) ⇒ Φ( , ) ≥ Φ( , , , ⇒ ( , )− ( , )− ( + , )− (| − | +( − (2.26) , ) (| − | +( − (| − | +( − | −2 | | )+ − + | | − | | ) ) ≤ ( , )− ( , Từ (2.25), (2.26) ) ) ) ) ≤ ( , )− ( , ⇒ =1+2 ) − (| | + | | ) ≥ ( , ) − ( , ) − ⇒ )+ ( − ) + (| | − | |)(| | + | |) liên tục đều, ta có: − |, | − | = o( ) → (2.27)  Ta cố định giá trị , (0 < , < 1) đủ nhỏ cho Φ( , , , ) ≥ max Φ( , , , ) ≥ ℝ ×( ; ] – 27 – (2.28) Kí hiệu ( ) mơđun liên tục , tức ( , )− ( , )≤ với , ∈ ℝ , với < , < ; (| − | + | − |) ( ) → → Tương tự ( ) mơđun liên tục Ta có: ( , )− ( , ) = [ ( , ) − ( , 0)] + [ ( , 0) − ( , 0)] + [ ( , 0) − ( , )] + [ ( , ) − ( , ≤ ( ) + ( ) − ( ) + ( ) + (| = ( ) + ( ) − ( ) + ( ) + (o( )) − Kết hợp với (2.28), ta có: ( ) + ( ) + (o( )) ≥ Ta chọn > đủ nhỏ cho ( )+ ( )≥ Điều dẫn đến Tương tự ta có ≥ > với số ≥ > với số – 28 – > > |+| − )] |) : ℝ × [0, ] → ℝ  Xét ánh xạ ( , ) ↦ Φ( , ) , , đạt cực đại ( , ) ⇒ Xét ( , ): = ( , ) + (t + )+ (| − | +( − ) ) + (| | + | | ) Khi đó: ( − )( , ) = ( , ) đạt cực đại ( , ) Ta có: ( , )= Vì + ) 2( − ( , )= ) 2( − +2 nghiệm nhớt toán (2.21) nên theo bổ đề 2.2, ta có: ( , )+ ⇒ + 2( − ) + ; 2( − ) +2 (2.29) ≤ : ℝ × [0, ] → ℝ Tương tự, xét ánh xạ ↦ −Φ( , , , ) ( , ) ⇒ ( , ) ≤0 ; đạt cực tiểu , + )− Xét ( , ): = ( 0, 0) − ( (| − | +( Khi đó: ( − )( , ) = ( , ) đạt cực tiểu 0 − ) ) − (| , 0| Ta có: ( , )= − + 2( − ) – 29 – ( , )= 2( − ) −2 +| | ) Vì nghiệm nhớt tốn (2.21) nên theo bổ đề 2.2, ta có: ( , )+ ⇒− + 2( − ) ( , ) ≥0 ; + 2( ; ) − −2 (2.30) ≥0  Lấy (2.29) trừ (2.30) ta + ; ⇒2 ≤ ; 2( − 2( − ) ) +2 − ; −2 − ; 2( 2( − − ) ) −2 ≤0 (2.31) +2 Từ điều kiện liên tục Lipschizt (2.22) ta có: | ( , ) − ( , )| ≤ | ( , ) − ( , )| + | ( , ) − ( , )| | − |+ ≤ | − |(1 + | |) | ( , ) − ( , )| ≤ | ( , ) − ( , )| + | ( , ) − ( , )| | − |(1 + | |) + ≤ | − | Cộng hai bất đẳng thức ta | ( , ) − ( , )| ≤ | − | + ′| − |(2 + | | + | |) (2.32) Áp dụng bất đẳng thức (2.32) với = ; = ; = 2( − ) −2 ; = 2( ta được: , 2( − ) +2 − – 30 – , 2( − ) −2 − ) +2 , 2( ≤ ) − −2 + ′| ≤2 | + | + 2( ) − − | 2+ − | 2+ 2( −2 − ) − |+2 | |+ −2 + 2( − ) +2 | + ′| ≤2 − | + ′| − | | 1+ | | − | − |+2 | | + (| | + | |) Từ bất đẳng thức (2.31), ta có: ≤ | + | + ′| | 1+ − | − | + (| | + | |) Trong bất đẳng thức trên, ta sử dụng kết (2.26), (2.27) cho ta 0< ≤ (Vơ lý) Mâu thuẫn nói lên giả thiết := sup ( − )>0 ℝ ×[ , ] sai Hơn < ta thay đổi cách đặt thành := sup ( ℝ ×[ , ] – 31 – − ) > → 0, Khi cách làm trên, ta chứng minh điều vô lý Do Điều dẫn tới – 32 – ≡ ℝ × [0, ] KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận: “Bước đầu tìm hiểu nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng.” Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu thực khóa luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học Qua em củng cố lại kiến thức học năm qua, biết thêm số kiến thức Khóa luận trình bày lại cách xây dựng nghiệm nhớt, định nghĩa tính chất Khóa luận tập trung chủ yếu vào việc chứng minh tính chất quan trọng nghiệm nhớt; tính hợp lý tính Các ký hiệu kiến thức giải tích liên quan đến đề tài trình bày lại cách hệ thống chương đầu khóa luận Do thời gian thực có hạn, lực thân cịn nhiều hạn chế nên dù em cố gắng, khóa luận khó tránh khỏi sai sót Em kính mong q thầy bạn sinh viên thơng cảm góp ý cho khóa luận hồn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! – 33 – TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Đức Vân 2005, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội L.C Evans 1998, Partial Differential Equations, American Mathematical Society Press Nguyễn Xuân Liêm 2010, Giải tích, tập 1, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Nguyễn Xuân Liêm 1994, Tô pô đại cương – Độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam – 34 – ... to lớn nghiệm nhớt việc nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng Nhận thức tầm quan trọng nghiệm nhớt nhằm giúp bạn đọc có hiểu biết ban đầu nghiệm nhớt phương trình vi phân đạo hàm riêng, ... viên muốn tìm hiểu phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung hay nghiệm nhớt nói riêng Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm nhớt phương trình vi phân đạo hàm riêng Phạm... KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận: ? ?Bước đầu tìm hiểu nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng. ” Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu thực khóa luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa