Bước đầu tìm hiểu lý thuyết dàn

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✣⑨ ◆➂◆● ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ −−− −−− ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣➲ t➔✐✿ ❇×❰❈ ✣❺❯ ❚➐▼ ị ữợ ❚❘×❒◆● ❈➷◆● ◗❯Ý◆❍ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✿ P❍❆◆ ❇⑩ ❚Ü ✿ ✶✵❈❚❚✶ ▲ỵ♣ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ✺✴✷✵✶✹ ▼ư❝ ❧ư❝ ▼Ư❈ ▲Ö❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ▼Ð ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✼ ✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỡ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✷ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ỵ tt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✷✳✷ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞➔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✷✳✸ ❉➔♥ ❝♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✷✳✸✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✷✳✸✳✷ ●✐❛♦ ❝õ❛ ❝→❝ ❞➔♥ ❝♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ■✤➯❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✹✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ 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y ✈ỵ✐ y ∈ H} ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❦➼ ❤✐➺✉ ↓ H ❦❤✐ t➟♣ ❝â t❤ù tü P ✤÷đ❝ ❤✐➸✉✳ ◆➳✉ H = {h} t❛ ❝â t❤➸ ❦➼ ❤✐➺✉ ↓ h t❤❛② ❝❤♦ ↓ {h}✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ t➟♣ t➜t ❝↔ t ữợ t õ tự tỹ P DownP ✳ ❑❤✐ ✤â ∅ ∈ DownP ✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✈➟② t❛ ❣å✐ A ❧➔ t➟♣ tr➯♥ ❝õ❛ P ♥➳✉✿ ∀x ∈ A, y ∈ P, x ≤ y t❤➻ t❛ ❝â y ∈ A✳ ❱➔ ❝❤ó♥❣ t❛ sû ỵ pH H ↑ h✳ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ tr➯♥ ❝õ❛ P ỵ upP t õ tự tü (A0 ; ≤) ✈➔ (A1 ; ≤)✱ ♠ët →♥❤ ①↕ ϕ : A0 −→ A1 t❤ä❛ ♠➣♥✿ ∀a, b ∈ A0 : a ≤ b ⇔ ϕ(a) ≤ ϕ(b)✳ õ ữủ ởt ỗ t❤ù tü✳ ◆➳✉ ϕ ❧➔ s♦♥❣ →♥❤ ✈➔ ϕ ❧➔ ỗ t õ t ởt ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✳ ◆➳✉ ❣✐ú❛ (A0 ; ≤) (A1 ; ) tỗ t ởt t❤➻ t❛ ♥â✐ (A0 ; ≤) ✈➔ (A1 ; ≤) ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉ ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ (A0 ; ≤) ∼ = (A1 ; ≤)✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ◆❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠ët ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ♠ët ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ϕ : A0 −→ A1 ✈➔ ϕ−1 : A1 −→ A0 ✳ ϕ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤ ♥➯♥ ϕ−1 ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤✳ ✽ ✶✳✷✳ ❙❒ ✣➬ ❈❍×❒◆● ✶✳ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ∀x, y ∈ A1 , ∃a, b ∈ A0 : ϕ(a) = x, ϕ(b) = y ❙✉② r❛ ϕ−1 (x) = a, ϕ−1 (y) = b x ≤ y ⇔ ϕ(a) ≤ ϕ(b) ⇔ a ≤ b ⇔ ϕ−1 (x) ≤ ϕ−1 (y)✳ ❱➟② ϕ−1 ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✳ ❈❤♦ (A; ≤) ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü✳ ❈→❝ ♣❤➛♥ tû a, b ∈ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ s♦ s→♥❤ ✤÷đ❝ ♥➳✉ a ≤ b ❤♦➦❝ b ≤ a✳ ◆➳✉ a ✈➔ b ❦❤æ♥❣ t❤➸ s♦ s→♥❤ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ a||b✳ ❈❤♦ (A; ≤) ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü ✈➔ (A; ≤) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝â t❤ù tü t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû a, b ∈ A ✤➲✉ s♦ s→♥❤ ữủ (i) N, Z, Q, R ợ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü ❤ì♥ ♥ú❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ t➟♣ ❝â t❤ù tü t✉②➳♥ t➼♥❤✳ (ii) Cn = {0, 1, 2, , n − 1} ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü t✉②➳♥ t➼♥❤✳ (iii) ❈❤♦ t➟♣ S ✳ ❑➼ ❤✐➺✉ P (S) ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ S ✳ ◗✉❛♥ ❤➺ ≤ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✿ ∀X, Y ∈ P (S)(X, Y ⊂ S) : X ≤ Y ⇔ X ⊂ Y ✳ ❑❤✐ ✤â P (S) ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ð tr➯♥ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â tự tỹ ỡ ỗ t (iii) ợ S = {u, v}✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ = ∅, a = {u}, b = {v}, = {u, v}✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ♠ỉ t↔ P (S) ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧✐➺t ❦➯ ❝→❝ ❝➦♣ (x, y) ✈ỵ✐ x ≤ y : {(0, 0), (0, a), (0, b), (0, 1), (a, a), (a, 1), (b, b), (b, 1), (1, 1)}✳ ✾ ✶✳✷✳ ❙❒ ✣➬ ❈❍×❒◆● ✶✳ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ❚➜t ❝↔ ❝→❝ ❝➦♣ (x, x) ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❜ä q✉❛ tr♦♥❣ ❞❛♥❤ s→❝❤ ✈➻ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐➳t x ≤ x✳ r x y tỗ t z : z = x, z = y, x ≤ z, z ≤ y t❤➻ ❝➦♣ (x, y) ❝â t❤➸ ❜ä q✉❛ ✈➻ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❜➢❝ ❝➛✉ t❛ ❝â t❤➸ s✉② r❛ x ≤ y ✳ ❱➼ ❞ư ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐➳t r➡♥❣ ≤ a ✈➔ a ≤ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤ỉ♥❣ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❝❤♦ ❜✐➳t ≤ 1✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➔♠ ♥❤÷ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ P (S) ❜➡♥❣ ❝→❝ ❝➦♣ (x, y) ✈ỵ✐ sè ❧÷đ♥❣ ➼t ❤ì♥ ♥❤✐➲✉✱ ❝➦♣ (x, y) ❝â ♥❣❤➽❛ x < y : {(0, a), (0, b), (a, 1), (b, 1)}✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ ❝â t❤ù tü ❤ú✉ ❤↕♥ (P ; ≤) t❛ rót ❣å♥ ❝→❝ ❝➦♣ sè ❝â q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü ✈➔ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû ❜➡♥❣ ởt ợ ộ tỷ ữủ rót ❣å♥ ♥❤÷ t❤➳ t❛ ♥è✐ ❜ð✐ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✳ ởt ữ t t sỡ ỗ tố t❤✐➸✉✮ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü (P ; ≤)✳ ởt sỡ ỗ ổ õ ữớ t ỗ t t õ sỡ ỗ sỡ ỗ P (S) ỡ ỗ P (S) é t ❝â t❤ù tü✳ ❚❤ü❝ ❝❤➜t ✤➙② ❧➔ ❤➻♥❤ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ❝ò♥❣ ♠ët t➟♣ ❝â t❤ù tü ✈➔ ❧➔ ♠ët sỡ ỗ ì ị ❉⑨◆ ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥✿ id(H) = {x ∈ L|x ≤ h1 ∨ h2 ∨ ∨ hn ,✈ỵ✐ n ≥ 1; h1 , h2 , , hn ∈ H} ❍➺ q✉↔ ✷✳✹✳✸✳ ◆➳✉ H ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ ❞➔♥ L t❤➻ id(H) ❧➔ ■✤➯❛♥ ❝❤➼♥❤✳ ❈❤♦ IdL ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ■✤➯❛♥ ❝õ❛ ❞➔♥ L ✈➔ Id0 L = IdL {∅}✳ ❑❤✐ ✤â IdL ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➔♥ ❝→❝ ■✤➯❛♥ ✈➔ Id0 L ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➔♥ ❝→❝ ■✤➯❛♥ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ❝õ❛ L✳ Ð ✤➙② ❞➔♥ IdL ❝â ❝→❝ ♣❤➨♣ ❤ë✐ ✈➔ t✉②➸♥ t÷ì♥❣ ù♥❣✿ I ∨ J = id(I J) I ∧ J = id(I J) = I J ú t q ữợ id() = ✈➔ ❦❤✐ ✤â ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ❝❤♦ Id0 L ỗ ❈❤♦ ❝→❝ ♥û❛ ❞➔♥ (S0 ; o) ✈➔ (S1 ; o)✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ϕ : S0 −→ S1 ✤÷đ❝ ỗ ỷ a, b S0 : ϕ(aob) = ϕ(a)oϕ(b) ❈❤♦ ❝→❝ ❞➔♥ (L0 ; ∨; ∧) ✈➔ (L1 ; ∨; ∧)✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ϕ : L0 −→ L1 ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔  ♠ët ỗ (a b) = ϕ(a) ∨ ϕ(b)   ϕ(a ∧ b) = ϕ(a) ∧ ϕ(b) ❈❤♦ ❝→❝ ❞➔♥ (L0 ; ∨; ∧) ✈➔ (L1 ; ∨; ∧)✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ϕ : L0 −→ L1 ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✭✤ì♥ ❝➜✉✱ t ỗ ϕ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤ ✭✤ì♥ →♥❤✱ t♦➔♥ →♥❤✮✳ ✷✸ ✷✳✺✳ ✣➬◆● ❈❻❯ ❉⑨◆✲ ✣➃◆● ❈❻❯ ❉⑨◆ ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ị tỗ t ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥ ❣✐ú❛ L0 ✈➔ L1 t❤➻ L0 L1 ữủ ợ ữủ ỵ L0 = L1 ỗ é tø P (S) ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✶✳✶ ✈➔♦ C3 ✳ ❍➻♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ❧➔ ❜↔♦ t♦➔♥ t❤ù tü ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔ ỗ ổ t ổ tự ởt ỗ ữ ổ t ỗ tự ởt ỗ ỵ (L0 ; ; ∧) ✈➔ (L1 ; ∨; ∧)✳ ▼ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü ϕ : L0 −→ L1 ❧➔ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●❙ ϕ : L0 −→ L1 ❧➔ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✳ ❱➻ ϕ ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉  t❤ù tü ♥➯♥ ϕ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤✳ ✭✯✮   c=a∨b ∀a, b ∈ L0 t❛ ✤➦t   d=a∧b • ❚❛ ❝â    a≤c   b≤c ∀c ∈ L1 s❛♦ ❝❤♦✿ ⇒    ϕ(a) ≤ ϕ(c)   ϕ(b) ≤ ϕ(c)    ϕ(a) ≤ c   ϕ(b) ≤ c ✷✹ ✭✶✮✭✈➻ ϕ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✮ ✷✳✺✳ ✣➬◆● ❈❻❯ ❉⑨◆✲ ✣➃◆● ❈❻❯ ❉⑨◆ ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ ⇒    a ≤ ϕ−1 c   b ≤ ϕ−1 c ⇒ c ≤ ϕ−1 (c ) ⇒ ϕ(c) ≤ c ✭✷✮ ❚ø ✭✶✮ ✈➔ ✭✷✮ ⇒ ϕ(a) ∨ ϕ(b) = ϕ(c) ❤❛② ⇒ ϕ(a) ∨ ϕ(b) = ϕ(a ∨ b) ✭✯✯✮      ϕ(d) ≤ ϕ(a)  d≤a ✭✸✮✭✈➻ ϕ ✤➥♥❣ ❝➜✉ t❤ù tü✮ ⇒ • ❚❛ ❝â    ϕ(d) ≤ ϕ(b)  d≤b    d ≤ ϕ(a) ∀d ∈ L1 s❛♦ ❝❤♦✿   d ≤ ϕ(b)    ϕ−1 (d ) ≤ a ⇒   ϕ−1 (d ) ≤ b ⇒ ϕ−1 (d ) ≤ d ⇒ d ≤ ϕ(d) ✭✹✮ ❚ø ✭✸✮ ✈➔ ✭✹✮ ⇒ ϕ(a) ∧ ϕ(b) = ϕ(d) ❤❛② ⇒ ϕ(a) ∧ ϕ(b) = ϕ(a ∧ b) ✭✯✯✯✮ ❚ø ✭✯✮✭✯✯✮✭✯✯✯✮ s✉② r❛ ϕ ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✺✳✷✳ ◆❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥ ❧➔ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❞➔♥✳ ❈❤♦ ❞➔♥ L ✈➔ K ≤ L ởt ỗ : L K tó ♠➣♥ ϕ(x) = x ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ K ✱ t❤➻ ϕ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ❝♦ rót ✈➔ K ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝♦ rót ❝õ❛ L✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✺✳✸✳ ❈❤♦ ❞➔♥ R ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ✷✺ ✷✳✺✳ ✣➬◆● ❈❻❯ ❉⑨◆✲ ✣➃◆● ❈❻❯ ❉⑨◆ ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ ϕ ✿ R −→ [0; 1]     0(x < 0)    x −→ x(x ∈ [0; 1])       1(x > 1) ❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷đ❝ ϕ ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ❝♦ rót ❝õ❛ R✳ ❱➟② [0; 1] ❧➔ ♠ët ❝♦ rót ❝õ❛ R✳ ỵ L0 , L1 , L2 ỗ : L0 L1 ✈➔ φ : L1 −→ L2 ✳ ❑❤✐ ✤â✿ (i) L0 L2 ởt ỗ (i) ◆➳✉ φ, ϕ ❧➔ ❝→❝ ✤ì♥ ❝➜✉ ✭t♦➔♥ ❝➜✉✱ ✤➥♥❣ ❝➜✉✮ t❤➻ φϕ ❝ô♥❣ ✈➟②✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ t❤➜② (ii) ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ (i)✳ ∀x, y ∈ L0 t❛ ❝â✿ • φϕ(x ∨ y) = φ(ϕ(x ∨ y)) = φ(ϕ(x) ∨ ϕ(y)) = φ(ϕ(x)) ∨ φ(ϕ(y)) = φϕ(x) ∨ φϕ(y) • φϕ(x ∧ y) = φ(ϕ(x ∧ y)) = φ(ϕ(x) ∧ ϕ(y)) = φ(ϕ(x)) ((y)) = (x) (y) ỗ ỵ L0 , L1 , L2 ✈ỵ✐ A ≤ L0 , B ≤ L1 ỗ L0 L1 õ (i) ϕ(A) ≤ L1 (ii) ϕ−1 (B) ≤ L0 ✷✻ ✷✳✻✳ ❉⑨◆ ❚❍×❒◆● ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) ∀y, y ∈ ϕ(A) ⇒ ∃x, x ∈ A✿ ϕ(x) = y, ϕ(x ) = y    y ∨ y = ϕ(x) ∨ ϕ(x ) = ϕ(x ∨ x ) ∈ A ⇒ ✭✈➻ x ∨ x , x ∧ x ∈ A✮   y ∧ y = ϕ(x) ∧ ϕ(x ) = ϕ(x ∧ x ) ∈ A ⇒ ϕ(A) ≤ L1 (ii) ∀x, x ∈ ϕ−1 (B) ⇒ ϕ(x), ϕ(x ) ∈ B    ϕ(x) ∨ ϕ(x ) ∈ B ⇒   ϕ(x) ∧ ϕ(x ) ∈ B    ϕ(x ∨ x ) ∈ B ⇒   ϕ(x ∧ x ) ∈ B    x ∨ x ∈ ϕ−1 (B) ⇒   x ∧ x ∈ ϕ−1 (B) ⇒ ϕ−1 (B) ≤ L0 ✷✳✻ ❉➔♥ t❤÷ì♥❣ ✷✳✻✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✻✳✶✳ ◗✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥ ♠ët ❞➔♥ L ữủ q ỗ ữ õ tó ♠➣♥ ❤❛✐ t❤✉ë❝ t➼♥❤ s❛✉ ✤➙②✿ • ∀a0 , a1 , b0 , b1 ∈ L✿ a0 b0 ✈➔ a1 b1 ⇒ a0 ∨ a1 a1 ∨ b1 • ∀a0 , a1 , b0 , b1 ∈ L✿ a0 b0 ✈➔ a1 b1 ⇒ a0 ∧ a1 a1 ∧ b1 ▼ët ♣❤➛♥ tû x ❝â q✉❛♥ ❤➺ ✈ỵ✐ ♣❤➛♥ tû y t ỵ x y ❚❍×❒◆● x ≡ y ✭♠♦❞ ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ ✮✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✻✳✷✳ (i) ❈❤♦ ❞➔♥ L✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ω ✿ xωy ⇔ x = y ι✿ xιy∀x, y L q ỗ ữ tr L ữủ q ỗ ữ t tữớ (ii) R ợ q tự tỹ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✳ ❑❤✐ ✤â q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ xRy ⇔ xy > ởt q ỗ ữ tr R∗ ✳ (iii) ❈❤♦ ❞➔♥ N ♥❤÷ ð ❱❉ ✷✳✶✳✷ (iii)✳ ❑❤✐ ✤â q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✳ xRy ⇔ (x y)2 ởt q ỗ ữ tr N✳ ▼ët ❞➔♥ L ❝❤➾ ❝â ❝â ❤❛✐ q✉❛♥ ❤➺ ỗ ữ t tữớ t õ ữủ ỡ ởt q ỗ ữ tr L✱ ♠ët ♣❤➛♥ tû a ∈ L✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ a/ = {x|x a} ữủ ợ ỗ ữ a ố ợ q tữỡ ữỡ ợ ỗ ữ ợ tữỡ ữỡ ợ ❤❛✐ ♣❤➛♥ tû a, b ❜➜t ❦ý t❛ ✤➲✉ ❝â a/ b/ = ∅ ❤♦➦❝ a/ = b/ ✳ ❚➟♣ ủ ợ ỗ ữ t L ố ợ L tr q ỗ ữ t ủ tữỡ ữủ ỵ L/ ❱➼ ❞ö ✷✳✻✳✸✳ (i) Ð ❱❉ ✷✳✻✳✷✳ (i) t❤➻ ∀x ∈ L : x/ω = {x}, x/ι = L✳ (ii) é (ii) t R õ ợ tữỡ ✤÷ì♥❣ 1/R = R+ ✈➔ −1/R = R− ✳ (iii) é (iii) t N õ ợ tữỡ ữỡ 0/R = 2N ì ì ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ ✈➔ 1/R = + 2N t ỵ ởt q ỗ ữ tr L õ ợ ỗ ữ tr L ởt ỗ ự a/ ởt ợ ỗ ữ tr L ã t x a y a✳ ❉♦ ✤â✿  ✤â ∀x, y ∈ a/     x∨y a  x∨y a∨a ⇔    x∧y a  x∧y a∧a ⇒ a/ ❧➔ ♠ët ❞➔♥ ❝♦♥✳ • ∀x, y ∈ a/ , ∀t ∈ L✿ x ≤ t ≤ y t❤➻ x a ✈➔ y a   t=t∧y ⇒t t∧a ⇒   t∧y t∧a     t=t∨x        t ∨ x (t ∧ a) ∨ x ⇒ t a ❤❛② t ∈ a/ ⇒    (t ∧ a) ∨ x (t ∧ a) ∨ a        (t ∧ a) ∨ a = a ⇒ a/ a/ ởt t ỗ ởt ỗ ởt q ỗ ữ tr L õ t ủ tữỡ L/ ũ ợ q ❤➺ ✿ ✷✾ ✷✳✻✳ ❉⑨◆ ❚❍×❒◆● ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❱➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❉⑨◆ a/ ∨ b/ = (a ∨ b)/ a/ ∧ b/ = (a ∧ b)/ ❧➔ ♠ët ❞➔♥ ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➔♥ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ L ố ợ q ỗ ữ ữ þ r➡♥❣ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü tr♦♥❣ ❞➔♥ t❤÷ì♥❣ ❧➔ a/ ≤ b/ ⇔ ∃x ∈ a/ , ∃y ∈ b/ : x ≤ y ✳ ▼ët →♥❤ ①↕ ψ ✿ L −→ L/ x −→ x/ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ỵ ởt t ϕ : L0 −→ L1 ✳ ❑❤✐ ✤â ♠ët q✉❛♥ ❤➺ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ x y ⇔ ϕ(x) = ϕ(y) ởt q ỗ ữ tr L L0 / ∼ = L1 ❜ð✐ ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉✿ ψ ✿ L0 / x/ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ L1 (x) ởt q ỗ ữ ❱➟② t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ψ ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉✳ • ∀x/ , y/ ∈ L0 / : x/ = y/ ⇔x y ⇔ ϕ(x) = ϕ(y) ⇔ ψ(x/ ) = ψ(y/ ) • ∀x/ , y/ ∈ L0 / : ψ(x/ ) = ψ(y/ ) ⇔ ϕ(x) = ϕ(y) ⇔ x y ⇔ x/ = y/ ✸✵ ✷✳✻✳ ❉⑨◆ ì ì ị ❉⑨◆ • ∀a ∈ L1 , ∃x ∈ L0 : ϕ(x) = a ⇔ ψ(x/ ) = a • ∀x/ , y/ ∈ L0 / : ψ(x/ ∨ y/ ) = ψ((x ∨ y)/ ) = ϕ(x ∨ y) = ϕ(x) ∨ ϕ(y) = ψ(x/ ) ∨ ψ(y/ ) • ∀x/ , y/ ∈ L0 / : ψ(x/ ∧ y/ ) = ψ((x ∧ y)/ ) = ϕ(x ∧ y) = ϕ(x) ∧ ϕ(y) = ψ(x/ ) ∧ ψ(y/ ) ố ợ ởt ỗ : L0 L1 ✭❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ♣❤↔✐ t♦➔♥ ❝➜✉✮✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ữủ ữ ỵ ữủ t ỗ ữ ỗ õ s ữủ ỵ ker() tỗ t tỷ 0L1 t❤➻ ϕ−1 (0L1 ) ❧➔ ♠ët ■✤➯❛♥ ❝õ❛ ❞➔♥ L0 ữủ t ỗ ố q ỗ ữ tr ❞➔♥ L✳ ◆➳✉ L/ ❦❤æ♥❣ 0L/ = a/ t❤➻ a/ ❝â ❝❤ù❛ ♣❤➙♥ tû ❧➔ ♠ët ■✤➯❛♥ ❝õ❛ ❞➔♥ L ✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤↕t ♥❤➙♥ ■✤➯❛♥ ❝õ❛ q✉❛♥ ❤➺ ỗ ữ ữ ỵ r I t ♥❤➙♥ ■✤➯❛♥ ❝õ❛ ϕ t❤➻ I ❧➔ ❤↕t ♥❤➙♥ ■✤➯❛♥ q ỗ ữ t ỗ ❦➳t ❧✉➟♥✳ P❤➛♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ✷ ❝❤÷ì♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥➯✉ 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