Nghiệm dương của phương trình vi phân trung hòa đối ố lệch

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Duy Khương NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA ĐỐI SỐ LỆCH Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Trong q trình học tập hồn thành luận văn mình, tơi nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ, động viên quý thầy trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, gia đình bạn bè đồng nghiệp Đầu tiên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành đến PGS TS Lê Hồn Hóa, người tận tình hướng dẫn, có ý kiến đóng góp q báu giúp tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn Tôi xin cảm ơn tất q thầy Khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình hướng dẫn tơi suốt khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn Ủy ban nhân dân Tỉnh Tiền Giang, Sở Nội vụ, Sở Giáo dục Đào tạo Tiền Giang, Q thầy phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Vĩnh Kim tạo điều kiện thuận lợi cho học tập hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn Q thầy cô, bạn bè đồng nghiệp trường THPT Vĩnh Kim, bạn học viên cao học Tốn K18 ln động viên, khuyến khích, giúp đỡ tơi q trình học tập Sau tơi xin gửi tất tình cảm yêu thương lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi, người thân u tơi tạo niềm tin, chỗ dựa vững giúp học tập hồn thành tốt luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2010 Nguyễn Ngọc Duy Khương LỜI CAM ĐOAN Trong trình làm luận văn này, tơi nghiên cứu, tìm hiểu tham khảo sách vở, báo toán học nhà khoa học luận văn khóa trước, tơi có sử dụng số kết chứng minh để hoàn thành tốt luận văn Nhưng tơi xin cam đoan khơng chép luận văn có xin hồn tồn chịu trách nhiệm với lời cam đoan MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Lý thuyết phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng ứng dụng thực tiễn Tốn học Hầu hết q trình tự nhiên tuân thủ theo qui luật mà phương trình vi phân mơ tả Bằng chứng ngành Toán học, Cơ học, Vật lý, Hóa học, Sinh vật, Kinh tế, Sinh thái môi trường… Xã hội học liên quan đến phương trình vi phân Vì phương trình vi phân môn học cần thiết cho hầu hết ngành bậc cao đẳng đại học Một vấn đề mà nhà toán học đã, cịn nghiên cứu phương trình vi phân nghiệm phương trình vi phân trung hịa đối số lệch Hiểu tầm quan trọng vấn đề nên chọn đề tài: “Nghiệm dương phương trình vi phân trung hịa đối số lệch” để nghiên cứu tìm hiểu sâu vai trị ứng dụng sống lĩnh vực liên quan Mục đích: Mục đích luận văn nghiên cứu tính ổn định nghiệm nghiệm dương phương trình vi phân tuyến tính trung hịa đối số lệch để chứng tỏ lý thuyết ổn định sử dụng nào, công cụ việc thiết lập kết ổn định phương trình vi phân chất khác Đối tượng, phạm vi phương pháp nghiên cứu: Trong phạm vi nghiên cứu luận văn tơi tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm nghiệm dương phương trình vi phân tuyến tính trung hịa đối số lệch có dạng:   m d x t  p t x t   t              qi  t  x  t  i  t    0, j j dt  j1  i 1 (*) Một phương pháp sử dụng để nghiên cứu vấn đề luận văn phương pháp khái qt hóa phương trình đặc trưng, dựa vào ý tưởng tìm nghiệm hệ tuyến tính có dạng: t  x  t   exp     s  ds  t  Mục đích áp dụng phương pháp cho phương trình (*) để tìm điều kiện tồn nghiệm dương để khái quát, mở rộng kết chứng minh trường hợp đặc biệt phương trình (*) có dạng: d  x  t   P  t  x  t      Q  t  x  t     0, dt  Luận văn gồm có chương: + Chương 1: Trích từ báo [12] Trình bày số kết tính ổn định phương trình vi phân tuyến tính trung hịa đối số lệch có dạng: d  x  t   P  t  x  t      Q  t  x  t     0, dt  + Chương 2: Trích từ báo [11] Khảo sát điều kiện tồn nghiệm dương phương trình vi phân tuyến tính trung hịa đối số lệch có dạng:   m d x t  p t x t   t     j   j       q i  t  x  t  i  t    0, dt  j1  i 1 Trong luận văn, số kết sử dụng phát biểu dạng Định lý Bổ đề không chứng minh Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu: Cùng với phát triển ngành Tốn Giải tích, Đại số, Hình học vi phân, Đa tạp… phương trình vi phân ln đại hóa Bên cạnh cơng cụ máy tính điện tử với phần mềm chuyên dùng làm tăng khả ứng dụng thực tiễn môn học Việc xác định nghiệm, đặc biệt nghiệm dương phương trình vi phân trung hịa đối số lệch có ý nghĩa quan trọng việc giải tốn dẫn đến phương trình vi phân Từ đó, ta giải tốn biến đổi trình nghiên cứu tượng Tự nhiên Xã hội Trong năm gần đây, ngày có nhiều nghiên cứu cho thấy tầm quan trọng phương trình vi phân trung hịa đối số lệch ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học đời sống như: Vật lý, Sinh học, Sinh thái học, Sinh lý học, Môi trường, Kinh tế, Địa chất, Khảo cổ học… Chương TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRUNG HỊA ĐỐI SỐ LỆCH Xét phương trình vi phân tuyến tính trung hịa đối số lệch: d  x  t   P  t  x  t      Q  t  x  t     0, t  t , dt  (1.1) đó: ,    0,   , P  C  t ,   ,   Q  C  t ,   ,  0,    Định nghĩa 1.1: Nghiệm xo(t) phương trình (1.1) gọi ổn định với   t    , tồn     , t   cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa điều kiện x  t   x  t    x  t   x  t   , t  t Định nghĩa 1.2: Nghiệm xo(t) phương trình (1.1) gọi ổn định với   , tồn        cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn điểm t    điều kiện x  t   x  t    x  t   x  t   , t  t Định nghĩa 1.3: Nghiệm xo(t) phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định với t   , tồn     t   cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa điều kiện x  t   x  t    lim x  t   x  t   0, t  t t  Bổ đề 1: (Xem [7]) Giả sử ,    0,   ,P  C  t ,   ,   Q  C  t ,   , 0,    thỏa với P  t   1   Q  s  ds   t0 Khi nghiệm phương trình d  x  t   x  t      Q  t  x  t     0, t  t dt  dao động Bổ đề 2: (Xem [7])  Giả sử ,    0,   ,P  C  t ,   ,   Q  C  t ,   , 0,     Q  s  ds   thỏa, t0 t  P  t   1 liminf t   Q s      P  s    ds  e t    Khi đó, nghiệm phương trình (1.1) dao động Trong chương thiết lập điều kiện để nghiệm khơng phương trình (1.1) ổn định tất nghiệm phương trình ổn định tiệm cận 1.1 Tính ổn định ổn định tiệm cận trường hợp P(t) không hàm 1.1.1 Định lý 1.1  1 Giả sử P  t   p , p   0,   2 p  , 2p + t   Q  s  ds  , (1.2) t  t0, t 1 p , t   Q  s  ds  1  2p  , t  t0 (1.3) t Khi nghiệm khơng phương trình (1.1) ổn định Chứng minh Đặt:   max ,  ,   ,  Chọn số nguyên dương m cho m  3 Với   bất kỳ, đặt:  1  p   m 1  p  2p  3 Ta chứng minh với t '  t ,  C  t ' , t ,  ,   , ta có: x  t   , t  t ' (1.4) x(t) nghiệm phương trình (1.1) thỏa điều kiện ban đầu x  s     s  với s   t ' , t ' Đặt: z  t   x  t   P  t  x  t    (1.5) Ta có kết (Xem [15, Định lý 1]) m x  t    2p  3 , t   t ', t ' m (1.6) Kế tiếp ta chứng minh (1.4) Bằng phương pháp phản chứng, giả sử (1.4) khơng đúng, theo (1.6) ta có T  t ' m cho x  T    x  t    với t '  t  T Khơng làm tính tổng qt, giả sử x  T    Ta có: z  T   x  T   P  T  x  T     1  p    (1.7) Suy ra: z  t ' m   x  t ' m   P  t ' m  x  t ' m     1  p    z  T  Từ (1.7) tồn T0   t ' m,T  cho z  T0   max z  t  : t ' m  t  T z  t   z  T0  với t ' m  t  T0 Đặt: y  t   z  t   p, t  t' (1.8) Khi đó:  x  t     z  t     P  t    x  t        z  t     p   y  t    , t' +   t  T0 Từ (1.1) (1.8), ta có: y'  t   z '  t   Q  t  x  t     Q  t  y  t    , t '   t  T0 (1.9) Do  p  , dễ dàng thấy y  T0   z  T   p  1  2p    Tiếp theo ta chứng minh y  T0     Giả sử ngược lại y  T0     Khi có lân cận trái  T0    h,T0     T0    h,T0    T0   , với h > 0, cho y  t   y  t      T0  h,T0  Theo (1.9), ta thấy z  t  không tăng  T0  h,T0  Điều trái với z  T0   max z  t  : t ' m  t  T z  t   z  T0  với t ' m  t  T0 Vì y  T0     Do đó, tồn    T0  ,T0  cho y     Từ (1.9), ta có y'  t   Q  t  , t '   t  T0 (1.10) Lấy tích phân vế (1.10) từ t   đến  ta được:   y  t       Q  s  ds,   t  T0 t  Thế vào (1.9), ta có:  y'  t   Q  t   Q  s  ds, t    t  T0 (1.11) Chứng minh  a)  b) : Đặt x  x    nghiệm toán giá trị đầu (2.1), (2.4) giả sử x  t   với t  t  T Nó chứng tỏ hàm liên tục α định nghĩa: t  x  t  , t0  t  T xt nghiệm (2.6)  t , T  Phương trình (2.1) tương đương với  x  t     p j  t  1   j  t   x  t   j  t    p j  t  x  t   j  t     j1 m   q i  t  x  t  i  t    i 1 Chia cho x  t  , ta dược: x  t   j  t   x  t   j  t   x  t       p j  t  1   j  t    p j  t   x  t  j1  xt x t  m   qi  t  x  t  i  t   xt i 1 0 Theo định nghĩa α: t  x  t     t  exp     s  ds  , t  0  đó: x  H j  t  x t  t   exp      s  ds  ,  H t   j  x  Gi  t  x t  t   exp      s  ds  ,  G t   i  j  1,2, , ; i  1,2, , m t  t  T Hiển nhiên giống giá trị j, i, t x  t   j  t  x  H j  t     h j  t   t0  , x  t  i  t   x  Gi  t     g i  t   t0  Còn lại ta cần chứng tỏ rằng: x  t   j  t   x  H j  t     h j  t    , t  t  T, j  1,2, ,    t0   Ta có: t   j  t   t kéo theo h j  t   t H j  t   t   j  t  , đó: x  t   j  t   x  H j  t    x  H j  t   x  H j  t   1   h j  t     t0   Mặt khác, t   j  t   t kéo theo h j  t   t   j  t  H j  t   t , đó: x  t   j  t   x  H j  t    x  h j  t   x  t    h j  t      t0   Sử dụng đẳng thức định nghĩa α, ta đẳng thức (2.6)   h j  t      h j  t     t     p j  t  1   j  t     H j  t    p j  t     t0    t   j1       t  m  t   gi  t  exp      s  ds    qi  t  exp      s  ds    G t   H  t  i 1   t0   i   j  Vậy ta có a)  b)  b)  c) : Nếu α nghiệm liên tục (2.6), lấy   t     t     t  , t  t  T điều chứng minh hiển nhiên thực   S Vậy ta có b)  c)  c)  a) : Trước hết cần chứng tỏ rằng, với giả thiết c), phương trình (2.6) có nghiệm liên tục   t   t , T  , hàm x định nghĩa: t 1  t  t ;    t,   x t   t   t  exp    s  ds  , t  t  T 0   t  0   (2.9) nghiệm dương toán giá trị đầu (2.1), (2.4) Nghiệm liên tục phương trình (2.6) lập thành giới hạn dãy hàm  k  t  định nghĩa dãy xấp xỉ liên tiếp Lấy hàm   C  t ,T  ,   cho:   t   0  t     t  , t  t  T đặt:  k 1  t    S k  t  , t  t  T, k  0,1,2, Theo giả thiết (2.5), ta có:   t    k  t     t  , t  t  T, k  0,1,2, (2.10) rõ ràng  k  C  t ,T  ,   Ta chứng tỏ dãy  k  t  hội tụ khoảng compact  t , T1   t , T  Đặt:   h j  t   M1 : max  p j  t  1   j  t   ,   t0  t  t T1  j1     h j  t  j1   t0  m   g j  t  M : max  p j  t  t  t T1 M : max  q i  t  t  t T1 i 1   t0    L : max max   t  ,   t  t  t T1  M : max M1 ,M ,M 3 , N1 : Me L T1  t  , N : max  N1  L   ,2LN1 Khi từ (2.10), ta được: , , max  k  t   L, k  0,1,2, t  t T1 Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có:  t   t  exp     k  s  ds   exp     k 1  s  ds   H  t   H t   j   j  e t  k , j  t    k  s    k 1  s   ds Hjt với j  1,2, , ; k  0,1, 2, t t  t  T1 ,  k, j  t  t   k  s  ds H j t    k 1  s  ds H jt  Từ H j  t   t với j  1,2, ,  t  t  T1 ,  k, j  t   L  T1  t   t   t  exp     k  s  ds   exp     k 1  s  ds   H t   H t   j   j  t e L T1  t     s     s  ds k t0 k 1 Tương tự:  t   t  exp     k  s  ds   exp     k 1  s  ds   G  t   G t   i   i  t e L T1  t     s     s  ds k k 1 t0 với i  1,2, ,m; k  1,2, t  t  T1 Lặp lại chứng minh trên, ta có:  t   t   k  H j  t   exp     k  s  ds    k 1  H j  t   exp     k 1  s  ds    H t   H  t   j   j    t   t     k  H j  t   exp     k  s  ds   exp     k 1  s  ds     H t   H t    j   j   t     k  H j  t     k 1  H j  t    exp     k 1  s  ds    H t   j  t  Le L T1  t      s     s  ds  2Le L T1  t  k t0 k 1 Do đó:   h j  t    k 1  t    k  t    p j  t  1   j  t      t0   j1   t   t    k  H j  t   exp     k  s  ds    k 1  H j  t   exp     k 1  s  ds    H t   H t   j   j     h j  t  j1   t0  m   gi  t     p j  t   q i  t  i 1   t0   t   t  exp     k  s  ds   exp     k 1  s  ds    H t   H t   j   j   t   t  exp     k  s  ds   exp     k 1  s  ds    G  t   G t   i   i  t t  2LN1  N1  L     k  s    k 1  s  ds  N  N   k  s    k 1  s  ds, t0 t0 Ta thấy rằng: i N t  t0  N  t  t0   k 1  t    k  t   N   2L i! k! i 0 k 1 k với k  0,1,2, t  t  T1 Từ k i N  t  t0  N  t  t0   với t  t  T1 ,  e N t t  lim  k  k! i! i 0  Theo tiêu chuẩn Weierstrass ta có dãy k 1  k  t   0  t      j1  t    j  t    k  0,1,2, ; t  t  T1  j hội tụ đều, từ giới hạn hàm   t   lim  k  t  k  liên tục nghiệm phương trình (2.6)  t , T1  (2.11) Cuối cùng, thực x  t  định nghĩa (2.9) nghiệm toán giá trị đầu (2.1), (2.4) chứng minh phép trực tiếp: x  t   x  t    t    h j  t      h j  t     x  t    p j  t  1   j  t     H j  t    p j  t     t0  t     j1     m  t   t   gi  t   exp      s  ds   x  t   q i  t  exp      s  ds   G t   H t   t0  i 1  i   j     x  t   p j  t  1   j  t   j1   x  t   p j  t  j1 x  t   j  t   x  H j  t   x  H j  t   x  H j  t   x  H j  t   x  t  j  t  x  H j  t  x  H j  t  x  t x t m  x  t   qi  t  i 1  x  t  i  t   x  G i  t   x  Gi  t   xt     p j  t  1   j  t   x  t   j  t    p j  t  x  t   j  t     j1 m   q i  t  x  t  i  t   i 1  m d  p j  t  x  t   j  t      qi  t  x  t  i  t   , với t  t  T   j1 dt i 1   Vậy ta có c)  a) Vậy định lý chứng minh xong 2.3 Sự tồn nghiệm dương Sử dụng Định lý 2.1 làm rõ điều kiện tồn nghiệm dương Tương tự chứng tỏ điều kiện tồn nghiệm âm Đặt:  t     t  , t 1  t  t Định lý sau F :   C1  t 1 , t  ,    :    t     t  ,0    tổng quát hóa Định lý 2.1  2.3.1 Định lý 2.2 Giả sử có (H1) p j  C1  t ,T  ,   ,  j  C1  t ,T  ,    , j  1, 2, ,  (H2) q i  C  t ,T  ,   , i  C  t ,T  ,    ,i  1,2, , m tồn số dương  cho:  m  p j  t  1   j  t     p j  t  e j  t    qi  t  ei  t       j1 i 1 (2.12) với t  t  T Khi đó, với   F thỏa điều kiện (2.5), nghiệm x    phương trình (2.1) có đại lượng dương t  t  T Chứng minh Ta chứng tỏ điều kiện (c) Định lý 2.1 thỏa mãn với   t      t    , t  t  T Với hàm liên tục  , với   t     t    , ta có: t  j  t     t  H j  t      s  ds    t  H  t      t  , j j H j t   j  1,2, ,   t i  t     t  G i  t       s  ds    t  G  t      t  , i i Gi  t   i  1, 2, ,m  với t  t  T Khi đó:  m  t     p j  t  1   j  t     p j  t  e j     qi  t  ei  t    j1 i 1   S  t   m   t   t    p j  t  1   j  t     p j  t  e j   q i  t  e i       j1 i 1 với t  t  T Do đó, theo Định lý 2.1, nghiệm x    t  phương trình (2.1) thuộc  t ,  đại lượng dương  t , T  Vậy định lý chứng minh xong Áp dụng định lý cho vài trường hợp đặc biệt: Đặt:   t  : max  j  t  ,   t  : max i  t  , j1, i 1,m  p  t  :  p j  t  1   j  t   , j1  m j1 i 1 r  t  :  p j  t  , q  t  :  q i  t  Khi đó, từ bất đẳng thức (2.11), ta có:  p  t    r  t  e  t   q  t  e t   , (2.13) Nó đồng với (2.12) trường hợp trung hòa đơn Bây giờ, xét trường hợp đặc biệt: Đặt:  : sup   t  ,  : sup   t  , t t ,T  t t ,T  p : sup p  t  , r : sup r  t  , q : sup q  t  t t ,T  t t ,T  t t ,T  Khi đó, từ bất đẳng thức (2.12), ta có:  p  r  e   qe   (2.14) đồng với (2.12) trường hợp trung hòa hệ số đơn hệ số Trong trường hợp      , ta có: e  Nếu  p  r  q (2.15)     với vài điểm tới hạn  , (2.14) có nghiệm dương Điểm tới hạn p  thành lập quan sát mà đạo hàm bên trái bên phải dần đến  với  Khi đó,  nghiệm phương trình:   2A  exp     A  A 4p  A  2p  A  A 4p  A với A  r  q Chú ý trường hợp trung hòa p  r  , ta thu kết biết   eq 2.3.2 Định lý 2.3 Giả sử có (H1) p j  C1  t ,T  ,   ,  j  C1  t ,T  ,    , j  1,2, ,  (H2) q i  C  t ,T  ,   , i  C  t ,T  ,    ,i  1,2, , m với t   t , T  thỏa:  1  t   2  t      t  , (2.16)  1  t     t    m  t  , (2.17)   p j  t  1   j  t    0, j1   p  t   0, j   1,2, ,  (2.18) j1   q  t   0, i   1,2, ,m (2.19) i 1   p  t  1    t   j j1 j   Nếu tồn hàm tăng dương   C  t ,T  ,   cho: (2.20)  m   p  t    q  t  j t  j1  i i 1  (2.21)     p j  t  1   j  t    j1  với   F thỏa mãn điều kiện (2.5), phương trình (2.1) có nghiệm dương tăng  t , T  Đây nghiệm thỏa bất đẳng thức t  x  t     t  exp     s  ds  t  0  (2.22) Chứng minh Nó chứng tỏ mệnh đề (c) Định lý 2.1 với   t     t  với t0  t  T Với hàm    t ,T  ,   nằm   thỏa:   m S  t    p j  t  1   j  t     t    p j  t    qi  t   j1  j1  i 1          t     p j  t  1   j  t        t  1    p j  t  1   j  t        j1   j1   t Bởi bất đẳng thức H1  t   H  t    H   t  , t  t  T, G1  t   G  t    G m  t  , t  t  T, nên hệ thức (2.18) (2.19)   h j  t     t         0.exp   s ds S  t    p j  t  1    t         H   j1  1 j    t     t    t       h j  t      p j  t   exp      s  ds  +  H t   j1    t0      t   m   gi  t    q i  t  exp      s  ds   G t   i1    t0   m   với t  t  T Do đó, nghiệm x  t   x    t  phương trình (2.1) dương  t , T  Như chứng minh Định lý 2.1, x  t  viết dạng: t  x  t     t  exp     s  ds  , t  t  T t  0  với   t  nghiệm liên tục phương trình đặc trưng (2.6) cho    t     t  với t  t  T Từ đó, x nghiệm tăng phương trình (2.1) Vậy định lý chứng minh xong KẾT LUẬN Trong trình nghiên cứu luận văn, cách tìm hiểu định nghĩa chứng minh định lý nhận thấy phương trình vi phân tuyến tính trung hịa đối số lệch dạng:   m d  x  t    p j  t  x  t   j  t      qi  t  x  t  i  t    0, dt  j1  i 1 (2.1) có tính ổn định nghiệm khơng, tất nghiệm phương trình ổn định tiệm cận trường hợp đặc biệt phương trình có dạng: d  x  t   P  t  x  t      Q  t  x  t     0, dt  Và phương pháp khái qt hóa phương trình đặc trưng chứng tỏ điều kiện tồn nghiệm dương phương trình (2.1) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân Lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục 2000 [2] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [3] Chuanxi, Q., Ladas, G., Existence of Positive Solutions for Neutral Differential Equations, Journal of Applied Mathematics and Simulation (1989), 267 – 276 [4] G Gao, On 3/2 asymptoic stability of one – Dimensional Functional Differential Equations with Unbounded Delay, Kexue Tongbao 33 (1993), 683 – 686 (in Chinese)  , I., Oscillation of a Linear Neutral Delay Differential Equations [5] Giang, D V., Gyori with Unbounded Time Lag, Differential Equations and Dynamical System 14 (1993), 267 – 274 [6] K Gopalsamy, Sability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics (Kluwer Academic, Boston, 1992)  , G Ladas, Oscillation Theory of [7] I Gyori Delay Differential Equations with Applications, Clarendon Press – Oxford, 1991 [8] V B Kolmanovskii, L Torelli and R Vermiglio, Stability of Some Test Equations with Delay, Siam J Math Analysis 25 (1994), 948 – 961 [9] Y Kuang, Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics (Academic, Boston, 1993) [10] G Ladas and Y G Sficas, Asymptotic Behavior of Oscillatory Solutions, Hiroshima Math J 18 (1988), 351 – 359 [11] Hajnalka Péics, János Karsai, Positive Solutions of Neutral Delay Differential Equation, Novi Sad J.Math, Vol 32, No.2,2002, 95 –108 [12] X H Tang, Xingfu Zou, Asymptotic Stability Of a Neutral Differential Equation, Proc Edi Math Soc 45 (2002), 333 – 347) [13] T Yoneyama, On the 3/2 Stability Theorem for one – Dimensional Delay – Differential Equations, J Math Analysis Applic 125 (1987), 161 – 173 [14] J A Yorke, Asymptotic Stability for one Dimensional Differential – Delay Equations, J Diff Eqns (1970), 189 – 202 [15] J S Yu, Asymptotic Stability for Nonautonomous Scalar Neutral Differential Equations, J.Math.Analysis Applic 203(1996), 850-860 [16] Yuecai, F., Yunen, D., Oscillatory and Asymptotic Behaviour of First Order Differential Equations with Piecewise Constant Deviating Arguments, Annales of Differential Equations, 15 4(1999), 345–351 ... p N  Khi nghiệm phương trình (1.1) tiến t   Chương NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRUNG HỊA ĐỐI SỐ LỆCH Xét phương trình vi phân tuyến tính trung hịa đối số lệch:  ... Khảo cổ học… Chương TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRUNG HỊA ĐỐI SỐ LỆCH Xét phương trình vi phân tuyến tính trung hịa đối số lệch: d  x  t   P  t  x  t   ... định nghiệm nghiệm dương phương trình vi phân tuyến tính trung hịa đối số lệch để chứng tỏ lý thuyết ổn định sử dụng nào, công cụ vi? ??c thiết lập kết ổn định phương trình vi phân chất khác Đối tượng,