Nghiệm không âm của phương trình vi phân hàm bậc nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH o0o - Lê Thị Kim Anh NGHIỆM KHƠNG ÂM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH o0o - Lê Thị Kim Anh NGHIỆM KHƠNG ÂM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin kính gửi đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn lời cám ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ Thầy tơi suốt q trình hoàn thành luận văn học tập Xin trân trọng cám ơn Q Thầy Cơ thuộc khoa Tốn trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho suốt năm học tập Xin trân trọng cám ơn Phòng Sau Đại Học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn tất chương trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cám ơn đến gia đình tơi, chỗ dựa cho tơi mặt tạo điều kiện tốt để tơi học tập hồn thành luận văn Lê Thị Kim Anh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG VỀ CÁC TẬP S ab (a) VÀ S ab (b) 1.1 Giới thiệu toán .9 1.2 Kết chuẩn bị 1.2.1 Định lí .9 1.2.2 Định nghĩa 1.2.3 Chú ý 11 1.2.4 Chú ý 11 1.2.5 Chú ý 12 1.3 11 Các kết 14 1.3.1 Định lí .14 1.3.2 Hệ 15 1.3.3 Chú ý 20 1.3.4 Định lí .25 1.3.5 Định lí .27 1.3.6 Hệ 28 1.3.7 Chú ý 28 1.3.8 Định lí .30 1.3.9 Các ý 35 1.3.10 Định lí 35 1.3.11 Hệ 35 1.3.12 Định lí 39 1.3.13 Định lí 39 1.3.14 Hệ 40 1.3.15 Định lí 41 1.3.16 Chú ý 41 1.3.17 Phương trình vi phân hàm với đối số lệch 41 CHƯƠNG II CÁC TIÊU CHUẨN HIỆU QUẢ 56 2.1 Kết chuẩn bị 56 2.1.1 Định nghĩa .56 2.1.2 Chú ý 56 2.2 Các kết 56 2.2.1 Các mệnh đề .56 2.2.2 Bổ đề 59 2.2.3 Định lý 62 2.2.4 Định lý 63 2.2.5 Hệ 64 2.2.6 Định lý 65 2.2.7 Định lý 66 2.2.8 Hệ 66 2.2.9 Phương trình vi phân với đối số lệch 66 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Tập tất số thực,  + = [ 0,+∞ ]  = + [0, +∞ ) Tập hợp số thực không âm − = ( −∞, 0] Tập hợp số thực không dương C ( [ a, b ] ;  ) Không gian Banach hàm số liên tục u : [ a, b ] →  với chuẩn = u C max { u ( t ) : a ≤ t ≤ b} Ct0 ([ a, b ] ; + ) { } Tập hàm {u ∈ ([ a, b ] ;  ) : u ( t ) = 0} , với t ∈ [ a, b ] C ([ a, b ] ; D ) , với D ⊆  Tập hàm số liên tục tuyệt đối u : [ a, b ] → D L ([ a, b ] ;  ) Không gian Banach hàm khả tích Lebesgue Tập hàm u ∈ C ([ a, b ] ;  ) : u ( t ) ≥ 0, t ∈ [ a, b ] C ( [ a, b ] ;  + ) + p : [ a, b ] →  với chuẩn p 0 b L = ∫ p ( s ) ds a L ([ a, b ] ; D ) , với D ⊆  Tập hàm khả tích Lebesgue p : [ a, b ] → D M ab Tập hàm đo τ : [ a, b ] → [ a, b ] Lab Tập tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh  : C ([ a, b ] ;  ) → L ([ a, b ] ;  ) Tập tốn tử tuyến tính  ∈ Lab , P ab  : C ([ a, b ] ;  + ) → L ([ a, b ] ;  + ) Toán tử t – Volterra, với t0 ∈ [ a, b ] Tập toán tử  ∈ Lab cho với a1 ∈ [ a, t0 ] , b1 ∈ [t0 , b ] , a1 ≠ b1 v ∈ C ([ a, b ] ;  ) v ( t ) = 0, ∀t ∈ [ a1 , b1 ]  ( v )( t ) = 0, ∀t ∈ [ a1 , b1 ] [ x ]+= [ x ]+ [ x ]− 1 x + x )= x ( sgn x + 1) ( 2 [ x ]−= 1 x − x )= x ( sgn x − 1) ( 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết tốn biên cho phương trình vi phân thường (PTVPT) phương trình vi phân hàm (PTVPH) đời từ kỉ 18, song đến nhiều người quan tâm nhờ ứng dụng lĩnh vực vật lý, học, kinh tế, nơng nghiệp, … Từ quan điểm đương thời, nói phương pháp giải tích hàm phương pháp topo phương pháp hữu dụng Qua ứng dụng có tính hệ thống phương pháp này, sở lý thuyết toán biên cho lớp rộng PTVPH xây dựng Tuy nhiên tận bây giờ, thực tế toán biên cho PTVPH nghiên cứu với kết chưa có tính hệ thống Việc nghiên cứu PTVPH có hệ thống ln gặp nhiều khó khăn phương trình tuyến tính.Ví dụ, câu hỏi tính giải toán biên đơn giản (bài toán giá trị đầu): u ' ( t= ) p ( t ) u ( τ ( t )) + q ( t ) , u ( a= ) 0, (với p,q :[a;b] → R hàm khả tích Lebesgue τ :[a;b] → [a;b] hàm đo được), không trở nên tầm thường với phương trình vi phân thơng thường, có nghĩa trường hợp τ ( t ) = t, t ∈ [a;b] Về phần PTVP thường, vài kết đủ mạnh xây dựng cho toán giá trị biên, sử dụng phương pháp mà sở nằm giải tích tốn học đại Việc thể nỗ lực để điều chỉnh phương pháp giải tích tốn học việc nghiên cứu PTVPH Những năm gần nỗ lực thành công trường hợp vài toán biên PTVPH Đặc biệt cơng trình I.Kiguradze, P.Buza, R.Hakl… điều kiện phức tạp tồn nghiệm lớp rộng toán biên cho PTVPH tuyến tính lẫn phi tuyến tìm Chính kết nhận nghiên cứu định sử dụng phương pháp giải tích tốn học nghiên cứu toán biên PTVP với điều chỉnh phù hợp cho PTVPH Phần lớn phương pháp sử dụng áp dụng kĩ thuật bất đẳng thức vi phân Trong luận văn nghiên cứu vấn đề tồn nghiệm khơng âm tốn biên cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính Bài tốn sau: Xét tồn nghiệm khơng âm u phương trình : = u′ ( t )  ( u )( t ) + q ( t ) với điều kiện biên u ( a ) = c (hoặc, u ( b ) = c ) Trong q ∈ L ([ a, b ] ;  + ) (hoặc q ∈ L ([ a, b ] ;  − ) ), c ∈  +  ∈ Lab Trường hợp đặc biệt tốn phương trình vi phân với đối số lệch u′ ( t ) = p ( t ) u (τ ( t ) ) − g ( t ) u ( µ ( t ) ) + q ( t ) với p, g ∈ L ([ a, b ] ; + ) , q ∈ L ([ a, b ] ; ) , τ , µ ∈ M ab Luận văn gồm chương: Chương I: Nội dung chương xây dựng điều kiện cần đủ để tốn tử tuyến tính  ∈ Lab thuộc tập S ab (a) (hoặc S ab (b)) Trong phần cuối chương ta áp dụng kết cho phương trình vi phân hàm với đối số lệch Chương II: Nội dung chương xây dựng tiêu chuẩn hiệu cho điều kiện cần đủ chương để toán tử  ∈ Lab thuộc tập S ab ( a ) (hoặc S ab ( b ) ) CHƯƠNG VỀ CÁC TẬP S ab (a) VÀ S ab (b) 1.1 Giới thiệu toán Xét toán tồn nghiệm không âm u phương trình = u′ ( t )  ( u )( t ) + q ( t ) (1.1) với điều kiện biên u (a) = c (1.2) u (b) = c (1.3) hoặc, Trong q ∈ L ([ a, b ] ;  + ) (hoặc, q ∈ L ([ a, b ] ;  − ) ), c ∈  +  ∈ Lab Nghiệm phương trình (1.1) hàm u ∈ C ([ a, b ] ;  ) thỏa (1.1) hầu khắp nơi [ a, b ] Trường hợp riêng phương trình (1.1) phương trình vi phân với đối số lệch u′ ( t ) = p ( t ) u (τ ( t ) ) − g ( t ) u ( µ ( t ) ) + q ( t ) (1.4) Trong p, g ∈ L ([ a, b ] ; + ) , q ∈ L ([ a, b ] ; ) , τ , µ ∈ M ab Cùng với tốn (1.1), (1.2) (hoặc (1.3)) ta xét toán tương ứng u ' ( t ) =  ( u )( t ) (1.1 ) u (a) = (1.2 ) u (b) = (1.3 ) với điều kiện biên 1.2 Kết chuẩn bị 1.2.1 Định lí Bài tốn (1.1), (1.2) ( (1.1), (1.3)) có nghiệm toán tương ứng (1.1 ), (1.2 ) (hoặc (1.1 ), (1.2 ) có nghiệm tầm thường Chứng minh Đặt B C ([ a, b ] ,  ) ×  không gian Banach chứa phần tử v = (u, c ), = u ∈ C ([ a, b ] ,  ) , c0 ∈  chuẩn = v u C + c0 Với tùy ý v = ( u , c0 ) cố định, t0 ∈ [ a, b ] ta đặt t   f ( v )( t ) = c0 + u ( t0 ) + ∫  ( u )( s ) ds, c0 − u ( a )    t0   đặt t  = h ( t )  ∫ q ( s ) ds, c  , ∀t ∈ [ a, b ] t  0  Khi tốn (1.1), (1.2) trở thành phương trình tốn tử B = v f (v) + h v = ( u , c0 ) nghiệm phương trình chi c0 = u nghiệm tốn (1.1), (1.2) • f tốn tử compact Thật : Ta chứng minh f(M) tập compact tương đối M tập bị chặn B Đặt M = {v ∈ B : v ≤ K } với K dương Do  tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh nên có η : [ a, b ] →  cho  ( u )( t ) ≤ η ( t ) u C , ∀u ∈ C ([ a, b ] ,  ) , ∀t ∈ [ a, b ] với v ∈ M ta có f ( v )( t ) ≤ c0 + u t C + ∫  ( u )( s ) ds ≤ K + u t0 C b b a a ∫η ( s ) ds ≤ 2K + K ∫η ( s ) ds Suy f(M) bị chặn Mặt khác, với t , s ∈ [ a, b ] ta có f ( v )( t ) − f= ( v )( s ) s ≤ u C ∫η (ξ ) d ξ t s  d ξ ,0   ∫  ( u )(ξ )= t  s ≤ K ∫η (ξ ) d ξ t Suy f(M) đồng liên tục Theo định lí Ascoli-Arzela f tốn tử compact s ∫  ( u )(ξ ) dξ t b)  s  s  ∫a g ( s )σ ( s )  µ∫s g (ξ ) dξ  exp  ∫a g (η ) dη  ds < 1,  ()  b với σ ( t ) = (1 + sgn ( t − µ ( t ) ) ) , t ∈ [ a, b ] ; b c) ∫ g ( s ) ds ≠ t  t  ess sup  ∫ g ( s ) ds : t ∈ [ a, b ] < ϑ * ,  µ (t )  với             x  : x > 0 , ϑ * =sup  ln  x +   b  x   exp x g s ds −   ( ) ∫     µ   *     = µ* ess inf {µ ( t ) : t ∈ [ a, b ]} Thì tốn tử  định nghĩa (1.64) thuộc tập S ab ( b ) Chứng minh Định lí suy từ Định lí 1.3.17.1 Chú ý 1.3.9.2 1.3.17.7 Định lí Giả sử p ∈ L ([ a, b ] ,  + ) ,τ ∈ M ab ,τ ( t ) ≤ t , t ∈ [ a, b ] thỏa b ∫ p ( s ) ds ≤ (1.68)  τ (s) τ (ξ )    p s p ξ exp p η d η dξ  ds ≤ 1,   ( ) ( ) ( ) ∫a ∫  ∫s   s    (1.69) a b g ≡/ τ (t )  ess sup  ∫ p ( s ) ds : t ∈ [ a, b ] < κ * ,  t  (1.70) với         x   : x > 0 κ * =sup  ln  x +  b   x   exp  x ∫ p ( s ) ds − 1       a     Thì tốn tử  định nghĩa (1.57) thuộc tập S ab ( b ) Chứng minh Định lí suy từ Định lí 1.3.17.3 Chú ý 1.3.9.2 1.3.17.8 Định lí Giả sử p, g ∈ L ([ a, b ] ,  + ) ,τ , µ ∈ M ab ,τ ( t ) ≥ t , t ∈ [ a, b ] , hàm g , µ thỏa mãn điều kiện a), b), c) Định lí 1.3.17.6, hàm p,τ thỏa (1.68) (1.69), (1.70) Định lí 1.3.17.7 Thì tốn tử  định nghĩa (1.67) thuộc tập S ab ( b ) Chứng minh Định lí suy từ Định lí 1.3.17.5 Chú ý 1.3.9.2 CHƯƠNG II CÁC TIÊU CHUẨN HIỆU QUẢ Trong chương xét tiêu chuẩn hiệu cho điều kiện cần đủ chương để toán tử  ∈ Lab thuộc tập S ab ( a ) (hoặc S ab ( b ) ) 2.1 Kết chuẩn bị 2.1.1 Định nghĩa Ta nói toán tử  ∈ Lab thuộc tập Sab , phương trình (1.1 ) có nghiệm dương 2.1.2 Chú ý Giả sử  ∈ Lab toán tử t0 - Volterra, với t0 ∈ [ a, b ]  ∈ Sab Hiển nhiên, với a1 ∈ [ a, t0 ] b1 ∈ [t0 , b ] , a1 ≠ b1 kết luận  ∈ Sa1b1 Chứng minh Vì  ∈ S ab nên  ∈ Lab phương trình u′ ( t ) =  ( u )( t ) tồn nghiệm u ( t ) ≥ 0, ∀t ∈ [ a, b ] Từ suy  ∈ La1b1 u ( t ) nghiệm phương trình u′ ( t ) =  ( u )( t ) thỏa u ( t ) ≥ 0, ∀t ∈ [ a1 , b1 ] Vậy  ∈ Sa1b1 2.2 Các kết 2.2.1 Các mệnh đề 2.2.1.1 Mệnh đề Pab  Sab = Pab  S ab ( a ) Chứng minh • Giả sử  ∈ Pab  S ab ( a ) u nghiệm = u′ ( t ) = u (a) ( u )( t ) , (2.1) Vì  ∈ S ab ( a ) nên ta có u ( t ) ≥ 0, t ∈ [ a, b ] Mặt khác  ∈ Pab , nên từ (2.1) ta có u′ ( t ) ≥ 0, t ∈ [ a, b ] , u ( t ) > 0, t ∈ [ a, b ] Vì vậy, Pab  S ab ( a ) ⊆ Pab  Sab • Giả sử  ∈ Pab  Sab theo Định nghĩa 2.1.1 phương trình (0.1 ) có nghiệm dương γ Khi theo Định lí 1.3.1 suy  ∈ S ab ( a ) Vì Pab  Sab ⊆ Pab  S ab ( a ) Vậy Pab  Sab = Pab  S ab ( a ) 2.2.1.2 Mệnh đề Giả sử  toán tử b – Volterra,  ∈ Pab  Sab Thì  ∈ S ab ( b ) Chứng minh Vì  tốn tử b – Volterra, nên tốn (1.1 ), (1.3 ) có nghiệm tầm thường nên tốn (1.1), (1.3) có nghiệm Giả sử u nghiệm (1.1), (1.3) với c ∈  + , q ∈ L ([ a, b ] ,  − ) Đặt: t ∈ [ a, b ] , vε = ε + u (t ) , (2.2) với ε > , ta thấy: vε ( t ) > 0, t ∈ [ a, b ] (2.3) Thật vậy, (2.3) không đúng, vε ( b ) > , tồn tε ∈ [ a, b ) cho: vε ( t ) > 0, t ∈ [ a, b ] , vε ( tε ) = (2.4) Hiển nhiên, vε′ ( t ) = u′ ( t ) =  ( u )( t ) + q ( t ) =  ( −ε + vε ) ( t ) + q ( t ) =  ( vε ) ( t ) + q ( t ) − ε  (1)( t ) , với t ∈ [ a, b ] từ giả thiết q ∈  ([ a, b ] ,  − ) ,  ∈ Pab , ε > suy vε′ ( t ) ≤  ( vε ) ( t ) , t ∈ [ a, b ] vε′ ( t ) ≤  ( vε ) ( t ) Từ (2.4), (2.5) ta có  nên vε nghiệm toán vε ( t ) = (2.5) u′ ( t ) ≤  ( u )( t )  u ( t ) = u′ ( t ) ≤  ( u )( t ) Mà theo Chú ý 1.2.5 ta có  ∈ Stε b ( a ) tốn  khơng có u ( t ) = nghiệm không âm khác tầm thường Mà vε ( t ) > 0, t ∈ [ a, b ] nên  ∉ Stε b ( a ) Do theo Mệnh đề 2.3.1 suy  ∉ Stε b Từ theo Chú ý 2.1.2 điều mâu thuẫn với giả thiết  ∈ Sab Vì vậy, với ε > tùy ý, từ (2.2) (2.3) suy u ( t ) ≥ 0, t ∈ [ a, b ] Vậy  ∈ S ab ( b ) 2.2.1.3 Mệnh đề ( − Pab )  Sab = ( − Pab )  Sab ( b ) , với − Pab = { ∈ L ab } : − ∈ Pab Chứng minh Mệnh đề suy từ Mệnh đề 2.2.1.1 Chú ý 1.3.9.2 2.2.1.4 Mệnh đề Giả sử  toán tử a – Volterra,  ∈ ( − Pab )  Sab Thì  ∈ S ab ( a ) Chứng minh Mệnh đề suy từ Mệnh đề 2.2.1.2 Chú ý 1.3.9.2 2.2.1.5 Mệnh đề Giả sử  toán tử a b – Volterra,  ∈ Pab  S ab ( a ) Thì  ∈ S ab ( b ) Chứng minh Mệnh đề suy từ Mệnh đề 2.2.1.1 Mệnh đề 2.2.1.2 2.2.1.6 Mệnh đề Giả sử  toán tử a – Volterra,  ∈ ( − Pab )  S ab ( b ) Thì  ∈ S ab ( a ) Chứng minh Mệnh đề suy từ Mệnh đề 2.2.1.3 Mệnh đề 2.2.1.4 2.2.2 Bổ đề Giả sử =   − 1 , với  , 1 ∈ Pab , tồn α , β ∈ C ([ a, b ] ,  + ) thỏa mãn bất đẳng thức α ( t ) ≤ β ( t ) với t ∈ [ a, b ] tương ứng β ′ ( t ) ≥  ( β )( t ) − 1 (α )( t ) + q ( t ) , t ∈ [ a, b ] α ′ ( t ) ≤  (α )( t ) − 1 ( β )( t ) + q ( t ) , t ∈ [ a, b ] (2.6) β ′ ( t ) ≤ −1 ( β )( t ) +  (α )( t ) + q ( t ) , t ∈ [ a, b ] α ′ ( t ) ≥ −1 (α )( t ) +  ( β )( t ) + q ( t ) , t ∈ [ a, b ] (2.7) Thì với c ∈ α ( a ) , β ( a )  , tương ứng c ∈ α ( b ) , β ( b )  , tốn (1.1) có nghiệm u thỏa mãn điều kiện đầu (1.2), tương ứng (1.3), α (t ) ≤ u (t ) ≤ β (t ) , t ∈ [ a, b ] (2.8) Chứng minh Định nghĩa toán tử χ : C ([ a, b ] ,  ) → C ([ a, b ] ,  ) def χ ( v )( t= ) ( v (t ) − α (t ) − v (t ) − β (t ) + α (t ) + β (t ) ) (2.9) Ta có, ( v ( t ) − α ( t ) ) − ( v ( t ) − β ( t ) ) + α ( t ) + β ( t ) ≤ χ ( v )( t ) ≤ (v (t ) − α (t )) − (v (t ) − β (t )) + α (t ) + β (t ) ⇔ α ( t ) ≤ χ ( v )( t ) ≤ β ( t ) , t ∈ [ a, b ] , v ∈ C ([ a, b ] ,  ) − (2.10) Đặt T : C ([ a, b ] ,  ) → C ([ a, b ] ,  ) toán tử định nghĩa sau t ( ) t T ( v )( t ) = c + ∫  ( v )( s ) −  ( v )( s ) ds + ∫ q ( s ) ds def a (2.11) a Tương ứng, b ( ) b T ( v )( t ) = c − ∫  ( v )( s ) −  ( v )( s ) ds − ∫ q ( s ) ds def t (2.12) t với =  ( v )( t ) =  ( v )( t ) 1 ( χ ( v ) ) ( t ) ( χ (v )) (t ) , def def Do (2.10), giả thiết  , 1 ∈ Pab , ta có v ∈ C ([ a, b ] ,  ) , hàm T ( v ) thuộc tập C ([ a, b ] ,  ) T ( v )( t ) ≤ M , t ∈ [ a, b ] , (2.13) d T ( v )( t ) dt ≤  ( β )( t ) − 1 (α )( t ) + q ( t ) , t ∈ [ a, b ] (2.14)  0α ( t )( t ) − 1 ( β )( t ) + q ( t ) ≤ với b ( M= c + ∫ 0 ( α + β ) ( s ) +  ( α + β ) ( s ) + q ( s ) ) ds a Theo (2.13), (2.14), bổ đề Arzela Ascoli, rõ ràng toán tử T từ không gian C ([ a, b ] ,  ) vào tập compact tương đối Vì vậy, theo định lý điểm bất động Schauder, tồn u ∈ C ([ a, b ] ,  ) cho = u ( t ) T ( u )( t ) , t ∈ [ a, b ] (2.15) Hiển nhiên, u ∈ C ([ a, b ] ,  ) u ( a ) = c tương ứng u ( b ) = c nên theo 2.8 ta có u ( a ) − β ( a ) ≤ tương ứng u ( b ) − β ( b ) ≤ (2.16) Từ (2.14), (2.15) (2.16) ta có t ) )′ ( u ( t ) − β (= d T ( u )( t ) − β ′ ( t ) ≤  ( β )( t ) − 1 (α )( t ) + q ( t ) − β ′ ( t ) ≤ 0, với t ∈ [ a, b ] dt tương ứng, t ) )′ ( u ( t ) − β (= d T ( u )( t ) − β ′ ( t ) ≥  (α )( t ) − 1 ( β )( t ) + q ( t ) − β ′ ( t ) ≥ 0, với t ∈ [ a, b ] dt Vì từ (2.16) ta có u ( t ) ≤ β ( t ) , t ∈ [ a, b ] Tương tự ta chứng minh u ( t ) ≥ α ( t ) , t ∈ [ a, b ] , (2.8) thỏa Theo (2.8), (2.9) (2.11), tương ứng (2.12), từ (2.15) suy t t a a b b t t u (t ) = c + ∫ (  ( u )( s ) − 1 ( u )( s ) ) ds + ∫ q ( s ) ds, với t ∈ [ a, b ] tương ứng, u (t ) = c − ∫ (  ( u )( s ) − 1 ( u )( s ) ) ds − ∫ q ( s ) ds, với t ∈ [ a, b ] Tức là, u nghiệm (1.1) thỏa (1.3), tương ứng (1.4) 2.2.3 Định lý Giả sử =   − 1 với  , 1 ∈ Pab , với  ∈ S ab ( a ) , −1 ∈ S ab ( b ) 1 toán tử a – Volterra  ∈ Sab Chứng minh Theo giả thiết ta có −1 ∈ S ab ( b ) , −1 ∈ − Pab nên −1 ∈ S ab ( b )  − Pab Mặt khác 1 toán tử a – Volterra nên theo Mệnh đề 2.2.1.6 −1 ∈ S ab ( a ) theo Định lý 1.3.8  ∈ S ab ( a ) Do Định nghĩa 1.2.2, toán (1.1 ), (1.2 ) có nghiệm tầm thường, tốn (2.1) có nghiệm Giả sử u nghiệm (2.1) Vì điều kiện  ∈ S ab ( a ) ta có u ( t ) ≥ , với t ∈ [ a, b ] (2.17) Vì vậy, từ giả thiết  ∈ Pab , ta có u′ ( t ) ≥ −1 ( u )( t ) , t ∈ [ a, b ] (2.18) Giả sử tồn b1 ∈ ( a, b ] cho u ( b1 ) = Vì 1 tốn tử a – Volterra, từ (2.17), (2.18), Chú ý 1.2.5 Mệnh đề 2.2.1.3 suy −1 ∉ Sab1 Nhưng theo Chú ý 2.1.2 điều mâu thuẫn với giả thiết −1 ∈ Sab Do u nghiệm dương (1.1 ), tức  ∈ Sab Chú ý Trong định lí 2.2.3 giả thiết  ∈ S ab ( a ) , − 1 ∈ S ab ( b ) thay giả thiết (1 − ε )  ∈ Sab ( a ) , − 1 ∈ S ab ( b ) giả thiết  ∈ S ab ( a ) , − (1 − ε ) 1 ∈ S ab ( b ) với ε > Để thấy rõ điều ta xem ví dụ ví dụ Chú ý 1.3.9.1 2.2.4 Định lý Giả sử =   − 1 với  , 1 ∈ Pab tồn hàm α , β ∈ C ([ a, b ] ;  + ) thỏa bất đẳng thức β ′ ( t ) ≤ −1 ( β )( t ) +  (α )( t ) , t ∈ [ a, b ] , (2.19) α ' ( t ) ≥ −1 (α )( t ) +  ( β )( t ) , t ∈ [ a, b ] , (2.20) α ( t ) ≤ β ( t ) , t ∈ [ a, b ] (2.21) Hơn nữa, điều kiện sau đúng: α ( t ) > 0, t ∈ [ a, b ] ; (2.22) α ( t ) > 0, t ∈ ( a, b ] , α ( a ) = 0,  ∈ Sab ( a ) (2.23) α ( t ) > 0, t ∈ [ a, b ) , α ( b ) = 0, − 1 ∈ Sab ( b ) (2.24) Thì  ∈ Sab Chứng minh Từ (2.19), (2.21), Bổ đề 2.2.2 suy (1.1 ) có nghiệm u thỏa mãn điều kiện đầu u ( b ) = β ( b ) u ( t ) ≥ α ( t ) , với t ∈ [ a, b ] (2.25) • Giả sử (2.22) từ (2.25) suy u nghiệm dương (1.1 ),  ∈ Sab ( a ) • Giả sử (2.23), tương ứng (2.24) từ (2.25) suy u ( t ) > , với t ∈ ( a, b ] , tương ứng t ∈ [ a, b ) Do (2.26), điều kiện 1 ∈ Pab , tương ứng điều kiện  ∈ Pab , từ (1.1 ) ta có u′ ( t ) ≤  ( u )( t ) , tương ứng u′ ( t ) ≥ 1 ( u )( t ) với t ∈ [ a, b ] (2.26) Do  ∈ S ab ( a ) , tương ứng −1 ∈ S ab ( b ) , Chú ý 1.2.5, ta có u ( a ) ≠ , tương ứng u ( b ) ≠ Vì từ (2.26) ta có u nghiệm dương (1.1 ),  ∈ Sab 2.2.5 Hệ Giả sử =   − 1 với  , 1 ∈ Pab tồn hàm β ∈ C ([ a, b ] ; ( 0, +∞ ) ) thỏa bất đẳng thức β ′ ( t ) ≤ −1 ( β )( t ) , t ∈ [ a, b ] , (2.27) b β ( a ) ∫  (1)( s ) ds < β ( b ) (2.28) a  ∈ Sab Chứng minh Theo 2.28 tồn ε > cho b ε + β ( a ) ∫  (1)( s ) ds ≤ β ( b ) (2.29) a Đặt t α (t ) = ε + β ( a ) ∫  (1)( s ) ds ≤ β ( b ) , t ∈ [ a, b ] a Từ (2.27) suy β không tăng, tức là, β ( b ) ≤ β ( t ) ≤ β ( a ) , t ∈ [ a, b ] Do đó, hiển nhiên bất đẳng thức (2.19), (2.20) (2.22) Mặt khác, (2.29) (2.30) ta có b α ( t ) ≤ ε + β ( a ) ∫  (1)( s ) ds ≤ β ( b ) ≤ β ( t ) , t ∈ [ a, b ] a nên (2.21) thỏa Vì giả thiết Định lí 2.2.4 thỏa mãn, nên  ∈ Sab (2.30) 2.2.6 Định lý Giả sử =   − 1 với  , 1 ∈ Pab , với  ∈ S ab ( a ) , −1 ∈ S ab ( b )  tốn tử bVolterra  ∈ Sab Chứng minh Định lý suy từ Định lý 2.2.3 Chú ý 1.3.9.2 2.2.7 Định lý Giả sử =   − 1 với  , 1 ∈ Pab tồn hàm α , β ∈ C ([ a, b ] ;  + ) thỏa bất đẳng thức (2.21) β ′ ( t ) ≥  ( β )( t ) − 1 (α )( t ) , t ∈ [ a, b ] , α ' ( t ) ≤  (α )( t ) − 1 ( β )( t ) , t ∈ [ a, b ] Hơn nữa, có điều kiện (2.22), (2.23), (2.24) thỏa  ∈ Sab Chứng minh Định lý suy từ Định lý 2.2.4 Chú ý 1.3.9.2 2.2.8 Hệ Giả sử =   − 1 với  , 1 ∈ Pab tồn hàm β ∈ C ([ a, b ] ; ( 0, +∞ ) ) thỏa bất đẳng thức b β ′ ( t ) ≥  ( β )( t ) , t ∈ [ a, b ] , β ( b ) ∫ 1 (1)( s ) ds < β ( a ) a Thì  ∈ Sab Chứng minh Hệ suy từ Hệ 2.2.5 Chú ý 1.3.9.2 2.2.9 Phương trình vi phân với đối số lệch Áp dụng định lý cho phương trình vi phân với đối số lệch ta có kết sau 2.2.9.1 Định lý Giả sử p, g ∈ L ([ a, b ] ,  + ) ,τ , µ ∈ M ab , µ ( t ) ≤ t , t ∈ [ a, b ] hàm p,τ thỏa điều kiện a), b), c) Định lý 1.3.17.1 hàm g , µ thỏa điều kiện a), b), c) Định lý 1.3.17.6 tốn tử  định nghĩa (1.67) thuộc tập Sab Chứng minh Định lý suy từ Định lý 1.3.17.1; 1.3.17.6 2.2.3 2.2.9.2 Định lý Giả sử p, g ∈ L ([ a, b ] ,  + ) ,τ , µ ∈ M ab hàm g , µ thỏa a) (tương ứng c)) Định lý 1.3.17.6, b  b  b  b  (1 − α ) 1 + ∫ g ( s ) ds  + ∫ g ( s ) ∫ g (ξ ) d ξ ds  ∫ p ( s ) ds < − α ,  a µ(s)  a  a   tương ứng  b b  − + x g s ds δ   ∫ ( )   ∫ p ( s ) ds < δ ,   a a với x0 > δ ∈ ( 0,1) cho     t  x0 (1 − δ ) 1  , t ∈ [ a, b ] ∫µ t g ( s ) ds < x0  x0 +  b    () exp  x ∫ g ( s ) ds  − (1 − δ )      µ*    Thì tốn tử  định nghĩa (1.67) thuộc tập Sab Chứng minh Đặt  b  b  t  t β ( t ) =− (1 α ) 1 + ∫ g ( s ) ds  + ∫ g ( s ) b ∫µ g (ξ ) dξ ds (s) tương ứng  b   t  β ( t ) =exp  x0 ∫ g ( s ) ds  − + δ Dễ dàng thấy hàm β thỏa mãn giả thiết Hệ 2.2.5 2.2.9.3 Định lý Giả sử p, g ∈ L ([ a, b ] ,  + ) ,τ , µ ∈ M ab ,τ ( t ) ≥ t , t ∈ [ a, b ] hàm p,τ thỏa điều kiện a), b), c) Định lý 1.3.17.1, hàm g , µ thỏa điều kiện a), b), c) Định lý 1.3.17.6 tốn tử  định nghĩa (1.67) thuộc tập Sab Chứng minh Định lý suy từ Định lý 1.3.17.1; 1.3.17.6 2.2.6 2.2.9.4 Định lý Giả sử p, g ∈ L ([ a, b ] ,  + ) , τ , µ ∈ M ab hàm p, τ thỏa a) (tương ứng c)) Định lý 1.3.17.1, τ (s)  b  b  b  (1 − α ) 1 + ∫ p ( s ) ds  + ∫ p ( s ) ∫ p (ξ ) d ξ ds  ∫ g ( s ) ds < − α ,  a a  a  a   tương ứng  b b    x0 ∫ p ( s ) ds  − + δ  ∫ g ( s ) ds < δ ,   a a với x0 > δ ∈ ( 0,1) cho     τ (t )   x0 (1 − δ ) p s ds < x + ( )   , t ∈ [ a, b ] ∫t x0   b   exp  x ∫ p ( s ) ds  − (1 − δ )      µ*    Thì tốn tử  định nghĩa (1.67) thuộc tập Sab Chứng minh Định lý suy từ Định lý 2.2.9.2 Chú ý 1.3.9.2 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Mục đích luận văn nghiên cứu điều kiện cần đủ để toán biên cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính (1.1), (1.2) có nghiệm khơng âm phương trình vi phân (1.1 ) tồn nghiệm dương Nội dung luận văn gồm chương: Chương Chúng ta xây dựng điều kiện cần đủ để toán tử  ∈ Lab toán (1.1), (1.2) (hoặc (1.1), (1.3)) thuộc tập Sab ( a ) (hoặc Sab ( b ) ) Kết Chú ý 1.2.3 – 1.2.5, Định lí 1.3.1; 1.3.4; 1.3.5; 1.3.8, Hệ 1.3.2, 1.3.6 Chương Chúng ta đưa tiêu chuẩn hiệu để toán tử  ∈ Lab thuộc tập Sab ( a ) (hoặc Sab ( b ) ) Cụ thể ta xét mối quan hệ tập Sab ( a ) , Sab ( b ) với tập Sab Kết Mệnh đề 2.2.1.1 – 2.2.1.6 Định lý 2.2.3; 2.2.4 Từ vấn đề đưa luận văn, câu hỏi đặt kết cịn hay khơng cho phương trình vi phân hàm bậc cao hay toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm Hơn tốn chúng tơi cịn chưa nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm thời gian có hạn Chính thơng qua kết đạt luận văn này, tác giả mong muốn mở rộng tiếp tục nghiên cứu vấn đề nêu Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế thân, tác giả mong học hỏi từ góp ý bảo Quý Thầy, Cơ ngồi Hội đồng TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Haim Brezis (2002), Giải tích hàm lý thuyết ứng dụng, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh [2] E Bravyi (2000), “A note on the Fredholm property of boundary value problems for linear functional differential equations”, Mem Diferential Equations Math Phys, 20, pp.133 – 135 [3] E Bravyi, R Hakl , and A Lomtatidze, Optimal conditions for unique solvability of the Cauchy problems for first order linear functional diferential equation, Czecholovak Math J (to appear) [4] E Bravyi, A Lomtatidze, A note on the cauchy problem for first order linear differential equations with a deviating argument, Arch Math [5] I Kiguradze and B Puza (1997), “On boundary value problems for systems of linear function differential equation”, Czech Math, 47(2), pp.341 – 373 [6] I Kiguradze and Puza (1997), “On boundary value problems for functional differential equations”, Mem Diferential Equations Math Phys, 12, pp.106 – 113 [7] R Hakl, A Lomtatidze, and B Puza (2001), “On nonnegative solutions of first order scalar functional differential equations”, Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics, 23, pp.51 – 84 ... lớn phương pháp sử dụng áp dụng kĩ thuật bất đẳng thức vi phân Trong luận văn nghiên cứu vấn đề tồn nghiệm không âm tốn biên cho phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính Bài tốn sau: Xét tồn nghiệm. .. − 1) ( 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết toán biên cho phương trình vi phân thường (PTVPT) phương trình vi phân hàm (PTVPH) đời từ kỉ 18, song đến nhiều người quan tâm nhờ ứng dụng lĩnh vực vật lý, học, kinh... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH o0o - Lê Thị Kim Anh NGHIỆM KHƠNG ÂM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN