Nghiệm đa thức của bài toán chuyển động dưới sự tác dụng của lực trọng trường

Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các phép toán ma trận 1.1.1 Phép cộng 1.1.2 Phép nhân số thực với ma trận 1.1.3 Phép nhân hai ma trận 1.2 Định thức 1.3 Các tính chất định thức 1.3.1 Tính chất 1.3.2 Tính chất 1.4 Định thức Vandermonde 1.5 Định thức Wronxki 1.6 Hệ Cramer 1.7 Định lý Cramer 1.8 Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 để tính giá trị định thức, vẽ đồ thị hàm số 10 Nghiệm đa thức toán chuyển động tác dụng lực trọng trường 11 2.1 Đặt toán 11 2.2 Xác định hàm điều khiển u(t) (2.4) dạng đa thức 12 2.3 Xác định hàm điều khiển u(t) (2.4) với điều kiện có k điểm kiểm tra 14 2.4 Kết luận 16 2.5 Áp dụng 17 2.5.1 Với điểm kiểm tra: 17 2.5.2 Với điểm kiểm tra: 18 2.5.3 Với điểm kiểm tra: 19 2.5.4 Bài toán (2.4) với điểm kiểm tra: 21 Tài liệu tham khảo 23 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————— BÁO CÁO LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGHIỆM ĐA THỨC CỦA BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG DƯỚI SỰ TÁC DỤNG CỦA LỰC TRỌNG TRƯỜNG Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Thảo Giáo viên hướng dẫn: T.S Lê Hải Trung Đà Nẵng, 06/2013 Lời cảm ơn Sau thời gian nghiên cứu, hướng dẫn tận tình giúp đỡ thầy giáo TS Lê Hải Trung, đến đề tài em hoàn thành Em xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung tận tình hướng dẫn cho em phần kiến thức cách sử dụng phần mềm toán học Mathematica 4.2, phần mềm hay thú vị suốt thời gian làm khóa luận Em xin bày tỏ biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường Đại Học Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng, Ban Chủ nhiệm khoa Toán tạo hội cho em làm khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy giáo Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng nhiệt tình giảng dạy em suốt năm học Đại học vừa qua Mặc dù cố gắng, khóa luận khơng tránh khỏi sai xót Em mong ý kiến đóng góp thầy giáo bạn để khóa luận hoàn thiện Đà Nẵng, ngày 30 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Thảo Mở đầu Lý lựa chọn đề tài Cùng với phát triển khoa học kỹ thuật, lý thuyết điều khiển lính vực nhận quan tâm tốn học đại, tốn vật lý, hóa học, sinh học,kinh tế chuyển mơ hình tốn học xem xét mơ tả phương trình vi phân tuyến tính, phi tuyến hệ phương trình vi phân Một số tốn giải phương pháp đại số giải tích đại đa số chúng xem xét hệ phương trình nhiều ẩn mà việc tính được nghiệm xác phức tạp khơng giải phép biến đổi việc vẽ đồ thị hàm điều khiển Bằng cách ứng dụng phần mềm Toán học mathematica 4.2, Sketpad 5.0 tìm nghiệm hệ phương trình cách dễ dàng cách đưa chúng hệ phương trình Cramer áp dụng định lí Cramer để tính nghiệm, vẽ độ thị cách xác Mơ hình tốn điều khiển dạng hệ dừng tuyến tính xem xét, nghiên cứu tác giả như: A Ailon, L Baratchar, G Grimm G, Langholz, Achim IIichman, Volker Mehrman, Andrayev Y, Kraxopxki N, Zubova S, Raeskaya E, nghiệm tìm biểu diễn dạng hàm mũ ma trận Với hi vọng đem lại cách giải toán cách đơn giản nhanh gọn lựa chọn đề tài "Nghiệm đa thức toán chuyển động tác dụng lực trọng trường" cho luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Xác định hàm điều khiển u(t) thông qua việc tìm nghiệm tốn điều khiển dạng đa thức bậc 2k + điều kiện có k điểm kiểm tra việc giải hệ phương trình Cramer phầm mềm Mathematica 4.2 vẽ đồ thị chúng Nhiệm vụ nghiên cứu – Đọc nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài: Hệ phương trình vi phân tuyến tính, định thức Vandermonde, định thức Wronxki, – Làm quen ứng dụng phần mềm Mathematica cho nội dung đề tài Phương pháp nghiên cứu –Trong phạm vi đề tài có sử dụng kiến thức thuộc lĩnh vực: Lý thuyết Phương trình vi phân, Đại số tuyến tính, Giải tích Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung luận văn chia làm hai chương, đó: –Chương 1: Tác giả hệ thống lại kiến thức sở: Ma trận phép tốn ma trận, định thức ma trận, tính chất định thức, Định thức Vandermonde, Định thức Wronxki, Hệ Cramer Định lí Cramer nhằm mục đích phục vụ cho Chương –Chương 2: Là nội dung luận văn, phát triển sở báo [1] Và cách nhìn nhận thân, tác giả tiến hành chứng minh chi tiết kết báo tiến hành xem xét trường hợp riêng để tiến hành khảo sát xây dựng đồ thị hàm trạng thái hàm điều khiển Luận văn soạn thảo phần mềm VieTex với dung lượng 50 trang, kết tính tốn luận văn thực phần mềm Mathematica 4.2, máy tính Sony Vaio Vpc - Eb33FM/BJ, hệ điều hành Windows Ultimate, 2.67 Hz, Ram 4.0GB Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các phép toán ma trận Cho A = [aij ]m×n , B = [bij ]m×n 1.1.1 Phép cộng A + B = [aij + bij ]m×n , i = 1, m, j = 1, n, 1.1.2 Phép nhân số thực với ma trận Cho λ ∈ R A = [aij ]m×n , phép nhân λ với A xác định λ.A = [aij ]m×n = [k × aij ]m×n , i = 1, m, j = 1, n 1.1.3 Phép nhân hai ma trận Cho A = [aij ]m×n , B = [bik ]n×q Khi tích hai ma trận A B ma trận C xác định cơng thức sau: A × B = C = [cik ]m×q với n aij × bjk , i = 1, m, k = 1, q cik = j=1 1.2 Định thức Cho A = [aij ]n×n Định thức A số thực, kí hiệu xác định sau: (−1)N (f ) × a1×f (1) × a2×f (2) an×f (n) det(A) = f ∈Sn Sn tập hốn vị n phần tử {1, 2, n} hay tập Sn có n! phần tử 1.3 Các tính chất định thức 1.3.1 Tính chất det(A) = det(AT ) AT ma trận chuyển vị A Nhận xét: tính chất định thức phát biểu với hàng tính chất với cột 1.3.2 Tính chất Nếu ta nhân hàng ma trận cho số k = định thức nhân lên k lần 1.4 Định thức Vandermonde 1 V = 1.5 f1 f2 fn f1n−1 f2n−1 = ×(fj − fi ) = 1≤i 0) (2.7) Định lý 2.1 Tồn nghiệm toán (2.4)- (2.6)- (2.7) dạng đa thức bậc Ta chứng tỏ nghiệm (2.4)- (2.6)- (2.7) tìm dạng: x(t) = A0 + A1 × t + A2 × t2 + A3 × t3 (2.8) đó,         a0 a1 a2 a3          b0         , A1 =  b1  , A2 =  b2  , A3 =  b3  A0 =  c  c  c  c   0  1  2  3 d0 d1 d2 d3 Từ (2.6)- (2.7) ta có: x1 (0) = a0 = x01 x2 (0) = b0 = x02 Kết hợp (2.8) ta được: α1 = x1 (T ) = x01 + a1 × T + a2 × T + a3 × T (2.9) α2 = x2 (T ) = x02 + b1 × T + b2 × T + b3 × T (2.10) Sử dụng x˙ = x2 ta được: a1 + 2a2 × t + 3a3 × t2 = b0 + b1 × t + b2 × t2 + b3 × t3 Đồng vế (2.11) ta được: a1 = b0 = x02 , 2a2 = b1 , 3a3 = b2 , b3 = Kết hợp (2.9)- (2.10) cho ta:  x0 + x0 × T + a × T + a × T = α 1 x0 + b × T + b × T = α 2 13 (2.11)  a × T + a × T = α − x0 − x0 × T ⇔ 2a × T + 3a × T = α − x0 (2.12) Hệ (2.12) hệ Cramer’s Định thức ma trận hệ số là: ∆= T2 T3 = T4 = 2T 3T hệ (2.12) có nghiệm nhất, ta chứng tỏ nghiệm toán (2.4)- (2.6)- (2.7) dạng đa thức bậc Định lí 2.1 chứng minh Như toán (2.4) với điều kiện điểm kiểm tra cho ta nghiệm x(t) dạng đa thức bậc Khơng khó để chứng tỏ nghiệm tốn (2.4) - (2.2) - (2.3) với điểm kiểm tra dạng đa thức bậc Trong phần sau, ta tiến hành xem xét tốn (2.4) có k điểm kiểm tra 2.3 Xác định hàm điều khiển u(t) (2.4) với điều kiện có k điểm kiểm tra Tiến hành xem xét toán (2.4) với điều kiện có k điểm kiểm tra: x(0) = x0 = x01 x02 x03 x04 τ (2.13) τ x(T ) = α = α1 α2 α3 α4 (T > 0) x(tj ) = β j = β1j β2j β3j β4j (2.14) τ (2.15) với j = 1, k, < tj < T Định lý 2.2 Tồn nghiệm toán (2.4) - (2.13) -(2.14) -(2.15) dạng đa thức bậc 2k + Chứng tỏ nghiệm (2.4) - (2.13) -(2.14) -(2.15) tìm dạng: 2k+3 i x(t) = A0 + A1 × t + A2 × t + + Ai × t + + A2k+3 × t 2k+3 Ai × ti = i=0 14      bi   Ai =   c  , i = 1, 2k +  i di Từ (2.13) -(2.14) -(2.15) ta có: x1 (0) = a0 = x01 x2 (0) = b0 = x01 2k+3 α1 = x01 × T i + i=1 2k+3 α2 = x02 + bi × T i i=1 2k+3 β1j = x01 + × ti1 i=1 2k+3 β2j = x02 + bi × ti1 ,  = 1, k i=1 Sử dụng x˙ = x2 ta được: 2k+3 2k+3 r × ar × t a1 + r−1 = x02 b i × ti + r=2 (2.16) i=1 Đồng vế (2.16) ta được: b2k+3 = 0, a1 = x02 , bi = (i + 1) × ai+1 , i = 1, 2k + Kết hợp (2.16) ta hệ Cramer’s với ẩn là: i = 1, 2k + 3, r = 1, k  2k+3    × T i = α1 − x01 = x02 × T    i=2   2k+3    i × × T i−1 = α2 − x02  i=2 2k+3    × tir = β1r − x01 − x02 × tr    i=2   2k+3    i × × ti−1 = β2r − x02  r i=2 15 (2.17) Đây hệ Cramer’s, với định thức ma trận hệ số là: T2 2T t21 2t1 ∆= t2k 2tk T3 3T t31 3t21 t3k 3t2k T4 4T t41 4t31 t4k 4t3k T 2k+2 T 2k+3 (2k + 2)T 2k+1 (2k + 3)T 2k+2 t12k+3 t2k+2 (2k + 3)t2k+2 (2k + 2)t2k+1 1 t2k+2 tk2k+3 k (2k + 2)t2k+1 (2k + 3)t2k+2 k k < tj < T Đặt ti = λi T, i = 1, k , ta được: k ∆=T 3(k+1) T 1+2+ +2k+1 i=1 2 1 λ1 λ21 3λ1 4λ21 λk λ2k 3λk 4λ2k 1 2k + 2k + λ2k λ2k+1 1 2k (2k + 2)λ1 (2k + 3)λ2k+1 λ2k+1 λ2k k k 2k (2k + 2)λk (2k + 3)λ2k+1 k k =T 2(k+1)(k+2) λ4i ((λ1 −λ2 )(λ1 −λ3 ) (λ1 −λk )(λ2 −λ3 ) (λ2 −λk ) (λk−1 −λk ))4 i=1 ∆ = Định lý 2.2 chứng minh 2.4 Kết luận Như ta chứng tỏ nghiệm toán (2.4) - (2.6) -(2.7) (2.13) -(2.14) -(2.15) dạng đa thức có bậc 2k + điều kiện có k điểm kiểm tra Thực tế đem lại thuận tiện cho việc khảo sát phác họa đồ thị nghiệm hệ ban đầu 16 2.5 Áp dụng Ta chứng minh hàm trạng thái dạng đa thức bậc 2k + 3: 2k+3 i x(t) = A0 + A1 t + A2 t + + Ai t + + A2k+3 t 2k+3 Ai t2k+3 (2.18) = i=0 đó:      bi   Ai =   c  , i = 0, 2k +  i di Ta đưa vào (2.4) điều kiện: x(0) = , x(1) = 2 2.5.1 Với điểm kiểm tra: Từ (2.18) ta có: x(t) = A0 + A1 t + A2 t2 + A3 t3 hay           x1 (t) a0 a1 a2 a3           x2 (t)  b0   b1        =   +   × t +  b2  × t2 +  b3  × t3 x (t)  c   c  c  c     0  1  2  3 x4 (t) d0 d1 d2 d3 Vậy nghiệm tốn (2.4) tìm dạng đa thức bậc 3 u1 = x˙ = ( + 3t − t2 ) = − 3t 2 u2 = x˙ + g = ( + 3t − t2 ) + g = − 3t + g 2 Đồ thị hàm τ = {u1 , u2 } (Xem hình 2.1) 17 Hình 2.1: Đồ thị hàm τ = {u1 , u2 } 2.5.2 Với điểm kiểm tra: x( ) = ( ) (2.19) Ta chứng tỏ tồn nghiệm dạng đa thức bậc Từ (2.18) ta có: x(t) = A0 + A1 t + A2 t2 + A3 t3 + A4 t4 + A5 t5 Như thế, nghiệm toán (2.4)- (??) nhận là:             0.5 0.5 2.3 −18.5 336 −16.4             0.5 4.6 −55.5  1344  −82              x(t) =  0.5+0.5×t+ 2.3 ×t +−18.5×t + 336 ×t +−16.4×t             0.5 4.6 −55.5 1344 −82 Vậy nghiệm tốn (2.4)- (??) đa thức bậc Ta có: u1 = x˙ = (0.5 + 4.6t − 55.5t2 + 1344t3 − 82t4 ) 18 = 4.6 − 111t + 4032t2 − 328t3 u2 = x˙ + g = 4.6 − 111t + 4032t2 − 328t3 + g Hình 2.2: 2.5.3 Với điểm kiểm tra: 1 x( ) = ( ), x( ) = ( ) (2.20) 4 Ta chứng tỏ tồn nghiệm dạng đa thức bậc Từ (2.18) ta có: A i ti x(t) = i=0 19 Như thế, nghiệm toán (2.4)- (2.20) nhận là:           0.5 0.5 14.0431 0.3333 0.25           0.5 28.0862      256           x(t) =  0.5 +  0.5  ×t+ 14.0431 ×t + 0.3333 ×t + 0.25 ×t +           0.5 28.0862 1 256       51.1987 −6837.12 2804.06       41022.72     19628.42   × t5 +   × t6 +    51.1987  −6837.12 2804.06 × t       41022.72 19628.42 Đồng thời: u1 = x˙ = 28.0862 + 2t + 3t2 + 1024t3 + 205113.6t4 + 117770.52t5 u2 = x˙ + g = 28.0862 + 2t + 3t2 + 1024t3 + 205113.6t4 + 117770.52t5 + g Đồ thị hàm τ = {u1 , u2 } (Xem hình 2.3) Hình 2.3: Đồ thị hàm τ = {u1 , u2 } 20 Bài toán (2.4) với điểm kiểm tra: 2.5.4 1 (2.21) x( ) = ( ), x( ) = ( ), x( ) = ( ) Ta chứng tỏ tồn nghiệm dạng đa thức bậc Từ (2.18) ta có: Ai ti x(t) = i=0 Suy nghiệm toán (2.4)- (2.21) nhận là:         0.5 0.5 249668 −7.846 × 106         0.5 499336 −23.538 × 106  4.03588 × 108      ×t + ×t + x(t) =  0.5+ 0.5 ×t+   6 249668        −7.846 × 10  0.5 499336 −23.538 × 106 4.03588 × 108       1.00897 × 108 −6.79191 × 108 2.53176 × 109       −33.95955 × 108   1.519056 × 1010  −3.539123 × 1010         1.00897 × 108 ×t +5 − 6.79191 × 108 ×t + 2.53176 × 109 ×t +       −33.95955 × 108 1.519056 × 1010 19628.42       −5.05589 × 109 4.77409 × 109 −7.6403 × 108       3.819272 × 1010  −6.87627 × 109     ×t + ×t +   −5.05589 × 109   4.77409 × 109  −7.6403 × 108  × t       10 3.819272 × 10 −6.87627 × 10 Đồng thời: u1 = x˙ = 499336 − 47056000t + 121076000t2 − 1.358382 × 1010 t3 + 7.59528 × 1010 t4 −21.54738 × 1010 t5 + 26.7379041 × 010 t6 − 55.01016 × 109 t7 u2 = x˙ + g = 499336 − 47056000t + 121076000t2 − 1.358382 × 1010 t3 + 7.59528 × 1010 t4 −21.54738 × 1010 t5 + 26.737904 × 1010 t6 − 55.01016 × 109 t7 + g Đồ thị hàm τ = {u1 , u2 } (Xem hình 2.4) 21 Hình 2.4: Đồ thị hàm τ = {u1 , u2 } 22 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hải Trung, Đặng Hữu Hiền (2011), Về nghiệm đa thức tốn chuyển động điều kiện có k điểm kiểm tra Tạp chí khoa học công nghệ (05.2011), tr 133- 138 [2] Đề tài cấp ĐHĐN: Xây dựng nghiệm đa thức hệ dừng động học tuyến tính với điểm kiểm tra giới hạn lên hàm hiệu chỉnh Chủ nhiệm: TS Lê Hải Trung Thành viên: ThS Lê Văn Dũng Mã số: Đ2012-03-30 Năm: 2012 (23/12/2012) [3] Bài báo: Về hàm điều khiển đa thức toán chuyển động Tác giả: Lê Hải Trung, Phan Thị Tố Loan Tạp chí Khoa học Công nghệ Số: 7(56) Trang: 81-84 Năm 2012 (21/10/2012) [4] Về hàm trạng thái đa thức cho hệ dừng động học tuyến tính Tác giả: Lê Hải Trung Tạp chí Khoa học Cơng Nghệ Đại học Đà Nẵng Số: 11[60] Trang: 53 - 57 Năm 2012 (23/01/2013) [5] Bài báo: Về nghiệm đa thức toán điều khiển điều kiện có điểm kiểm tra Tác giả: Lê HảiTrung, Đặng Hữu Hiền Tạp chí Khoa học Công nghệ - Đại học Đà Nẵng Số: 5[40] Trang: 178-183 Năm 2010 (30/12/2010) [6] Nguyễn Viết Đức, Đặng Ngọc Dục (2004),Đại số tuyến tính [7] Ailon A., Langholz G More on the controllability of linear time – invariant system Int J Contr 1986 44 N0 P 1161 - 1176 23 [8] Ailon A., Langholz G., Grimm J., Baratchant L On Polynomial controll with Polynomial state for linear constant system " IEEE Trans Autom Contr" 1986, 31, N0 P 155 - 156 [9] Achim IL Chmann., Volker Mehrman A beharioral aproach to time varying linear system SIAMJ Control and optimization Vol 44, N0 November 2005 P 1725 - 1765 24 ... VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————— BÁO CÁO LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGHIỆM ĐA THỨC CỦA BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG DƯỚI SỰ TÁC DỤNG CỦA LỰC TRỌNG TRƯỜNG Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Thảo Giáo viên... Raeskaya E, nghiệm tìm biểu diễn dạng hàm mũ ma trận Với hi vọng đem lại cách giải toán cách đơn giản nhanh gọn lựa chọn đề tài "Nghiệm đa thức toán chuyển động tác dụng lực trọng trường" cho... Mathematica 4.2 để tính giá trị định thức, vẽ đồ thị hàm số 10 Chương Nghiệm đa thức toán chuyển động tác dụng lực trọng trường 2.1 Đặt toán Tiến hành xem xét hệ dừng tuyến tình miêu tả hệ phương trình