Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 3 1 R độ cong của hàm lồi và một số tính chất 4 1 1 Một số khái niệm của Giải tích lồi 4 1 1 1 Tập lồi 4 1 1 2 Hàm lồi 4 1 1 3 Mặt phẳng giá 4 1 1 4 Siêu diện lồi 4 1 2 R độ cong c[.]
Mục lục LỜI NÓI ĐẦU R-độ cong hàm lồi số tính chất 1.1 1.2 1.3 Một số khái niệm Giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.1.3 Mặt phẳng giá 1.1.4 Siêu diện lồi R-độ cong hàm lồi số tính chất 1.2.1 Ánh xạ tiếp xúc 1.2.2 Bổ đề hội tụ mặt phẳng giá 1.2.3 Các tính chất ánh xạ tiếp xúc siêu diện lồi 1.2.4 R-độ cong hàm lồi 1.2.5 Sự hội tụ yếu R-độ cong Một số tính chất hàm lồi liên quan đến R-độ cong chúng 1.3.1 Các định lí so sánh tính 1.3.2 Các bổ đề hình học số đánh giá 1.3.3 Hàm biên hàm lồi 1.3.4 Giá parabolic siêu mặt đồ thị lồi 10 Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic 11 2.1 Sự cản trở điều kiện cần tính giải toán Dirichlet 11 2.2 Nghiệm suy rộng nghiệm yếu phương trình Monge-Ampere loại elliptic 13 2.3 Bài toán Dirichlet tập hàm lồi Q(A1 , A2 , , Ak ) 2.4 15 Sự tồn tính nghiệm yếu tốn Dirichlet phương trình Monge-Ampere det(zij ) = ϕ(x) R(Dz) 15 KẾT LUẬN 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình Monge-Ampere lĩnh vực Tốn học, có nhiều ứng dụng thực tiễn như: Hình học, Vật lý, Thiên văn học, Lý thuyết điều khiển tối ưu, nhiều nhà khoa học nghiên cứu quan tâm Phương trình Monge-Ampere loại elliptic phần nội dung phương trình MongeAmpere Nhiều toán đưa đến việc xác định nghiệm suy rộng tốn Dirichlet phương trình loại Loại nghiệm suy rộng cho phép tìm nghiệm toán Dirichlet khái niệm độ cong mở rộng tìm mặt cong có độ cong Gauss cho trước Nội dung luận văn “Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic” hồn thành chủ yếu dựa tài liệu “Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equations” tác giả I J Bakelman [1] Ngoài phần Mở đầu Kết luận, nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Trình bày kiến thức sở số khái niệm Giải tích lồi, khái niệm R-độ cong hàm lồi số tính chất chúng Chương 2: Là phần nội dung luận văn, trình bày nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic Bao gồm: cản trở điều kiện cần tính giải tốn Dirichlet, nghiệm suy rộng nghiệm yếu phương trình MongeAmpere loại elliptic, toán Dirichlet lớp hàm lồi, tồn tính nghiệm yếu tốn Dirichlet phương trình Monge-Ampere det(zij ) = ϕ(x) R(Dz) Mặc dù thân cố gắng hạn chế thời gian, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Giải tích lồi Tập lồi K gọi tập lồi đoạn thẳng xy hoàn toàn chứa K hai điểm x, y ∈ K hay xt = tx + (1 − t)y ∈ K, ∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1] 1.1.2 Hàm lồi Hàm f : K → R (K tập lồi Rn ) gọi hàm lồi f (tx+(1−t)y) ≤ tf (x)+(1−t)y, ∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1] 1.1.3 Mặt phẳng giá Giả sử E n không gian điểm Euclide n-chiều S tập E n Mặt phẳng α gọi mặt phẳng giá tập S α ∩ S 6= ∅ toàn tập S nằm phía mặt phẳng α 1.1.4 Siêu diện lồi Tập F gọi siêu diện lồi n-chiều E n+1 tồn khối lồi (n + 1)-chiều H E n+1 cho F tập liên thông ∂H Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất 1.2 1.2.1 R-độ cong hàm lồi số tính chất Ánh xạ tiếp xúc Ký hiệu x1 , x2 , , xn , xn+1 tọa độ Descartes không gian Euclide (n + 1)-chiều E n+1 E n siêu phẳng xn+1 = Đặt xn+1 = z gọi x = (x1 , x2 , , xn ) (x, z) = (x1 , x2 , , xn , z) điểm không gian E n E n+1 Giả sử G miền lồi, mở, bị chặn E n Gọi Sz đồ thị hàm z(x) : G → R, tức Sz = {(x, z) : z = z(x), x ∈ G} Gọi W + (G) W − (G) lớp hàm lồi lõm xác định G Nếu z(x) ∈ W + (G) z(x) ∈ W − (G) Sz gọi siêu diện lồi siêu diện lõm Giả sử z(x) hàm lồi xác định G α mặt phẳng giá tùy ý Sz Nếu z − z0 = (p0 , x − x0 ) = p01 (x1 − x01 ) + + p0n (xn − x0n ) (1.1) phương trình α điểm (x0 , z0 ) ∈ Sz ∩ α Điểm p0 = (p01 , p02 , , p0n ) ∈ Rn gọi ảnh mặt phẳng giá α biểu thị p0 = χz (α) (1.2) Tập hợp χz (x0 ) = [ χz (α) (1.3) α gọi ảnh tiếp xúc điểm x0 , x0 điểm G α mặt phẳng giá Sz điểm (x0 , z(x0 )) ∈ Sz Lấy e tập G Tập hợp χz (e) = [ χz (x0 ) (1.4) x0 ∈e tập không gian Gradient Rn gọi ảnh tiếp xúc e Khi ánh xạ χz : G → Rn gọi ánh xạ tiếp xúc 1.2.2 Bổ đề hội tụ mặt phẳng giá Bổ đề 1.1 Lấy dãy siêu diện lồi Szk hội tụ tới siêu diện lồi Sz , zk (x) z(x) hàm lồi xác định G Lấy điểm (x0 , zk (x0 )) ∈ Sz Khi giới hạn dãy hội tụ mặt phẳng giá αk Szk điểm (xk , zk (xk )) ∈ Sz mặt phẳng giá của Sz điểm (x0 , zk (x0 )) Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất 1.2.3 Các tính chất ánh xạ tiếp xúc siêu diện lồi Gọi G miền lồi, mở, bị chặn E n A) Giả sử z1 (x) z2 (x) hàm lồi xác định G cho z1 |∂G = z2 |∂G z1 (x) ≤ z2 (x), ∀x ∈ G Khi χz1 (G) ⊃ χz2 (G) (1.5) B) Giả sử z(x) hàm lồi xác định G Khi χz (F ) tập đóng bị chặn Rn tập đóng F G Ký hiệu δF khoảng cách từ F tới ∂G M (z, δF ) giá trị lớn |z(x)|, ∀x ∈ G cho dist(x, ∂G) ≥ δF Khi bất đẳng thức diamχz (F ) ≤ 8δF−1 M (z, δF ) (1.6) thỏa mãn χz (F ) chứa hình cầu |p| ≤ 4δF−1 M (z, δF ) C) Một mặt phẳng giá α siêu diện lồi Sz gọi kì dị tập α ∩ Sz chứa hai điểm khác Khi mặt phẳng giá kì dị α Sz chứa đoạn thẳng l ⊂ α ∩ Sz Lấy Qz tập tất siêu phẳng kì dị Sz Khi đó: ( mesRn ) [ χ(α) = (1.7) α∈Qz D) Nếu e tập Borel G tập χz (e) đo Lebesgue không gian Rn E) Nếu z(x) ∈ W+ (G) ∩ C (G) ánh xạ tiếp xúc đưa ánh xạ điểm trùng với ánh xạ tiếp tuyến 1.2.4 R-độ cong hàm lồi Gọi G miền lồi, mở, bị chặn E n Giả sử R(p) > hàm khả tích địa phương khơng gian Rn z(x) hàm lồi xác định G Xét hàm Z ω(R, z, e) = R(p)dp, (1.8) χz (e) e tập Borel G Hàm ω(R, z, e) gọi R-độ cong hàm lồi z(x) R-độ cong lấy giá trị không âm Đặt Z B(R) = R(p)dp (1.9) Rn Rõ ràng B(R) > Trường hợp B(R) = +∞ không loại trừ Đẳng thức mesRn [χz (e1 ) ∩ χz (e2 )]= với hai tập Borel e1 e2 rời ánh xạ tiếp xúc Từ lý thuyết tích phân, suy R-độ cong ω(R, z, e) hàm tập hồn tồn cộng tính khơng âm vành tập Borel G Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất 1.2.5 Sự hội tụ yếu R-độ cong Gọi G miền lồi, mở, bị chặn E n Lấy tập hợp hàm tập ϕk (e), k = 1, 2, ϕ(e) hàm tập hoàn toàn cộng tính tập e G Khi ϕk (e) gọi hội tụ yếu tới ϕ(e) G Z lim k→∞ Z h(x)ϕk (de) = G h(x)ϕ(de) G hàm liên tục h(x) mà khác tập tập H cho H ⊂ H ⊂ G, H bao đóng H Định lí 1.2 Nếu hàm lồi zk (x) ∈ W + (G) hội tụ tới hàm lồi z(x) ∈ W + (G) R-độ cong chúng ω(R, zk , e) hội tụ yếu G tới ω(R, z, e) Việc chứng minh định lý dựa bổ đề sau: Bổ đề 1.3 Nếu hàm lồi zk (x) ∈ W + (G) hội tụ tới hàm lồi z(x) ∈ W + (G) với x ∈ G, lim ω(R, zk , F ) ≤ ω(R, zk , F ) k→∞ tập đóng F G Bổ đề 1.4 Lấy H tập mở G H ⊂ G, H bao đóng H Lấy hàm lồi zk (x) ∈ W+ (G) hội tụ tới hàm z(x) ∈ W+ (G), ∀x ∈ G ω(R, z, ∂H) = Khi lim ω(R, zk , H) = ω(R, z, H), (1.10) lim ω(R, zk , ∂H) = ω(R, z, ∂H), (1.11) lim ω(R, zk , H) = ω(R, z, H), (1.12) k→∞ k→∞ k→∞ bất đẳng thức lim ω(R, zk , G) = ω(R, z, G) < +∞ k→+∞ (1.13) thỏa mãn 1.3 Một số tính chất hàm lồi liên quan đến R-độ cong chúng 1.3.1 Các định lí so sánh tính Định lí 1.5 Lấy z1 (x), z2 (x) ∈ W + (G) z1 (x) ≥ z2 (x) ∂G, G miền lồi, mở, bị chặn E n Giả thiết ω(R, z1 , e) ≤ ω(R, z2 , e) (1.14) Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất với tập Borel e G Khi z1 (x) ≥ z2 (x) với x ∈ G Việc chứng minh định lí dựa bổ đề sau: Bổ đề 1.6 Lấy z(x) ∈ W + (G) C số Khi ω(R, z + C, e) = ω(R, z, e) (1.15) tập Borel e G Bổ đề 1.7 Lấy z1 (x), z2 (x) ∈ W + (G) Q miền G cho: a) H ⊂ G, b) z1 (x) < z2 (x) với x ∈ Q, c) z1 (x) = z2 (x) với x ∈ ∂Q Nếu χz2 (x0 )\χz1 (x0 ) 6= ∅ (1.16) điểm x0 ∈ ∂G, ω(R, z1 , Q) > ω(R, z2 , Q) Định lí 1.8 Lấy z1 (x), z2 (x) ∈ W + (G) z1 (x) = z2 (x), ∀x ∈ ∂G Giả sử ω(R, z1 , e) = ω(R, z2 , e) tập Borel e G Khi z1 (x) = z2 (x) với x ∈ G 1.3.2 Các bổ đề hình học số đánh giá Bổ đề 1.9 Giả sử R(p) hàm khả tích địa phương Rn = {p = (p1 , p2 , , pn )}, e K(x) hàm số xác định nón K Khi Z e G) ≥ ω(R, z, G) ≥ ω(R, K, R(p)dp, (1.17) |p|≤ρ ρ = |z(x0 )| d(G) d(G) đường kính G Bây đưa vào hàm Z R(p)dp, ρ ∈ [0; +∞) gR (ρ) = (1.18) |p| −∞, G (1.20) hàm z(x) ∈ W + (G) Chúng ta ký hiệu Lz (x0 ) tập hợp tất điểm tới hạn siêu mặt lồi Sz nằm đường thẳng `x0 Từ (1.20) tính lồi Sz ta suy Lz (x0 ) điểm (x0 , v0 ) đoạn đóng chứa điểm {(x0 , v); v0 ≤ v ≤ v1 } tia đóng chứa điểm {(x0 , v); v0 ≤ v < +∞} Bây đưa vào hàm hz : ∂G → R (1.21) cho công thức hz (x0 ) = v0 điểm x0 ∈ ∂G Khi hz gọi hàm biên hàm z(x) ∈ W + (G) Chương R-độ cong hàm lồi số tính chất 1.3.4 Giá parabolic siêu mặt đồ thị lồi Gọi G miền lồi, bị chặn, mở E n Lấy a0 điểm ∂G Khi tồn (n − 1)-mặt phẳng giá α ∂G qua điểm a0 , n-hình cầu mở Uρ (a0 ) với tâm a0 bán kính ρ > cho (n − 1)-mặt lồi Γρ (a0 ) = ∂G ∩ Uρ (a0 ) (1.22) có phép chiếu trực giao πα : Γρ (a0 ) → α Ký hiệu Πρ (a0 ) = πα (Γρ (a0 )) Lấy x1 , x2 , , xn , z tọa độ E n với a0 gốc, trục x1 , x2 , , xn−1 nằm mặt phẳng α, trục xn phương với pháp tuyến ∂G điểm a0 , trục z trực giao với siêu phẳng E n Khi (n − 1)-mặt lồi Γρ (a0 ) đồ thị hàm lồi g(x1 , x2 , , xn−1 ) ∈ W+ (Πρ (a0 )) Rõ ràng g(0, 0, , 0) = (1.23) g(x1 , x2 , , xn ) ≥ (1.24) điểm tập Πρ (a0 ) Hàm g(x1 , x2 , , xn−1 ) gọi biểu diễn tường minh siêu diện lồi ∂G gần điểm đánh dấu a0 Khi đó, ta nói ∂G có giá parabolic địa phương có bậc τ ≥ điểm a0 tồn số dương ρ0 ≤ ρ b(x0 ) cho g(x1 , x2 , , xn−1 ) ≥ b(x0 ) n−1 X ! r+2 x2i (1.25) i=1 (x1 , x2 , , xn−1 ) ∈ Πρ (a0 ) Chúng ta nói ∂G có giá parabolic có bậc khơng lớn τ = const ≥ tồn giá parabolic địa phương ∂G có bậc khơng lớn τ điểm a0 ∈ ∂G 10 Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic 2.1 Sự cản trở điều kiện cần tính giải toán Dirichlet Gọi G miền lồi, mở, bị chặn E n Rn không gian Gradient Giả sử z(x) ∈ C (G) ∩ C(G) nghiệm lồi ngặt phương trình ϕ(x) , R(Dz) det(zij ) = (2.1) ϕ(x) R(p) hàm dương liên tục G Rn Khi ánh xạ tiếp xúc χz : G → Rn C -vi phôi Do Z Z ϕ(x)dx = R(Dz) det(zij )dx G G Z Z R(p)dp ≤ = R(p)dp = B(R) (2.2) Rn χz (G) Bất đẳng thức Z ϕ(x)dx ≤ B(R) (2.3) G điều kiện cần cho tính giải tốn Dirichlet phương trình (2.1) R Nếu B(R) = Rn R(p)dp = +∞ bất đẳng thức (2.3) thu hẹp hàm ϕ(x) 11 Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic Bây xét điều kiện không tầm thường thứ hai cho tính giải tốn Dirichlet sau đây: det(zij ) = ϕ(x)(1 + |Dz|2 ) n+2 , z|∂G = Kx1 , G n-hình cầu n P (2.4) (2.5) x2i ≤ r2 , K = const > hàm ϕ(x) thỏa mãn bất đẳng thức i=1 < a = const ≤ ϕ(x) ≤ b = const < +∞ Lưu ý (2.4) (2.5) tốn Dirichlet siêu diện có độ cong Gaussian cho trước Lấy νz : G → S n ánh xạ Gauss siêu diện Sz : z = z(x), S n hình cầu đơn vị E n+1 , tức νz : x → (−zx1 (x), −zx2 (x), , −zxn (x), 1) p + |gradz(x)|2 Khi νz (G) nằm trên nửa hình cầu S n Z p σn ≥ σ(νz (G)) = ϕ(x) + |grad z(x)|2 dx ≥ aσ(z), G (2.6) σn diện tích S n , σ(νz (G)) diện tích ảnh hình cầu νz (G) G σ(z) diện tích siêu diện Sz Từ bất đẳng thức (2.6) ta suy σ(z) ≤ σn 2a (2.7) Bất đẳng thức (2.7) ước lượng tiên nghiệm diện tích tất nghiệm phương trình (2.4) Lấy r < b−n Khi Z Z ϕ(x)dx ≤ bdx = µn brn < µn , G (2.8) G µn thể tích n-đơn vị hình cầu E n R − n+2 Từ Rn (1 + |p|2 ) dp = µn , bất đẳng thức (2.8) cho thấy điều kiện cần (2.3) thỏa mãn toán Dirichlet (2.4) (2.5) Lấy FK mặt đa điện n-chiều xác định đồ thị hàm ze(x) = Kx1 , (x1 , x2 , , xn ) ∈ G Giả thiết K> σn aµn rn (2.9) z(x) ∈ C (G) ∩ C(G) nghiệm tốn tốn Dirichlet (2.4) (2.5) Khi z|∂G = Kx1 z(x) ≤ ze(x) hầu khắp nơi G Do σ(z) ≥ σ(Fk ) = Kµn rn Từ (2.9) ta suy σ(z)> σn a 12 (2.10) Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic Ta thấy (2.7) (2.10) khơng tương thích Khi tốn Dirichlet (2.4) (2.5) khơng có nghiệm thỏa mãn điều kiện (2.9) theo nghĩa cổ điển Do có hai cản trở khác cho tính giải tốn Dirichlet phương trình (2.1) 2.2 Nghiệm suy rộng nghiệm yếu phương trình Monge-Ampere loại elliptic Gọi G miền lồi, mở, bị chặn E n Chúng ta xét phương trình Monge-Ampere det(zij ) = ϕ(x) , R(Dz) (2.11) ϕ(x) hàm khả tích khơng âm G R(p) hàm khả tích địa phương dương không gian Gradient Rn Giả sử e tập Borel G Tương tự (2.2) ta có Z ω(R, z, e) = ϕ(x)dx (2.12) e Phương trình (2.12) mở rộng phương trình Monge-Ampere (2.11) lớp hàm lồi W + (G), tức việc giải phương trình Monge-Ampere (2.11) xem việc xây dựng hàm lồi z(x) ∈ W + (G) mà dựa theo R-độ cong Lưu ý giá trị R-độ cong cho hàm tập liên tục tuyệt đối không âm xác định Z µ(e) = ϕ(x)dx (2.13) e Chúng ta gọi hàm lồi z(x) ∈ W + (G) nghiệm suy rộng phương trình MongeAmpere (2.11) R-độ cong ω(R, z, e) thỏa mãn phương trình (2.12) Vì hàm z(x) ∈ W + (G) có vi phân cấp cấp hai hầu khắp nơi nên có định nghĩa khác nghiệm suy rộng Hàm z(x) ∈ W + (G) gọi nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere (2.11) z(x) thỏa mãn (2.11) hầu khắp nơi ω(R, z, e) hàm tập liên tục tuyệt đối Rõ ràng hai định nghĩa nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere (2.11) tương đương Nếu R-độ cong hàm lồi z(x) ∈ W + (G) hàm tập liên tục tuyệt đối z(x) khơng phải nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere (2.11) 13 Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic Bây mở rộng lớp nghiệm thừa nhận phương trình (2.11) bao gồm tất hàm lồi Lấy µ(e) hàm tập hồn tồn cộng tính không âm vành tập Borel e G Do đó, thay phương trình (2.11) ta xét phương trình sau ω(R, z, e) = µ(e) (2.14) Khi hàm lồi xác định G xem xét nghiệm phương trình với hàm tập thích hợp µ(e) Phương trình (2.14) mở rộng phương trình Monge-Ampere (2.11) Mọi hàm lồi thỏa mãn phương trình (2.14) gọi nghiệm yếu phương trình (2.11) Rõ ràng hàm mà đồ thị chúng hình nón lồi hình đa diện lồi nghiệm yếu phương trình (2.11) Bây giải thích cấu trúc bên phải phương trình (2.14) mà nghiệm chúng hình nón lồi hình đa diện lồi Lấy K hình nón lồi mà đồ thị của xác định hàm lồi u(x) ∈ W + (G) Chúng ta giả thiết đỉnh K hình chiếu điểm bên x0 G Từ R R(p)dp ; x0 ∈ e χu (e) ω(R, u, e) = (2.15) 0 ; x0 ∈ /e suy hàm u(x) nghiệm phương trình (2.14) hàm µ(e) có dạng: µ(x ) > ; x ∈ e 0 (2.16) µ(e) = 0 ; x ∈ /e Do hàm µ(e) hàm hồn tồn xác định giá trị điểm x0 tìm nghiệm u(x) phương trình mà đồ thị chúng hình nón lồi đỉnh chiếu lên điểm x0 Gọi G khối đa diện lồi bị chặn n-chiều Gọi A1 , A2 , , Ak hệ thống điểm bên G Giả sử Q(A1 , A2 , , Ak ) tập hàm lồi thỏa mãn điều kiện sau: a) Mọi hàm z(x) ∈ Q(A1 , A2 , , Ak ) hàm lồi tuyến tính mẩu xác định G, b) Các đỉnh khối đa diện lồi Sz có hình chiếu điểm A1 , A2 , , Ak , z(x) ∈ Q(A1 , A2 , , Ak ) Vì ω(R, z, e) = XZ R(p)dp (2.17) χz (Ai ) Ai hàm lồi z(x) ∈ Q(A1 , A2 , , Ak ), nên nghiệm z(x) phương trình (2.14) thuộc Q(A1 , A2 , , Ak ) µ(e) có dạng X µ(e) = µ(Ai ) Ai 14 (2.18) Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic Do hàm µ(e) hồn tồn xác định giá trị điểm A1 , A2 , , Ak , tìm nghiệm phương trình (2.14) tập Q(A1 , A2 , , Ak ) 2.3 Bài toán Dirichlet tập hàm lồi Q(A1, A2, , Ak ) Gọi G khối đa diện lồi bị chặn n-chiều E n B1 , B2 , , Bm đỉnh khối đa diện lồi đóng n-chiều G Lấy Q(A1 , A2 , , Ak ) tập hàm lồi, A1 , A2 , , Ak điểm cố định G Khi phát biểu lại tốn Dirichlet cho phương trình ω(R, z, e) = µ(e) (2.19) tập Q(A1 , A2 , , Ak ) với điều kiện biên sau: Giả sử µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0, , µk ≥ h1 , h2 , , hm số cho trước Khi ta chứng minh tồn hàm lồi z(x) ∈ Q(A1 , A2 , , Ak ) thỏa mãn ω(R, z, Ai ) = µi (i = 1, 2, , k), (2.20) z(Bs ) = hs (s = 1, 2, , m) (2.21) Định lí 2.1 Nếu số µ1 , µ2 , , µk thỏa mãn bất đẳng thức k X Z µi < B(R) = R(p)dp, (2.22) Rn i=1 tốn Dirichlet (2.20) (2.21) có nghiệm z(x) ∈ Q(A1 , A2 , , Ak ) 2.4 Sự tồn tính nghiệm yếu toán Dirichlet phương trình Monge-Ampere det(zij) = ϕ(x) R(Dz) Chúng ta xét định lí tồn tốn Dirichlet: ω(R, z, e) = µ(e), 15 (2.23) Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic z|∂G = h(x), (2.24) G miền lồi mở bị chặn E n , µ(e) hàm tập hồn tồn cộng tính khơng âm tập Borel G h(x) hàm liên tục ∂G Các nghiệm phương trình (2.23) gọi nghiệm yếu phương trình MongeAmpere (2.11) Kí hiệu Gε miền mở G cho dist(x, ∂G) > ε, ∀x ∈ Gε , ε > số đủ nhỏ Định lí 2.2 Giả sử ∂G có giá parabolic mà bậc khơng lớn τ , τ = const ≥ số cố định Giả sử µ(e) hàm tập hồn tồn cộng tính khơng âm thỏa mãn hai điều kiện: µ(G\Gε ) = (2.25) Z µ(G) = µ(Gε ) < R(p)dp (2.26) Rn Khi tốn Dirichlet (2.23), (2.24) có nghiệm yếu z(x) ∈ W+ (G) Nhận xét a) Bất đẳng thức Z µ(G) ≤ R(p)dp (2.27) Rn điều kiện cần cho tính giải tốn Dirichlet (2.23), (2.24) khơng điều kiện đủ cho tính giải tốn Dirichlet (2.23), (2.24) b) Điều kiện (2.25) sử dụng Định lý 2.2 hạn chế mà muốn loại bỏ Nhưng loại bỏ sử dụng bất đẳng thức µ(G) < B(R), (2.28) điều kiện biên (2.24) tốn Dirichlet (2.23), (2.24) khơng thỏa mãn theo nghĩa cổ điển Do việc mở rộng toán thỏa mãn điều kiện biên (2.24) nảy sinh, muốn áp đặt hạn chế µ(G) < B(R) hàm µ(e) Bài toán xem xét phần sau (trong Định lý 2.8) Định lý 2.8 kết tồn nghiệm yếu toán Dirichlet (2.23), (2.24) Bây quay trở lại toán Dirichlet: ω(R, z, e) = µ(e), 16 (2.29) Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic z|∂G = h(x) (2.30) Chúng ta đưa điều kiện tổng quát miền lồi, bị chặn, mở G hàm R(p); µ(e); h(x) Giả thiết 2.3 G miền lồi, bị chặn, mở E n ∂G có giá parabolic có bậc khơng lớn τ , τ = const ≥ số thực cho trước Giả thiết 2.4 R(p) hàm dương khả tích địa phương khơng gian Rn Giả thiết 2.5 µ(e) hàm tập hồn tồn cộng tính khơng âm tập Borel G cho µ(G) < B(R), (2.31) Z B(R) = R(p)dp (2.32) Rn Giả thiết 2.6 h(x) hàm liên tục ∂G Ký hiệu V (R, µ, h) tập hợp tất nghiệm yếu z(x) ∈ W+ (G) phương trình (2.29) mà biên hz (x) thỏa mãn bất đẳng thức hz (x) ≤ h(x) (2.33) x ∈ ∂G Bổ đề 2.7 Tập V (R, µ, h) khơng rỗng tất giả thiết (2.3-2.6) toán Dirichlet (2.29), (2.30) thỏa mãn Chứng minh Giả sử µε (e) = µ(e ∩ (G\Gε )) (2.34) hàm tập hồn tồn cộng tính khơng âm xác định với số đủ nhỏ ε > Hàm µε (e) xác định tập Borel G, tập Gε giới thiệu Định lý 2.2 Khi tập hàm tập µε (e) hội tụ yếu đến µ(e) ε → Từ Định lý 2.2 suy tồn nghiệm yếu zε (x) ∈ W+ (G) ∩ C(G) tốn Dirichlet: ω(R, zε , e) = µε (e), 17 (2.35) Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere loại elliptic zε (x)|∂G = h(x), (2.36) (2.36) theo nghĩa cổ điển Vì tất hàm zε (x) trùng với x ∈ ∂G µε0 (e) ≥ µε00 (e) với ε0 < ε00 nên từ Định lý 1.5 ta suy zε00 (x) ≥ zε0 (x) hầu khắp nơi G Do ω(R, uε , G) = µε (G) ≤ µ(G) = const < B(R) nên suy sup h(x) ≥ zε (x) ≥ inf h(x) − TR (µ(G)).diamG ∂G ∂G (2.37) x ∈ G Từ (2.35) (2.37) ta suy hàm lồi zε (x) hội tụ tới hàm lồi z0 (x) miền mở G Vì ω(R, z, e) hội tụ yếu tới ω(R, z0 , e) G (theo Định lý 1.2), z0 (x) nghiệm phương trình ω(R, z0 , e) = µ(e) hz0 (x) ≤ h(x) với x ∈ ∂G, hz0 (x) hàm biên hàm z0 (x) Tại số điểm x ∈ ∂G, giá trị hz0 (x) nhỏ giá trị tương ứng h(x) Hàm z(x) ∈ V (R, µ, h) gọi nghiệm yếu toán Dirichlet (2.29) (2.30) hz (x) ≥ hv (x), ∀x ∈ ∂G (2.38) nghiệm yếu v(x) ∈ V (R, µ, h) phương trình (2.29), hz (x) hv (x) hàm biên z(x) v(x) Định lí 2.8 Nếu giả thiết (2.3-2.6) thỏa mãn, tốn Dirichlet (2.29) (2.30) có nghiệm yếu, tức tồn nghiệm yếu z(x) ∈ V (R, µ, h) phương trình (2.29) thỏa mãn bất đẳng thức (2.38) Hơn nữa, nghiệm yếu toán Dirichlet (2.29) (2.30) hàm lồi z0 (x) mà xây dựng Bổ đề 2.7 Chứng minh Lấy v(x) ∈ V (R, µ, h) nghiệm yếu phương trình (2.29) Khi ω(R, zε , e) = µε (e) ≤ µ(e) = ω(R, v, e) (2.39) tập Borel e G số đủ nhỏ ε > Từ (2.39) ta suy z0 (x) ≥ v(x), ∀x ∈ ∂G Khi cho ta bất đẳng thức hz0 (x) ≥ hv (x), ∀x ∈ ∂G biên z0 (x) v(x) Nếu hz0 (x) = hv (x) với x ∈ ∂G từ Định lý 1.8 ta suy z0 (x) = v(x) với x ∈ ∂G 18 KẾT LUẬN KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu vấn đề sau: - Trình bày khái niệm R-độ cong hàm lồi số tính chất chúng - Trình bày khái niệm nghiệm suy rộng nghiệm yếu phương trình Monge-Ampere loại elliptic - Chỉ tồn tính nghiệm yếu toán Dirichlet phương trình Monge-Ampere det(zij ) = ϕ(x) R(Dz) Do điều kiện thời gian nghiên cứu hạn chế nên số vấn đề khác phương trình Monge-Ampere chưa trình bày Do tác giả mong muốn lâu dài tiếp tục nghiên cứu kỹ lĩnh vực này, cụ thể nghiên cứu tồn tính nghiệm yếu tốn Dirichlet phương trình Monge-Ampere det(zij ) = f (x, z, Dz) 19 Tài liệu tham khảo [1] I J Bakelman (1994), Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equations, Springer-Verlag [2] D Gilbarg and N Trudinger (1983), Elliptic Partial Differential Equations of second order, Springer-Verlag ... quan tâm Phương trình Monge- Ampere loại elliptic phần nội dung phương trình MongeAmpere Nhiều toán đưa đến việc xác định nghiệm suy rộng tốn Dirichlet phương trình loại Loại nghiệm suy rộng cho... văn, trình bày nghiệm suy rộng phương trình Monge- Ampere loại elliptic Bao gồm: cản trở điều kiện cần tính giải toán Dirichlet, nghiệm suy rộng nghiệm yếu phương trình MongeAmpere loại elliptic, ... đối z(x) khơng phải nghiệm suy rộng phương trình Monge- Ampere (2.11) 13 Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge- Ampere loại elliptic Bây mở rộng lớp nghiệm thừa nhận phương trình (2.11) bao gồm