MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục Danh sách các ký hiệu MỞ ĐẦU 1 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1 1 Toán tử vi phân 3 1 2 Tích chập và hàm suy rộng 5 1 3 Miền chỉnh hình, miền giả lồi và[.]
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục Danh sách ký hiệu MỞ ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Toán tử vi phân 1.2 Tích chập hàm suy rộng 1.3 Miền chỉnh hình, miền giả lồi tính đa điều hịa Chương : TOÁN TỬ ∂ TRÊN KHÔNG GIAN L2( p ,q ) (Ω,φ ) 13 2.1 Tốn tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert 13 2.2 Tốn tử ∂ khơng gian L2( p ,q ) (Ω,φ ) 19 Chương : L2 - ĐÁNH GIÁ VÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ 27 3.1 Các định lý tồn nghiệm phương trình ∂ miền giả lồi 27 3.2 Định lý tính quy nghiệm phương trình ∂ 34 3.3 Giải toán Lêvi 38 3.4 Định lý xấp xỉ 41 3.5 Mở rộng miền Ω toán tử ∂ lên tồn khơng gian ( Ω ⊆ n ) 44 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU ∂ ∂z j , ∂ ∂zj : xem trang d : kí hiệu dạng vi phân ngồi (trang 6) ∧ : kí hiệu tích ngồi (trang 7) ∂ ∂ : thành phần d tương ứng thuộc dạng (1,0) (0,1) (xem trang 5) I (hoặc J K): kí hiệu đa số, nghĩa dãy (i1 , i2 , , i p ) số nguyên tăng ngặt nằm n, n số chiều không xét Ta viết I = p , ∑ ' I hiểu tổng phần tử mà số thỏa i1 < i2 < < i p (xem trang 7, 24) J dz I (hoặc d z ): kí hiệu cho dzi1 ∧ ∧ dzi p ∧ d z j1 ∧ d z jq (xem trang 7, 24) C k ( Ω ) ( ≤ k ≤ ∞, k ∈ ) : khơng gian hàm giá trị phức có đạo hàm liên tục cấp k Ω Cok (ω ) : ω tập Ω , không gian hàm thuộc C k ( Ω ) triệt tiêu bên tập compact ω supp f : kí hiệu giá f, bao đóng nhỏ tập hợp mà bên ngồi tập f triệt tiêu F( p ,q ) : F khơng gian hàm bất kì, kí hiệu khơng gian dạng thuộc loại (p,q) với hệ số thuộc vào F (xem trang 8, 9) L2 (Ω, φ ) : khơng gian hàm khả tích bình phương Ω theo độ đo e −φ d λ nghĩa = uφ ∫u A(Ω) : tập tất hàm giải tích Ω ∂Ω : biên tập Ω Ω : kí hiệu trang 11 K e −φ d λ < ∞ K c : phần bù tập K K ⊂⊂ Ω : nghĩa K có quan hệ compact Ω , tức K chứa compact tập Ω P (Ω) : tập tất hàm điều hòa xác định Ω (trang 13) ΩP : xem trang 13 K L2 (Ω,loc) : không gian hàm xác định Ω mà bình phương khả tích địa phương theo độ đo Lebesgue (xem trang 24) D( p ,q ) (Ω) : tập hàm (p,q)-dạng có hệ số thuộc Co∞ (Ω) (trang 24) DT , KerT , RT : miền xác định, nhân ảnh tốn tử tuyến tính T T * : toán tử liên hợp toán tử tuyến tính xác định trù mật T (xem trang 17, 18, 19) W s (Ω) : với s số nguyên không âm, không gian hàm xác định Ω ⊂ n có đạo hàm bậc nhỏ s thuộc L2 (xem trang 40) W s (Ω, loc) tập hợp hàm xác định Ω ⊂ n có đạo hàm bậc nhỏ s thuộc L2 tập compact Ω (xem trang 40) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các định lý tồn nghiệm phương trình Cauchy-Rieman miền chỉnh hình đưa trước tiên Oka (1937) Ơng chứng minh định lý xấp xỉ hàm chỉnh hình lân cận tập compact lồi chỉnh hình Mối liên hệ miền giả lồi miền chỉnh hình tìm sau Oka (1953), Bremermann (1954) Norguet (1954) Đây phát quan trọng giúp hình thành phương pháp giải tốn Cauchy thứ (bài tốn giải phương trình Cauchy Riemann) trực tiếp miền giả lồi, đánh giá dễ so với miền chỉnh hình Các phương pháp tương tự phương pháp đưa Garabedian Spencer (1952) giống phân tích Hodge-de Rham-Kodaira dạng đa tạp Riemann Các đánh giá đưa Morrey (1958) (0,1)- dạng Kohn (1963) cho trường hợp tổng quát Kohn (1964) đồng thời chứng minh số định lý mà địi hỏi tính quy biên Kỹ thuật sử dụng hàm trọng bổ sung vào L2 chuẩn để nghiên cứu phương trình Cauchy-Riemann đưa Hormander (1965), Andreotti Vesentini (1965) giúp ngăn chặn khó khăn yêu cầu đòi hỏi biên đưa kết sâu sắc hơn… Tôi chọn đề tài nhằm tìm hiểu sâu giải tích phức nhiều biến việc sử dụng số kết việc giải tốn Cauchy – Riemann Mục đích nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiệm phương trình Cauchy-Riemann (cịn gọi phương trình ∂ ) theo kỹ thuật L2 đánh giá Hormander, đặc biệt kết tồn xấp xỉ nghiệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài tốn Cauchy – Riemann khơng nhất, không gian Hilbert L2( p ,q ) (Ω, φ ) , lý thuyết toán tử vi phân, hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Luận văn tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu phương pháp tiếp cận nghiên cứu toán Cauchy – Riemann theo phương pháp L2 – đánh giá Hormander Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương: Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị Chương Trình bày tốn tử ∂ không gian L2( p ,q ) (Ω, φ ) Chương Trình bày kỹ thuật L2 - đánh giá với định lý tồn nghiệm xấp xỉ nghiệm phương trình ∂ Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Toán tử vi phân Cho u hàm giá trị phức thuộc lớp C1 (Ω) Ω tập mở n , đồng n 2n Ta kí hiệu hệ tọa độ thực x j ,1 ≤ j ≤ 2n , hệ tọa độ phức z= x2 j −1 + x2 j ,1 ≤ j ≤ n Ta mơ tả du tổ hợp tuyến j tính dạng vi phân dz j d z j sau: n ∂u ∂u dz + dzj ∑ ∑ j ∂ z ∂ z j =j = j j = du n (1.1.1) đó: ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u = +i = −i , ∂z j ∂x2 j −1 ∂x2 j ∂ z j ∂x2 j −1 ∂x2 j Với kí hiệu n ∂u ∂u = dz , ∂ u dzj ∑ ∑ j ∂z j =j = j ∂z j = ∂u n Ta viết (1.1.1) sau: du = ∂u + ∂u Dạng vi phân mà tổ hợp tuyến tính dạng vi phân dz j gọi dạng (1,0), dạng vi phân mà tổ hợp tuyến tính dạng vi phân d z j gọi dạng (0,1) Vì ∂u (tương ứng ∂u ) thành phần du thuộc loại (1,0) (tương ứng (0,1)) Định nghĩa 1.1.1 Một hàm u ∈ C1 (Ω) gọi giải tích (hoặc chỉnh hình) Ω du thuộc loại (1,0), nghĩa ∂u =0 (phương trình Cauchy - Riemann) Tập hợp tất hàm giải tích Ω kí hiệu A(Ω) Tốn tử vi phân ∂ ∂ tuyến tính A(Ω) vành Bây lấy u ∈ A(Ω) , nhận giá trị phức v nghĩa u = (u1 , u2 , , uv ) mà thành phần u j hàm giải tích Ω Nếu v ∈ C1 (ω ) với ω tập mở chứa miền giá trị u, với z ∈ Ω hàm (v u )( z ) = v(u ( z )) thuộc lớp C1 (ω ) ta có v ∂v ∂v = d (v u ) ∑ du j + ∑ du j ∂u j j ∂u j =j = v Bởi du j thuộc loại (1,0) du j thuộc loại (0,1) Ω nên suy : v ∂v ∂v du j ∂ (v u ) = du j , ∂ ( v u ) = ∑ ∑ j =1 ∂ u j j =1 ∂u j v Do v u giải tích v giải tích Tổng quát, việc phân tích d giống ∂ + ∂ khái niệm hàm giải tích bất biến qua ánh xạ giải tích Cuối ta mở rộng định nghĩa toán tử ∂ ∂ thành dạng vi phân Một dạng vi phân f gọi thuộc loại (p,q) viết dạng = f ∑∑ f = I p= J q I ,J dz I ∧ d z J I = (i1 , , i p ) J = ( j1 , , jq ) đa số, nghĩa dãy số nằm n Ở dùng kí hiệu J dz I ∧ d z = dzi1 ∧ ∧ dzi p ∧ d z j1 ∧ d z jq Mỗi dạng vi phân viết cách tổng dạng loại (p,q): ≤ p, q ≤ n Nếu f thuộc loại (p,q) dạng vi phân ngồi df = ∑ df I ,J ∧ dz I ∧ d z J Có thể viết dạng df = ∂f + ∂ f đó: ∑ ∂f ∂f = J I ,J ∧ dz I ∧ d z , ∂ f = I ,J ∑∂ f I ,J ∧ dz I ∧ d z J I ,J dạng thuộc loại (p+1,q) (p,q+1) ( ) Vì = d f = ∂ f + ∂∂ + ∂∂ f + ∂ f tất số hạng tổng khác nên ta thu được: ∂ = 0, ∂∂ + ∂∂ = 0, ∂ = Do phương trình ∂u =f (1.1.2) f thuộc loại (p,q+1) khơng thể có nghiệm u trừ ∂ f = Điều ta quan tâm đến phương trình Cauchy – Riemann (1.1.2) với ẩn hàm u, cách tự nhiên ta phải nghiên cứu toán tử ∂ cho dạng thuộc loại (0,1), dạng thuộc loại (0,2),… Nếu u ánh xạ chỉnh hình xác định miền Ω ⊂ n vào v = f ∑f I ,J du I ∧ du J dạng xác định lân cận thuộc miền giá trị u, ta xác định dạng f u Ω sau = f u ∑f I ,J (u ( z ))du I ∧ du J duk duk với k = 1, , v dạng vi phân Ω tương ứng thuộc loại (1,0) (0,1) uk hàm giải tích Do f u thuộc loại (p,q) f thuộc loại (p,q) d ( f u ) = (df ) u nên ta thu ( ) ∂( f u) = ∂f u ( ∂f ) u , ∂ ( f u ) = Nếu F khơng gian hàm ta dùng kí hiệu F( p ,q ) khơng gian dạng thuộc loại (p,q) với hệ số thuộc vào F 1.2 Tích chập hàm suy rộng Định nghĩa 1.2.1 Ta kí hiệu: χ : N → hàm xác định sau: C , neáu x ≤ χ ( z ) = e x −1 0 , neáu x > C số cho ∫ χ ( x)dx = Với ε > ta đặt N x χε ( x) = ε − N χ ( ) ε (1.2.1) hàm χε có tính chất: i) χε ∈ Co∞ ( N ) , suppχε ⊆ B (0, ε ) χε ( x) > với x ∈ N ii) χε hàm phụ thuộc vào x ∫ χε ( x)dx = n Với hàm f ∈ L2 ( N , loc) < ε < d ( x, ∂Ω) đặt fε ( x) =∗ ( f χε )( x) = ∫ f ( y) χε ( x − y)dy N Phép tốn “ ∗ ” gọi tích chập Đồng thời ta nhận xét tích chập có tính chất giao hoán supp u ∗ v ⊂ supp u + supp v Định lý 1.2.2 Cho f ∈ L2 ( N , loc) Khi ta có kết luận sau: 1) fε ∈ C ∞ ( N ) 2) Nếu supp f= K ⊂⊂ N fε ∈ Co∞ ( N ) , supp fε ⊂ Kε ={ x ∈ N | d ( x, K ) ≤ ε } 3) Nếu f ∈ C ( N ) lim fε ( x) = f ( x) K ⊂⊂ N ε →0 L 4) Nếu f ∈ L2 ( N ) fε ∈ L2 ( N ) fε → f ε → 0+ Chứng minh 1) Khẳng định chứng minh từ đẳng thức sau : Dxα ∫ f ( y ) χε ( x −= y )dy N ∫ f ( y ) Dxα χε ( x − y )dy N 2) Do supp f= K ⊂⊂ N nên f= ε ( x) ∫ N f ( y ) χε ( x − y= )dy ∫ f ( y) χε ( x − y)dy K Khi với x ∉ Kε , nghĩa d ( x, K ) > ε hay x − y > ε với y ∈ K Mà suppχε ⊆ B (0, ε ) nên χε ( x − y ) = với y ∈ K Do fε ( x) = x ∉ Kε hay supp fε ⊂ Kε 3) Với x ∈ K ⊂⊂ N < ε < fε ( x) − f ( x= ) d ( K , ∂Ω) , ta có ∫ [ f ( x − ε y) χε ( y) − f ( x) χε ( y)] dy= ∫ [ f ( x − ε y) − f ( x)] χε ( y)dy N N Mà f ∈ C ( N ) có f liên tục tập compact K ⊂ N Khi đó: ∀ε o > 0, ∃δ > : ∀ε < δ , ∀y ∈ B (0,1) ⇒ f ( x) − f ( x − ε y ) < ε o với x ∈ K Suy ra: fε ( x) − f ( x) < ε o ε với x ∈ K ∫ χε ( y)dy = o N Do đó: lim fε ( x) = f ( x) K ε →0 4) Từ bất đẳng thức Minkowski’s cho tích chập ta có fε đó: Co = ∫ L2 ≤ Co f L2 χε ( x) dx Suy fε ∈ L2 ( n ) N Áp dụng 3) ta có fε → f f ∈ Co∞ ( N ) Mà Co∞ ( N ) tập trù mật L2 ( N ) nên từ suy fε → f L2 ( N ) với f ∈ L2 ( N ) ■ 1.3 Miền chỉnh hình, miền giả lồi tính đa điều hịa Chứng minh chi tiết kết bỏ qua mục tham khảo [7] Định nghĩa 1.3.1 Một hàm f ∈ A ( Ω ) gọi mở rộng qua ∂Ω ( ) mà hạn chế z0 ∈ ∂Ω với lân cận Bz0 z0 không tồn hàm f ∈ A Bz0 thành phần liên thơng mở Bz0 Ω f Khi ta cịn nói f khơng có mở rộng f z0 Một miền Ω ⊂ n gọi miền chỉnh hình với điểm biên z0 ∈ ∂Ω mà tồn f z0 ∈ A ( Ω ) mở rộng qua ∂Ω z0 Định nghĩa 1.3.2 Nếu K tập compact Ω ta định nghĩa Ω - bao Ω= chỉnh hình ( hay A(Ω) -bao) K K {z ∈ Ω : f ( z ) ≤ sup f K } ∀f ∈ A(Ω) ... sau: n ∂u ∂u dz + dzj ∑ ∑ j ∂ z ∂ z j =j = j j = du n (1.1.1) đó: ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u = +i = −i , ∂z j ∂x2 j −1 ∂x2 j ∂ z j ∂x2 j −1 ∂x2 j Với kí hiệu n ∂u ∂u = dz , ∂ u... hạng tổng khác nên ta thu được: ∂ = 0, ∂? ?? + ∂? ?? = 0, ∂ = Do phương trình ∂u =f (1.1.2) f thuộc loại (p,q+1) khơng thể có nghiệm u trừ ∂ f = Điều ta quan tâm đến phương trình Cauchy – Riemann (1.1.2)... Có thể viết dạng df = ∂f + ∂ f đó: ∑ ∂f ∂f = J I ,J ∧ dz I ∧ d z , ∂ f = I ,J ? ?∂ f I ,J ∧ dz I ∧ d z J I ,J dạng thuộc loại (p+1,q) (p,q+1) ( ) Vì = d f = ∂ f + ∂? ?? + ∂? ?? f + ∂ f tất số hạng tổng