Skkn một số kinh nghiệm giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG XƯƠNG TRƯỜNG THCS QUẢNG LƯU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở LỚP Người thực hiện: Bùi Công Thắng Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị cơng tác: Trường THCS Quảng Lưu SKKN thuộc mơn: Tốn QUẢNG XƯƠNG, NĂM 2022 skkn NỘI DUNG Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Những giải pháp 2.4 Hiệu SKKN Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục SKKN hội đồng SKKN đánh giá, xếp loại cấp phòng GD - ĐT trở lên skkn Trang 02 02 03 03 03 04 04 04 05 18 18 18 19 20 21 1 Mở đầu 1.1.Lí chọn đề tài Đảng ta xác định giáo dục quốc sách hàng đầu Nhà nước đầu tư trí tuệ, tiền của, nhân lực để phát triển ngành giáo dục nước nhà nhằm đáp ứng yêu cầu mà xã hội cần, theo kịp phát triển xã hội đại. Mục tiêu giáo dục phổ thông giúp học sinh phát triển toàn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc Năm học 2021 - 2022 tiếp tục năm học đổi phương pháp dạy học, đẩy mạnh việc ứng dụng công nghệ thông tin, năm học thực chương trình sách giáo khoa 2018 lớp 6.Thực nghị 29 Đảng đổi bản, toàn diện giáo dục Ngành giáo dục thực tốt thị Đảng, đạo phủ định hướng phát triển ngành giáo dục nước nhà.Trong năm gần ngành giáo dục thực hàng loạt biện pháp, chương trình hành động nhằm phát triển ngành giáo dục nước nhà đem lại hiệu rõ rệt là: áp dụng khoa học kỹ thuật đại, cải tạo sở vật chất, chuẩn hoá, bồi dưỡng đội ngũ giáo viên Tuy nhiên điệu kiện để làm điều gặp khơng khó khăn là: Học sinh học tập chương trình cịn tính lý thuyết, khả thực hành, sáng tạo, trải nghiệm chưa cao Đa số trường vùng sâu, vùng xa, vùng biên giới hải đảo, vùng nơng thơn, miền núi có sở vật chất không đáp ứng yêu cầu mà chương trình đề ra, Số đơng giáo viên chưa tiếp cận với chương trình dạy học phát triển lực theo tinh thần nghị số 29-NQ/TW đổi toàn diện giáo dục Để giải vấn đề cách đầu tư đồng sở vật chất, trang thiết bị dạy học, đội ngũ giáo viên, đội ngũ quản lí mà kết hợp trang thiết bị phương pháp dạy học với phương pháp dạy học truyền thống sáng kiến trình dạy học mà đạt kết tốt q trình dạy học Tốn học mơn khoa học có từ lâu đời gắn bó mật thiết với Ở chương trình THCS toán chứng minh chiếm lượng Các toán chứng minh hình học thuộc loại tốn khó, làm cho học sinh phổ thơng, trung học sở, kể học sinh giỏi lúng túng gặp dạng toán Thực phần quan trọng hình học Việc dạy học mơn tốn có khả đóng góp tích cực vào việc giáo dục học sinh, nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kĩ tốn học phổ thơng skkn bản, đại sát với thực tiễn Việt Nam có khả vận dụng tri thức vào tình cụ thể khác vào đời sống, vào lao động sản xuất vào việc học tập môn khác… Tuy nhiên điệu kiện để làm điều gặp khơng khó khăn là: Học sinh học tập chương trình cịn nhiều bỡ ngỡ Đa số trường vùng sâu, vùng xa, vùng biên giới hải đảo, vùng nơng thơn, miền núi có sở vật chất không đáp ứng yêu cầu mà chương trình đề Số đơng giáo viên chưa tiếp cận với chương trình mới, trang thiết bị dạy học đại Để giải vấn đề cách đầu tư đồng sở vật chất, trang thiết bị dạy học, đội ngũ giáo viên, đội ngũ quản lí Mà kết hợp trang thiết bị phương pháp dạy học đại với phương pháp dạy học truyền thống sáng kiến trình dạy học mà đạt kết tốt trình dạy học Xuất phát từ lí thực tiễn q trình dạy học mà tơi chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giải toán chứng minh bất đẳng thức lớp 9” nhằm giúp học sinh tiếp cận với chương trình giáo dục phổ thơng 2018 dễ dàng chương trình giáo dục phổ thông hành đem lại hiệu tốt 1.2 Mục đích đề tài Đối với học sinh lớp em có kiến thức chứng minh Song việc chứng minh bất đẳng thức vân dụng kiến thức bất đẳng thức biết vào giải toán cách linh hoạt em chưa làm Vì dạy học giáo viên cần tìm cho học sinh hướng giải toán bất đẳng thức dễ dàng khai thác tốn bất đẳng thức có hiệu từ đáp dụng vào giải tốn khác.Vì dạy bất đẳng thức giáo viên cần hướng dẫn chi tiết có hệ thống “Một số kinh nghiệm giải toán chứng minh bất đẳng thức lớp 9”, với mục đích áp dụng vào giảng dạy giúp học sinh học sinh vận dụng chức minh bất đẳng thức vận dụng giải toán khác có liên quan tốt Được trang bị kiến thức kỹ cần thiết để giải tốn dạng này, qua tăng cường khả tư duy, rèn kỹ giải toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh, đồng thời phát triển tư duy, tính sáng tạo cho học sinh, làm cho học sinh thêm u thích mơn học tốn, phần thấy giảm bớt khó khăn với dạng tốn khó 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các toán chứng minh bất đẳng thức tốn có liên quan Học sinh lớp Trường THCS Quảng Lưu nói riêng học sinh lớp trường THCS nói chung 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tự nghiên cứu thông qua tài liệu, thông qua lớp học bồi dưỡng, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Phòng GD& ĐT tổ chức Kết hợp nghiên cứu lí thuyết thực tiễn giảng dạy Trường THCS Quảng Lưu skkn Thảo luận, học hỏi kinh nghiệm giáo viên nhà trường đơn vị bạn Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn chứng minh bất đẳng thức bậc THCS nói chung chương trình lớp nói riêng, đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh có tầm nhìn cao việc phát tìm lời giải toán Các toán chứng minh bất đẳng thức tốn khó với học sinh THCS Bởi để giải tốn dạng không yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà cịn địi hỏi học sinh cần có kỹ giải tốn định, có sáng tạo định Để tạo giả thiết, toán phị liên kết tường minh mối quan hệ toán học điều kiện cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) địi hỏi phải thực thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hố, đặc biệt hố Hay nói cách khác giải tốn bbaats đẳng thức mặt phương pháp biểu mức độ cao kỹ năng, thể tình hình học phù hợp với định nghĩa, định lý, tính chất hay cịn gọi quy lạ quen Ở khoảng cách từ lạ đến quen xa mức độ sáng tạo lớn Do việc học tốt tốn chứng minh bất đẳng thức có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học học sinh Vấn đề nêu khó khăn với khơng giáo viên ngược lại, giải điều góp phần xây dựng thân giáo viên phong cách phương pháp dạy học đại giúp cho học sinh có hướng tư việc lĩnh hội kiến thức môn học 2.2 Thực trạng vấn đề vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thực trạng giáo viên Bất đẳng thức dạng tốn khó học sinh nhiều giáo viên chưa tìm cách dạy phù hợp, chưa nhận thấy tầm quan trọng định lí, tính chất, tốn hay khó bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức tốn khơng có thuật tốn để giải, địi hỏi học sinh phải ln tư duy, động não Vì vậy, dạy chứng minh bất đẳng thức, giáo viên cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tịi lời giải Đồng thời, biết đề cho skkn học sinh, lúc, chỗ câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng Việc hướng học sinh làm toán bất đẳng thức toán liên quan thực theo số cách biến đổi đơn giản nhẹ nhàng thị nhiều giáo viên chưa có phương pháp phù hợp: 2.2.2 Thực trạng học sinh Trong trình dạy học sinh giải tốn bất đẳng thức , thấy học sinh thường gặp số khó khăn sau đây: - Học sinh chưa nhận dạng dạng, phân loại toán bất đẳng thức thức - Việc áp dụng công thức, phép biến đổi để giải toán bất đẳng thức học sinh cị nhiều lúng túng - Số lượng học sinh làm thành thạo toán bất đẳng thức toán có liên quan cịn chưa nhiều Cụ thể qua khảo sát trường THCS Quảng Lưu năm học 2021-2022 sau: Lớp SS 9C 31 Loại (02,75 điểm) SL % 12 38,7 Loại yếu (3,04,75 điểm) SL % 16 51,7 Loại TB (5,06,75 điểm) SL % 6,4 Loại (7,08,75 điểm) SL % 3,2 Loại giỏi (9,010 điểm) SL % 0 2.2.4 Về chương trình Sách giáo khoa , sách tập đề cập đến toán bất đẳng thức tốn có liên quan 2.3 Những giải pháp 2.31 Hướng dẫn học sinh tiếp cận với vấn đề bất đẳng thức nhẹ nhàng, đơn giản, tỉ mĩ theo trình tự từ tốn thực tế, bất đẳng thức số, đến định nghĩa, tính chất cách chứng minh bất đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản đến bất đẳng thức phức tạp vận dung bất đẳng thức 2.3.2 Hướng dẫn học sinh ơn tập lí thuyết 2.2.1 Năm vững khái niệm, định nghĩa, định lí, tính chất, dấu hiệu, hệ quả, hiểu rõ phân tích nội dung tốn 2.3.2.2 Tìm hiểu thêm số chun đề bổ trợ: * Số nguyên tố, hợp số, số phương, tính chất chia hết tập số nguyên phương trình nghiệm ngun * Đối với mơn đại số cần tìm hiểu thêm số chuyên đề: - Hằng đẳng thức số phép biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng - Bất đẳng thức, bất phương trình ứng dụng - Phương trình, hệ phương trình - Tính giá trị biểu thức có điều kiện - Bài tập cực trị đại số ( có điều kiện khơng có điều kiện) skkn - Các bất đẳng thức cổ điển * Đối với mơn hình học cần tìm hiểu thêm số chuyên đề: - Định lý Talét tam giác ứng dụng - Các dạng tứ giác, tứ giác nội tiếp - Bài tập cực trị độ dài, diện tích - Bài tập quỹ tích 2.3.3 Giáo viên hướng dẫn cho học sinh kiến thức số chứng minh thường gặp 2.3 3.1 Định nghĩa cho bất đẳng thức: Cho số a, b ta có: - a lớn b ( a > b ) a - b > - a nhỏ b ( a < b ) a - b < - a lớn b ( a b ) a - b - a nhỏ b ( a b ) a- b 2.3.3.2 Các tính chất bất đẳng thức: a > b b < a a > b > => an > bn a>b an > bn ( n lẻ) > an > bn ( n a > b => a + c > b + c chẵn) an 10 m > n > a > => a m > a = => am = an < a < => am > an 6 2.3.3.3 Các bất đẳng thức a2 0: - a2 n (a + b) chẵn dấu “=” xảy : a = dấu “=” xảy : a = dấu “=” xảy : ab dấu “=” xảy : ab 2.3.4 Giáo viên cung cấp cho học sinh số tốn thường gặp Bất đẳng thức cơsi cho hai số không âm a+b (với a ;b ) dấu “=” xảy ra: a = b * Hệ 1: * Hệ 2: ( ab > 0) + ( ab > 0) skkn Bất đẳng thức Bunhia Cốpxki ( ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) dấu “=” xảy ra: ay = bx 2.3.5 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức lựa chọn phương pháp tuỳ thuộc vào tính chất, yêu cầu tập vào kĩ nhận biết học sinh Để tạo điều kiện cho học sinh tiếp thu tốt, luyện kĩ toán thao tác trí tuệ tơi hướng dẫn học sinh nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức 2.3.5.1 Dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức - Để chứng minh: A > B ta xét hiệu A - B chứng minh A - B > 1/ Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức ( ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )( x2 + y2) ( với a, b, x, y R) 2 2 Xét hiệu: ( ax + by) - (a + b )( x + y ) = (ax)2 + 2axby + (by)2 - (ax)2 - (ay)2 - (bx)2 - (by)2 = - [ (ay)2 - 2axby + (bx)2 ] = - (ay - bx)2 ≤ Dấu “=” xảy : ay = bx Vậy: ( ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )( x2 + y2) ( với a, b, x, y R) Dấu “=” xảy ay = bx (điều phải chứng minh) 2.3.5.2 Dùng phương biến đổi tương đương Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức a/ (1) ( vế khơng âm nên bình phương vế) 2 a + 2ab + b a2 + + b2 ab (2) Bất đẳng thức (2) nên bất đẳng thức (1) Vậy , dấu “=” xảy : ab b/ Chứng minh bất đẳng thức: (3) Nếu < bất đẳng thức (3) ln Nếu a2 - 2ab + b2 a2 - + b2 -ab (4) Bất đẳng thức (4) nên bất đẳng thức (3) Vậy: dấu “=” xảy ra: ab  0, a  b 2.3.5.3 Sử dụng tính chất bất đẳng thức Ví dụ: cho a + b > chứng minh a4 + b4 > Ta có: a + b > > (a + b)2 > (bình phương vế khơng âm) a2 + 2ab + b > Mặt khác: (a - b)2  a2 - 2ab + b  skkn (1) (2) Từ (1)(2): 2(a2+ b2) > a2+ b2 > (3) (bình phương vế (3)) a4 + 2a2 b2 + b > (4) Mà (a2 - b2)2   a4 - 2a2 b2 + b  (5) 1  a4+ b4 > Từ (4)(5): 2(a4+ b4) > Vậy: a + b > => a4+ b4 > (*) (a2+ b2) > 2.3.5.4 Phương pháp làm trội: Muốn chứng minh A < B làm trội A thành C ( A < C) chứng minh C < B Ví dụ: Cho a, b, c > M= a b c   ac bc ca Chứng minh: < M < Vì a, b, c > Ta có: Vậy M > Ta có: a, b, c > (1) a 0) 2.3.5.5 Dùng phương pháp phản chứng: Ví dụ: Cho a2+ b2  Chứng minh a + b  Giả sử: a + b > (bình phương vế)  (a + b)2 >  a2 + 2ab + b > (1) Mặt khác: skkn (a - b)2   a2 - 2ab + b   a2+ b2  2ab => 2(a2+ b2 )  a2 + 2ab + b a2+ b2  (giả thiết) => 2(a2+ b2 )  => a2 + 2ab + b  4` (2) Bất đẳng thức (1) (2) mâu thuẫn => giả sử sai Vậy a2+ b2  a + b  2.3.5.6 Phương pháp quy nạp tốn học: Ví dụ: Chứng minh với x > -1 (1 + x)n  + nx (với n Z, n > 0) * Với n = l ta có: + x l + x * Giả sử với n = k (k nguyên dương) k (l + x) l + kx (1) * Phải chứng minh với n = k + l (l + x)k+1 l + (k + 1)x Thật vậy: (1+x) >0 (gt) k (1 + x)(l + x) ( l +kx)(1 + x) ( nhân vế với (1)) k (l + x) + x(k + l) + kx Vì kx => l + (k + l)k + kx2 l + (k + l)x => (1 + x)k+l l + (k + l)x DÊu “=” x¶y ra: x = 2.3.5.7 Dùng phương pháp hình học Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau: )+ (a + b) (c + d ), a, b, c, d số thực dương Giải: Xét tứ giác ABCD có AC BD, B O giao điểm hai đường chéo, OA = a, OB = b, OC = c, OD = d với a, b, c, d số dương b Theo định lí Py-ta-go: a c A C AB = ; BC = ; O AD = ; CD = ; d AC = a + b ; BD = c + d Ta có: AB BC S ; AD CD S AB BC + AD CD S = DAC BD V ậ y ) + b) (c + d ) với a, b, c, d Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki để chứng minh bất đẳng thức 2.3.6 Nội dung tập áp dụng: Bước phân loại, chọn lọc hệ thống tập theo dạng phù hợp với trình độ học sinh, giúp học sinh hình thành cách giải tập đưa nhiều phương án giải, phát triển khả tư lơ gíc, hỗ trợ việc tự học, tự nghiên cứu skkn học sinh q trình ơn luyện Đối với học sinh THCS tạm thời phân thành bốn dạng sau: 2.3.6.1 Dạng tập chứng minh bất đẳng thức: 2.3.6.1.1 Chứng minh bất đẳng thức: x4 – x + >0 Ta có: : x4 – x + = (x2 - = x4 – x2 + (x2 - + x2 – x + )2 + (x - )2 )2 + (x - )2 (không thể xảy dấu “=” đồng thời) vậy: x4 – x + >0 23 6.1.2 Chứng minh: (với x, y > 0) Xét hiệu: (Vì x, y > 0) Vậy: : với x, y > 2.3.6.1.3 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác chứng minh: ta có: a + b > c, b + c > a, c + a > b (bất đẳng thức tam giác) áp dụng hệ bất đẳng thức côsi: (1) Tương tự: (2) (3) Từ (1)(2)(3): 2(  2.3.6.1.4 Chứng minh với a A= n 2‘ < Ta có: skkn 10 Mặt khác:  C= Hay A <  b/ B = + < (với 2) (với 2) (x + y) (y + z)2(z + x )2  64x2y2z2 => bất đẳng thức (1) (với x 0, y 0, z ) 2.3.6.1.6 a) Chứng minh dương thì: A= skkn 11 Vì Ta có: dương => 1;2;3……; n-1< n => Dãy gồm n số hạng => A > n = Vậy: (với < n z) b) CMR: tồn số tự nhiên n cho  Cách1: ……… 1 1   4012  4012 4011  4010 1 2 1 1    4012  4012  2006 2 Vậy tồn n  N (n  24210 thảo mãn điều kiện 1     2006 n Cách 2: Dựa vào kếtquả phần a ta có: S2n  Sn   với < n   z Đẳng thức xảy  n =1 Do S   S 1   S  S     S  S   4012 1    4012  2006 => S   S 1  2006 => 4012 Vậy tồn n  N  2.3.6.1.7 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác chứng minh: abc  (b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) (1) Vì a, b, c cạnh tam giác: b + c – a > 0, a + c – b > 0, a + b – c >0 Đặt b + c – a = y , a + c – b = x, a + b – c= z áp dụng bất đẳng thức: (x+y)(y+z)(z+x)  8xyz (với x, y, z  ) Ta có: [a + c – b + b + c – a] [b + c – a + a + b – c] [a + b – c + a + c – b]   8(a + b - c)( b + c - a)( a + c - b)  2c.2b.2a  8(a + b - c)( b + c - a)( a + c - b) abc  (b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) 1 4012 4011 4012 skkn 12 2.3.6.1.8 Cho a+b+c =1 chứng minh a2 + b2 + c2  Đặt a = 1 +x,b= +y,c= +z 3 Do a+b+c=1 => x + y + z = 1 1 + x)2 + ( + y)2 + ( + z)2 = + (x + y + z) + x2 + y2 + z2 3 3 1 = + x2 + y2 + z2  Dấu “=” xảy ra: x = y = z = 3  a = b = c = 2.3.6.1.9 Cho a + b + c + d = chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2  a2 + b2 + c2 = ( Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki (a + b + c + d)2  (12 + 12 +12 +12 )( a2 + b2 + c2 + d2 ) mà a + b + c + d = Từ (1)(2):  4(a2 + b2 + c2 + d2) (1) (2)   a2 + b2 + c2 + d2 dấu “=”xảy  a = b = c = d = Cách 2: Đặt b= c= d= a= +x +y +z +t  x + y + z + t = (vì a + b + c + d = )  a2 + b2 + c2 + d2 = (  1 1 + x)2 + ( + y)2 + ( + z)2 + ( + t)2 2 2 2 2 =1+(x+y+z+t)+x +y +z +t  1 dấu “=”xảy ra: x = y = z = t  a = b = c =d = 2.3.6.1.10 Nếu a1 + a2 + … + an = k a12 + a22 + … + an2  k2 n k   x1  n  k a   x  n Đặt:   x1 + x2 + … + xn =   k a n   x n  n  a1  skkn 13 k k k + x1)2 + ( + x2)2 + ……+( + xn)2 n n n k2 k = n + ( x1 + x2 + … + xn ) + (x12 + x22 + … + xn2) n n k a12 + a22 + … + an2  n (đpcm) a12 + a22 + … + an2 = ( 2.3.6.2 Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình 2.3.6.2.1 Giải phương trình: x2 + y2 + z2 = x(y + z) Bài toán quy chứng minh: x2 + y2 + z2  x(y + z) dấu “=” ? Ta có:  (x - y)2 + (x - z)2 + y + z  (1)  (x2 + y2 – 2xy)+( x2 + z2 – 2xz) + x + y + z   2x2 +2y2 +2z2 –2xy – 2xz   x2 + y2 + z2  x(y + z) (2) Bất đẳng thức (1) x,y,z => bất đẳng thức (2) Dấu “=”xảy ra: x = y = z = Vậy nghiệm phương trình là: x = y = z = 2.3.6.2.2 Giải phương trình 2 (1) 3x  x  + x  10 x  21 = – 2x – x  3( x  1)  + 5( x  1)  16 = - (x + 1) 2 2 3(x + 1)  0, 5(x + 1)  nên 3( x  1)   5( x  1)  16  =2 16 = VT: 3( x  1)  + 5( x  1)  16  VP: - (x + 1)  Đẳng thức (1) xảy  vế bẳng – 2x – x2 =  x2 + 2x +1 =  (x + 1)2 =  x = -1 Vậy nghiệm phương trình (1) x = -1 2.3.4.3 Tìm nghiệm phương trình: 2 (x + y + 1) = 3(x + y + 1) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có: 2 2 2 (x + y + 1)  (1 + +1)(x + y + 1)  x + y + 1)  3(x + y + 1) Dấu “=”xảy ra: x = y = Vậy nghiệm cuả phương trình là: x = y = 2.3.6.2.4 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2 1 1       x   x   2;3 x x y z x skkn 14 1 1 1 +) x = Ta có: y  z    y  z  1 => y   y   y   y   3;4 1  z4 z 1 1 +) x=3 =>       y z y z 2 => y   y   y    y   y   2;3 +) x = 2, y = => 1 +) x = 3; y = =>   z   z  1 3 z +) x = 3; y = =>     z  nghiệm cuả phương trình là: (x,y,z) = (2;3;6); (2;4;4); (3;3;3) hoán vị 1 2.3.6.2.5 Chứng minh phương trình:    xy y x (1) nghiệm nguyên dương 1 1 3 Giả sử: < x  y => x  y  x  xy  y  x  1< x Thử với x = khơng phải nghiệm phương trình (1) nên nghiệm nguyên dương có phải thoả mãn x > Vậy  x  khơng có số < x  Z thoả mãn điều kiện nên phương trình khơng có nghiệm nguyên dương 2.3.6.3 Áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị: 2.3.6.3.1.a/ Chứng minh bất đẳng thức: ac  bd   a  b  c  d  (1) 2 b/ Biết x + y = 52 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = 2x + 3y Vì vế (1) khơng âm nên bình phương vế (1) ac  bd  a  b  c  d  (ac)2 + (bd)2 + 2abcd  (ac)2 + (bd)2 + (bc)2 + (bd)2  (ad)2 – 2abcd + (bc)2   (ad - bc)  (2) Bất đẳng thức (2) => Bất đẳng thức (1) Dấu “=”xảy ra: ad = bc  skkn 15 c/ A  x  y   x  y  13.52 2    x  y (áp dụng bất đẳng thức (1)) 2 (Vì x + y = 52)  x  y  26  -26  2x + 3y  26Vậy A(max) = 26  3x = 2y  x y  t x  2t  2 2 => y  3t   x  y  52  4t  9t  52  t =  t  2  * t = => x = y=6 * t = => x = -4 => A(max) = 26  x = 4, y = (x, y dấu) y = -6 A(min) = -26  x = -4 , y = -6 2.3.6.3.2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = 1992  x   1994  x  Ta có: B = 1993  x  1994  x = 1993  x  1994  x Áp dụng bất đẳng thức: a  b  a  b B = 1993  x  1994  x  1993  x  x  1994 = B(min) =  (1993 – x )( x – 1994 )   1993  x  1994 2.3.6.3.3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 100 10 a/ A = x – 10x + 10 ( x  R ) 1997 1997 1997 b/ Cho số thực: x, y, z  thoả mãn x + y + z = 2 Tìm Max S = x + y + z Lời giải: a/ x  R => x100  áp dụng bất đẳng thức cơsi với 10 ta có: 100 + 1+1+…+1  số1 100 10 A = x + - 10x  => x100 – 10x10 + 10  A(min) =  x = b/ Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho 1997 số 1995 số số x 1997 x Ta có 1995  2.x 1997 1997 1997  x 1997   =x skkn 16 1995  y 1997  y 1997 1995  2.z 1997  z 1997 Tương tự: 1997 1997 1997 2 => 1995.3 + ( x + y + z )  x + y + z 1997 2   x +y +z =S Vậy: S(max) =  x = y = z = 2.3.6.3.4 Cho x, y, z > thoả mãn bất đẳng thức: 2xyz + xy + yz + xz  Tìm giá trị lớn xyz ? Lời giải: Do x, y, z > áp dụng bất đẳng thức côsi với số dương ta có  2xyz + xy + yz + xz  4 xyz.xy yz.xz dấu “=”xảy  2xyz = xy = yz = xz 1  x y z     2x y z 4 1    xyz     xyz 152 152 1 xyz(max) =  2xyz = xy = yz = xz  x = y = z = 3 A ABC cạnh a,b,c nội tiếp đườ GT (O,R) IKBC; IFAC;IEAB IK; IF = y; IE = z E F I KL B K H C D 2.3.6.4Áp dụng bất đẳng thức vào tập hình 2.3.6.4.1 skkn 17 Giải Gọi S diện tích  ABC Kẻ đường kính AD, AH  BC H  ACD   AHB => AC AD  AC AB = AH AD  AH AB hay AB.AC = 2R.AH suy abc = 2R.a.HA  abc = 2R 2S S ABC (1) cz ax yb = S AIB + SBIC + S CIA =   · 2 => 2S = ax+ by + cz a (2)   b  c 2S a  b  c  (3) abc 2R a  b  c (a  b  c )(ax  by  cz ) (ab  bc  ca)(ax  by  cz)   Từ (2)(3): 2R abc abc 2 (vì a + b + c  ab + bc + ca ) Từ (1) Mặt khác: 2 2 (*) (ab  bc  ca )(ax  by  cz )  1      (ax  by  cz ) abc c a b Vì a, b, c > 0; x, y, z > Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki  1       c2  b2  a Từ (*)(**):  ax    by    cz      a b c  2R 2 x y z x y z  (**) A 2.6.4.2 ABCcó diện tích S, hcn:MNPQ M nội tiếp ABC có diện tích S, GTChứng minh M AB, N AC, P, Q BC B Kẻ AH  BC H  S = AH BC Q H KL S =S MN 2S MQ Mặt khác: MN // BC, MQ // AH ( MNPQ hcn, MQ; AH  BC ) N C P MQ BM   MQ.MN BM AM AH AB     MN AM  AH BC AB  BC AB  1 BM  AM (áp dụng bất đẳng thức Cô Si) ( BM AM )  ( ) AB AB 2 S1 MQ.MN AB   S  S1  hay 2S AH BC AB 2.4.Hiệu sáng kiến skkn 18 Sáng kiến áp dụng trường THCS Quảng Lưu năm học 2021-2022 kết đạt sau: Lớp SS 9C 31 Loại (02,75 điểm) SL % 0 Loại yếu (3,0- 4,75 điểm) SL % Loại TB (5,0- 6,75 điểm) SL % 6,45 14 45,16 Loại (7,08,75 điểm) Loại giỏi (9,010 điểm) SL % SL % 10 32,26 16,13 Kết luận 3.1 Kết luận Qua nhiều năm áp dụng biện pháp giảng dạy bồi dưõng học sinh giỏi thu kết khả quan Học sinh có sở để phân loại hệ thống tập theo chun đề q trình ơn luyện, em nhìn nhận mơn tốn thiện cảm say mê tìm tịi, tự phát cách giải dạng tập tốn, rèn khả tư lơ gíc, sáng tạo, kỹ giải tốn, hình thành hệ thống kiến thức từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp Biến trình đào tạo thành trình tự đào tạo q trình tìm tịi để hướng dẫn cho học sinh ôn luyện thân tơi đào sâu thêm kiến thức Sự tìm tịi góp phần khơng nhỏ vào việc trang bị hành trang tri thức để học sinh, giáo viên vững bước vào thiên niên kỷ mới, thiên niên kỷ khoa học công nghệ phát triển Bồi dưỡng học sinh giỏi q trình để có học sinh giỏi mơn tốn nói riêng học sinh giỏi nói chung khổ cơng rèn luyện qua q trình học tập trị rèn giũa người thầy Đối với mơn tốn người thầy phải định hướng cho học sinh thực nghiên cứu chuyên đề sau chuyên đề hệ thống tập đa dạng, giúp em phát triển lực tư sáng tạo Trên giới thiệu số dạng tập có liên quan đến “ Bất đẳng thức” bồi dưỡng học sinh giỏi để trì chất lượng mũi nhọn giáo viên cần phải có thời gian đội ngũ học trị ham học, thơng minh Người thầy phải ý thức tự học tự bồi dưỡng để nâng cao tay nghề 3.2 Một số kiến nghị: - Đề nghị phòng GD đầu tư tài liệu tham khảo cho giáo viên, thời gian ôn luyện, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Đề nghị nhà trường quan tâm đến chất lượng mũi nhọn tạo điều kiện để giáo viên có thời gian tự học có hội ơn luyện tốt XÁC NHẬN CỦA HIỆU Quảng Xương, ngày 05 tháng năm 2022 TRƯỞNG Tôi xin cam kết SKKN tự viết, không chép nội dung người khác NGƯỜI THỰC HIỆN skkn 19 Trần Thị Huê Bùi Công Thắng Một số tài liệu tham khảo - Một số vấn đề phát triển 6, 7, 8, ( Số, Đại, Hình )tác giả: Vũ Hữu Bình… - 400 bàI tập Đại số – Số học ( tác giả: Vũ Dương Thuỵ…) - Bồi dưỡng chuyên toán cấp 2-3 ( tác giả: Nguyễn Vũ Thanh ) - 255-225 tập hình ( tác giả: Vũ Dương Thuỵ…) - Nâng cao phát triển Toán 6,7,8,9( Vũ Hữu Bình) -23 chun đề giải 1001 tốn sơ cấp( Nguyễn Văn Vĩnh) - Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số tài liệu khác skkn 20 Mẫu (2) DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Bùi Công Thắng Chức vụ đơn vị công tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Quảng Lưu TT Cấp đánh giá xếp loại Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Sử dụng diện tích chứng minh hình học Hướng dẫn học sinh cách giải toán cực trị hình học Hướng dẫn học sinh cách giải tốn chia hết tập số nguyên Hướng dẫn học sinh giỏi lớp6,7 giải tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật Hướng dẫn học sinh giỏi lớp6,7 giải tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật Sử dụng bất đẳng thức cauchy chứng minh hình học Một số cách vẽ đường phụ tốn chứng minh hình học lớp Một số cách vẽ đường phụ toán chứng minh hình học lớp Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Huyện C 2005 Huyện C 2013 Huyện B 2015 Huyện B 2017 Tỉnh C 2017 Huyện C 2020 Huyện B 2021 Tỉnh C 2021 * Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ tác giả tuyển dụng vào Ngành thời điểm skkn 21 ... x Ta có 199 5  2.x 199 7 199 7 199 7  x 199 7   =x skkn 16 199 5  y 199 7  y 199 7 199 5  2.z 199 7  z 199 7 Tương tự: 199 7 199 7 199 7 2 => 199 5.3 + ( x + y + z )  x + y + z 199 7 2   x +y +z =S...  199 4  x  Ta có: B = 199 3  x  199 4  x = 199 3  x  199 4  x Áp dụng bất đẳng thức: a  b  a  b B = 199 3  x  199 4  x  199 3  x  x  199 4 = B(min) =  ( 199 3 – x )( x – 199 4 )   199 3... lớp6 ,7 giải tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật Sử dụng bất đẳng thức cauchy chứng minh hình học Một số cách vẽ đường phụ tốn chứng minh hình học lớp Một số cách vẽ đường phụ toán chứng minh