(Luận án tiến sĩ) tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ ĐÀO HẢI AN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CĨ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2019 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ ĐÀO HẢI AN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CĨ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN HIỆN TS TRẦN THỊ LOAN HÀ NỘI-2019 luan an LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trần Thị Loan Các kết phát biểu luận án trung thực, trí đồng tác giả đưa vào luận án chưa cơng bố cơng trình luận văn, luận án khác Nghiên cứu sinh Lê Đào Hải An luan an LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trần Thị Loan Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Cô, đặc biệt PGS.TS Lê Văn Hiện, người có định hướng đắn, dẫn sát đầy trách nhiệm cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy, Cô dành cho tác giả nguồn động lực vô lớn lao đem lại niềm say mê, giúp tác giả vượt qua khó khăn nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy giáo, giáo mơn Giải tích giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn nghiên cứu sinh thành viên Xemina Phương trình vi phân tích phân mơn Giải tích quan tâm, trao đổi góp ý cho tác giả trình học tập làm luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Hàng hải Việt Nam, thầy giáo, cô giáo đồng nghiệp mơn Tốn, khoa Cơ sở-Cơ bản, trường Đại học Hàng hải Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Sau cùng, tác giả xin dành lời tri ân gia đình, người ln yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả luan an MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Kí hiệu MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 23 1.1 Mô hình động lực mạng nơron 23 1.2 Cơ sở toán học 27 1.2.1 Hệ phương trình vi phân có trễ tính ổn định Lyapunov 27 1.2.2 Hệ phương trình vi phân hàm chứa xung 29 1.2.3 Hệ dương 32 1.2.4 Một số kết bổ trợ 35 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN MƠ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD CÓ TRỄ VỚI XUNG BIẾN THIÊN 39 2.1 Ví dụ mở đầu 39 2.2 Mơ hình mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm chứa trễ xung bất ổn định 41 2.3 Điều kiện ổn định 43 2.3.1 Kết 44 2.3.2 Một số kết áp dụng 48 luan an 2.3.3 Ví dụ minh họa 50 2.4 Ổn định hóa dạng mũ mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với hiệu ứng xung phân phối kiểu tuần hoàn 55 2.4.1 Tính ổn định mũ suy rộng hệ đóng (2.35) 57 2.4.2 Điều kiện ổn định hóa dạng mũ suy rộng hệ (2.32) 64 2.4.3 Ví dụ minh họa 65 2.5 Kết luận chương 69 NGHIỆM DƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ĐIỂM CÂN BẰNG ĐỐI VỚI MƠ HÌNH MẠNG NƠRON QN TÍNH ĐA TRỄ BIẾN THIÊN 71 3.1 Thiết lập sơ 72 3.1.1 Sự tồn nghiệm 73 3.1.2 Nghiệm dương điểm cân 73 3.2 Tính dương mạng nơron qn tính có trễ 75 3.3 Sự tồn điểm cân 77 3.4 Tính ổn định mũ điểm cân dương 81 3.5 Ví dụ minh họa 85 3.6 Kết luận chương 88 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHI TUYẾN TRONG MƠ HÌNH MẠNG BAM ĐA TRỄ BIẾN THIÊN 90 4.1 Mơ tả mơ hình phân tích sơ 90 4.1.1 Sự tồn nghiệm 92 4.1.2 Nghiệm dương điểm cân 94 4.2 Nghiệm dương mơ hình mạng BAM với trễ biến thiên 95 4.3 Sự tồn điểm cân 97 luan an 4.4 Tính ổn định mũ điểm cân 103 4.5 Mạng nơron BAM dương với đa trễ tỉ lệ 108 4.6 Ví dụ minh họa 110 4.7 Kết luận chương 112 Kết luận chung 114 Danh mục công trình cơng bố 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO 116 luan an KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN [n] N tập hợp n số nguyên dương {1, 2, , n} tập số tự nhiên khác không, N0 = N ∪ {0} Rn không gian Euclide n chiều Rn+ nón dương {x ∈ Rn : x  0} kxk∞ |x| Rm×n A⊤ A>0 maxi∈[n] |xi |, chuẩn max vectơ x = (xi ) ∈ Rn (|xi |) ∈ Rn+ với x = (xi ) ∈ Rn tập hợp ma trận cỡ m × n ma trận chuyển vị ma trận A ma trận A xác định dương, tức x⊤ Ax > 0, ∀x 6= Sn+ tập ma trận đối xứng xác định dương Rn×n sym(A) A + A⊤ với A ∈ Rn×n En ma trận đơn vị cấp n diag{d1 , , dn } ma trận chéo phần tử d1 , d2 , , dn A0 A≻0 xy ξ + (t.ư ξ+ ) ma trận không âm, tức [A]ij ≥ với i, j ma trận dương, tức [A]ij > với i, j xi ≥ yi , ∀i ∈ [n], với x = (xi ) ∈ Rn y = (yi ) ∈ Rn maxi∈[n] ξi (t.ư mini∈[n] ξi ) với ξ ∈ Rn , ξ ≻ σ(A) tập hợp giá trị riêng ma trận A ρ(A) max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, bán kính phổ A λmax (A), λmin (A) max{Reλ : λ ∈ σ(A)}, min{Reλ : λ ∈ σ(A)} C([a, b], Rn ) tập hàm giá trị Rn liên tục [a, b] xi (tk − 0) (t.ư xi (tk + 0)) limǫ↓0 xi (tk − ǫ) (t.ư limǫ↓0 xi (tk + ǫ)) D + v(t) đạo hàm Dini bên phải lim suph→0+ luan an v(t+h)−v(t) h THUẬT NGỮ VIẾT TẮT NNs mạng nơron (neural networks) RNNs mạng nơron hồi quy (recurrent neural networks) GAS ổn định tiệm cận toàn cục (globally asymptotically stable) GES ổn định mũ toàn cục (globally exponentially stable) GGES ổn định mũ suy rộng (generalized globally exponentially stable) UGAS ổn định tiệm cận toàn cục (uniformly globally asymptotically stable) LMIs bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities) LKF phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii LP quy hoạch tuyến tính (linear programming) HNNs mạng nơron Hopfield CGNNs mạng nơron Cohen-Grossberg INNs mạng nơron quán tính (inertial neural networks) BAM nhớ hai chiều kết hợp (bidirectional associative memory) luan an MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Được nghiên cứu cách có hệ thống từ cơng trình A.M Lyapunov [63] vào cuối kỉ XIX, trải qua lịch sử 100 năm, đến lý thuyết chủ đề quan tâm nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực học, vật lý, hóa học, sinh thái học hay trí tuệ nhân tạo [1, 2, 54] Nhiều mơ hình thực tiễn ứng dụng, từ kinh tế, môi trường đến mơ hình sinh thái học, vật lý, hóa học, học, điều khiển tự động mô tả phương trình vi phân có trễ [20, 40, 45, 76] Trong điều khiển kĩ thuật, trạng thái trễ xuất cách tự nhiên trình truyền tải liệu hạn chế mặt công nghệ thiết bị (băng thông hẹp hay dung lượng tín hiệu đo lớn) Sự xuất độ trễ làm thay đổi dáng điệu nghiệm hệ ảnh hưởng đến tính ổn định hệ, đặc tính quan trọng có tính phổ dụng mơ hình ứng dụng [25, 74, 88] Bên cạnh đó, cấu trúc vơ hạn chiều khơng gian pha, việc nghiên cứu định tính hệ có trễ trở nên khó khăn phức tạp nhiều so với hệ phương trình vi phân thường tương ứng Vì vậy, chủ đề nghiên cứu tính ổn định ứng dụng mơ hình điều khiển hệ phương trình vi phân có trễ vấn đề nghiên cứu thu hút quan tâm giới toán học kỹ sư vài thập kỉ gần Nhiều kết nghiên cứu lý thuyết ứng dụng tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân có trễ cơng bố [4, 26, 33, 37, 50, 51, 69, 73, 103] luan an  m ! −1 X |hi (y)| = ϕi (aij + bij ) fj (yj ) + Ii αi j=1 m −1 X ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ ĐÀO HẢI AN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CĨ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân. .. phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân chứa xung, lý thuyết hệ dương số kết bổ trợ khác • Chương nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa dạng mũ hai lớp phương trình vi phân phi tuyến mơ... cứu định tính hệ có trễ trở nên khó khăn phức tạp nhiều so với hệ phương trình vi phân thường tương ứng Vì vậy, chủ đề nghiên cứu tính ổn định ứng dụng mơ hình điều khiển hệ phương trình vi phân