Làh sỷ vĐn ã v lẵ do hồn ã t i
CÁo phưỡng trình Ôo h m riảng tián hõa loÔi paraboli xuất hiện nhiều trong Ă quĂ trẳnh ừa vêt lẵ, ỡ hồ v sinh hồ, h¯ng hÔn trong ỡ hồ hĐt lọng Viằ nghiản ựu nhỳng lợp phữỡng trẳnh n y õ ỵ nghắa quan trồng trong khoa hồ v ổng nghằ Sau khi nghiên cứu tẵnh °t úng ừa b i toĂn, viằ nghiản ựu dĂng iằu tiằm ên ừa nghiằm khi thới gian ra vổ ũng rĐt quan trồng Mởt trong nhỳng Ăh tiáp ên hiằu quÊhovĐnã n y l nghiản ựu sỹ tỗn tÔi v tẵnh ờn ành ừa nghiằm dứng Khi nghiằm dứng ừa hằ khổng ờn ành, ngữới ta tẳm Ăh ờn ành hõa nõ bơng Ăh dũng Ă iãu khiºn thẵh hủp õ giĂ bản trong miãn ho° õ giĂ trản biản.
Trong nghiên cứu về phương trình Navier-Stokes, bài toán tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho phương trình paraboli phi tuyến đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học Mặc dù có những kết quả tích cực đối với phương trình khái quát trong không gian 3 chiều, nhưng việc tìm hiểu về phương trình paraboli vẫn đang là một thách thức lớn Nghiên cứu này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật.
Dưới đây là một số lợp hằng phức tạp trong việc mô phỏng động lực học chất lỏng, đặc biệt là liên quan đến phương trình Navier-Stokes-Voigt Chúng ta sẽ khám phá cách mà phương trình này hoạt động trong miền không gian ba chiều và ảnh hưởng của nó đến các điều kiện biên trong các bài toán thực tế.
(1) trong õ u = u(x, t) = (u 1 , u 2 , u 3 ) , p = p(x, t) tữỡng ựng l h m vetỡ vên tố v h m Ăp suĐt n tẳm, ν > 0 l hằ số nhợt, α l tham số ° trững ho ở n hỗi ừa hĐt lọng v u 0 l vên tố ban u.
Hằ (1) ữủ giợi thiằu bði Oskolkov trong [48℄ nhữ mởt mổ hẳnh mổ tÊ huyºn ởng ừa Ă hĐt lọng loÔi Kelvin-Voigt, nhợt, khổng n²n ữủ Hằ
Ngữ liệu xuất bồi cao, Lunasin và Titi trong nghiên cứu [18] đã mở ra một hướng đi mới, khi tham số α nhỏ, cho phép áp dụng phương trình Navier-Stokes ba chiều Điều này giúp phân tích các hiện tượng liên quan đến dòng chảy Cụ thể, khi α = 0, phương trình Navier-Stokes ba chiều được xác định ở dạng tĩnh, và nếu ν = 0, chúng ta có thể thu được mô hình Bardina trong không gian hai chiều, mở ra những tiềm năng nghiên cứu mới trong lĩnh vực dòng chảy.
Trong thỹ tá, hằ n y thuở lợp α -mổ hẳnh trong ỡ hồ hĐt lọng, xem [37℄ ho Ă mổ hẳnh khĂ trong lợp n y.
Trong nhỳng nôm gn Ơy, Ă vĐn ã toĂn hồ liản quan án hằ Navier-
Stokes-Voigt là một mô hình quan trọng trong lĩnh vực vật lý, đặc biệt là trong nghiên cứu về sự hấp thụ và phát xạ ánh sáng Mô hình này giúp giải thích các hiện tượng liên quan đến sự tương tác giữa ánh sáng và vật chất, từ đó cung cấp cái nhìn sâu sắc về cách mà năng lượng được truyền tải và biến đổi Việc hiểu rõ về Stokes-Voigt không chỉ có giá trị trong lý thuyết mà còn ứng dụng rộng rãi trong các công nghệ hiện đại như quang học và quang phổ.
Navier-Stokes-Voigt ba hiãu trong miãn bà h°n ho° khổng bà h°n những thọa mÂn bĐt ¯ng thự Poinar² ữủ nghiản ựu rởng rÂi trong [7, 26, 29,
Tố ở phần này nghiên cứu theo biến thời gian và không gian trong các phương trình Navier-Stokes-Voigt Bài toán liên quan đến sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong không gian này đã được đề cập trong nhiều tài liệu Mặc dù có những thách thức trong việc chứng minh tính tồn tại của nghiệm, các kết quả gần đây cho thấy khả năng giải quyết vấn đề này thông qua các phương pháp phân tích hiện đại.
Tiáp theo, húng ta x²t hằ phữỡngtrẳnh g-Navier-Stokes haihiãu õ dÔng nh÷ sau:
(2) trong õ u = u(x, t) = (u 1 , u 2 ) , p = p(x, t) tữỡng ựng l h m vetỡ vên tố v h m Ăp suĐt n tẳm, ν > 0 l hằ số nhợt, u 0 l vên tố ban u.
Trong nghiên cứu về phương trình Navier-Stokes, chúng ta khám phá sự xuất hiện của các giải pháp trong miền không gian O g = O ì (0, g) Các giải pháp này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của phương trình Navier-Stokes trong miền không gian ba chiều O g Bài viết cũng đề cập đến việc áp dụng các phương pháp phân tích để nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của các giải pháp này trong bối cảnh vật lý và toán học, từ đó mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực này.
[1, 3, 38, 39, 40, 42, 43, 51, 52, 56, 62, 63℄) Tuy nhiản, văn ỏn nhiãu vĐn ã mð n ữủ nghiản ựu liản quan án lợp hằ (2), h¯ng hÔn:
1) B i toĂn ờn ành hõa nghiằm dứng mÔnh ừa hằ;
2) B i toĂn ờnành hõa dĂng iằu tiằmên ừa nghiằm khi thới gian ra vổ òng.
Chúng tổi s³ nghiản ựu nhỳng vĐn ã õ trong luên Ăn n y.
Cuối ũng, húng ta x²t hằ phữỡng trẳnh g-Navier-Stokes ngău nhiản hai hiãu vợi trạ hỳu hÔn sau Ơy:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hệ thống mô tả các yếu tố u(x, t) = (u1, u2) và áp suất p = p(x, t) trong môi trường vật lý, với ν > 0 là một hằng số dương U0 đại diện cho điều kiện ban đầu, trong khi f = f(x) là hàm không phụ thuộc vào thời gian Hệ thống cũng bao gồm F(ã) là hàm phụ thuộc vào trạng thái và G(u(t − ρ(t)))dW(t) là thành phần ngẫu nhiên, với W(t) là quá trình ngẫu nhiên liên quan đến thời gian.
Wiener vổ hÔn hiãu, h m ρ : [0, + ∞ ) → [0, τ ] l bà h°n v o ữủ, ϕ l vên tè ban u khi thíi gian t ∈ [ − τ, 0] , trong â τ l sè d÷ìng è ành.
Sỹ tỗn tÔi v tẵnh ờn ành ừa nghiằm dứng ừa hằ Navier-Stokes là một vấn đề quan trọng trong lĩnh vực toán học và vật lý Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện để hiểu rõ hơn về các giải pháp của phương trình này, như các công trình của Caraballo và Han, cũng như Caraballo và Real Những nghiên cứu này đóng góp vào việc khám phá các tính chất của dòng chảy và sự phát triển của lý thuyết liên quan đến phương trình Navier-Stokes.
Atienza v Marẵn-Rubio [35℄, Marẵn-Rubio, Real v Valero [46℄, Planas [50℄,
Taniguhi [58℄; xem thảm b i bĂo tờng quan gn Ơy ừa Caraballo v Han
[20℄.Trữớnghủp hằ Navier-Stokes haihiãu ngău nhiản õtrạữủnghiản ựu trong [27, 61℄.
Sỹ tỗn tÔi v tẵnh ờn ành ừa nghiằm dứng ừa hằ g-Navier-Stokes hai hiãu khổng/õ trạ Â ữủ nghiản ựu trong Ă ổng trẳnh [2, 51℄.
Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, việc sử dụng các con số ngẫu nhiên và số hồng ngọc có thể ảnh hưởng đến sự phát triển và tiềm năng của một số lĩnh vực Chúng tôi sẽ hoàn thiện nội dung này để mang lại thông tin hữu ích và có giá trị cho người đọc.
Xuất phát từ những lợi thế tự nhiên, chúng tôi lựa chọn phát triển du lịch sinh thái nhằm nâng cao giá trị văn hóa và bảo tồn hệ sinh thái Điều này không chỉ giúp phát triển kinh tế địa phương mà còn tạo ra nhiều cơ hội việc làm cho người dân Chúng tôi cam kết thực hiện các chương trình bảo vệ môi trường và phát huy tiềm năng du lịch bền vững, góp phần vào sự phát triển toàn diện của khu vực.
Mử ẵh nghiản ựu
Luên Ăntêp trung nghiản ựu tẵnhờnành v ờnànhhõa ừa mởtsố phữỡng trẳnh Ôo h m riảng tián hõa xuĐt hiằn trong ỡ hồ hĐt lọng.
ối tữủng v phÔm vi nghiản ựu
Nghiên cứu về các phương trình Navier-Stokes và các biến thể của chúng, như phương trình Navier-Stokes-Voigt, đã thu hút sự chú ý trong lĩnh vực toán học và vật lý Những phương trình này mô tả sự chuyển động của chất lỏng và đã được áp dụng để giải quyết nhiều bài toán trong thực tiễn Việc tìm hiểu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong các phương trình này là một thách thức lớn, đặc biệt trong các điều kiện phức tạp Sự xuất hiện của các nghiệm trong không gian đa chiều cũng mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết chất lỏng.
Navier-Stokes ngău nhiản hai hiãu vợi trạ hỳu hÔn.
• PhÔm vi nghiản ựu ừa Luên Ăn bao gỗm Ă nởi dung sau:
◦ Nởi dung 1: Hằ Navier-Stokes-Voigt ba hiãu:
1) Sỹ tỗn tÔi, tẵnh duynhĐt v tẵnh ờnành mừa nghiằm dứng m¤nh.
2) ấn ành hõa nghiằm dứng mÔnh bơng iãu khiºn phÊn hỗi õ giĂ bản trong miãn ho° bơng nhiạu ngău nhiản phũ hủp.
◦ Nởi dung 2: Hằ g-Navier-Stokes hai hiãu:
1) Sỹ tỗn tÔi, tẵnh duynhĐt v tẵnh ờnành mừa nghiằm dứng m¤nh.
2) ấn ành hõa nghiằm dứng mÔnh bơng iãu khiºn phÊn hỗi õ giĂ bản trong miãn v bơng iãu khiºn phÊnhỗi hỳu hÔn hiãu.
3) ấn ành hõa dĂng iằu tiằm ên ừa nghiằm bơng ngoÔi lỹ dao ởng nhanh theo bián thới gian.
◦ Nởi dung 3: Hằ g-Navier-Stokes ngău nhiản hai hiãu vợi trạ hỳu h¤n:
1) Sỹ tỗn tÔi v tẵnh duy nhĐt ừa nghiằm dứng yáu ừa hằ tĐt ành t÷ìng ùng.
2) Tẵnh ờn ành mtheo bẳnh phữỡng trung bẳnh v tẵnh ờnành m hu hư hưn ừa nghiằm yáu ừa hằ ngău nhiản.
Phữỡng phĂp nghiản ựu
• Nghiản ựu sỹ tỗn tÔi nghiằm v sỹ tỗn tÔi nghiằm dứng: Sỷ dửng phữỡng ph¡p x§p x¿ Galerkin v ph÷ìng ph¡p ompat [44℄.
• Nghiản ựu tẵnh ờn ành ừa nghiằm dứng v nghiằm tun ho n: Sỷ dửng Ă Ănh giĂ nông lữủng v bĐt ¯ng thự kiºu Gronwall.
• Nghiản ựu b i toĂn ờn ành hõa: Sỷ dửng Ă phữỡng phĂp ừa Lẵ thuyát iãu khiºn toĂn hồ [9, 13℄ v GiÊi tẵh ngău nhiản [21, 22℄.
Kát quÊ ừa luên Ăn
Luên Ăn  Ôt ữủ nhỳng kát quÊ hẵnh sau Ơy:
Bài viết này trình bày về phương trình Navier-Stokes-Voigt trong miền bậc hai, chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho bài toán liên quan đến mưa Nó cũng đưa ra các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự tồn tại của nghiệm cho bài toán này, đồng thời nhấn mạnh vai trò của các yếu tố ngẫu nhiên trong việc ảnh hưởng đến giải pháp Nội dung này sẽ được đề cập chi tiết trong Chương 2.
Đối với phương trình Navier-Stokes trong miền ba chiều, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong trường hợp dòng chảy ổn định, đồng thời nghiên cứu điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của nghiệm trong bối cảnh dòng chảy không ổn định theo biến thời gian Đây là nội dung được trình bày trong Chương 3.
Đối với phương trình Navier-Stokes trong không gian ba chiều, chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm là một bài toán khó Nghiên cứu này tập trung vào việc tìm hiểu các tính chất của nghiệm và mối liên hệ giữa chúng trong bối cảnh không gian hữu hạn Các kết quả này có thể được tham khảo trong Chương 4.
Cá kèo là một trong những loài cá quan trọng trong hệ sinh thái nước ngọt, góp phần duy trì sự cân bằng sinh học Chúng không chỉ là nguồn thực phẩm giàu dinh dưỡng mà còn đóng vai trò trong việc kiểm soát các loài sinh vật khác trong môi trường sống Việc bảo tồn và phát triển bền vững cá kèo là cần thiết để đảm bảo sự đa dạng sinh học và sức khỏe của các hệ sinh thái nước ngọt.
Phương trình Navier-Stokes là một công cụ quan trọng trong việc mô tả chuyển động của chất lỏng, đặc biệt khi áp suất và độ nhớt không đổi Nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân bố và hành vi của chất lỏng trong các hệ thống khác nhau Đặc biệt, phương trình này có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hiện tượng liên quan đến dòng chảy và sự tương tác giữa các yếu tố khác nhau trong môi trường chất lỏng, từ đó cung cấp cái nhìn sâu sắc về động lực học của chất lỏng.
Cõ kèt quờ hẵnh ửa luàn õn đứũ ỗngbộ trong 04 bÁi bõo khoahổ trản Ă tÔp hẵ huyản ng nh quố tá v  ữủ bĂo Ăo tÔi:
• Xảmina ừa Bở mổn GiÊi tẵh, Khoa T oĂn, T rữớng Ôi hồ Sữ phÔm H
• Hởi thÊo khoa hồ Phữỡng trẳnh vi phƠn v ựng dửng, Khoa Khoa hồ ỡ bÊn, Trữớng Ôi hồ Sao ọ, 2016;
• Hởi thÊo khoa hồ T oĂn hồ trong sỹ nghiằp ời mợi giĂo dử, Khoa
ToĂn, Trữớng Ôi hồ Sữ phÔm H Nởi 2, 2017.
CĐu trú ừa luên Ăn
CĂ khổng gian h m
Trong mử n y, ta như lÔi mởt số kát quÊ vã Ă khổng gian h m s³ ữủ sỷ dửng trong luên Ăn Chúng ta x²t O l miãn bà h°n trong R n (n = 2, 3) vợi biản trỡn ∂ O
Cho 1 ≤ p ≤ ∞ v m l mởt số nguyản khổng Ơm T a kẵ hiằu L p ( O ) l khổng gian Ă h m khÊ tẵh bê p vợi ở o Lebesgue dx = dx 1 dx n Khi õ L p ( O ) , 1 ≤ p ≤ ∞ , l khổng gian Banah vợi huân k u k L p =
Náu p = 2 , thẳ L 2 ( O ) l khổng gian Hilbert vợi tẵh vổ hữợng
O u.vdx, v huân k ã k L 2 xĂ ành nhữ sau: k u k 2 L 2 (O) = (u, u) ành nghắa 1.1 Khổng gian Sobolev W m,p ( O ) ữủ xĂ ành nhữ sau
. ành lẵ 1.1 ([54,ành lẵ5.4, tr.114℄) Khổnggian Sobolev W m,p ( O ) l khổng gian Banah.
H m ( O ) = W m,2 ( O ) l khổng gian Hilbert vợi tẵh vổ hữợng
Ta ành nghắa H 0 m ( O ) l bao õng ừa khổng gian C 0 ∞ ( O ) trong H m ( O )
Cho Y l khổng gian Banah thỹ vợi huân || ã || ành nghắa 1.2 Khổng gian L p (0, T ; Y ) , 1 ≤ p ≤ ∞ , gỗm tĐt Ê Ă h m o ữủ φ : [0, T ] → Y vợi huân i) k φ k L p (0,T ;Y ) := Z T
KhiõL p (0, T ; Y ) l mởt khổng gian Banah, v nõ l phÊn xÔ náu 1 < p < ∞
Khổng gian liản hủp ừa L p (0, T ; Y ) l L q (0, T ; Y ′ ) vợi 1/p + 1/q = 1 ành nghắa 1.3 Khổng gian C([0, T ]; Y ) gỗm tĐt Ê Ă h m liản tử φ :
Khi õC ([0, T ]; Y ) l mởt khổng gian Banah. ành nghắa 1.4 L 2 loc ( R ; Y ) l khổng gian Ă h m φ(s) , s ∈ R vợi giĂ trà trong Y , m bẳnh phữỡng khÊ tẵh àa phữỡng (theo nghắa Bohner), tự l ,
Z t 2 t 1 k φ(s) k 2 ds < ∞ , vợi mồi khoÊng ompat [t 1 , t 2 ] ⊂ R
GiÊ sỷ O l miãn bà h°n trong R 3 vợi biản trỡn ∂ O Sau Ơy, húng ta giợi thiằu Ăkhổng gian h mH v V dũng º nghiản ựu hằ Navier-Stokes-Voigt.
Khi hiểu H là bao vùng V trong (L²(O))³ và V là bao vùng V trong (H⁰¹(O))³, ta thấy rằng V ⊂ H ≡ H′ ⊂ V′ Trong đó, việc nhúng là một quá trình quan trọng liên quan đến các hàm mêt và liên tử Chúng ta cũng có thể hiểu rằng không gian Hilbert là không gian trừu tượng có cấu trúc phức tạp, cho phép nghiên cứu sâu hơn về các mối quan hệ giữa V và V′.
Ta ữa ra mởt huân Hilbert mợi trong V nhữ sau k u k 2 α : = | u | 2 + α 2 k u k 2 , α > 0, huân n y tữỡng ữỡng vợi huân k ã k thữớng dũng trong V bði vẳ λ 1
1 + α 2 λ 1 k u k 2 α ≤ k u k 2 ≤ α −2 k u k 2 α , trong õ λ 1 > 0 l giĂ trà riảng u tiản ừa toĂn tỷ Stokes trong O (tự l toĂn tỷ A ữủ ành nghắa trong Mử 1.2.1 dữợi Ơy).
1.1.4 CĂ khổng gian h m H g v V g º nghiản ựu hằ g-Navier-Stokes hai hiãu, húng ta x²t O l miãn bà h°n trong R 2 vợi biản trỡn ∂ O Kẵ hiằu L 2 ( O , g) = (L 2 ( O )) 2 v H 1
0 ( O , g) = (H 0 1 ( O )) 2 , vợi tẵh vổ hữợng ln lữủt l
0 ( O , g), v huân tữỡng ựng | u | 2 g = (u, u) g , || u || 2 g = ((u, u)) g Tứ giÊ thiát ừa h m g ữủx²t trong luên Ăn (xin xem hi tiát ð Mử 3.1, Chữỡng 3) dạ thĐy huân
| ã | g v k ã k g tữỡng ữỡng vợi huân thổng thữớng trong (L 2 ( O )) 2 v trong (H 0 1 ( O )) 2 °t
Kẵhiằu H g l bao õng ừa V g trong L 2 ( O , g) , v V g l bao õng ừa V g trong
H 1 0 ( O , g) Dạ thĐy V g ⊂ H g ≡ H g ′ ⊂ V g ′ , trong õ Ă ph²p nhúng l trũ mêt v liản tử Ta dũng kẵ hiằu k ã k ∗ ho huân trong V g ′ , v hã , ãi g h¿ ối ngău giỳa V g v V g ′ CĂ khổng gian trản ãu l khổng gian Hilbert.
C¡ to¡n tû
Ta ành nghắa Ă toĂn tỷ liản quan án hằ Navier-Stokes-Voigt nhữ sau. °t to¡n tû Stokes A : V → V ′ x¡ ành bði h Au, v i = ((u, v)), vợi mồi u, v ∈ V.
Kẵ hiằu D(A) = (H 2 ( O )) 3 ∩ V v Au = − P ∆u , ∀ u ∈ D(A) , trong õ P l ph²p hiáu trỹ giao Leray-Helmholtz tứ (L 2 (Ω)) 3 lản khổng gian H
Ta ành nghắa toĂn tỷ B : V ì V → V ′ xĂ ành bði
Kát quÊ sau Ơy s³ ữủ sỷ dửng nhiãu ln trong Chữỡng 2.
c | u | 1/4 k u k 3/4 k v k| w | 1/4 k w k 3/4 , ∀ u, v, w ∈ V, cλ −1/4 k u kk v kk w k , ∀ u, v, w ∈ V, c k u kk v k 1/2 | Av | 1/2 | w | , ∀ u ∈ V, v ∈ D(A), w ∈ H, trong õ c l Ă hơng số thẵh hủp.
Ta ành nghắa Ă toĂn tỷ liản quan án hằ g-Navier-Stokes nhữ sau. °t A g : V g → V g ′ l to¡n tû x¡ ành bði h A g u, v i g = ((u, v)) g , ∀ u, v ∈ V g
Khi õA g = − P g ∆ v D(A g ) = H 2 ( O , g) ∩ V g , trong õ P g l ph²p hiáu trỹ giao tứ L 2 ( O , g) lản H g Ta kẵ hiằu η 1 l giĂ trà riảng u tiản ừa toĂn tỷ A g
Ta ành nghắa toĂn tỷ B g : V g ì V g → V g ′ xĂ ành bði h B g (u, v), w i g = b g (u, v, w), ∀ u, v, w ∈ V g , trong â b g (u, v, w) =
Dạ thĐy náu u, v, w ∈ V g , thẳ b g (u, v, w) = − b g (u, w, v), b g (u, v, v) = 0. °t C g : V g → H g l to¡n tû x¡ ành bði
BƠy giớ, ta nhưlÔi Ă Ănh giĂn thiát º xỷ lẵsố hÔng phituyán trong hằ g-Navier-Stokes ữủx²t trong luênĂn Ta õ bĐt ¯ng thự kiºu Poinar² sau ¥y k u k 2 g ≥ η 1 | u | 2 g , ∀ u ∈ V g , (1.1)
| A g u | 2 g ≥ η 1 k u k 2 g , ∀ u ∈ D(A g ), (1.2) trong õ η 1 > 0 l giĂ trà riảng u tiản ừa toĂn tỷ g -Stokes A g
BƠy giớ húng ta như lÔi mởt số kát quÊ Â biát s³ ữủ sỷ dửng trong phn tiáp theo.
c 1 | u | 1/2 g k u k 1/2 g k v k g | w | 1/2 g k w k 1/2 g , ∀ u, v, w ∈ V g , c 2 | u | 1/2 g k u k 1/2 g k v k 1/2 g | A g v | 1/2 g | w | g , ∀ u ∈ V g , v ∈ D(A g ), w ∈ H g , c 3 | u | 1/2 g | A g u | 1/2 g k v k g | w | g , ∀ u ∈ D(A g ), v ∈ V g , w ∈ H g , c 4 | u | g k v k g | w | 1/2 g | A g w | 1/2 g , ∀ u ∈ H g , v ∈ V g , w ∈ D(A g ), trong õ c i , i = 1, , 4, l Ă hơng số xĂ ành.
Bờ ã 1.3 ([12℄) Cho u ∈ L 2 (0, T ; V g ) Khi õ h m C g u xĂ ành bði
(C g u(t), v) g = (( ∇ g g ã ∇ )u, v) g = b g ( ∇ g g , u, v), ∀ v ∈ V g , thuở khổng gian L 2 (0, T ; H g ) , v do õ ng thuở L 2 (0, T ; V g ′ ) Hỡn nỳa,
Mởt số kát quÊ vã giÊi tẵh ngău nhiản
Trong mũi n, chúng ta sẽ khám phá một số kết quả và lý thuyết xuất sắc, liên quan đến Brown và quá trình Wiener, cũng như tầm quan trọng của ngẫu nhiên trong lý thuyết ăn Mũi n trình bày dựa trên tài liệu [31, 32].
1.3.1 Chuyºn ởng Brown trong khổng gian Hilbert
Cho không gian xác suất (Ω, F, P), trong đó Ω là không gian mẫu, F là σ-algebra bao gồm các tập con của Ω, và P là xác suất Quá trình Brown hay quá trình Wiener được định nghĩa là một quá trình ngẫu nhiên Gaussian trong không gian xác suất (Ω, F, P).
Tự l , { W t } thọa mÂn Ă iãu kiằn sau Ơy: i) W 0 = 0 h , ii) W õ quÿ Ôo liản tử, h , iii) W õ số gia ở lêp , iv) W t − W s ∼ N (0, t − s), 0 ≤ s < t < ∞
BƠy giớ ta ành nghắa huyºn ởng Brown hay quĂ trẳnh Wiener trong khổng gian Hilbert.
Không gian Hilbert \( K \) là một cấu trúc quan trọng trong toán học, với \( K = \mathbb{H}^n \) và \( K = \mathbb{R}^n \) Trong không gian này, \( B(K) \) đại diện cho tập hợp các số Borel của \( K \), đồng thời cũng là tập hợp các số nhọn nhặt trong không gian Hilbert Mỗi phần tử của \( B(K) \) có thể được coi là một tập Borel mở trong \( K \).
Mởtbián ngăunhiản trong khổnggian Hilbert K (tự l , nhên giĂ trà trong
K ) l mởt Ănh xÔ o ữủ Borel
X : Ω → K, tự l , vợi mội têp Borel A trong K , ta õ
Tữỡng tỹ nhữ Ă bián ngău nhiản nhên giĂ trà thỹ, kẳ vồng toĂn ừa X ữủ ành nghắa dữợi dÔng tẵh phƠn vợi bián ở o xĂ suĐt
Ta ành nghắa bián ngău nhiản Gauss trong khổng gian Hilbert K ành nghắa 1.6 [32, tr 34℄ Bián ngău nhiản X : Ω → K trong khổng gian
Hilbert K gồi l bián ngău nhiản Gauss náu vợi mội a ∈ K , bián ngău nhiản vổ hữợng h X, a i l bián ngău nhiản Gauss vổ hữợng.
Náu X l bián ngău nhiản Gauss lĐy giĂ trà trong khổng gian Hilbert K , thẳ tỗn tÔi vetỡ m trong K v toĂn tỷ ối xựng xĂ ành dữỡng Q : K → K sao ho vợi mồi a, b ∈ K , i) E h X, a i = h m, a i , ii) E ( h X − m, a ih X − m, b i ) = h Qa, b i
Ta gồi m l vetỡ trung bẳnh v Q l toĂn tỷ hiằp phữỡng sai ừa X Bián ngău nhiản Gauss X , vợi vetỡ trung bẳnh m v toĂn tỷ hiằp phữỡng sai Q , ữủ kẵ hiằu bði X ∼ N (m, Q)
BƠy giớ ta ành nghắa huyºn ởng Brown hay quĂ trẳnh Wiener trong khổng gian Hilbert K Ta x²t toĂn tỷ tuyán tẵnh xĂ ành dữỡng, ối xựng
Trong không gian K, nếu Q là một toán tử tỷ lệ và có giá trị hữu hạn, ta có thể nói rằng Q là toán tử lồi Khi đó, tồn tại một số dãy số thực {e_n} với n = 1 đến ∞ trong K, và một dãy số thực khổng lồ (giá trị riêng của Q) λ'_n sẽ được xác định.
P ∞ n=1 λ ′ n < ∞ ành nghắa 1.7 [32, tr 35℄ QuĂ trẳnh ngău nhiản W (t) nhên giĂ trà trong
Ký hiệu \( W(t) \) là quá trình Wiener với điều kiện sau: i) \( W(0) = 0 \), ii) \( W(t) \) là quá trình ngẫu nhiên độc lập, iii) \( W(t) \) có gia số liên tục, iv) \( W(t) - W(s) \) tuân theo phân phối chuẩn \( N(0, (t - s)Q) \) với \( 0 \leq s < t < \infty \) Khi đó, \( W(t) \) được gọi là quá trình Wiener với ma trận hiệp phương sai \( Q \).
GiÊ sỷ β n (t), n = 1, 2, , l mởt dÂy Ă huyºn ởng Brown ở lêp mởt hiãu giĂ trà thỹ trản (Ω, F , P ) , tự l , β n (t) ∼ N (0, t), n = 1, 2, Khi õ, mởt quĂ trẳnh Q -Wiener W (t), t ≥ 0 nhên giĂ trà trong K õ biºu diạn dÔng
1.3.2 Tẵh phƠn ngău nhiản trong khổng gian Hilbert
Trong mử n y, ta ữa ra ành nghắa tẵh phƠn ngău nhiản trong khổng gian
0 Φ(t, ω)dW (t), trong õ h m lĐy tẵh phƠn Φ(t, ω) thữớng l toĂn tỷ tuyán tẵnh Φ : K → U, vợi U l khổng gian Hilbert v W (t) l huyºn ởng Brown nhên giĂ trà trong khổng gian Hilbert K
Tứ biºu diạn ừa huyºn ởng Brown W trong (1.3), ta ành nghắa tẵh ph¥n Ito
R T 0 Φ(t, ω)e n dβ n (t) l tẵh phƠn Ito trong khổng gian
Không gian Hilbert K là một không gian bao gồm các toán tử tuyến tính và hàm số K vào H g Trong đó, toán tử Q-Hilbert-Schmidt được định nghĩa như sau: K → H g, với k là một phần tử trong không gian L 0 2, được tính bằng công thức tr(QQ∗).
< ∞ , v kẵhiằu L 0 2 (K, H g ) l khổng gian gỗm tĐt Ê Ă toĂn tỷ Q-Hilbert-Shmidt à : K → H g
BƠy giớ ho quĂ trẳnh Φ(t, ω), 0 ≤ t ≤ T , nhên giĂ trà trong L 0 2 (K, H g ) , tẵh phƠn ngău nhiản
0 Φ(t, ω)dW (t) ng ữủ xĂ ành náu
1.3.3 Mởt số kát quÊ trong lẵ thuyát xĂ suĐt
Trong phn n y, húng ta như lÔi mởt số kát quÊ ỡ bÊn trong lẵ thuyát xĂ suĐt ữủ dũng º hựng minh Ă kát quÊ ừa luên Ăn.
Cho p ∈ (1, ∞ ) v L p = L p (Ω; K ) l hồ Ă bián ngău nhiản X vợi
Cho { A k } l mởt dÂy Ă têp trong F ành nghắa giợi hÔn trản ừa dÂy Ă têp { A k } bði lim sup k→∞
Bờ ã 1.4 (Bờ ã Borel-Cantelli)([45, Bờ ã 2.4, Chữỡng 1℄) Náu { A k } ⊂ F v
Tự l , tỗn tÔi mởt têp Ω 0 ∈ F vợi P (Ω 0 ) = 1 v mởt bián ngău nhiản õ giĂ trà nguyản k 0 sao ho vợi mồi ω ∈ Ω 0 , ta õ ω / ∈ A k vợi k ≥ k 0 (ω)
Bờ ã1.5 (Bờã Burkholder-Davis-Gundy)([32,Bờ ã3.24,Chữỡng3℄)Cho r ≥ 1 v Φ(t) ∈ L 0 2 (K, H g ), t ∈ [0, T ] , ta â
Dữợi Ơy ta như lÔi khĂi niằm martingale trong [31, tr 73℄.
Không gian Hilbert \( (\Omega, F, P) \) là một không gian xác suất, trong đó \( I \) là một khoảng trong \( \mathbb{R} \) Một họ biến ngẫu nhiên \( X = \{ X(t) \}_{t \in I} \) là các biến ngẫu nhiên \( X(t) \) xác định trên \( \Omega \) và có giá trị trong \( E \), tạo thành một quá trình ngẫu nhiên.
Náu E k X(t) k < ∞ vợi mồi t ∈ I thẳ quĂ trẳnh ngău nhiản gồi l khÊ tẵh.
Mởt quĂ trẳnh ngău nhiản khÊ tẵh v tữỡng thẵh X(t), t ∈ I, nhên giĂ trà trong E gồi l mởt martingale náu
E (X (t) |F s ) = X (s), P − h.c.c. vợi mồi t, s ∈ I, t ≥ s Theo ành nghắa ừa kẳ vồng õ iãu kiằn, ¯ng thự trản tữỡng ữỡng vợi
Mởt số kát quÊ thữớng dũng
1.4.1 Mởt số bĐt ¯ng thự thữớng dũng
Dữợi Ơy l mởt số bĐt ¯ng thự sỡ Đp những rĐt quan trồng v thữớng xuyản ữủ sỷ dửng trong luên Ăn:
• BĐt ¯ng thự Cauhy vợi ǫ : ab ≤ ǫa 2 + b 2
• B§t ¯ng thù Y oung : Cho 1 < p, q < ∞ , 1 p + 1 q = 1 Khi â ab ≤ a p p + b q q , (a, b > 0).
• BĐt ¯ng thự Y oung vợi ǫ : ab ≤ ǫa p + C(ǫ)b q , (a, b, ǫ > 0), vợi C(ǫ) = (ǫp) −q/p q −1
• B§t ¯ng thù H older : Gi£ sû 1 ≤ p, q ≤ ∞ , 1 p + 1 q = 1 Khi õ náu u ∈ L p ( O ) , v ∈ L q ( O ) thẳ ta õ
• BĐt ¯ng thự nởi suy ối vợi huân L p : GiÊ thiát 1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞ v
• BĐt ¯ng thự Gronwall : GiÊ sỷ x(t) l mởt h m liản tử tuyằt ối trản
[0, T ] v thọa mÂn dx dt ≤ g(t)x + h(t), vợi hu khưp t, trong õ g(t) v h(t) l Ă h m khÊ tẵh trản [0, T ] Khi õ x(t) ≤ x(0)e G(t) +
Nõi riảng, náu a v b l Ă hơng số v dx dt ≤ ax + b, thẳ x(t) ≤ (x(0) + b a )e at − b a
• BĐt ¯ng thự Gronwall dÔng tẵh phƠn: Cho ξ(t) l mởt h m khÊ tẵh, khổng Ơmtrản[0, T ] v thọa mÂn vợi hu khưp t bĐt ¯ng thự tẵh phƠn ξ(t) ≤ C 1
Z t 0 ξ(s)ds + C 2 , vợi C 1 , C 2 l Ă hơng số khổng Ơm Khi õ ξ (t) ≤ C 2 (1 + C 1 te C 1 t ) vợi hu khưp t , 0 ≤ t ≤ T
BĐt ¯ng thự tẵh phƠn sau Ơy l ổng ử ỡ bÊn º nghiản ựu tẵnh ờn ành nghiằm ừa hằ phữỡngtrẳnh g-Navier-Stokes ngău nhiản hai hiãu õ trạ trong Ch÷ìng 4.
Bờ ã 1.6 ([27℄) Cho h m u : [ − τ, + ∞ ) → [0, + ∞ ) v giÊ sỷ γ, α 1 , α 2 l Ă số dữỡng thọa mÂn α 2 < γ Náu bĐt ¯ng thự sau Ơy thọa mÂn u(t) ≤
0 e −γ(t−s) sup θ∈[−τ,0] u(s + θ)ds, t ≥ 0 α 1 e −γt , t ∈ [ − τ, 0], thẳ ta õ u(t) ≤ α 1 e −àt , t ≥ − τ, trong õ à ∈ (0, γ) thọa mÂn α 2 γ − à e àτ = 1.
1.4.2 Mởt số bờ ã v ành lẵ quan trồng
Sau Ơy ta s³ nhưlÔi mởtsố bờã v ànhlẵ quan trồng ữủsỷ dửng hựng minh Ă kát quÊ ừa luên Ăn.
Bờ ã 1.7 (Bờ ã Aubin-Lions) ([44℄) Cho Y 0 , Y v Y 1 l ba khổng gian
Banah vợi Y 0 v Y 1 l khổng gian phÊn xÔ GiÊ sỷ Y 0 nhúng omp at trong
Y v Y nhúng liản tử trong Y 1 Vợi 1 < p, q < ∞ , ta °t
Khi xem xét không gian compact trong Lp (0, T; Y), ta có thể áp dụng định lý Tychonoff để chứng minh tính compact của các không gian con Định lý Brouwer cho rằng mọi hàm liên tục từ B(0, 1) đến chính nó đều có ít nhất một điểm cố định, điều này nhấn mạnh tính quan trọng của các hàm liên tục trong không gian B(0, 1) và Rn.
Bờ ã sau Ơy l mởt hằ quÊ ừa ành lẵ 1.3 v thữớng ữủ sỷ dửng khi hựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm dứng ừa Ă phữỡng trẳnh trong ỡ hồ hĐt lọng.
Bờ ã 1.8 ([59, Bờ ã 1.4, Chữỡng II℄) GiÊ sỷ Y l mởt khổng gian Hilbert hỳu hÔn hiãu vợi tẵh vổ hữợng [ ã , ã ] v huân [ ã ] GiÊ sỷ Ănh xÔ liản tử
Khi õ, tỗn tÔi ξ ∈ Y , [ξ] ≤ k , sao ho
Ch÷ìng 2 ÊN ÀNH HO H NAVIER-STOKES-VOIGT BA CHIU
Trong hướng này, chúng tôi xác định phương trình Navier-Stokes-Voigt với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu điều kiện Êm béo tĩnh duy nhất và vấn đề liên quan đến toán học Sau đó, chúng tôi đã ra ràng nghiên cứu vấn đề không ổn định trong bối cảnh hình học của một dòng chảy trong miền hở với các điều kiện phân bố không đều.
Ito nhƠn tẵnh õ ữớng ở ừ mÔnh.
Nởi dung ừa hữỡng n y dỹa trản b i bĂo 3 trong Danh mử ổng trẳnh khoa hồ ừa tĂ giÊ liản quan án luên Ăn.
Cho O l miãn bà h°n trong R 3 vợi biản trỡn ∂ O Chúng ta x²t hằ phữỡng trẳnh Navier-Stokes-Voigt ba hiãu nhữ sau:
(2.1) trong õ u = u(x, t) = (u 1 , u 2 , u 3 ) , p = p(x, t) tữỡng ựng l h m vetỡ vên tố v h m Ăp suĐt n tẳm, ν > 0 l hằ số nhợt, α l tham số ° trững ho ở n hỗi ừa hĐt lọng, f = f (x) l h m ngoÔi lỹ v u 0 l vên tố ban u.
Sỷ dửng Ă toĂn tỷ A, B ữủ ành nghắa trong Chữỡng 1, Mử 1.2.1, ta õ thº viát b i toĂn (2.1) dữợi dÔng phữỡng trẳnh toĂn tỷ nhữ sau
du dt + α 2 A du dt + νAu + B(u, u) = f u(0) = u 0 ∈ V.
Trong hữỡng n y, húng ta s³ nghiản ựu Ă vĐn ã sau ối vợi b i toĂn
1) Thiát lêp iãu kiằn ừ Êm bÊo tẵnh duy nhĐt v tẵnh ờn ành m ừa nghiằm dứng mÔnh.
2) ấn ànhhõa nghiằmdứng mÔnh(khi nõkhổng ờnành) bơng Ăh dũng iãu khiºn phÊn hỗi õ giĂ bản trong miãn ho° dũng nhiạu ngău nhiản phũ hủp.
Tẵnh duy nhĐt v tẵnh ờn ành m ừa nghiằm dứng
Trữợ tiản, ta ành nghắa nghiằm dứng mÔnh ừa b i toĂn (2.1) với giÊ sỷ f ∈ (L 2 ( O )) 3 H m u ∗ ∈ D(A) ữủ gồi l nghiằm dứng mÔnh ừa b i toĂn (2.1) khi thỏa mãn phương trình νAu ∗ + B(u ∗ , u ∗ ) = f trong (L 2 ( O )) 3 Nếu tồn tại một nghiằm dứng mÔnh u ∗ thỏa mãn điều kiện k u ∗ k ≤ 1 λ 1/2 1 ν | f |, thì có thể khẳng định rằng khi có điều kiện ν 2 > c 0 | f | λ 3/4 1, với c 0 là hằng số dương, thì nghiằm dứng mÔnh ừa b i toĂn (2.1) là duy nhất và tồn tại.
Chựng minh (i) Sỹ tỗn tÔi.Dạ thĐyrơngnghiằmdứng mÔnhừahằ Navier-
Phương trình Stokes-Voigt là một biến thể của phương trình Navier-Stokes, được nghiên cứu để mô tả sự chuyển động của chất lỏng Nó được xây dựng dựa trên phương pháp Galerkin, giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến tính toán trong lĩnh vực này Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng phương trình này có thể mang lại kết quả chính xác và hiệu quả trong việc mô phỏng chuyển động của chất lỏng.
LĐy tẵh vổ hữợng trong H Ê hai vá ừa (2.2) vợi u ∗ v hú ỵ rơng
(ii) Tẵnh duy nhĐt v ờn ành m GiÊ sỷ u( ã ) l nghiằm bĐt kẳ ừa b i to¡n (2.1) °t w(t) = u(t) − u ∗ , ta â
+ ν((w(t), v)) + b(u(t), u(t), v) − b(u ∗ , u ∗ , v) = 0, vợi mồi h m thỷ v ∈ V Thay v bði w(t) v hú ỵ rơng b(u(t), u(t), w(t)) − b(u ∗ , u ∗ , w(t)) = b(w(t), u ∗ , w(t)), ta â d dt
Ta ữa v o số hÔng e λt , trong õ λ l số dữỡng ố ành ữủ hồn sau Bði Bờ ã 1.1, ta õ d dt e λt
≤ e λt h λ λ 1 + λα 2 − 2ν + 2c 0 | f | λ 3/4 1 ν i k w(t) k 2 , ð Ơy ta sỷ dửng Ănh giĂ (2.3) ho nghiằm dứng u ∗
Náu iãu kiằn (2.4) thọa mÂn, thẳ ta õ thº hồn λ > 0 ừ nhọ sao ho λ λ 1 + λα 2 − 2ν + 2c 0 | f | λ 3/4 1 ν < 0, v ta thu ữủ d dt e λt
Vẳ vêy, ta suy ra k w(t) k 2 α ≤ e −λt |k w(0) k 2 α , (2.5) v iãu n y hựng tọ tẵnh ờn ành m ừa nghiằm dứng u ∗
Giá sỉ và lãi suất là những yếu tố quan trọng trong việc phân tích mô hình kinh tế Chúng ta thấy rằng u(t) được xác định là v* ngược lại với lãi suất, với điều kiện ban đầu là u v* Khi áp dụng đánh giá theo công thức (2.5) với w = v* - u*, ta có thể suy ra rằng u* = v* Điều này chứng tỏ tính duy nhất của lãi suất trong mô hình.
Chú ỵ 2.1 ành lẵ 2.1 ð trản trẳnh b y Ă kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi, tẵnh duy nhĐt v tẵnh ờn ành ừa nghiằm dứng mÔnh ừa hằ Navier-Stokes-Voigt.
Trong trường hợp hủng nghiêm đứng yếu, Ăkát quÊtững nhên ử trong ảnh 4.1 và 4.2, cần xem xét các thảm ảnh liên quan Đặc biệt, chú ý đến việc thu ử Ăkát quÊ ối vợi trong ngữ cảnh này, nhằm tối ưu hóa thiết kế cho phù hợp với yêu cầu cụ thể.
ấn ành hõa nghiằm dứng bơng iãu khiºn phÊn hỗi õ giĂ bản
GiÊ sỷ u ∗ l mởt nghiằm dứng mÔnh ừa b i toĂn (2.1) Tứ kát quÊ ừa Mử
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm "nếu không thỏa mãn" và cách nó liên quan đến các quy tắc trong toán học Điều này không chỉ đơn thuần là một vấn đề lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp Chúng ta sẽ tập trung vào việc làm rõ các nguyên tắc cơ bản và cách áp dụng chúng để hiểu sâu hơn về các khái niệm liên quan.
Chúng ta x²t hằ iãu khiºn Navier-Stokes-Voigt ba hiãu sau Ơy:
(2.6) trong õ 1 ω l h m ° trững ừa miãn on ω ⊂ O vợi biản trỡn ∂ω , f ∈ (L 2 ( O )) 3 v u 0 ∈ V ho trữợ, h = h(x, t) l h m iãu khiºn.
Ta nõi rơng h m iãu khiºn h ∈ L ∞ (0, + ∞ ; H ) ờn ành hõa m nghiằm dứng mÔnhu ∗ náu tỗn tÔi số δ > 0 sao ho vợi mội nghiằm yáu u ừa b i toĂn
(2.6) Ănh giĂ sau Ơy thọa mÂn k u(t) − u ∗ k ≤ Ce −δt , ∀ t ≥ 0.
Kẵ hiằu H ω l bao õng ừa V ω trong (L 2 ( O )) 3 , v V ω l bao õng ừa V ω trong (H 0 1 ( O )) 3 , vợi huân tữỡng ựng | ã | ω v k ã k ω
Gồi A ω l toĂn tỷ Stokes ành nghắa trản O ω Ta kẵ hiằu λ ∗ 1 (ω) l giĂ trà riảng u tiản ừa toĂn tỷ A ω : λ ∗ 1 (ω) = inf
(A ω ϕ, ϕ) ω : | ϕ | 2 ω = 1 Ơy ( ã , ã ) ω v | ã | ω ln lữủt l tẵh vổ hữợng v huân trong H ω
X²t iãu khiºn phÊn hỗi dÔng h = − k(u − u ∗ ), k ∈ R + , v hằ õng tữỡng ựng
Bờ ã 2.1 ([15℄) Vợi mội ε > 0 , tỗn tÔi k 0 = k 0 (ε) sao ho vợi mồi k ≥ k 0 ,
Ta biát rơng (xem [28, tr 50℄),
| b(u, v, w) | ≤ γ | u |k v k H β | w | , vợi mồi u ∈ V ω , v ∈ (H β ( O )) 3 ∩ V, w ∈ V ω , trong õ γ ở lêp vợi O ω v β > 5/2 náu dim O = 3 T a °t γ ∗ (u ∗ ) := sup {| b(u, u ∗ , u) | : | u | = 1 } ≤ γ k u ∗ k H α
Ta trẳnh b y kát quÊ hẵnh ừa mử n y trong ành lẵ sau Ơy. ành lẵ 2.2 GiÊ sỷ u ∗ ∈ V ∩ (H β ( O )) 3 , β > 5/2, l nghiằm dứng mÔnh b Đt kẳ ừa (2.1) thọa mÂn νλ ∗ 1 (ω) > γ ∗ (u ∗ ).
Khi õ, vợi mội u 0 ∈ V v k ≥ k 0 ừ lợn những ở lêp vợi u 0 , tỗn tÔi nghiằm yáu u ∈ C ([0, ∞ ); V ) ừa (2.7) thọa mÂn k u(t) − u ∗ k α ≤ e −ηt k u 0 − u ∗ k α , ∀ t ≥ 0, vợi η > 0 n o õ Ơy, k u k 2 α := | u | 2 + α 2 k u k 2
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện cần thiết cho một hàm thiết lập trong không gian H β (O) và H β−2 (O) Đặc biệt, hàm thiết lập u ∗ phải thỏa mãn các điều kiện biên ∂O ∈ C β Khi áp dụng định lý 2.2, chúng ta nhận thấy rằng hàm thiết lập mở rộng theo cách mà nó duy trì tính chất của phân hủy trong miền ω ∈ R + Cuối cùng, theo định lý Poincaré, ta có điều kiện λ ∗ 1 (ω) ≥ C sup x∈O ω dist(x, ∂ O), cho thấy sự liên kết giữa hàm thiết lập và khoảng cách đến biên miền O.
Vẳvêyλ ∗ 1 (ω) xác định mối liên hệ giữa các yếu tố trong không gian khuyển O ω = O \ ω ¯ từ mọi góc độ Do đó, tứ ành lẵ 2.2 nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ mối quan hệ này, giúp chúng ta nhận diện và phân tích các biến động trong hệ thống.
Chựng minh °t z = u − u ∗ v viát lÔi (2.7) dữợi dÔng
(2.8) trong õ P l ph²p hiáu trỹ giao tứ (L 2 ( O )) 3 lản H , v B 0 z xĂ ành bði
(B 0 z, w) = b(u ∗ , z, w) + b(z, u ∗ , w), vợi mồi w ∈ V. º hựng minh ành lẵ, ta n h¿ ra sỹ tỗn tÔi v phƠn r vợi tố ở m ừa nghiằm z( ã )
Bữợ 1: Sỹ tỗn tÔi ừa z
Ta s³ sỷdửng phữỡngphĂp Galerkin Gồi { w j } ∞ j=1 l ỡ sð ừa D(A) gỗm Ă vetỡ riảng ừa toĂn tỷ Stokes A u tiản, ta sỷ dửng xĐp x¿ Galerkin n hiãu z n = P n j =1 z nj (t)w j Phữỡng trẳnh ho z n nhữ sau
BƠy giớ, lĐy tẵhvổ hữợngừa phữỡngtrẳnh u tiản trong (2.9) vợi z n ta thu ữủ
(z n ′ , z n ) + ν(Az n , z n ) + k(P (1 ω z n ), z n ) + α 2 (Az n ′ , z n ) + (B 0 z n , z n ) = 0, ð Ơy ta sỷ dửng kát quÊ h B(z n , z n ), z n i = b(z n , z n , z n ) = 0 Do õ
2 d dt k z n k 2 + ε k z n k 2 + ((ν − ε)Az n + kP (1 ω z n ), z n ) = b (z n , z n , u ∗ ) , do b (u ∗ , z n , z n ) = 0 v − b (z n , u ∗ , z n ) = b (z n , z n , u ∗ ) p dửng Bờ ã 2.1, ta õ
LĐy tẵh phƠn hai vá tứ 0 án t , t ∈ [0, T ] , T > 0 bĐt kẳ, ta thu ữủ
0 | z n (s) | 2 ds ≤ | z(0) | 2 + α 2 k z(0) k 2 vợi ε > 0 ữủ hồn ừ nhọ sao ho νλ ∗ 1 − γ ∗ (u ∗ ) − ελ ∗ 1 − ε > 0. iãu n y suy ra { z n } bà h°n trong L ∞ (0, T ; V ) Do õ, dạ thĐy { Az n } v { B(z n , z n ) } bà h°n trong L 2 (0, T ; V ′ ) Do
(I + α 2 A) dz n dt = − νAz n − B(z n , z n ) − B 0 z n − kP (1 ω z n ), suy ra { (I + α 2 A) dz dt n } bà h°n trong L 2 (0, T ; V ′ ) , tù l , { dz dt n } bà h°n trong
Trong bài viết này, chúng ta nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi {z_n} trong không gian L∞(0, T; V) và L2(0, T; H) Cụ thể, chúng ta chứng minh rằng z_n → z trong L2(0, T; H) và dz_n/dt ⇀ dz/dt trong L2(0, T; V) Đồng thời, cũng có sự hội tụ B(z_n, z_n) ⇀ B(z, z) trong L2(0, T; V′) Những kết quả này đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về tính chất của các hàm số trong không gian này.
Do â, ta â dz dt + νAz + α 2 Az ′ + B(z, z) + B 0 z + kP (1 ω z) = 0 trong L 2 (0, T ; V ′ ) (2.11) º hựng minh z(0) = z 0 , ta hồn h m thỷ ϕ ∈ C 1 ([0, T ] ; V ) vợi ϕ(T ) = 0
LĐy tẵh vổhữợng ừa (2.11)vợi ϕ v tẵh phƠn tứng phn theo t , ta thu ữủ
Thỹ hiằn tữỡng tỹ vợi dÂy nghiằmxĐp x¿ Galerkin, ta õ
Qua giợi hÔn khi n → ∞ , ta ữủ
Do õ, z(0) = z 0 v iãu n y suy ra z l nghiằm yáu ừa (2.8).
Bữợ 2: Sỹ phƠn r m ừa z
Lêp luên tữỡng tỹ nhữ khi thiát lêp (2.10), ta ữủ
, trong õ η > 0 ữủ hồn ừ nhọ sao ho η < νλ ∗ 1 − γ ∗ (u ∗ ) − ελ ∗ 1 − ε v ηα 2 < ε Tứ Ơy ta thu ữủ
| z(t) | 2 + α 2 k z(t) k 2 ≤ e −2ηt ( | z(0) | 2 + α 2 k z(0) k 2 ), ∀ t > 0. ành lẵ ữủ hựng minh.
ấn ành hõa nghiằm dứng bơng nhiạu Ito nhƠn tẵnh
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá những khía cạnh quan trọng của phương trình Navier-Stokes-Voigt trong việc mô tả chuyển động chất lỏng Đặc biệt, chúng ta sẽ xem xét cách mà phương trình này có thể áp dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến dòng chảy ngẫu nhiên Những hiểu biết này sẽ giúp nâng cao khả năng hiểu biết về động lực học chất lỏng trong các tình huống thực tế.
(2.14) trong õ σ > 0 , W t : Ω → R , t ∈ R, l quĂ trẳnh Wiener mởt hiãu Dạ thĐy rơng nghiằmdứng mÔnh u ∗ ừa b i toĂn (2.1) ng l nghiằm ừa b i toĂn õ nhiạu (2.14).
Náu u(x, t) l nghiằm ừa b i toĂn (2.14) v u ∗ l nghiằm dứng mÔnh ừa b i toĂn (2.1) thu ữủ trong Mử 2.2, thẳ °t φ(x, t) = u(x, t) − u ∗ , ta õ
TĂ ởng toĂn tỷ (I + α 2 A) −1 v o hai vá ừa phữỡng trẳnh u tiản trong
dφ + (I + α 2 A) −1 [νAφ + B(u, u) − B(u ∗ , u ∗ )]dt = σφdW t φ(0) = u 0 − u ∗ iãu n y dạ thĐy nhĐt bơng Ăh x²t phữỡng trẳnh Stratonovih tữỡng ữỡng dφ + (I + α 2 A) −1 [νAφ + B(u, u) − B(u ∗ , u ∗ )]dt + 1
2 σ 2 φdt = σφ ◦ dW t , ðơysýởnỏnhtuyèntẵnhrọ rÁngđứũtẬngứợngbði sộhụngmựi
2 σ 2 φ ờibián v = φe −σW t (ω) , ta thu ữủ mởt hồ Ă phữỡng trẳnh khổng ổ-tổ-nổm vợi tham số ω : dv + (I + α 2 A) −1 [νAv + e −σW t (ω) (B(u, u) − B(u ∗ , u ∗ ))]dt + 1
2 σ 2 vdt = 0, hay t÷ìng÷ìng d(v + α 2 Av)+[νAv + e −σW t (ω) (B(u, u) − B(u ∗ , u ∗ ))]dt
2 σ 2 (v + α 2 Av)dt = 0 (2.17) ành lẵ 2.3 Náu ν > r c 0 | f | λ −3/4 1 + σ 2 α 2
Trong bài viết, chúng ta xem xét một số phương trình liên quan đến bài toán tối ưu hóa, cụ thể là phương trình (2.14) và điều kiện thỏa mãn của nó Đặc biệt, nếu tồn tại một tập hợp N thuộc không gian Ω với xác suất P(N) bằng 0, thì điều này có nghĩa là với mọi ω không thuộc N, nghiệm k(t) của phương trình (2.14) sẽ thỏa mãn bất đẳng thức k u(t) − u ∗ k 2 α ≤ k u(0) − u ∗ k 2 α e −ℓt cho mọi t lớn hơn hoặc bằng T(ω), với ℓ lớn hơn 0.
Chựng minh NhƠn phữỡng trẳnh (2.17) vợi v , ta thu ữủ
Chú ỵ rơng b(u, u, φ) − b(u ∗ , u ∗ , φ) = b(φ, u ∗ , φ), v sỷ dửng Bờ ã 1.1, ta õ
| b(φ, u ∗ , φ) | e −2σW t ≤ c 0 λ −1/4 1 k u ∗ kk φ k 2 e −2σW t ≤ c 0 λ 3/4 1 ν | f |k v k 2 , (2.20) ð Ơy ta sỷ dửng Ănh giĂ (2.3) honghiằm dứng mÔnh u ∗ Sỷ dửng (2.19) v
1 + α 2 λ 1 ( | v | 2 + α 2 k v k 2 ) ≤ k v k 2 v sỷ dửng (2.18), dạ thĐy d dt ( | v | 2 + α 2 k v k 2 ) + 2ℓ( | v | 2 + α 2 k v k 2 ) ≤ 0, trong â ℓ := λ 1
W t t = 0, tỗn tÔi N ⊂ Ω vợi P (N ) = 0 , sao ho vợi ω / ∈ N õ T (ω) sao ho vợi mồi t ≥ T (ω) ,
Vẳ vêy dạ thĐy rơng náu iãu kiằn (2.18) thọa mÂn thẳ nghiằm u ∗ ờn ành m.
Trong trường hợp hủp tĐt ành, việc nghiên cứu mô hình u ∗ cho thấy sự tồn tại của các yếu tố ảnh hưởng đến tính chất của nó, đặc biệt khi ν ≤ q c 0 λ −3/4 1 | f | Bên cạnh đó, nhiều yếu tố Ito cũng có ảnh hưởng đến mô hình u ∗ trong khoảng r c 0 | f | λ −3/4 1 + σ 2 α 2, cho thấy sự phức tạp trong việc phân tích các yếu tố này.
Tham số σ ng lợn có vai trò quan trọng trong việc miễn nhiễm ờn ành ừa nghiằm u ∗ ng d i Khi bĐt kẳ ν > 0 ho trữợ, ta có thể xác định giá trị σ sao cho thỏa mãn điều kiện trong (2.18), từ đó giúp nghiằm u ∗ l ờn ành ối phù hợp với phương trình (2.15).
Ta ng lữu ỵ rơng viằng thảm nhiạu Ito nhƠn tẵnh phi tuyán ng õ thº õ hiằu quÊ ờn ành hõa Tuy nhiản, mử ẵh ừa húng ta ð Ơy l hựng minh rơng sỹ ờn ành hõa õ thº Ôt ữủ bơng Ăh sỷ dửng mởt nhiạu Ito nhƠn tẵnh rĐt ỡn giÊn, ử thº l nhiạu tuyán tẵnh.
Trong hữỡng n y, húng tổi  nghiản ựu hằ Navier-Stokes-Voigt ba hiãu trong miãn bà h°n CĂ kát quÊ Ôt ữủ bao gỗm:
1) Thiát lêp ữủ iãu kiằn ừ Êm bÊo tẵnh duy nhĐt v ờn ành m ừa nghiằm dứng mÔnh (ành lẵ 2.1).
2) Chựng minh ữủ iãu kiằn ờn ành hõa nghiằm dứng mÔnh bơng iãu khiºn phÊn hỗi õ giĂ ừ lợn bản trong miãn (ành lẵ 2.2) ho° bơng nhiạu ngău nhiản Ito nhƠn tẵnh õ ữớng ở ừ mÔnh (ành lẵ 2.3).
Ch÷ìng 3 ÊN ÀNH HO H g -NAVIER-STOKES HAI CHIU
Chúng tôi nghiên cứu phương trình Navier-Stokes trong miền hai chiều với biên trượt Trước tiên, chúng tôi tìm hiểu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong miền biên trượt Tiếp theo, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm tồn tại trong miền biên trượt dưới điều kiện phù hợp, trong đó nghiệm phức tạp được xây dựng dựa trên một số điều kiện nhất định, bao gồm việc sử dụng phương pháp Fourier để phân tích Cuối cùng, chúng tôi xác định rằng sự tồn tại của nghiệm phụ thuộc vào thời gian và mối quan hệ giữa nghiệm và biến thời gian trong trường hợp tồn tại duy nhất của nghiệm.
Nởidungừa hữỡngn y dỹa trảnĂ b ibĂo 1v 4trong Danh mử ổng trẳnh khoa hồ ừa tĂ giÊ liản quanán luên Ăn.
Cho O l miãn bà h°n trong R 2 vợi biản trỡn ∂ O Chúng ta x²t hằ g -Navier-
(3.1) trong õ u = u(x, t) = (u 1 , u 2 ) , p = p(x, t) tữỡng ựng l h m vetỡ vên tố v h m Ăp suĐt n tẳm, ν > 0 l hằ số nhợt, u 0 l vên tố ban u.
Trong hữỡng n y, húng ta s³ nghiản ựu vĐn ã ờn ành v ờn ành hõa ừa nghiằm dứng mÔnh ừa (3.1) º l m iãu n y, ta giÊ sỷh m g thọa mÂn giÊ thiát sau:
0 < m 0 ≤ g(x) ≤ M 0 vợi mồi x = (x 1 , x 2 ) ∈ O , v |∇ g | ∞ < m 0 η 1/2 1 , trong õ η 1 > 0 l giĂ trà riảng u tiản ừa toĂn tỷ g -Stokes trong O
(tự l toĂn tỷ A g ữủ ành nghắa trong Chữỡng 1, Mử 1.2.2).
Sỷ dửng Ă toĂn tỷ A g , B g , C g ữủ ành nghắa trong Chữỡng 1, Mử
1.2.2, ta õ thº viát b i toĂn (3.1) dữợi dÔng sau
Dữợi Ă iãu kiằn phũ hủp ừa ngoÔi lỹ f , húng tổi s³ nghiản ựu Ă vĐn ã sau ối vợi b i toĂn (3.1):
• Sỹ tỗn tÔi, tẵnh duy nhĐt v tẵnh ờn ành m ừa nghiằm dứng mÔnh.
• ấn ành hõa nghiằm dứng mÔnh bơng iãu khiºn phÊn hỗi õ giĂ bản trong miãn v bơng iãu khiºn phÊn hỗi hỳu hÔn hiãu.
• ấn ành hõa dĂng iằu tiằm ên ừa nghiằm bơng ngoÔi lỹ dao ởng nhanh theo bián thới gian.
Sỹ tỗn tÔi, tẵnh duy nhĐt v tẵnh ờn ành m ừa nghiằm dứng 46 3.3 Ên ành hâa nghiằm dứng bơng iãu khiºn ph£n hỗi â gi¡ bản
Trữợ tiản, ta ành nghắa nghiằm dứng mÔnh ừa b i toĂn (3.1). ành nghắa 3.1 GiÊsỷngoÔilỹf ∈ L 2 (Ω, g) ho trữợ Nghiằm dứng mÔnh ừa b i toĂn (3.1) l phn tỷ u ∗ ∈ D(A g ) thọa mÂn νA g u ∗ + νC g u ∗ + B g (u ∗ , u ∗ ) = f trong L 2 ( O , g).
Bài viết đề cập đến việc nghiên cứu các khía cạnh của toán học liên quan đến không gian L2 và các hàm số liên quan Cụ thể, nó trình bày một định lý về sự tồn tại của nghiệm trong không gian L2, với các điều kiện nhất định cho hàm số f thuộc L2(O, g) Định lý này nhấn mạnh rằng nếu f thuộc L2, thì tồn tại một nghiệm duy nhất cho bài toán (3.1), với các ràng buộc cụ thể về các tham số k và η Nội dung này cung cấp cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu sâu hơn về các hàm số trong không gian này.
Hỡn nỳa, náu iãu kiằn sau Ơy thọa mÂn ν 2 1 − |∇ g | ∞ m 0 η 1 1/2
> c 1 | f | g η 1 , (3.3) trong õ c 1 l hơng số trong Bờ ã 1.2, thẳ nghiằm dứng mÔnh ừa b i toĂn
(3.1) l duy nhĐt v ờn ành m to n ử.
Chựng minh (i) Sỹ tỗn tÔi Gồi { w j } ∞ j=1 l ỡ sð ừa D(A g ) gỗm Ă vetỡ riảng ừa toĂntỷ g -Stokes A g V ợi mội m ≥ 1 , kẵ hiằu V m = span { w 1 , , w m } v ta ành nghắa nghiằm dứng mÔnh xĐp x¿ u m ừa (3.1) bði u m = m
X j=1 γ mi w j , thọa mÂn ν((u m , v)) g + ν(C g u m , v) g + b g (u m , u m , v) = (f, v) g , ∀ v ∈ V g (3.4) º hựng minh sỹ tỗn tÔi ừa u m , ta ành nghắa toĂn tỷ R m : V m → V m xĂ ành bði
Vẳ vêy, náu ta lĐy β = | f | g η 1 1/2 ν(1 − m |∇g| ∞
0 η 1/2 1 ) , ta thu ữủ ((R m u, u)) g ≥ 0 vợi mồi u ∈ V m thọa mÂn || u || g = β Do õ, theo Bờ ã 1.8, vợi mội m ≥ 1 tỗn tÔi u m ∈ V m sao ho R m (u m ) = 0 , vợi k u m k g ≤ β
Sỷ dửng Bờ ã 1.3, ta õ ν k u m k 2 g ≤ 1 η 1 1/2 | f | g k u m k g + ν |∇ g | ∞ m 0 η 1/2 1 k u m k 2 g , vẳ vêy k u m k g ≤ 1 η 1/2 1 ν(1 − m |∇g| ∞
Khi õ, thay v = A g u m trong (3.4) v sỷ dửng Ă Bờ ã 1.2 v 1.3, ta thu ữủ ν | A g u m | 2 g =(f, A g u m ) g − ν(C g u m , A g u m ) g − b g (u m , u m , A g u m )
+ c 3 | u m | 1/2 g k u m k g | A g u m | 3/2 g p dửng Ă bĐt ¯ng thự Cauhy v Young, ta suy ra ν | A g u m | 2 g ≤ ǫ
Kát hủp vợi (3.5), ta õ ν(1 − |∇ g | ∞ m 0 η 1 1/2 − ε) | A g u m | 2 g ≤ C ( | f | g , ν, η 1 , |∇ g | ∞ ), trong õ ε > 0 ừ nhọ sao ho
Trong không gian D(A g), với dãy {u m} và điều kiện nhúng D(A g) ֒ → V g, ta có thể xác định một dãy con {u m′} ⊂ {u m} với các yếu tố trong D(A g) và các yếu tố trong V g đạt tỷ lệ u* ∈ D(A g) Chuyển đổi theo phương trình (3.4), ta thu được u* như là yếu tố chính trong bài toán (3.1).
Khi õ, tứ (3.5) ta suy ra (3.2) thọa mÂn, tự l k u ∗ k g ≤ 1 η 1/2 1 ν
(ii) Tẵnh duy nhĐt v ờn ành m GiÊ sỷ u( ã ) l nghiằm bĐt kẳ ừa b i to¡n (3.1) °t w(t) = u(t) − u ∗ , ta â d dt (w(t), v) g + ν((w(t), v)) g + ν(C g w(t), v) g
Thay v bði w(t) v hú ỵ rơng b g (u(t), u(t), w(t)) − b g (u ∗ , u ∗ , w(t)) = b g (w(t), u ∗ , w(t)), ta â d dt (w(t), w(t)) g + ν((w(t), w(t))) g + ν(C g w(t), w(t)) g + b g (w(t), u ∗ , w(t)) = 0.
0 η 1/2 1 ) i k w(t) k 2 g , ð Ơy ta  sỷ dửng Ănh giĂ (3.5) ho nghiằm dứng mÔnh u ∗
Náu iãu kiằn (3.3) thọa mÂn, thẳ ta õ thº hồn λ > 0 sao ho λ η 1 − 2ν + 2ν |∇ g | ∞ m 0 η 1 1/2 + 2c 1 | f | g η 1 ν(1 − m |∇g| ∞
Vẳ vêy, ta suy ra
| w(t) | 2 g ≤ e −λt | w(0) | 2 g , (3.6) v iãu n y hựng tọ sỹ ờn ành m ừa nghiằm dứng mÔnh u ∗
Giá trị sỹ v ∗ là nghiệm đứng của bài toán (3.1) Chúng ta có u(t) := v ∗ là nghiệm của bài toán (3.1) với điều kiện ban đầu u(0) = v ∗ Khi áp dụng đánh giá (3.6) với w = v ∗ − u ∗, ta suy ra rằng u ∗ = v ∗ Điều này dẫn đến tính duy nhất của nghiệm đứng của bài toán.
3.3 ấn ành hõa nghiằm dứng bơng iãu khiºn phÊn hỗi õ giĂ bản trong miãn
GiÊ sỷ u ∗ l mởt nghiằm dứng mÔnh ừa b i toĂn (3.1) Tứ kát quÊ ừa Mử
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá về việc áp dụng các phương pháp thống kê để phân tích dữ liệu, giúp nhận diện những xu hướng và mẫu hình quan trọng Việc sử dụng các công cụ phân tích sẽ hỗ trợ trong việc đưa ra quyết định chính xác và hiệu quả hơn trong các lĩnh vực khác nhau Đồng thời, việc hiểu rõ về dữ liệu cũng sẽ giúp nâng cao khả năng dự đoán và tối ưu hóa quy trình làm việc.
Chúng ta x²t hằ iãu khiºn g-Navier-Stokes hai hiãu sau:
(3.7) trongõ1 ω l h m ° trững ừa têp on ω ⊂ O vợi biản trỡn ∂ω , f ∈ L 2 ( O , g) v u 0 ∈ H g ho trữợ, h = h(x, t) l h m iãu khiºn.
Ta nõi rơng h m iãu khiºn h ∈ L ∞ (0, + ∞ ; H g ) ờn ành hõa m nghiằm dứng mÔnh u ∗ náu tỗn tÔi nghiằm yáu u ừa b i toĂn (3.7) v δ > 0 sao ho
Kẵ hiằu H gω l bao õng ừa V gω trong L 2 ( O , g) , v V gω l bao õng ừa V gω trong H 1
Gồi A gω l toĂn tỷ g -Stokes xĂ ành trản O ω T a kẵ hiằu η 1 ∗ (ω) l giĂ trà riảng u tiản ừa toĂn tỷ A gω : η 1 ∗ (ω) = inf
(A gω ϕ, ϕ) gω : | ϕ | 2 gω = 1 (3.8) Ơy ( ã , ã ) gω v | ã | gω ln lữủt l tẵh vổ hữợng v huân trong H gω
X²t iãu khiºn phÊn hỗi h = − k(u − u ∗ ), k ∈ R + , v hằ õng tữỡng ựng
Trữợ tiản, húng ta hựng minh bờ ã sau ho toĂn tỷ A g
Bờ ã 3.1 Vợi mội ε > 0 , tỗn tÔi k 0 = k 0 (ε) sao ho vợi mồi k ≥ k 0 ,
Chựng minh Vợi mội k ∈ R + , kẵ hiằu à k 1 l giĂ trà riảng u tiản ừa toĂn tỷ
A gk u = νA g u + kP g (1 ω u) vợi miãn xĂ ành D(A gk ) = D(A g ) T a õ à k 1 = inf ν k u k 2 g + k
Tứ (3.8) ta thĐy à k 1 ≤ νη 1 ∗ (ω), ∀ k ∈ N ∗ , (3.12) bði vẳ mồi h m u ∈ V gω õ thº ữủ mð rởng bơng 0 qua biản ∂ω th nh mởt h m thuở V g Hỡn nỳa, dÂy à k 1 l dÂy tông.
Kẵ hiằu ϕ k 1 ∈ D(A g ) l vetỡ riảng ừa ừa A gk ựng vợi à k 1 , tự l , νA g ϕ k 1 + kP g (1 ω ϕ k 1 ) = à k 1 ϕ k 1 (3.13)
Ta lĐy | ϕ k 1 | g = 1 Bði (3.12) v (3.13), ta ữủ ν ϕ k 1
Z ω | ϕ k 1 | 2 g gdx = à k 1 ≤ νη 1 ∗ (ω), v do õ vợi mởt dÂy on phũ hủp ta õ ϕ k 1 → ϕ 1 yáu trong V g v mÔnh trong H g , à k 1 → à ∗ , Z ω | ϕ k 1 | 2 g gdx → 0 khi k → ∞
Tứ (3.12), à ∗ ≤ νη ∗ 1 (ω) v η 1 ∗ (ω) l giĂ trà riảng u tiản ừa A gω , ta suy ra à ∗ = νη 1 ∗ (ω) Ta  hựng minh ữủ k→∞ lim à k 1 = νη 1 ∗ (ω).
Khi õ, do (3.11) ta nhên ữủ (3.10).
Bði Bờ ã 1.2, ta thĐy rơng
| b g (u, v, w) | ≤ γ g | u | g k v k D(A g ) | w | g , vợi mồi u ∈ V gω , v ∈ D(A g ), w ∈ V gω , trong õ γ g ở lêp vợi O ω T a °t γ g ∗ (u ∗ ) = sup {| b g (u, u, u ∗ ) | : | u | g = 1 } ≤ γ g k u ∗ k D(A g )
Kát quÊ hẵnh ừa mử n y ữủ trẳnh b y trong ành lẵ sau. ành lẵ 3.2 GiÊ sỷ u ∗ ∈ D(A g ) l nghiằm dứng mÔnh ừa (3.7) thọa mÂn ν 1 − |∇ g | ∞ m 0 η 1 1/2
Khiõ, vợi mộiu 0 ∈ H g v k ≥ k 0 ừ lợn những ở lêp vợi u 0 , tỗn tÔi nghiằm yáu u ∈ C ([0, + ∞ ); H g ) ∩ L 2 loc (0, + ∞ ; V g ) ừa (3.9) thọa mÂn
(3.15) trong õ P g l ph²p hiáu trỹ giao tứ L 2 ( O , g) lản H g , v B g 0 z xĂ ành bði h B g 0 z, w i g = b g (u ∗ , z, w) + b g (z, u ∗ , w), vợi mồi w ∈ V g
BƠy giớ ta hựng minh sỹ tỗn tÔi ừa nghiằm yáu z ừa b i toĂn (3.15) bơng Ăh sỷdửng phữỡng phĂp Galerkin.
GiÊsỷ{ w j } ∞ j=1 l ỡ sð ừa D(A g ) gỗm Ă vetỡ riảng ừa toĂn tỷ g -Stokes
A g u tiản, ta sỷ dửng xĐp x¿ Galerkin n hiãu z n = n
P j=1 z nj (t)w j Ph÷ìng trẳnh ho z n nhữ sau
Ta h¿ ra | z n | g bà h°n ãu theo n LĐy tẵh vổ hữợng ừa (3.16) vợi z n v hú ỵ rơng P n z n = z n v h B g (z n , z n ), z n i g = 0 , ta õ (z ′ n , z n ) g + ν(A g z n , z n ) g + k(P g (1 ω z n ), z n ) g + ν(C g z n , z n ) g + (B g 0 z n , z n ) g = 0, hay
LĐy tẵh phƠn hai vá tứ 0 án t v sỷ dửng (3.10), ta ữủ
Do (3.14), taõ thº hồn ε ừ nhọ sao ho số hÔng thự ba bản vá trĂi l dữỡng v iãu n y suy ra rơng { z n } bà h°n trong L ∞ (0, T ; H g ) ∩ L 2 (0, T ; V g )
Tẵnhbà h°n ãu n y hoph²p tasỷdửng ànhlẵ Alaogluº thu ữủdÂy on (ta văn kẵ hiằu l z n ) sao ho z n ⇀ ∗ z trong L ∞ (0, T ; H g ), z n ⇀ z trong L 2 (0, T ; V g ).
Tiáp theo, ta hựng minh tẵnh bà h°n ừa Ôo h m dz n dt Tứ dz n dt = − νA g z n − νP n C g z n − P n B g (z n , z n ) − P n B g 0 z n − kP n P g (1 ω z n ), sỷ dửng Ă Bờ ã 1.2 v 1.3, ta õ thº thĐy rơng { dz dt n } bà h°n trong
Do {z_n} hội tụ trong L^2(0, T; V_g) và {dz/dt_n} hội tụ trong L^2(0, T; V_g'), theo định lý Aubin-Lions, tồn tại một chuỗi hội tụ trong L^2(0, T; H_g) Do đó, áp dụng lý thuyết này trong bối cảnh phương trình Navier-Stokes, ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về tính hội tụ của các nghiệm.
Nhữ vêy, ta õ dz dt + νA g z + νC g z + B g (z, z) + B 0 g z + kP g (1 ω z) = 0 trong L 2 (0, T ; V g ′ ) (3.17)
Cuối ũng, º hựng minh z(0) = z 0 , ta hồn h m thỷ ϕ ∈ C 1 ([0, T ] ; V g ) vợi ϕ(T ) = 0 LĐy tẵh vổ hữợng ừa (3.17) vợi ϕ v tẵh phƠn tứng phn theo t số hÔng u tiản, ta õ
Thỹ hiằn tữỡng tỹ vợi dÂy nghiằmxĐp x¿ Galerkin, ta õ
(P g (1 ω z n (t)), ϕ(t)) g dt = (z n (0), ϕ(0)) g , v khi ho n → ∞ , ta ữủ
= (z 0 , ϕ(0)) g , do z n (0) = P n z 0 → z 0 Vẳ vêy , z(0) = z 0 , v iãu n y suy ra z l nghiằm yáu õa (3.15).
Tiáp theo, tứ (3.15) v sỷ dửng b g (z, z, z) = b g (u ∗ , z, z) = 0 , ta dăn án
Sỷ dửng Bờ ã 1.3, ta thu ữủ
Vẳ vêy, theo Bờ ã 3.1, vợi mội k ≥ k 0 (ε) , ta õ
0 η 1 1/2 η ∗ 1 (ω) − γ g ∗ (u ∗ ) − ε > 0 náu ε > 0 ữủ hồn ừ nhọ ành lẵ ữủ hựng minh.
Nhên x²t 3.1 Bði bĐt ¯ng thự Poinar², ta õ η 1 ∗ (ω) ≥ C sup x∈O ω dist(x, ∂ O )
Vẳ vêy η 1 ∗ (ω) õ thº lĐy lợn tũy ỵ bơng Ăh lĐy miãn hẳnh khuyản O ω = O \ ω ¯ ừ mọng Tứ ành lẵ 3.2, nghiằm dứng mÔnh bĐt kẳ u ∗ õ thº ờn ành m náu miãn O ω ừ mọng, tự l khi miãn iãu khiºn ω ừ lợn.
ấn ành hõa nghiằm dứng bơng iãu khiºn phÊn hỗi hỳu hÔn hiãu
GiÊ sỷ u ∗ l mởt nghiằm dứng mÔnh ừa b i toĂn (3.1) Bði ành lẵ 3.1, ta thĐy náu iãu kiằn (3.3) khổng thọa mÂn, tự l khi ν 2 1 − |∇ g | ∞ m 0 η 1 1/2
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm "thể khổng duy nhất" và vai trò của nó trong toán học Đặc biệt, chúng ta sẽ xem xét cách mà những yếu tố này ảnh hưởng đến việc xây dựng các mô hình toán học Bằng cách phân tích và tổng hợp các khái niệm, chúng ta sẽ hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các thành phần trong lý thuyết này.
Chúng ta x²t hằ iãu khiºn g-Navier-Stokes hai hiãu vợi toĂn tỷ nởi suy
Ta giÊ sỷ rơng iãu khiºn phÊn hỗi I h : V g → H g l toĂn tỷ nởi suy xĐp x¿ toĂn tỷ ỗng nhĐt vợi sai số Đp h , tự l , nõ thọa mÂn Ănh giĂ sau Ơy
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức sau: |ϕ − I_h(ϕ)|²_g ≤ M₀ m₀ c₂₀ h² kϕk²_g, ∀ ϕ ∈ V_g Điều này cho thấy rằng, với c₀ > 0 và điều kiện h²₀ ≥ γ₀, tồn tại một hằng số γ₀ sao cho kϕ − I_h(ϕ)k²_L²(O) ≤ γ₀ h² kϕk²_H¹(O) với mọi ϕ ∈ H¹(O) Hệ quả của bất đẳng thức này là khả năng áp dụng phương pháp Fourier trong việc phân tích các mô hình toán học liên quan.
Dạ thầy nghiằm dứng mÔnh u ∗ thu ữủ trong ành lẵ 3.1 ng l nghiằm ừa hằ (3.18) với iãu kiằn ban u u ∗ Chúng ta sẽ xem xét ành hõa nghiằm u ∗ Ảnh lẵ sau đây là kết quả hẵn ừa mử n y Ảnh lẵ 3.3 cho thấy giÊ sỷ f ∈ H g v u ∗ là nghiằm dứng mÔnh ừa (3.1) nhên ữủ trong ành lẵ 3.1 GiÊ sỷ rơng I thỏa mÂn (3.19), và h l Ă tham số dữỡng thọa mÂn.
Khi õ, vợi mội u 0 ∈ H g ho trữợ, tỗn tÔi duy nhĐt mởt nghiằm yáu u ừa hằ
(3.18) sao ho vợi mồi T > 0 , u ∈ C ([0, T ]; H g ) ∩ L 2 (0, T ; V g ), du dt ∈ L 2 (0, T ; V g ′ ), v
Chựng minh °t z = u − u ∗ v viát lÔi hằ (3.18) dữợi dÔng
(3.23) trong õ P g l ph²p hiáu trỹ giao tứ L 2 (Ω, g) lản H g , v B g 0 z xĂ ành bði h B g 0 z, w i g = b g (u ∗ , z, w) + b g (z, u ∗ , w), vợi mồi w ∈ V g
(i) Sỹ tỗn tÔi Chúng ta hựng minh sỹ tỗn tÔi ừa nghiằm yáu z ừa b i toĂn (3.23) bơng Ăh sỷ dửng phữỡng phĂp Galerkin.
GiÊsỷ{ w j } ∞ j=1 l ỡ sð ừa D(A g ) gỗm Ă vetỡ riảng ừa toĂn tỷ g -Stokes
A g Sỷ dửng xĐp x¿ Galerkin n hiãu z n = P n j=1 z nj (t)w j , phữỡng trẳnh ho z n nh÷ sau
Ta h¿ ra | z n | g bà h°n ãu theo n LĐy tẵh vổ hữợng ừa (3.24) vợi z n v hú ỵ rơng P n z n = z n v h B g (z n , z n ), z n i g = 0 , ta õ (z ′ n , z n ) g + ν h A g z n , z n i g + ν(C g z n , z n ) g + h B g 0 z n , z n i g + à(I h (z n ), z n ) g = 0 hay
Sỷ dửng (3.19) v bĐt ¯ng thự Cauhy, ta õ
Hỡn nỳa, bði bĐt ¯ng thự Cauhy, Ănh giĂ u tiản trong Bờ ã 1.2 v Bờ ã 1.3, ta õ
Tứ (3.25), kát hủp vợi (3.26) v (3.27), ta suy ra
Tẵh phƠn hai vá tứ 0 án t , ta ữủ
0 | z n (s) | 2 g ds ≤ | z(0) | 2 g , (3.29) ð Ơy ta sỷ dửng Ănh giĂ (3.2) ho nghiằm dứng u ∗
Bài viết phân tích các tính chất của dãy {z_n} trong không gian L∞(0, T; H_g) và L²(0, T; V_g) Dựa vào định lý Alaoglu, ta có thể khẳng định rằng dãy này hội tụ yếu, tức là z_n ⇀* z trong L∞(0, T; H_g) và z_n ⇀ z trong L²(0, T; V_g).
Tiáp theo, ta hựng minh tẵnh bà h°n ừa Ôo h m dz n dt
Chú ỵ rơng tứ (3.19) ta ng thu ữủ
Do dz n dt = − νA g z n − νP n C g z n − P n B g (z n , z n ) − P n B g 0 z n − àP n P g I h (z n ), sỷ dửng Ă Bờ ã 1.2 v 1.3, ta õ thº thĐy rơng { dz dt n } bà h°n trong
L 2 (0, T ; V g ′ ) Do õ, sỷ dửng lêp luên tữỡng tỹ nhữ trong hựng minh ành lẵ
3.1, ta õ thº trẵh ra mởt dÂy on ừa { z n } , văn kẵ hiằu l { z n } hởi tử mÔnh án z trong L 2 (0, T ; H g ) , thọa mÂn
Nhữ vêy, ta õ dz dt + νA g z + νC g z + B g (z, z) + B g 0 z + àP g I h (z) = 0 trong L 2 (0, T ; V g ′ ) (3.30)
Cuối ũng, sỷ dửng lêp luên tữỡng tỹ nhữ trong hựng minh ành lẵ 3.1, ta thu ữủ z(0) = z 0 , v iãu n y suy ra z l nghiằm yáu ừa (3.23).
(ii) Sỹ ờn ành hõa BƠy giớ ta hựng minh tẵnh ờn ành m ừa u ∗ Sỷ dửng (3.23) v b g (z, z, z) = b g (u ∗ , z, z ) = 0 , ta õ
Vẳ vêy, tữỡng tỹ nhữ Ă Ănh giĂ (3.26)-(3.28), tứ (3.31) ta thu ữủ d dt | z | 2 g + ν − M 0 m 0 àc 2 0 h 2 k z k 2 g + à − 2ν |∇ g | 2 ∞ m 2 0 − 2 c 2 1 k u ∗ k 2 g ν
Sỷ dửng giÊ thiát (3.21) v Ănh giĂ (3.2), ta õ d dt | z | 2 g +
Do õ, bĐt ¯ng thự (3.22) úng ành lẵ ữủ hựng minh.
ấn ành hõa bơng ngoÔi lỹ dao ởng nhanh theo bián thới gian 64 Ch÷ìng 4 TNH ÊN ÀNH NGHIM CÕA H g -NA VIER-STOKES NGU NHIN HAI CHIU VẻI TR HÚU HN
Trong mử n y, húng ta x²t hằ sau Ơy
Ta ữa ra giÊ thiát sau Ơy vã ngoÔi lỹ.
Đối với mọi hàm số dữ liệu ω 0 > 0, ta xác định hàm lũy thừa F (x, ω 0 t) theo biến thời gian với khoảng T Tồn tại một hàm h(x, ω 0 t) lũy thừa theo biến thời gian với khoảng T, sao cho
Ta ng giÊ sỷ rơng
F ∈ L ∞ (0, T per ; D(A g )) v k F k L ∞ (0,T per ;D(A g )) vợi ên tr ản ở lêp vợi ω 0
Hỡn nỳa, tagiÊ sỷrơng h ∈ L ∞ (0, T per ; D(A g )) v tỗn tÔi hơng số dữỡng
L h ở lêp vợi ω 0 sao ho k h k 2 L ∞ (0,T per ;D(A g )) ≤ L h k F k 2 L ∞ (0,T per ;D(A g )) (3.34)
Chúng ta ữa ra vẵ dử vã h m ngoÔi lỹ F Cho
F (x, ω 0 t) = f (x) sin ω 0 t, trong õ f ∈ D(A g ) v ω 0 l hơng số dữỡng Khi õ h(x, ω 0 t) õ dÔng h(x, ω 0 t) = f (x) cos ω 0 t.
Dạ thĐy rơng h ∈ L ∞ (0, T per ; D(A g )) v h thọa mÂn (3.34), trong õ T per = 2π/ω 0
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm F được định nghĩa dưới dạng F (x, ω₀t) = f (x)ϕ(ω₀t), với f thuộc D(Ag) và ϕ(t) là hàm giá trị thực Khi đó, F thỏa mãn điều kiện (F1) với T_per = T/ω₀ Chúng ta cũng nhận thấy rằng tồn tại ω₀' > 0 để thỏa mãn các điều kiện liên quan đến các hằng số c₁, c₃, η₁, L và F trong không gian L∞(0, T_per; D(Ag)) khi ω₀ ≥ ω₀'.
(3.32) õ nghiằm u per tun ho n vợi hu kẳ T per thọa mÂn k u per (t) k g ≤ νη 1/2 1
! , vợi mồi t ∈ [0, T per ], (3.35) trong õ c 1 , c 3 l Ă hơng số tr ong Bờ ã 1.2.
Chựng minh Tứ giÊ thiát (F1) ta õ F ∈ L 2 (0, T per ; H g ) Do õ, vợi mội iãu kiằn ban u u 0 ∈ V g ho trữợ, tỗn tÔi nghiằm mÔnh duy nhĐt u ∈ C([0, T per ]; V g ) ừa hằ (3.32) thọa mÂn u(0) = u 0 (xem [3℄).
BƠy giớhúng ta hựng minhhằ (3.32) õ ẵtnhĐtnghiằmtun ho nu per ∈
L ∞ (0, T per ; V g ) vợi hu kẳ T per thọa mÂn (3.35) °t u = y − 1 ω 0 h(x, ω 0 t), (3.36) v viát lÔi hằ (3.32) dữợi dÔng sau
Sỷ dửng (3.33), ta thu ữủ
− 1 ω 0 2 B g (h, h) + 1 ω 0 B g 0 h, (3.37) trong â B g 0 h x¡ ành bði h B g 0 h, v i g = b g (y, h, v) + b g (h, y, v), vợi mồi v ∈ V g
LĐy tẵh vổ hữợng ừa (3.37) vợi y v hú ỵ rơng h B g (y, y), y i g = 0 , ta õ
Sỷ dửng Bờ ã 1.3 v Ă bĐt ¯ng thự Poinar² (1.1), (1.2) ta ữủ ν(C g y, y) g ≤ ν | C g y | g | y | g ≤ ν |∇ g | ∞ m 0 k y k g | y | g ≤ ν |∇ g | ∞ m 0 η 1/2 1 k y k 2 g , (3.39) v ν ω 0 (C g h, y) g ≤ ν |∇ g | ∞ ω 0 m 0 k h k g | y | g
Bði Bờ ã 1.2 v Ă bĐt ¯ng thự Poinar² (1.1), (1.2), ta õ
Bði bĐt ¯ng thự Cauhy, ta ữủ ν ω 0 η 1/2 1 k h k L ∞ (0,T per ;D(A g )) k y k g ≤ νk 0
L h νk 0 η 1 k F k L ∞ (0,T per ;D(A g )) , (3.49) khi â (3.45) trð th nh c 1 ω 0 η 1 k h k L ∞ (0,T per ;D(A g )) k y k 2 g ≤ νk 0
Tứ (3.44), (3.46)-(3.48) v (3.50), ta suy ra d dt | y | 2 g + νk 0 k y k 2 g ≤ 4ν ω 2 0 k 0 η 1 k h k 2 L ∞ (0,T per ;D(A g ))
+ 4c 2 1 ω 0 4 νk 0 η 1 3 k h k 4 L ∞ (0,T per ;D(A g )) (3.51) p dửng (3.34), tứ (3.51) ta õ d dt | y | 2 g + νk 0 k y k 2 g ≤ N 0 , (3.52) trong â
Do õ, sỷ dửng bĐt ¯ng thự Poinar² (1.1), ta ữủ d dt | y | 2 g + νk 0 η 1 | y | 2 g ≤ N 0
Bði b§t ¯ng thù Gronwall, ta â
Ta s³ hựng minh rơng vợi bĐt kẳ y(0) thọa mÂn | y(0) | g ≤ R , ta ng õ | y(T per ) | g ≤ R Thêt vêy, vợi ω 0 thọa mÂn
Tứ ành nghắa ừa N 0 trong (3.53), ta õ thº tẳm ữủ ω 1 > 0 ừ lợn sao ho
Vẳ vêy, kát hủp vợi (3.55), ta nhên ữủ
Trong không gian Hilbert, tập hợp Vẳ hẳnh u {| ã | g ≤ R } ⊂ H g là một tập hợp đóng Do đó, sử dụng định lý Tychonoff, ta có thể suy ra rằng ánh xạ y(0) 7→ y(T per) là một ánh xạ liên tục Khi ánh xạ này được xác định bởi (3.37) với điều kiện rằng u y ∗ là một hàm liên tục, nó sẽ thỏa mãn các điều kiện cần thiết để tồn tại một nghiệm trong khoảng thời gian T per.
Khi õ, bði (3.54) v (3.56), ta thu ữủ
| y per (t) | 2 g ≤ e −νk 0 η 1 t R 2 + 1 − e −νk 0 η 1 t N 0 νk 0 η 1 ≤ R 2 , ∀ t ∈ [0, T per ], (3.58) vợi ω 0 ừ lợn thọa mÂn (3.57).
Bản Ônh õ, tẵh phƠn (3.52) trản [0, T per ] theo bián thới gian v x²t tẵnh tun ho n theo bián thới gian ừa y per , ta ữủ
Do õ, tỗn tÔi t ∗ ∈ [0, T per ) sao ho k y per (t ∗ ) k 2 g ≤ N 0 νk 0 (3.59)
BƠy giớ lĐy tẵh phƠn (3.52) trản [t ∗ , T per ] ta nhên ữủ
Z T per t ∗ k y per (t) k 2 g dt ≤ N 0 T per , ∀ t ∈ [t ∗ , T per ].
Z T per t ∗ k y per (t) k 2 g dt ≤ N 0 T per + R 2 νk 0 , t ∈ [t ∗ , T per ] (3.60)
Tẵh phƠn tứ 0 án t trong (3.52) ta ữủ
LĐy tẵh vổ hữợng ừa (3.37) vợi A g y per , ta õ
1 2 d dt k y per k 2 g + ν | Ay per | 2 g = − ν(C g y per , A g y per ) g + ν ω 0 (C g h, A g y per ) g
Sỷ dửng Bờ ã 1.3 v bĐt ¯ng thự Poinar² (1.2), ta thu ữủ
Bði Bờ ã 1.2 v Ă bĐt ¯ng thự Poinar² (1.1), (1.2), ta thu ữủ
− b g (y per , y per , A g y per ) ≤ c 3 | y per | 1/2 g k y per k g | A g y per | 3/2 g , (3.65)
1 2 d dt k y per k 2 g + νk 0 | A g y per | 2 g ≤ ν |∇ g | ∞ ω 0 m 0 η 1 1/2 k h k L ∞ (0,T per ;D(A g )) | A g y per | g
Sỷ dửng bĐt ¯ng thự Cauhy, ta ữủ ν |∇ g | ∞ ω 0 m 0 η 1 1/2 k h k L ∞ (0,T per ;D(A g )) | A g y per | g
8 | A g y per | 2 g + 2ν ω 2 0 k 0 k h k 2 L ∞ (0,T per ;D(A g )) (3.73) p dửng bĐt ¯ng thự Young, ta õ c 3 | y per | 1/2 g k y per k g | A g y per | 3/2 g ≤ νk 0
8 | A g y per | 2 g + 54c 4 3 ν 3 k 3 0 | y per | 2 g k y per k 4 g , (3.74) c 2 ω 0 η 3/4 1 k h k L ∞ (0,T per ;D(A g )) k y per k 1/2 g | A g y per | 3/2 g
8 | A g y per | 2 g + 54c 4 2 ω 0 4 ν 3 k 0 3 η 1 3 k h k 4 L ∞ (0,T per ;D(A g )) k y per k 2 g , (3.75) c 3 ω 0 η 1 1/2 | y per | 1/2 g k h k L ∞ (0,T per ;D(A g )) | A g y per | 3/2 g
Thay thá Ă Ănh giĂ tứ (3.71) án (3.76) v o (3.70), ta ữủ
+ 108c 4 2 ω 4 0 ν 3 k 3 0 η 3 1 k h k 4 L ∞ (0,T per ;D(A g )) k y per k 2 g + 108c 4 3 R 2 ν 3 k 3 0 k y per k 4 g Ơy ta sỷ dửng (3.58) V do õ d dt k y per k 2 g + 1
+ 108c 4 2 L 2 h k F k 4 L ∞ (0,T per ;D(A g )) ω 0 4 ν 3 k 0 3 η 1 3 k y per k 2 g + 108c 4 3 ν 3 k 3 0 R 2 k y per k 4 g do (3.34) Bọ qua số hÔng
2 νk 0 | A g y per | 2 g , ta thĐy rơng d dt k y per k 2 g ≤ N 1 +
Do õ, tứ (3.77), sỷdửng bĐt ¯ng thự Gronwall, ta õ vợi mồi t ∈ [t ∗ , T per ] , k y per (T per ) k 2 g ≤ k y per (t ∗ ) k 2 g exp Z T per t ∗
Vẳ vêy, tứ (3.59), (3.60) khi ω 0 thọa mÂn (3.57), ta õ k y per (T per ) k 2 g ≤ N 3 , trong â
Do õ, tứ y per (T per ) = y per (0) , ta õ k y per (0) k 2 g ≤ N 3 p dửng bĐt ¯ng thự Gronwall ho (3.77), ta õ vợi mồi t ∈ [0, T per ] , k y per (t) k 2 g ≤ k y per (0) k 2 g exp Z t
(3.78) vợi ω 0 thọa mÂn (3.57) Ơy ta sỷ dửng Ănh giĂ (3.61).
Theo ành nghắa ừa N 0 , N 1 , N 2 , N 3 v T per , ta õ thº lĐy ω 0 ≥ ω 2 > 0 ừ lợn sao ho
Do õ, tứ (3.78) ta suy ra k y per (t) k 2 g ≤ R 2 , ∀ t ∈ [0, T per ], (3.79) vợi ω 0 ≥ max
Tứ (3.36) thẳ u per = y per − 1 ω 0 h(x, ω 0 t) l nghiằm tun ho n hu kẳ T per ừa (3.32) Sỷ dửng bĐt ¯ng thự (a + b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) v (3.79), ta thu ữủ k u per (t) k 2 g ≤ 2 k y per (t) k 2 g + 1 ω 0 2 k h k 2 g
BƠy giớ, náu ω 0 thọa mÂn ω 0 ≥
Rη 1 1/2 k F k L ∞ (0,T per ;D(A g )) thẳ bði (3.80) ta thu ữủ k u per (t) k 2 g ≤ 3R 2 =
) iãu n y suy ra (3.35) ành lẵ ữủ hựng minh.
Nhên x²t 3.2 Khi hựng minh sỹ tỗn tÔi ừa nghiằm tun ho n theo bián thới gian y per thọa mÂn (3.35), ta n Ănh giĂ số hÔng b g (h, h, A g y per ) trong
(3.66)v sèh¤ng(A g h, A g y per ) g trong (3.69) Khi â, ph¡t sinh sè h¤ng | A g h | g , v vẳ vêy ta n giÊ thiát F ∈ L ∞ (0, T per ; D(A g )) do mối tữỡng quan (3.34) giúa h v F
Bối cảnh hiện nay đang diễn ra những biến đổi mạnh mẽ theo thời gian Đặc biệt, trong lĩnh vực giáo dục, việc áp dụng các phương pháp giảng dạy mới là cần thiết Các chuyên gia giáo dục (F1) cần phải nghiên cứu và phát triển các chương trình học phù hợp với nhu cầu của học sinh Khi áp dụng những phương pháp này, cần đảm bảo rằng các điều kiện ban đầu được thỏa mãn để đạt được hiệu quả tối ưu trong việc giảng dạy.
> 0 v u per l nghiằm tun ho n theo bián thới gian nhên ữủ trong ành lẵ 3.4 Nõi riảng, nghiằm tun ho n u per ừa hằ (3.32) phÊi l duy nhĐt.
z ′ + νA g z + νC g z + B g (z, z) + B g 0 z = 0, z(0) = u 0 − u per (0), trong â B g 0 z x¡ ành bði h B g 0 z, v i g = b g (z, u per , v) + b g (u per , z, v), vợi mồi v ∈ V g
NhƠn phữỡng trẳnh u tiản vợi z v sỷ dửng b g (z, z, z) = b g (u per , z, z) = 0 , ta â
Sỷ dửng Ă Bờ ã 1.2, 1.3 v bĐt ¯ng thự Poinar² (1.1), ta suy ra
Sỷdửng ĂnhgiĂ (3.35)vợi nghiằmtunho n u per v bĐt ¯ng thự Poinar²
> 0. ành lẵ ữủ hựng minh.
Trong hữỡng n y, húng tổi nghiản ựu b i toĂn ờn ành hõa hằ g -Navier-
Stokes hai hiãu trong miãn bà h°n CĂ kát quÊ Ôt ữủ bao gỗm:
1) Thiát lêpữủiãu kiằn ừhosỹtỗn tÔi,tẵnhduynhĐtv tẵnhờnành m ừa nghiằm dứng mÔnh(ành lẵ 3.1).
2) Chựng minh ữủ iãu kiằn ờn ành hõa nghiằm dứng mÔnh bơng iãu khiºn phÊn hỗi õ giĂ bản trong miãn (ành lẵ 3.2) v bơng iãu khiºn phÊn hỗi hỳu hÔn hiãu (ành lẵ 3.3).
3) Chựng minh ữủ sỹ tỗn tÔi ừa nghiằm tun ho n theo bián thới gian
(ành lẵ 3.4) v iãu kiằn ờn ành hõa dĂng iằu tiằm ên ừa nghiằm bơng ngoÔi lỹ dao ởng nhanh theo bián thới gian (ành lẵ 3.5).
TNH ÊN ÀNH NGHIM CÕA H g -NAVIER-STOKES NGU NHIN HAI CHIU VẻI TR HÚU HN
Trong nghiên cứu này, chúng tôi xác định phương trình Navier-Stokes ngẫu nhiên hai chiều với điều kiện biên không đồng nhất Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm yếu cho phương trình này bằng cách sử dụng phương pháp compact, và khi số nhỏ từ lơn, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu duy nhất Sau đó, chúng tôi nghiên cứu tính chất của nghiệm yếu và tính toán theo bảng phương trình trung bình và tính toán theo phương trình Navier-Stokes ngẫu nhiên hai chiều với điều kiện biên không đồng nhất.
Nởi dung ừa hữỡng n y dỹa trản b i bĂo 2 trong Danh mử ổng trẳnh khoa hồ ừa tĂ giÊ liản quan án luên Ăn.
Cho O l miãn bà h°n trong R 2 vợi biản trỡn ∂ O Chúng ta x²t hằ g -Navier-
Stokes hai hiãu ngău nhiản vợi trạ hỳu hÔn sau:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mô hình động lực học của hệ thống, trong đó u(x, t) biểu thị cho các yếu tố u1 và u2, p là áp suất tại vị trí x và thời gian t Tham số ν > 0 đại diện cho độ nhớt, u0 là yếu tố ban đầu, và f(x) là hàm bên ngoài không phụ thuộc vào thời gian Ngoài ra, F(ã) là hàm liên quan đến lực tác động, trong khi G(u(t − ρ(t)))dW(t) là phần nhiễu ngẫu nhiên trong mô hình, với W(t) là quá trình ngẫu nhiên.
Wiener vổ hÔn hiãu, h m ρ : [0, + ∞ ) → [0, τ ] l bà h°n v o ữủ, ϕ l vên tè ban u khi thíi gian t ∈ [ − τ, 0] , trong â τ l sè d÷ìng è ành C¡ gi£ thiátử thº hoĂh m f, F, G s³ ữủ ữa ra trong Mử 4.2 v Mử 4.3 dữợi ¥y.
Sỷ dửng Ă toĂn tỷ ành nghắa trong Mử 1.2.2, hằ g-Navier-Stokes hai hiãu ngău nhiản (4.1) õ thº viát dữợi dÔng sau
(4.2) ð Ơy ta kẵhiằu L 2 (Ω, C([ − τ, 0]; H g )) l khổng gian tĐt Ê Ă quĂ trẳnh ngău nhiản oữủ, bẳnh phữỡng khÊ tờng v nhên giĂ trà trong C([ − τ, 0]; H g ) vợi hu©n k ϕ k 2 0 = E sup θ∈[−τ,0] | ϕ(θ) | 2 g
Hằ tĐt ành tữỡng ựng ừa (4.2) nhữ sau:
Ta ành nghắa nghiằm yáu ừa hằ (4.2). ành nghắa 4.1 Mởt quĂ trẳnh ngău nhiản u(t), t ≥ − τ , gồi l nghiằm yáu ừa hằ (4.2) náu
(ii) u ∈ L ∞ ( − τ, T ; H g ) ∩ L 2 ( − τ, T ; V g ) hu hư hưn vợi mồi T > 0;
(iii) phữỡngtrẳnhsau thọamÂnnhữ mởtỗngnhĐtthựhu hưhưntrong
Tiáp theo, ta thiát lêp mởt ổng thự Ito phũ hủp ho b i toĂn.
Kẵ hiằu C (1,2) ([0, ∞ ) ì H g , R + ) l khổng gian gỗm tĐt Ê Ă h m Ψ :
(1) Ψ(t, u) khÊ vi theo t ∈ [0, ∞ ) v khÊ vi F r²het Đp hai theo u vợi Ψ t (t, ã ), Ψ u (t, ã ) v Ψ uu (t, ã ) bà h°n àa phữỡng trản H g ;
(3) TĐt Ê Ă lợp toĂn tỷ vát Z, tr(Ψ uu (t, ã )Z ) liản tử tứ H g v o R;
(4) náu v ∈ V g thẳ Ψ u (t, v) ∈ V g , v x 7→ h Ψ u (t, x), v ∗ i g liản tử vợi mội v ∗ ∈ V g ′ ;
Bờ ã 4.1 (Cổng thự Ito) ([31℄) GiÊ sỷ Ψ ∈ C (1,2) ([0, ∞ ) ì H g , R + ) Náu quĂ trẳnh ngău nhiản u(t) l nghiằm yáu ừa (4.2), thẳ Ψ(t, u(t)) = Ψ(0, u(0)) +
2 tr(Ψ uu (s, u(s))G(u(s − ρ(s)))QG(u(s − ρ(s))) ∗ ) + Ψ t (s, u(s)). Ơy Ψ u v Ψ uu l Ôo h m F r²het, Ψ t l Ôo h m riảng theo bián thới gian, v ∗ l kẵ hiằu ừa toĂn tỷ liản hủp.
Trong hữỡng n y, húng ta s³ nghiản ựu nhỳng vĐn ã sau:
• Sỹ tỗn tÔi v tẵnh duy nhĐt ừa nghiằm dứng yáu ừa hằ tĐt ành.
• Tẵnh ờn ành m theo bẳnh phữỡng trung bẳnh v tẵnh ờn ành m hu hư hưn ừa nghiằm yáu ừa hằ ngău nhiản õ trạ.
Sỹ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm dứng ừa hằ tĐt ành
Trong mử n y, húng ta nghiản ựu hằ (4.3), õl hằ tĐtành tữỡngựng ừa hằ ngău nhiản (4.2) º l m iãu n y, húng ta ữa ra giÊ thiát sau:
(F2) H m F : H g → H g liản tử Lipshitz vợi hơng số Lipshitz L F , tự l ,
Taura mởtvẵdửvãĂnh xÔ F thọa mÂn giÊ thiát (F2) GiÊ sỷ F: R² → R² là một hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz LF, hàm này được định nghĩa là F(x₁, x₂) = (sin x₁, cos x₂) Khi áp dụng ảnh xÔ Nemytski, ta có thể nhận thấy rằng F: Hg → Hg có ý nghĩa bền vững.
(F (u))(x) = F (u(x)), u ∈ H g , s³ thọa mÂn giÊ thiát ( F2 ) vợi ũng hơng số Lipshitz L F
Trữợ tiản, húng ta ành nghắa nghiằm dứng yáu ừa b i toĂn (4.3). ành nghắa 4.2 GiÊ sỷ ngoÔi lỹ f ∈ V g ′ ho trữợ Nghiằm dứng yáu ừa b i to¡n (4.3) l phn tû u ∗ ∈ V g sao ho νA g u ∗ + νC g u ∗ + B g (u ∗ , u ∗ ) = f + F (u ∗ ) trong V g ′ (4.4)
Ta hựng minh kát quÊ sau Ơy. ành lẵ 4.1 Cho f tr ong V g ′ GiÊ sỷ Ă giÊ thiát (G1) v (F2) thọa mÂn.
> L F η 1 , (4.5) thẳ tỗn tÔi mởt nghiằm dứng yáu u ∗ ∈ V g ừa (4.3) thọa mÂn
(ii) hỡn nỳa, náu iãu kiằn sau Ơy thọa mÂn
> c 1 η 1/2 1 k f k ∗ , (4.7) trong õ c 1 l hơng số tr ong Bờ ã 1.2, thẳ nghiằm dứng yáu ừa (4.3) l duy nh§t.
Chựng minh (i) Sỹ tỗn tÔi G¿a sỷ { w j } ∞ j=1 l ỡ sð ừa V g gỗm Ă vetỡ riảng ừa toĂn tỷ A g V ợi mội m ≥ 1 , kẵ hiằu V m = span { w 1 , , w m } v ta ành nghắa nghiằm dứng yáu xĐp x¿ u m ừa (4.3) bði u m = m
= h f, v i g + (F (u m ), v) g , ∀ v ∈ V g (4.8) º hựng minh sỹ tỗn tÔi ừa u m , ta ành nghắa toĂn tỷ R m : V m → V m xĂ ành bði
− L F η 1 , s³ thu ữủ ((R m u, u)) g ≥ 0 vợi mồi u ∈ V m thọa mÂn k u k g = β Do õ, theo Bờ ã 1.8, vợi mội m ≥ 1 tỗn tÔi u m ∈ V m sao ho R m (u m ) = 0 , vợi k u m k g ≤ β
Thay v = u m trong (4.8), ta â ν((u m , u m )) g + ν(C g u m , u m ) g = h f, u m i g + (F (u m ), u m ) g p dửng Bờ ã 1.3 ta õ ν k u m k 2 g ≤ k f k ∗ k u m k g + ν |∇ g | ∞ m 0 η 1 1/2 k u m k 2 g + L F η 1 k u m k 2 g , vẳ vêy
Trong bài viết này, chúng ta nghiên cứu sự tương tác giữa các không gian V g và H g thông qua việc xác định một dãy con { u m ′ } ⊂ { u m } với các yếu tố quan trọng Sử dụng định lý (4.5), chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố này và tỷ lệ u ∗ ∈ V g Chuyển đổi sang không gian H g theo phương pháp (4.8) cho phép chúng ta thu được các yếu tố cần thiết cho bài toán (4.3) Cuối cùng, việc áp dụng công thức (4.6) giúp chúng ta xác định giá trị của u ∗ ngay từ (4.9).
(ii) Tẵnh duy nhĐt GiÊ sỷ u ∗ , v ∗ l hai nghiằm dứng yáu ừa b i toĂn
# 2 k u ∗ − v ∗ k 2 g ≤ c 1 η 1 −1/2 k f k ∗ k u ∗ − v ∗ k 2 g , ð Ơy ta sỷ dửng Ănh giĂ (4.6) ừa v ∗ Do iãu kiằn (4.7), ta suy ra tẵnh duy nhĐt ừa nghiằm dứng yáu.
Tẵnh ờn ành m ừa hằ ngău nhiản
Trong mử n y húng ta s³ nghiản ựu tẵnh ờn ành ừa nghiằm yáu ừa hằ g-Navier-Stokes ngău nhiản hai hiãu vợi trạ hỳu hÔn (4.2).
(G2) H m G : H g → L(K, H g ) liản tử Lipshitz, tự l , k G(u) − G(v) k L 0 2 ≤ L G | u − v | g , ∀ u, v ∈ H g , v thọa mÂn G(u ∗ ) = 0 , trong õ u ∗ l nghiằm dứng yáu nhên ữủ trong ành lẵ 4.1.
Nhên thấy rằng răng nghiằm dứng yáu u ∗ ừa phữỡng trẳnh tĐt ành (4.3) ng l mởt nghiằmừa phữỡng trẳnh ngău nhiản (4.2) với iãu kiằn ban u u ∗ do giÊ thiát G(u ∗ ) = 0 Trong mử n y, húng ta s³ nghiản ựu tẵnh ờn ành m ừa nghiằmu ∗.
Theo Ă iãu kiằn (G1), (F2) v (G2), bơng Ăh sỷ dửng phữỡng phĂp
Phương pháp Galerkin là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình Navier-Stokes Bằng cách áp dụng phương pháp này, chúng ta có thể đạt được những kết quả chính xác và đáng tin cậy trong việc phân tích các tính chất của hệ thống Việc hiểu rõ về phương pháp Galerkin sẽ giúp nâng cao khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp trong lĩnh vực toán học ứng dụng.
Trữợ tiản ta ữa ra iãu kiằn ờn ành theo bẳnh phữỡng trung bẳnh ừa nghiằm dứng yáu u ∗ ành lẵ 4.2 GiÊ sỷ f ∈ V g ′ v u ∗ l nghiằm dứng yáu ừa (4.3) sao ho
Công thức (4.10) thể hiện mối quan hệ giữa các biến số η, k, L, F và G trong hệ thống Để đảm bảo sự thỏa mãn của các điều kiện (G1), (F2) và (G2), cần thiết phải xác định giá trị k(t) theo phương trình (4.2) và các yếu tố liên quan Đồng thời, hai tham số α0 và C0 phải được xác định sao cho chúng lớn hơn 0 để đạt được tính ổn định trong mô hình.
Chựng minh Do (4.10), ta õ thº hồn số dữỡng λ thọa mÂn λ − η 1
> 0. p dửng ổng thự Ito vợi h m | u(t) − u ∗ | 2 g , ta õ
(u(s) − u ∗ , (G(u(s − ρ(s)))dW (s)) g p dửng ổng thự Ito ối vợi e λt | u(t) − u ∗ | 2 g , ta thu ữủ e λt | u(t) − u ∗ | 2 g = | u(0) − u ∗ | 2 g + λ
Do õ, sỷ dửng tẵnh hĐt h B g (u(s)) − B g (u ∗ )), u(s) − u ∗ i g = b g (u(s) − u ∗ , u ∗ , u(s) − u ∗ ), ta thu ữủ e λt | u(t) − u ∗ | 2 g
0 e λs (u(s) − u ∗ , G(u(s − ρ(s)))dW (s)) g l mởt martingale (xem [57℄), ta â
Kát hủp (4.11) v (4.12), ta suy ra e λt E | u(t) − u ∗ | 2 g = E | u(0) − u ∗ | 2 g + λ
Do Bờ ã 1.3, ta thu ữủ
Z t 0 e λs E | u((s − ρ(s)) − u ∗ | 2 g ds, (4.16) ð Ơy húng ta sỷ dửng bĐt ¯ng thự Cauhy Bði giÊ thiát (G2),
− 2c 1 η 1 1/2 k u ∗ k g − 2L F + L 2 G η 1 > 0, kát hủp vợi Bờ ã 1.6, ta õ
E | u(θ) − u ∗ | 2 g o > 0 Ảnh hưởng của điều này được thể hiện qua hình 4.3 Giả sử rằng điều kiện (4.2) được thỏa mãn, khi đó, chúng ta cần xác định u(t) theo phương trình (4.2) và tìm giới hạn khi t tiến tới vô cùng, với một số thỏa mãn γ > 0.
Chựng minh GiÊsỷn ≥ 1 l mởt số tỹ nhiản Bði ổng thự Ito, v vợi t ≥ nτ , ta â
Hỡn nỳa, theo Bờ ã 1.5 (Bờ ã Burkholder-Davis-Gundy), ta õ
E k G(u(s − ρ(s))) k 2 L 0 2 ds, (4.22) trong õ n 1 , n 2 l Ă hơng số dữỡng.
Do õ, tứ (4.10) v (4.21)-(4.23) ta suy ra
Vẳ vêy, ta thu ữủ
> 0 v α 0 ữủ ho trong ành lẵ 4.2. p dửng bĐt ¯ng thự Chebyhev, ta õ
≤ M ′ e − ǫnt 2 0 , trong õ M ′ l mởt hơng số dữỡng (ở lêp vợi n, t, t 0 ) v ǫ ∈ (0, α 0 ) Tứ Bờ ã 1.4, tỗn tÔi số nguyản dữỡng n 0 = n 0 (ω) thọa mÂn sup nt 0 ≤t≤(n+1)t 0
2 , h ành lẵ ữủ hựng minh.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các kết quả quan trọng liên quan đến không gian hợp toán tỷ F và các biến Lipshitz từ H đến V g' Mặc dù có những hiểu biết về không gian hợp tường quát hơn F: V g → V g', việc xác định tính chất của phương pháp này vẫn cần được làm rõ Các nghiên cứu trước đây đã áp dụng các kỹ thuật như Gronwall và phương pháp hàm trạng theo thời gian ρ(ã) để chứng minh các kết quả, nhưng vẫn còn nhiều điều cần làm rõ, đặc biệt là trong trường hợp các biến liên tục như giá trị thiết thống.
Khi G ≡ 0 , húng ta õ ữủ iãu kiằn ờn ành ừa hằ tĐt ành tữỡng ựng
Khi Ê G ≡ 0 và F ≡ 0, chúng ta thu được điều kiện tồn tại cho phương trình Navier-Stokes hai chiều Khi g = const > 0, chúng ta nhận được kết quả cho sự tồn tại và tính duy nhất của phương trình Navier-Stokes hai chiều trong trường hợp ngẫu nhiên.
Trong hữỡng n y, húng tổi nghiản ựu hằ g-Navier-Stokes ngău nhiản hai hiãu vợi trạ hỳu hÔn CĂ kát quÊ Ôt ữủ bao gỗm:
1) Chựng minh ữủ sỹtỗn tÔiv tẵnh duy nhĐt ừa nghiằm dứng yáu ừa hằ tĐt ành (ành lẵ 4.1).
2) Chựng minh ữủ tẵnh ờn ành m theo bẳnh phữỡng trung bẳnh (ành lẵ 4.2) v tẵnh ờn ành m hu hư hưn ừa nghiằm yáu ừa hằ ngău nhiản õ trạ (ành lẵ 4.3).
KT QU T ìẹC
Trong luên Ăn n y húng tổi nghiản ựu tẵnh ờn ành v ờn ành hõa ối vợi mỡtsộ phứớngtrỊnh tiÌn hóa trong ớ hổhưt lồng Luàn ânđôt ứũâ kát quÊ sau:
Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt mô tả chuyển động của chất lỏng trong miền ba chiều, với các điều kiện biên duy nhất và điều kiện trên bề mặt Nó cho phép nghiên cứu sự tương tác giữa dòng chảy và các yếu tố môi trường, đồng thời cung cấp cái nhìn sâu sắc về hành vi của chất lỏng trong các tình huống ngẫu nhiên và phức tạp.
Định lý Navier-Stokes trong miền ba chiều cho thấy sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong điều kiện nhất định Nó chứng minh rằng dưới các điều kiện thích hợp, có thể tồn tại một nghiệm duy nhất cho phương trình Navier-Stokes mô tả chuyển động của chất lỏng Hơn nữa, định lý này cũng chỉ ra rằng nghiệm sẽ phụ thuộc liên tục vào các điều kiện ban đầu và biên, cho thấy tính ổn định của hệ thống theo thời gian.
Định lý Navier-Stokes cho thấy sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho phương trình trong miền ba chiều Chứng minh này dựa vào việc thiết lập các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của nghiệm và tính ổn định của nó Nghiệm được nghiên cứu thông qua các phương pháp phân tích trung bình, từ đó giúp hiểu rõ hơn về tính chất ngẫu nhiên trong các hệ thống chất lỏng.