Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word HH8 C1 CD11 HÌNH CHî NH¬T docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ THCS TOANMATH com HÌNH CHỮ NHẬT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Định nghĩa Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông Tứ giác ABCD là hình chữ nhật[.]
HÌNH CHỮ NHẬT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT • Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng Tứ giác ABCD hình chữ nhật C D 900 A B * Nhận xét: Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân * Tính chất: - Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành - Hình chữ nhật có tất tính chất hình thang cân - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường * Dấu hiệu nhận biết: -Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật - Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật * Áp dụng vào tam giác vuông: - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền - Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN A.CÁC DANG BÀI MINH HỌA CB-NC Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Phương pháp giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết đê chứng minh tứ giác hình chữ nhật TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA a) Chứng minh EFGH hình bình hành b) Tứ giác EFGH hình gì? Bài 2: Cho tam giác ABC vng cân C Trên cạnh AC , BC lấy điểm P, Q cho AP CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC M AB a) Chứng minh PM CQ b) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Bài 3: Cho tam giác ABC , trung tuyến BM CN cắt G Gọi P điểm đối xứng M qua G , gọi Q điểm đối xứng N qua G a) Tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? b) Nếu ABC cân A tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? Dạng 2: Áp dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc đường chéo hình chữ nhật Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF EC Vẽ FH FK vng góc với đường thẳng AB AD H K Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật; b) AF song song với BD; c*) Ba điểm E, H , K thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi E , F chân đường vng góc kẻ từ H đến AB , AC a) Tứ giác EAFH hình gì? TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Qua A kẻ đường vng góc với EF , cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC Dạng 3: Vận dụng định lý thuận định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Phương pháp giải: Sử dụng định lí tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông để chứng minh hình chứng minh tam giác vuông… Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I , K theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh: 900 ; a) IHK b) Chu vi IHK nửa chu vi ABC Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vng góc với AC , từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm tia Ax tia By Nối M với trung điểm P AB, đường MP cắt AC Q BQ cắt AI H a) Tứ giác AMBQ hình gì? b) Chứng minh CH ⊥ AB c) Chứng minh tam giác PIQ cân Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật Bài 8: Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH hình chữ nhật? Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác M , N , P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC , AC , AB a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Xác định vị trí điểm O để tứ giác MNPQ hình chữ nhật HƯỚNG DẪN Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA a) Chứng minh EFGH hình bình hành b) Tứ giác EFGH hình gì? Bài giải A E H D B F G C EA EB gt EF đường trung bình BAC EF //AC EF AC 1 a) Ta có: FB FC gt HA HD gt HG đường trung bình DAC HG //AC HG AC Ta có: GC GD gt Từ 1 , suy EF //HG EF HG Vậy EFGH hình bình hành 3 b) Ta có: EFGH hình bình hành EA EB gt Ta có: DE đường trung bình ABD HE //BD HA HD gt EF //AC Ta có: EF BD AC BD EF BD Ta có: EF HE HE //BD 90o nên EFGH hình chữ nhật Từ 3 , , suy hình bình hành EFGH có E TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC , BC lấy điểm P, Q cho AP CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC M AB a) Chứng minh PM CQ b) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Bài giải A P C M Q B ( ABC vng cân C ) 1 A B a) Ta có: B ( hai góc đồng vị) Vì PM //BC nên PMA ( B ) Từ 1 , suy A PMA APM cân P AP PM ( hai cạnh bên nhau) AP CQ gt Ta có: PM CQ AP PM PM //CQ PCQM hình bình hành ( tứ giác có cặp cạnh đối song song b) Ta có: PM CQ nhau) 90o Lại có C Vậy PCQM hình chữ nhật Bài 3: Cho tam giác ABC , trung tuyến BM CN cắt G Gọi P điểm đối xứng M qua G , gọi Q điểm đối xứng N qua G a) Tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Nếu ABC cân A tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? Bài giải A M N B P G Q C a) Ta có: GM GP (vì P điểm đối xứng M qua G ) (1) GN GQ ( Q điểm đối xứng N qua G ) (2) Từ 1 , suy MNPQ hình bình hành ( có G trung điểm hai đường chéo MP NQ ) b) Nếu ABC cân A AB AC , ta có AMB ANC c.g.c MB NC ta lại có MP NQ Từ giác MNPQ hình chữ nhật Dạng 2: Áp dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF EC Vẽ FH FK vng góc với đường thẳng AB AD H K Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật; b) AF song song với BD; c*) Ba điểm E, H , K thẳng hàng Bài giải TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com K F I A 1 H B E O C D FKA HAK 90o AHFK hình chữ nhật a) FHA b) Gọi O giao điểm AC BD EF EC gt Ta có: OE đường trung bình CAF OA OC AF //OE hay AF //BD c) Gọi I giao điểm AF HK A B A1 H A1 KH //AC , Ta có: H 1 Mà KH qua trung điểm I AF KH qua trung điểm FC Mà E trung điểm FC K , H , E thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi E , F chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB , AC a) Tứ giác EAFH hình gì? b) Qua A kẻ đường vng góc với EF , cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC Bài giải A F E B O H TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com I C A 90o AFH 90o gt EAFH hình chữ nhật ( tứ giác có ba góc vng) a) Ta có: o AEH 90 gt BAH 90o , mà BAH HAF 90o , suy B HAF 1 b) Trong tam giác AHB ta có B Gọi O giao điểm hai đường chéo EF AH hình chữ nhật AEHF OA OF , OFA 2 OAF cân O nên OAF Từ 1 suy B AFE C 90o IAC ICA , AIC cân I AFE 90o , từ ta có IAC Mặt khác ta lại có B nên IA IC Tương tự IB IA , IB IC Dạng 3: Vận dụng định lý thuận định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I , K theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh: 900 ; a) IHK b) Chu vi IHK nửa chu vi ABC Bài giải B H I A K C a) Ta có BHA vng H (gt) IH IA IB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB ) IAH ( hai góc đáy nhau)(1) IAH cân I IHA TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com HAK (2) Tương tự KHA KHA IAH HAK 90o (gt) Từ (1) (2) suy IHA 90o Vậy IHK b) Ta có: HI AB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông AHB )(3) IK AC ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông AHC )(4) IK AC ( đường trung bình tam giác ABC )(5) Từ (3), (4), (5) suy : PIHK IH HK IK AB AC BC AB AC BC PABC 2 2 Vậy chu vi IHK nửa chu vi ABC Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vng góc với AC , từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm tia Ax tia By Nối M với trung điểm P AB, đường MP cắt AC Q BQ cắt AI H a) Tứ giác AMBQ hình gì? b) Chứng minh CH ⊥ AB c) Chứng minh tam giác PIQ cân Bài giải A Q H P y M x B I TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C AQB 90o 90o AMBQ hình chữ nhật a) Ta có: MAQ o MBQ 90 AI BC gt H trực tâm ABC (vì H giao điểm hai đường cao) b) Ta có: BQ AC gt Suy CH AB c) Ta có: PQ PI AB ( PQ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ABQ ) AB ( PQ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông AIB ) Từ (1) (2) suy PQ PI PIQ cân P Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật Bài 8: Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH hình chữ nhật? Bài giải E A F H D B G C EA EB gt EF đường trung bình BAC EF //AC EF AC 1 Ta có: FB FC gt HA HD gt HG đường trung bình DAC HG //AC HG AC Ta có: GC GD gt Từ 1 , suy EF //HG EF HG 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) Tứ giác AFHE có ba góc vng nên hình chữ nhật OA OF OH OE Xét ABC vuông A có AD đường trung tuyến nên AD DB DC DAC cân A1 C ); A (cùng phụ với B Mặt khác, C (hai góc đáy tam giác cân) A2 E A1 E Suy Gọi K giao điểm AD EF F 90 90 K 90 Xét AEF vng A có E A1 F 1 Do đó: AD EF , (1) OHM 90 EM EF Ta có: OEM OHM c.c.c OEM (2) Chứng minh tương tự, ta được: FN EF (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: EM // FN // AD (vì vng góc với EF ) b) Ba đường thẳng EM , FN AD ba đường thẳng song song cách KF KE K O AD AH ABC vuông cân Bài (h.5.18) Vẽ DE BC , DF AH F 90 ; AB AD; HAB FDA có: H FDA (cùng phụ với FAD ) HAB Do HAB FDA (cạnh huyền-góc nhọn) AH FD (1) Tứ giác FDEH có ba góc vng nên hình chữ nhật 17 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com HE FD (2) Từ (1) (2) suy ra: AH HE Ta có AM EM BD AHM EHM c.c.c AHM EHM Do tia HM tia phân giác góc AHC Bài 10 (h.5.19) Gọi M , N , P trung điểm HE , HF FG Theo tính chất đường trung bình tam giác, tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông, ta có: EF MN ; FG 2CP; GH NP; HE AM Do chu vi hình tứ giác EFGH là: EF FG GH HE AM MN NP PC Xét điểm A, M , N, P, C , ta có: AM MN NP PC AC (không đổi) AC AB BC 152 82 289 AC 17 Vậy chu vi tứ giác EFGH 2.17 34 (dấu " " xảy M , N , P nằm AC theo thứ tự EF // AC // HG HE // BD // FG ) Do giá trị nhỏ chu vi tứ giác EFGH 34 Bài 11 (h.5.20) 18 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Gọi M trung điểm BC Vẽ AH Oy , MD Oy CE Oy 30 nên Xét AOH vng H , có O AH OA 1cm MDB AHB MD AH 1cm Xét BCE , dễ thấy MD đường trung bình nên CE 2MD 2cm Điểm C cách Oy khoảng 2cm nên C di động đường thẳng a // Oy cách Oy 2cm Bài 12 (h.5.21) Gọi M trung điểm OB Khi G AM AG 2GM Gọi N trung điểm AG , ta AN NG GM Vẽ AD, NE , GF vng góc với Oy Ba đường thẳng AD, NE GF ba đường thẳng song song cách nên DE EF FM Ta đặt FG x EN x EN FG AD x AD Do x AD x 2 Xét DOA vuông cân D OA2 DA2 Do DA2 DA cm FG 1cm Điểm G cách Oy khoảng không đổi 1cm nên điểm G di động đường thẳng a // Oy cách Oy 1cm C.PHIẾU TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO PHIẾU SỐ Dạng Chứng minh tứ giác hình chữ nhật 19 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điẻm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình ? Bài Cho tam giác ABC vng cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M AB) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Dạng Vận dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Bài Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vng góc với đường thẳng AB AD h K Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật; b) AF song song với BD; c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng Bài Cho hình chữ nhật ABCD Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh AB Gọi I, K, M, N theo thứ tự trung điểm EF, FD, BE, BD Chứng minh IN = KM Dạng Sử dụng định lí thuận đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh: 900 a) IHK b) Chu vi IHK nửa chu vi ABC Bài Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vng góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm tia Ax tia By Nối M với trung điểm P AB, đường MP cắt AC Q BQ cắt AI H a) Tứ giác AMBQ hình ? b) Chứng minh CH AB c) Chứng minh tam giác PIQ cân Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật 20 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... tam giác DEF Bài Cho hình bình hành ABCD Biết AD DAC Chứng minh hình AC BAC 2 bình hành ABCD hình chữ nhật Bài Cho hình chữ nhật ABCD, AB 8, BC Điểm M nằm hình chữ nhật Tìm giá... Dạng 2: Áp dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc đường chéo hình chữ nhật Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Nối C... song song với BC (M AB) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Dạng Vận dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học Bài Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD