Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN THCS (Dành cho học sinh khối chuyên và học sinh giỏi các lớp 6, 7, 8, 9) Trang 1 MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ 2 B NỘI DUNG 1 Chuyên đề 1 Phương pháp chứng minh phản chứng 3 2 Chuyê[.]
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN THCS (Dành cho học sinh khối chuyên học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, 9) MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ .2 B NỘI DUNG Chuyên đề 1: Phương pháp chứng minh phản chứng Chuyên đề 2: Nguyên tắc Dirichlet 10 Chuyên đề 3: Định lý Bézout – Lược đồ Horner 19 Chuyên đề 4: Dấu tam thức bậc hai 23 Chuyên đề 5: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 25 Chuyên đề 6: Phần nguyên ứng dụng 36 Chuyên đề 7: Đường thẳng Simson 45 Chuyên đề 8: Bất đẳng thức Erdos – Modell vài ứng dụng 53 Chuyên đề 9: Định lý Ptôlêmê đặc trưng tứ giác nội tiếp 62 C KẾT LUẬN 72 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 Trang 1 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TRANG BỊ CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN TỪ TRUNG HỌC CƠ SỞ Chuyên đề 1: Phương pháp chứng minh phản chứng: 1.1 Chứng minh phản chứng bước chứng minh phản chứng: Trong chứng minh phản chứng (tiếng La tinh reductio ad absurdum, có nghĩa “thu giảm đến vơ lí”), người ta chứng minh phát biểu xảy ra, dẫn đến mâu thuẫn lơgic, phát biểu khơng xảy Phương pháp có lẽ phương pháp phổ biến chứng minh toán học Bước (phủ định kết luận): Giả sử có điều trái với kết luận toán Bước (đưa đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử từ giả thiết toán, ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết hay với kiến thức học Bước (khẳng định kết luận): Vậy kết luận tốn Ví dụ 1: Chứng minh số vô tỉ Chứng minh: Giả sử số hữu tỉ, ta biểu diễn 2 a với a, b , b 0, ( a, b) b Do a b Bình phương hai vế ta được: a 2b Thì vế phải chia hết vế trái phải chia hết cho (vì chúng số tự nhiên) Do a số chẵn, có nghĩa a phải số chẵn Do ta viết a 2c , c số tự nhiên Thay vào phương trình ban đầu ta có: (2c)2 2b hay b 2c Nhưng đó, tương tự trên, b chai hết b phải số chẵn Nhưng a b số chẵn chúng có chung ước số Điều trái với giả thiết ( a, b) Vậy giả sử số hữu tỉ sai Do số vơ tỉ Ví dụ 2: Khơng dùng máy tính, chứng minh 35 Chứng minh: 10 hay 59 10 35 Bình phương hai vế ta có: 59 100.35 hay 10 3481 3500 , điều vô lý Vậy giả sử sai, 35 10 Giả sử 35 Ví dụ 3: Chứng minh khơng tồn số nguyên dương x, y, z, t đồng thời thỏa mãn đồng thời đẳng thức sau: x xyzt 1987 y xyzt 987 z xyzt = 87 t xyzt 1 2 3 4 Trang 2 Chứng minh: Giả sử tồn số nguyên dương x, y, z, t thỏa mãn đồng thời đẳng thức 1 , , 3 , Trừ vế đẳng thức ta được: x y 1000 , y z 900 , z t 80 Suy x, y, z, t có tính chẵn lẻ Nếu x, y, z, t tính chẵn x xyzt số chẵn, mâu thuẫn với (1) Nếu x, y, z, t lẻ x xyzt số chẵn, mâu thuẫn với (1) Điều chứng tỏ giả sử sai Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh n số nguyên dương số 2010 n không chia hết cho 1000n Chứng minh: Giả sử với n số nguyên dương 2010 n chia hết cho 1000n Khi đó, 1000n chia hết 2010 n chia hết cho Điều vơ lí 2010 n không chia hết cho Vậy điều giả sử 2010 n chia hết cho 1000n sai Suy 2010 n không chia hết cho 1000n Ví dụ 5: Chứng minh: a1 , a2 , , an hoán vị tùy ý số 1, 2, , n với n số lẻ, tích a1 1 a2 an n số chẵn Chứng minh: Đầu tiên, ta có nhận xét tổng số lẻ số lẻ số lẻ Để chứng minh toán ta cần chứng minh tồn hiệu ak k số chẵn Giả sử tất hiệu ak k số lẻ Khi tổng S a1 1 a2 an n 0, số ak xếp lại số 1, 2, , n Nhưng theo nhận xét S số lẻ tổng số lẻ số lẻ Điều mâu thuẫn Do giả sử tất hiệu ak k số chẵn, suy tích a1 1 a2 an n số chẵn Có nhiều cách chứng minh tồn vơ hạn số ngun tố, ví dụ sau đưa cách chứng minh phản chứng Euclid cho kết Ví dụ 6: Chứng minh tồn vô hạn số nguyên tố Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p1 , p2 , , pn giả sử p1 p2 pn Xét tích A p1 p2 pn Rõ ràng A pn nên A hợp số, A có ước ngun tố p Khi p1 , p2 , , pn tất số nguyên tố nên tồn i {1, 2, , n} cho p pi Như A p ; ( p1 p2 pn ) p nên 1 p , mâu thuẫn Do giả sử có hữu hạn số nguyên tố sai Vậy có vơ hạn số ngun tố Trang 3 Ví dụ 7: Cho số nguyên n hợp số, n > Chứng minh n có ước nguyên tố p n Chứng minh: Do n hợp số nên n viết dạng n a.b với a, b , a 1, b Bây a n b n ab n n n , mâu thuẫn Do phải có a n p n Bài toán chứng minh Nhận xét Kết ví dụ dùng làm tiêu chuẩn để kiểm tra số có phải số nguyên tố hay khơng Ví dụ: Để kiểm số 101 có số ngun tố hay khơng, trước tiên ta tính 101 10, 04 Khi đó, theo Ví dụ 11,7 101 số nguyên tố 101 chia hết cho 2, 3, (là số ngun tố nhỏ 10,04) Do khơng có số số 2, 3, 5, ước 101 nên 101 số nguyên tố Ví dụ 8: Chứng minh rằng: a) Tích số nguyên có dạng 4k số có dạng 4k b) Tồn vô số số nguyên tố có dạng 4k Chứng minh: a) Vì với k1 , k2 (4k1 1)(4k2 1) 16k1k2 4k1 4k2 4(4k1k2 k1 k2 ) 4k3 , tích số nguyên có dạng 4k số có dạng 4k b) Nhận xét: Mỗi số có dạng 4k có ước nguyên tố có dạng Thật vậy, rõ ràng n có ước dạng với thân n ước n Gọi p ước nhỏ ước Nếu p số nguyên tố nhận xét chứng minh Nếu p hợp số p phân tích thành tích thừa số nguyên tố lẻ (do p lẻ) Các thừa số khơng thể có dạng 4m (vì theo câu a p có dạng 4m ) Vậy thừa số nguyên tố có dạng 4k Do ước p ước n nên n có ước nguyên tố dạng 4k Bây ta chứng minh có vơ số số nguyên tố có dạng 4k Giả sử có hữu hạn số nguyên tố có dạng 4k p1 , p2 , , pn Xét số N p1 p2 pn N có dạng 4k Theo nhận xét N có ước nguyên tố có dạng 4k Nhưng từ cách xác định N N khơng chia hết cho số nguyên tố có dạng 4k Điều mâu thuẫn chứng tỏ giả sử sai Vậy có vơ số số ngun tố có dạng 4k Ví dụ 9: Cho a, b hai số thực cho với số thực ta ln có a b Chứng minh a b Chứng minh: Giả sử ngược lại a b Khi a b Do a b với a b a b , ta có: a b hay a b Điều mâu thuẫn với giả sử a b 2 Suy giả sử a b sai Vậy a b nên với Trang 4 Ví dụ 10: Cho a, b hai số nguyên dương nguyên tố Chứng minh không tồn số nguyên dương x, y để ax by ab Chứng minh: Giả sử tồn số nguyên dương xo , yo thỏa mãn đẳng thức cho, tức là: axo byo ab (1) Ta có: axo ab byo b(a yo ) b Vì ( a, b) nên xo b Do đó, tồn x1 * cho xo bx1 Tương tự, tồn y1 * cho yo ay1 Thay vào đẳng thức (1) ta abx1 aby1 ab hay x1 y1 Điều vơ lí x1 y1 Vậy điều giả sử sai Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 11: Chứng minh với số nguyên a, b, c, ta ln tìm số ngun dương n cho số f n n3 an2 bn c khơng phải số phương Chứng minh: Giả sử ngược lại, tồn a, b, c để với số nguyên dương n f ( n) số phương Khi đó: f (1) a b c , f (2) 4a 2b c , f (3) 27 9a 3b c , f (4) 64 16a 4b c , số phương Nhận xét rằng: Một số phương chia cho có số dư Do số dư phép chia hiệu hai số thương cho 0, –1 Ta có: f (4) f (2) 12a 2b 56 4(3a 14) 2b , mà 2b số chẵn nên theo nhận xét (1) 2b Tương tự, f (3) f (1) 8a 2b 26 4(2a 6) 2b , mà 2b số chẵn nên (2b 2) (2) Từ (1) (2) suy 2 , vơ lí Do giả sử sai Vậy với số ngun a, b, c ln tìm số nguyên dương n cho số f n n3 an bn c khơng phải số phương Ví dụ 12: Chứng minh tam giác có hai đường phân giác tam giác cân Chứng minh: Trang 5 Xét ABC có hai đường phân giác BM CN Ta chứng minh ABC cân A Giả sử ABC không cân A C B C 1 Qua M kẻ đường thẳng Xét B 1 song song AB , qua N kẻ đường thẳng song song BM cắt D D Theo Khi BNM DMN BM DN , B giả thiết BM CN ND NC Vậy NCD cân NDC 2 N NCD C D C 3 D B Vì B 2 A D B N M 2 1 C C MC MD BN Hai tam giác BNC , BMC có BC chung, Từ , 3 D B , mâu thuẫn với 1 CN BM , BN CM C 1 C , chứng minh tương tự dẫn đến mâu thuẫn Trường hợp B C , suy ABC cân A Vậy B Ví dụ 13: Cho tam giác có ba góc nhọn Qua đỉnh tam giác vẽ đường cao, qua đỉnh thứ hai vẽ trung tuyến, qua đỉnh thứ ba vẽ phân giác Chứng minh ba đường vẽ cắt nhau, tạo thành tam giác tam giác khơng phải tam giác Chứng minh: Xét ABC có ba góc nhọn đường cao AH , đường trung tuyến BM , đường phân giác CN cắt tạo thành PQR hình vẽ Ta cần chứng minh PQR khơng tam giác Giả sử ngược lại PQR Khi tam 600 giác vng CRH có CRH 300 C RCH 600 , HAC 300 RCH A N P B M R Q H C 300 , APM 600 AMP 900 hay BM AC APM có PAM 600 nên ABC có đường trung tuyến BM đường cao nên ABC cân Hơn C ABC đều, dẫn đến P, Q, R trùng nhau, trái giả thiết Vậy PQR khơng thể Ví dụ 14: Qua điểm O mặt phẳng, vẽ đường thẳng phân biệt a) Có góc đỉnh O tạo thành hình vẽ? b) Chứng minh góc đó, có góc khơng vượt q 360 Chứng minh: Trang 6 a) đường thẳng cắt O tạo thành 10 tia chung gốc O Mỗi tia 10 tia tạo với tia cịn lại thành góc, có 10 tia nên có 9.10 90 góc Nhưng góc tính lần nên có tất 90 : 45 góc đỉnh O tạo thành b) Trong 45 góc đỉnh O có 10 góc khơng có điểm chung có tổng số đo 3600 Giả sử tất O góc lớn 360 10 góc vừa nêu có tổng số đo lớn 10.360 3600 , mâu thuẫn Vậy phải có góc khơng vượt q 360 Ví dụ 15: Trên mặt phẳng xếp đoạn thẳng cho đoạn thẳng cắt đoạn thẳng khác không? Giải: Câu trả lời không Thật vậy, giả sử xếp i j đoạn thẳng cho đoạn thẳng cắt đoạn thẳng khác Ta lập bảng gồm hàng, cột đánh dấu ô: i X hai đoạn thẳng cắt ta đánh dấu X, không cắt ta đánh dấu Chẳng hạn X đoạn thẳng thứ I cắt đoạn thẳng thứ j ta đánh dấu j X vào giao dòng i cột j, dòng j cột i Khi dịng có dấu X Mặt khác bảng có dấu xếp theo đường chéo hình vng Như nói giao dịng I cột j có dấu X giao dịng j cột I có dấu X, hai ô đối xứng qua đường chéo gồm ô có dấu Vì đánh dấu X bảng phải số chẵn Mâu thuẫn có 21 có dấu X theo giả thiết BÀI TẬP: 1.Chứng minh rằng: a) Tổng số hữu tỉ số vô tỉ số vô tỉ b) Không tồn số hữu tỉ dương nhỏ Chứng minh với số nguyên dương n phân số 12n tối giản 30n Tích 43 số ngun có trước Chứng minh tổng chúng Gọi a1 , a2 , , a2000 số tự nhiên thỏa mãn 1 Chứng mỉnh a1 a2 a2000 tồn số ak số chẵn Số palindrome (còn gọi số xuôi ngược hay số đối xứng) số mà đọc xi hay đọc ngược nhau, ví dụ số 151, 1991, 1211121, 15677651 số đối xứng Chứng minh không tồn số đối xứng dương chia hết cho 10 Chứng minh: với mọt số tự nhiên n ta ln có A n 3n 38 không chia hết cho 49 Trang 7 Cho n số tự nhiên khác 0; a ước nguyên dương 2n Chứng minh n số phương Chứng minh với n , n n n! có số nguyên tố Từ suy có vô hạn số nguyên tố Đặt số 1, 2, 3, , 25 vòng tròn theo thứ tự tùy ý Chứng minh ln có số liên tiếp có tổng lớn 39 10 Cho dãy số: 3, 7,11,15,19, 23, 5,11,17, 23, 29, 35, Chứng minh số hạng dãy số có vơ số số nguyên tố 11 Chứng minh tam giác, góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn 12 Chứng minh tam giác, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền cạnh huyền 13 Chứng minh tam giác có góc 300 cạnh đối diện với góc cạnh khác tam giác tam giác vuông 14 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: M a b c bc ca ab số nguyên 15 Trong mặt phẳng cho n điểm n 3 thỏa điều kiện: đường thẳng qua trong điểm chứa điểm khác điểm cho Chứng minh tất điểm nằm đường thẳng Trang 8 Chuyên đề 2: Nguyên lí Dirichlet: 2.1 GIỚI THIỆU VỀ NGUYÊN LÍ DIRICHLET Dirichlet (Đi-rích-lê) (1805 – 1859) nhà tốn học người Đức, cho người đưa định nghĩa đại hàm số Trên sở quan sát thực tế, ông phát biểu thành nguyên lí mang tên ơng – ngun lí Dirichlet: Khơng thể nhốt thỏ vào lồng mà lồng có khơng q thỏ Nói cách khác, nhốt thỏ vào lồng tồn lồng có từ trở lên Một cách tổng quát hơn, có k lồng để nhốt m thỏ (với k kn r (0 r k 1) ) tồn lồng có chứa từ n + thỏ trở lên Ta dễ dàng minh ngun lí Dirichet phương pháp phản chứng sau: Giả sử khơng có lồng n + thỏ trở lên, tức lồng chứa nhiều n thỏ, số thỏ chứa k lồng nhiều kn Điều mâu thuẫn với giả thiết có m thỏ với m kn r (0 r k 1) Nguyên lí Dirichlet thật đơn giản, dễ hiểu vận dụng vào giải nhiều toán số học, đại số, hình học ciệc tồn hay nhiều đối tượng thỏa mãn điều kiện đặt Khi sử dụng ngun lí Dirichlet vào tốn cụ thể, điều quan trọng phải nhận (hay tạo ra) Lồng Thỏ Lồng Thỏ 2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHIA HẾT Thông thường ta coi m số tự nhiên cho m “con thỏ”, số dư phép chia số tự nhiên cho n “lồng”; có n lồng: lồng i (0 i b) gồm số tự nhiên cho chia cho n dư i VÍ DỤ Chứng rằng: a) Trong 2012 số tự nhiên ln tìm hai số chia cho 2011 có số dư (hay hiệu chúng chia hết cho 2011) b) Trong 2012 sơ tự nhiên ln tìm số chia hết cho 2012 ln tìm hai số chia cho 2012 có số dư Giải a) Ta coi 2012 số tự nhiên cho 2012 “con thỏ”; “lồng i” gồm số chia cho 2011 dư i (0 i 2011) nên có 2011 lồng: lồng 0, lồng 1, …, lồng 2010 Như có 2011 lồng chứa 2012 thỏ nên theo nguyên lí Dirchlet tồn lồng chứa khơng hai thỏ, tức có hai số chia cho 2011 có số dư b) Nếu 2012 số cho có số chia hết cho 2012 ta chọn ln số Nếu khơng có số chia hết cho 2012 chia cho 2012 nhận nhiều 2012 số dư khác 1, 2, …, 2011 Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số chia cho 2012 có số dư Nhận xét Ta tổng qt tốn sau: Trang 9