an 1 Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biÕt kÕt qu¶.. Th× ta nªn sö dông ph¬ng ph¸p nµy vµ hÇu nh thÕ nµo còng chøng minh đợc..[r]
(1)D·y sè cã qui luËt I > Ph¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p : Trong mét sè trêng hîp gÆp bµi to¸n tÝnh tæng h÷u h¹n Sn = a1 + a2 + an (1) Bằng cách nào đó ta biết đợc kết (dự đoán , bài toán chứng minh đã cho biÕt kÕt qu¶) Th× ta nªn sö dông ph¬ng ph¸p nµy vµ hÇu nh thÕ nµo còng chøng minh đợc VÝ dô : TÝnh tæng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = S2 = + =22 S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dù ®o¸n Sn = n2 Với n = 1;2;3 ta thấy kết đúng gi¶ sö víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k (2) ta cÇn ph¶i chøng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1 = ( k +1) theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh vËy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2 T¬ng tù ta cã thÓ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc 1, + 2+3 + + n = n(n+1) 2, 12 + 2 + + n = n(n+1)(2 n+1) 3, +2 + + n = 3 4, 15 + 25 + + n5 = [ n(n+1) 2 ] n2 (n + 1) ( 2n2 + 2n – ) 12 II > Ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp : Gi¶ sö ta cÇn tÝnh tæng (1) mµ ta cã thÓ biÓu diÔn a i , i = 1,2,3 ,n , qua hiÖu hai sè h¹ng liªn tiÕp cña d·y sè kh¸c , chÝnh x¸c h¬n , gi¶ sö : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ đó ta có : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) (2) = b1 – bn + VÝ dô : tÝnh tæng : 1 1 + + + + 10 11 11 12 12 13 99 100 S= Ta cã : 1 = − 10 11 10 11 , 1 = − 11 12 11 12 , 1 = − 99 100 99 100 Do đó : S= 1 1 1 1 − + − + .+ − = − = 10 11 11 12 99 100 10 100 100 D¹ng tæng qu¸t Sn = 1 + + .+ 2 n (n+1) = 1- (n> 1) n = n+1 n+ VÝ dô : tÝnh tæng Sn = Ta cã Sn = Sn = Sn = 1 1 + + + + 3 n(n+1)(n+2) 1 1 1 1 − + − + + − 2 2 3 n (n+1) (n+ 1)(n+ 2) ( ) ( ) ( 1 1 − (2 − 21.3 + 2.13 − 31 + + n(n+1) (n+1)(n+2) ) n(n+3) 1 (2 − (n+1)(n+2) )= (n+1)(n+2) VÝ dô : tÝnh tæng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - VÝ dô : tÝnh tæng Sn = ¿2 ¿ ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ ) (3) Ta cã : Do đó i+1 ¿ ¿ ¿ 2i+1 1 = 2−¿ [i(i+1)] i i = ; ; 3; ; n n+1 ¿2 (¿¿) 1 − n2 ¿ 1 ¿+ − + + ¿ 2 Sn = ( 1- ( = 1- ) n+1 ¿2 ¿ n+1 ¿2 ¿ ¿ ¿ III > Ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh víi Èn lµ tæng cÇn tÝnh: VÝ dô : TÝnh tæng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh sau : S = 1+2 (1+2+22 + + 299 ) S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2101 S = 2101-1 VÝ dô : tÝnh tæng Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p 1) Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 ) Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n ) Sn = 1+p ( Sn –pn ) Sn = +p.Sn –p n+1 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 n+1 Sn = P − p −1 VÝ dô : TÝnh tæng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) pn , ( p 1) Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1 (4) n+1 p.Sn=Sn- P − +(n+1)Pn +1 ( theo VD ) P−1 n+1 p −1 P −1 L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - P −1 ¿2 ¿ n+1 (n+1) P pn+1 −1 − ¿ p −1 Sn = IV > Phơng pháp tính qua các tổng đã biết n ∑ ai=a 1+ a2+ a3 + .+a n C¸c kÝ hiÖu : i=1 C¸c tÝnh chÊt : n 1, n i=1 i=1 n 2, n ∑ (ai +b i)=∑ +∑ b i i=1 n ∑ a =a ∑ i=1 i=1 VÝ dô : TÝnh tæng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) n n n n i=1 i=1 i=1 i=1 ∑ i(i+1)=∑ (i2 +i)=∑ i2+∑ i Ta cã : Sn = V× : n n(n+1) (Theo I ) n n(n+1)(2 n+1) ∑i = i=1 ∑ i=1+2+3+ +n= i=1 cho nªn : Sn = n(n+1) + n( n+ 1)(2 n+1) = n(n+1)(n+2) VÝ dô 10 : TÝnh tæng : Sn =1.2+2.5+3.8+ .+n(3n-1) n n ∑ i(3 i− 1)=∑ (3 i2 − i) ta cã : Sn = i=1 i=1 n n i=1 i == = ∑ i2 − ∑ i Theo (I) ta cã : Sn = n (n+1)(2 n+ 1) − n(n+1) =n2 (n+1) VÝ dô 11 TÝnh tæng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3 ta cã : Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) (5) Sn = n+2 ¿ ¿ n+1 ¿2 ¿ 8n ¿ n+1¿ ¿ ¿ ¿ ( theo (I) – ) =( n+1) 2(2n+1) – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng dãy số cách ( Học sinh líp ) C¬ së lý thuyÕt : + để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách cùng số đơn vị , ta dùng công thức: Sè sè h¹ng = ( sè cuèi – sè ®Çu : ( kho¶ng c¸ch ) + + §Ó tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè mµ sè h¹ng liªn tiÕp c¸ch cïng số đơn vị , ta dùng công thức: Tæng = ( sè ®Çu – sè cuèi ) ( sè sè h¹ng ) :2 VÝ dô 12 : TÝnh tæng A = 19 +20 +21 + + 132 Sè sè h¹ng cña A lµ : ( 132 – 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607 VÝ dô 13 : TÝnh tæng B = +5 +9 + .+ 2005 +2009 sè sè h¹ng cña B lµ ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515 VI / Vân dụng số công thức chứng minh đợc vào làm toán VÝ dô 14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ đó tính tổng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1) Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) [ (k +2)−(k −1) ] = k (k+1) = 3k(k+1) C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1) (k +2)−(k −1) = k (k +1)(k + 2) − k (k +1)(k −1) 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) => 1.2.3 0.1.2 1.2 = 3 * (6) 2.3.4 1.2.3 3 n(n 1)( n 2) (n 1)n(n 1) n(n 1) 3 2.3 1.2.0 (n 2)n(n 1) (n 1)n(n 2) 3 S= VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ đó tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [ (k +3)−(k −1) ] = k( k+1) ( k +2 ) Rót : k(k+1) (k+2) = k (k +1)(k + 2)(k +3) − (k − 1)k ( k +1)( k +2) 4 ¸p dông : 1.2.3 = − 4 2.3.4 = − 4 n(n+1) (n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3) − (n −1)n (n+1)(n+2) 4 Cộng vế với vế ta đợc S = n(n+1)(n+2)(n+3) * Bài tập đề nghị : TÝnh c¸c tæng sau 1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + b, S = + 52 + 53 + + 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , 5, S = 1 1 + + + .+ 2 3 99 100 6, S = 4 + + + 5.7 7.9 59 61 7, A = 5 5 + + + + 11 16 16 21 21 26 61 66 8, M = 1 1 + + + + 2005 3 3 9, Sn = 1 + + + n(n+1)( n+2) n = 1,2,3 , (7) 10, Sn = 2 + + + 3 98 99 100 11, Sn = 1 + + .+ n(n+1)(n+2)(n+3) 12, M = + 99 + 999 + + 99 .9 50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S100 =? Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820 c, + 1 1989 + + + .+ =1 10 x(x +1) 1991 Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan 15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lµ luü thõa cña b, B =2 + 22 + + + 60 ⋮ ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991 ⋮ 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 ⋮ (8)