Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi An lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n n N hoÆc n Z a/ Để chứng minh An chia hết cho m ta phân tích An thành tích trong đó có một thừa số là m + Nếu m là[r]
(1)Chuyên đề SỐ CHÍNH PHƯƠNG I ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bình phương đúng số nguyên II TÍNH CHẤT: Số chính phương có thể có chữ số tận cùng 0, 1, 4, 5, 6, ; không th ể có ch ữ s ố t ận cùng 2, 3, 7, Khi phân tích thừa số nguyên tố, số chính ph ương ch ỉ ch ứa các th ừa s ố nguyên t ố v ới s ố m ũ chẵn Số chính phương có thể có hai dạng 4n 4n + Không có số chính ph ương n ào có dạng 4n + 4n + (n N) Số chính phương có thể có hai dạng 3n 3n + Không có số chính ph ương n ào có dạng 3n + (n N) Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Vậy A là số chính phương Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng luôn là số chính phương Gọi số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + (n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) Đặt n2 + 3n = t (t Vì N) Ta có N) thì (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2 n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + là số chính phương Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chứng minh 4S + là số chính phương 1 Ta có k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) –(k-1)] 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) 1 1 1 S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) + Theo kết bài k(k+1)(k+2)(k+3) + là số chính ph ương Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số trên xây dựng cách thêm số 48 v ào số đứng tr ước nó Ch ứng minh r ằng tất các số dãy trên là số chính phương Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số 10 n 10 n 10n + = +1 2n n n 4.10 4.10 8.10 4.10 n 4.10 n 9 = = 2.10 n = Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho nên nó chia hết cho n-1 chữ số n chữ số (2) 2.10 n Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương Bài 5: Chứng minh các số sau đây là số chính phương: A = 11…1 + 44…4 + 2n chữ số n chữ số B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 2n chữ số n+1 chữ số 10 n ; Kết quả: A = n chữ số 10 n B= ; 2.10 n C= Bài 6: Chứng minh các số sau là số chính phương: a A = 22499…9100…09 n-2 chữ số n chữ số b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + = 225.102n – 90.10n + = ( 15.10n – ) A là số chính phương b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 + n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số 10 n 10 n 10 n 10 n 5.10 n 9 10n + 9 = +1= 10 n 4.10 n = = phương 10 n là số chính phương ( điều phải chứng minh) Bài 7: Chứng minh tổng các bình phương số t ự nhiên liên ti ếp không th ể l à m ột s ố chính Gọi số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vì n2 không thể tận cùng đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương Bài 8: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 đó n chính phương n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ] = n2( n+1 )2.( n2– 2n+2) Với n N và n>1 không phải là số N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2 và n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2 n2 – 2n + không phải là số chính phương Bài 9: Cho số chính phương bất kì có chữ số hàng ch ục khác còn ch ữ s ố h àng đơn v ị l à Chứng minh tổng các chữ số hàng chục số chính phương đó là số chính phương Cách 1: Ta biết số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số hàng chục nó l à số lẻ Vì chữ số hàng chục số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 đó tổng chúng + + + + = 25 = 52 là số chính phương (3) Cách 2: Nếu số chính phương M = a2 có chữ số h àng đơn vị l à thì ch ữ s ố t ận cùng c a là a 2 a2 Theo dấu hiệu chia hết cho thì hai chữ số tận cùng M có thể là 16, 36, 56, 76, 96 + + + + = 25 = 52 là số chính phương Ta có: Bài 10: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ không phải là số chính phương a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N) a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + N) (t N) đó a2 + b2 (Với t Không có số chính phương nào có dạng 4t + không thể là số chính phương Bài 11: Chứng minh p là tích n số nguyên t ố đầu tiên thì p-1 v à p+1 không th ể l à các s ố chính phương Vì p là tích n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 và p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 là số chính phương Đặt p+1 = m2 (m Vì p chẵn nên p+1 lẻ m2 lẻ m lẻ Đặt m = 2k+1 (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + N) p+1 = 4k2 + 4k + p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) mâu thuẫn với (1) p+1 là số chính phương p = 2.3.5… là số chia hết cho p-1 có dạng 3k+2 Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 p-1 không là số chính phương Vậy p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – Có 2N 2N-1 không chia hết cho và 2N-1 = 3k+2 (k 2N-1 không là số chính phương 2N = 2.1.3.5.7…2007 N) Vì N lẻ N không chia hết cho và 2N 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư 2N không là số chính phương 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 2N không chia hết cho nên 2N+1 không chia cho dư 2N+1 không là số chính phương Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số 2007 chữ số ab là số tự nhiên 10 2008 Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + Chứng minh 2008 chữ số 2007 chữ số 2008 chữ số (10 2008 1)(10 2008 5) (10 2008 ) 4.10 2008 ab+1 = 9 +1= = 2008 10 10 2008 ab = = 10 2008 Ta thấy 102008 + = 100…02 nên N hay 2007 chữ số Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 2007 chữ số 2008 chữ số ab là số tự nhiên 2008 chữ số ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ab = 10 2008 (3a 1) = 3a + N DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tìm số tự nhiên n cho các số sau là số chính phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) c 13n + d n2 + n + 1589 (4) Giải 11.1 a Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là số nguyên d ương, nên ta có th ể vi ết (k+n+1)(k-n-1) = k+n+1 = 11 k=6 k–n-1=1 n=4 b Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 (2n + 3) - 4a2 = (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a v à chúng l à s ố nguyên d ương, nên ta có th ể vi ết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 2n + + 2a = n=1 2n + – 2a = a=2 N) 13(n – 1) = y2 – 16 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 13 y – 13 c Đặt 13n + = y2 ( y y = 13k (Với k N) 13(n – 1) = (13k )2 – 16 = 13k.(13k 8) n = 13k2 8k + N) thì 13n + là số chính phương Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 8k + (Với k Vậy n = 13k2 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > và chúng là số lẻ, nên ta có th ể vi ết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 Bài 2: Tìm a để các số sau là số chính phương: a2 + a + 43 a2 + 81 a2 + 31a + 1984 Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40 c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là số chính phương Với n = thì 1! = = 12 là số chính phương Với n = thì 1! + 2! = không là số chính phương Với n = thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 là số chính phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! t ận cùng b ởi đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng chữ số nên nó không phải là số chính phương Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = Bài 4: Tìm n n2 + 2004 (23 – n)(n – 3) n2 + 4n + 97 2n + 15 N để các số sau là số chính phương: ( Kết quả: 500; 164) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N) Từ đó suy m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 Như số m và n phải có ít số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) m + n và m – n là số chẵn (m + n)(m - n) Nhưng 2006 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương Bài 6: Biết x N và x>2 Tìm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Đẳng thức đã cho viết lại sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do vế trái là số chính phương nên vế phải là mộ2t số chính phương Một số chính phương có thể tận cùng các ch ữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x ch ỉ có th ể t ận cùng các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và < x ≤ (2) Từ (1) và (2) x có thể nhận các giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, đó 762 = 5776 (5) Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 và 3n+1 là các số chính phương Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số chính phương lẻ kho ảng trên ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương Vậy n = 40 Bài 8: Chứng minh n là số tự nhiên cho n+1 và 2n+1 là các số chính ph ương thì n l à bội số 24 Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m Ta có m là số lẻ m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + N) m 4a ( a 1) n= = = 2a(a+1) n chẵn n+1 lẻ k lẻ Đặt k = 2b+1 (Với b N) k2 = 4b(b+1) +1 n = 4b(b+1) n (1) Ta có k2 + m2 = 3n + (mod3) Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư Nên để k2 + m2 (mod3) thì k2 (mod3) m2 (mod3) m2 – k2 hay (2n+1) – (n+1) n (2) Mà (8; 3) = (3) Từ (1), (2), (3) n 24 Bài 9: Tìm tất các số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n và p > q a+48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 48 = 2q q = và p-q = p = n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho A là số chính phương gồm chữ số Nếu ta thêm v ào ch ữ s ố c A m ột đơn v ị thì ta số chính phương B Hãy tìm các số A và B Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị thì ta có số với k, m B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 a, b, c, d N và 32 < k < m < 100 N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ Ta có A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2 m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k và m+k là số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101 Do đó m – k == 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm số chính phương gồm chữ số biết số gồm ch ữ s ố đầu lớn h ơn s ố g ồm ch ữ s ố sau đơn vị Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = và k N, 32 ≤ k < 100 Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) Mà (k-10; 101) = k +10 101 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 abcd = 912 = 8281 k +10 101 k-10 101 k+10 = 101 k = 91 Bài 3: Tìm số chính phương có chữ số biết ch ữ số đầu gi ống nhau, ch ữ số cu ối gi ống Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb 11 a + b 11 Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) đó 9a+1 là số chính phương (6) Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn Số cần tìm là 7744 b=4 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa là số chính phương vừa là lập phương Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính ph ương vừa l à m ột l ập ph ương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N Vì y3 = x2 nên y là số chính phương Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương abcd = 4096 y = 16 Bài 5: Tìm số chính phương gồm chữ số cho ch ữ số cu ối l à số nguyên tố, c ăn b ậc hai c số đó có tổng các chữ số là số chính phương Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤ abcd chính phương d { 0,1,4,5,6,9} d nguyên tố d=5 Đặt abcd = k2 < 10000 32 ≤ k < 100 k là số có hai chữ số mà k2 có tận cùng k tận cùng Tổng các chữ số k là số chính phương k = 45 abcd = 2025 Vậy số phải tìm là 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu các bình ph ương c số đó v à vi ết s ố b ởi hai ch ữ số số đó theo thứ tự ngược lại là số chính phương Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b Số viết theo thứ tự ngược lại ba N, ≤ a,b ≤ ) Ta có ab 2- ba =2 ( 10a + b ) – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) Hay ( a-b )(a+b ) 11 11 a2 - b2 11 Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b 11 a + b = 11 Khi đó ab 2- ba = 32 (a - b) 112 Để ab - ba là số chính phương thì a - b phải là số chính phương đó a-b = a - b = Nếu a-b = kế2t hợp với a+b = 11 a = 6, b = 5, ab = 65 Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11 a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm là 65 Bài 7: Cho số chính phương có chữ số Nếu thêm v ào m ỗi ch ữ s ố đó ta c ũng m ột s ố chính phương Tìm số chính phương ban đầu ( Kết quả: 1156 ) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng các chữ số nó Gọi số phải tìm là ab với a,b N và ≤ a ≤ , ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3 (10a+b)2 =2( a + b )3 ab là lập phương và a+b là số chính phương Đặt ab = t3 ( t N),a+b=l2(l N) Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ab = 27 ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = là số chính phương Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương Vậy số cần tìm là ab = 27 loại Bài 9: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là số có chữ số giống Gọi số lẻ liên tiếp đó là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N) Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và ≤ a ≤ 12n( n + ) = 11(101a – ) 101a – 2a – Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nên 2a – a { 2; 5; } Vì a lẻ a = n = 21 { 3; 9; 15 } số càn tìm là 41; 43; 45 Bài 10: Tìm số có chữ số cho tích số đó với tổng các ch ữ số c nó b ằng t l ập ph ương các chữ số số đó ab (a + b ) = a3 + b3 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) (7) a + b và a + b – nguyên tố cùng đó a + b = 3a a + b – = 3a a +b–1=3+b a+b=3+b a=4,b=8 a=3,b=7 Vậy ab = 48 ab = 37 Chuyên đề A_ĐỒNG DƯ THỨC 1_Định Cho Ký nghĩa: là số nguyên dương Hai số nguyên và gọi là đồng dư với theo module m hiệu hiệu Nếu không gọi hết chia cho 2_Các , đồng dư thức viết ta dụ: ví Điều 3_Một kiện số nghĩa tính là chất a bản: chất Tính Với là số nguyên 1: , ta có: Tính chất 2: Tính chất Chứng minh: Vì chất Tính Chứng minh: chất Tính Chứng Theo tính chất Nhân vế ta ĐT hai minh: có: ta có: Nhận xét Nếu 1, và thì và , suy ra: , còn Điều này có nghĩa : Tổng hai số lẻ là số chẵn; Tích hai số lẻ l à m ột s ố l ẻ 2,Nếu Có nghĩa: Nếu số chia cho dư thì bình ph ương số đó chia dư (8) Các hệ chất tính và 5: , Chú 1_Chia với , hai vế cho đẳng thức, nói chung là không ý: nhưng ab có thể đồng dư với theo module m Ch ẳng h ạn : Phép chia hai vế đồng dư thức đòi hỏi phải kèm thêm số điều kiện Tính chất Ta có thể chia hai vế đồng dư thức cho ước chung c chúng, n ếu ước n ày nguyên tố với modun m Tính chất Ta có thể nhân hai vế và modun đồng dư th ức với số nguyên d ương , với c>0 Ta có thể chia hai vế và modun đồng dư thức cho ước chung d ương c chúng Nếu d là ước chung dương a,b và m thì với d>0 Tính Đa thức chất (from sách với các hệ số nguyên và có ) thì Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử I CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp đặt nhân tử chung – Tìm nhân tử chung là đơn, đa thức có mặt tất các hạng tử – Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung và nhân tử khác – Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc, viết các nhân t còn l ại c m ỗi h ạng t v ào d ấu ngoặc (kể dấu chúng) Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) xm + xm + = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) Phương pháp dùng đẳng thức Dùng các đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Cần chú ý đến việc vận dụng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử – Kết hợp các hạng tử thích hợp thành nhóm – Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Phối hợp nhiều phương pháp Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên Đặt nhân tử chung Dùng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a) II PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c) a) Cách (tách hạng tử bậc bx): (9) Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = … Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Hướng dẫn Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) Tích hai thừa số có tổng b = là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) b) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2) Làm xuất hiệu hai bình phương : f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) Tách thành số hạng nhóm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2) c) Cách (tách hạng tử tự c) Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) d) Cách (tách số hạng, số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) e) Cách (nhẩm nghiệm): Xem phần III Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - thành nhân tử Hướng dẫn Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x Từ đó ta cần thêm và bớt 12 = để xuất đẳng thức Lời giải f(x) = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử Lời giải Cách : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) Đối với đa thức bậc từ trở lên (Xem mục III Phương pháp nhẩm nghiệm) Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 - 5xy + 2y2 ; b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Hướng dẫn a) Phân tích đa thức này tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c Ta tách hạng tử thứ : 2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = (x - 2y)(2x - y) a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức : x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = = (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z) = (x - y)(y - z)(x - z) Chú ý : 1) Ơ câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y)) 2) Đa thức câu b) là đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z ho ặc z = x) vào đa thức thì giá tr ị c đa thức Vì v ậy, ngo ài cách phân tích b ằng cách tách nh trên, ta còn cách phân tích cách xét giá trị riêng (Xem phần VII) III PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM Trước hết, ta chú ý đến định lí quan trọng sau : Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = Khi đó, f(x) có m ột nhân t l à x – a v à f(x) có th ể viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc đó tách các số hạng f(x) thành các nhóm, nhóm ch ứa nhân t l à x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức, có, phải là ước hệ số tự Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử Lời giải Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đa thức f(x) có nghiệm x = –2, đó nó chứa nhân tử là x + Từ đó, ta tách sau Cách : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Từ định lí trên, ta có các hệ sau : Hệ Nếu f(x) có tổng các hệ số thì f(x) có nghiệm là x = Từ đó f(x) có nhân t là x – Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = l à nghi ệm c đa th ức Đa thức có nhân tử là x – Ta phân tích sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Hệ Nếu f(x) có tổng các hệ số các luỹ thừa bậc ch ẵn t các h ệ s ố c các lu ỹ th ừa bậc lẻ thì f(x) có nghiệm x = –1 Từ đó f(x) có nhân tử là x + Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 l à m ột nghi ệm c đa th ức Đa th ức có nhân tử là x + Ta phân tích sau : f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 (10) nguyên Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a v à f(1) v à f(–1) khác thì và là số Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử Hướng dẫn Các ước 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± không phải là nghiệm f(x) Dễ thấy không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không là nghiệm f(x) Chỉ còn –2 v à Kiểm tra ta thấy là nghiệm f(x) Do đó, ta tách các hạng tử sau : = (x – 3)(4x2 – x + 6) Hệ Nếu ( là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ , đó p, q Z và (p , q)=1, thì p là ước a0, q là ước dương an Ví dụ 10 Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - thành nhân tử Hướng dẫn Các ước –5 là ± 1, ± Thử trực tiếp ta thấy các số này không là nghiệm f(x) Nh f(x) không có nghiệm nghuyên Xét các số , ta thấy là nghiệm đa thức, đó đa thức có nhân tử là 3x – Ta phân tích sau : f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) IV PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ Thêm và bớt cùng hạng tử làm xuất hiệu hai bình ph ương Ví dụ 12 Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Ví dụ 13 Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Thêm và bớt cùng hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 14 Phân tích đa thức x5 + x - thành nhân tử Lời giải Cách x5 + x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Cách Thêm và bớt x2 : x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Ví dụ 15 Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử Lời giải x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1) Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + + x3n + + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + chứa nhân tử là x2 + x + V PHƯƠNG PHÁP ĐÔI BIẾN Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng các phương pháp Ví dụ 16 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc x thành đa th ức b ậc y Ví dụ 17 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Lời giải Cách Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dạng : Đặt thì Do đó : A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = = (x2 + 3x - 1)2 Dạng phân tích này đúng với x = Cách A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2 VI PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH (11) Ví dụ 18 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - Lời giải Thử với x= ±1; ±3 không là nghiệm đa thức, đa thức không có nghi ệm nguyên không có nghiệm hữu tỷ Như đa thức trên phân tích thành nhân tử thì phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Đồng các hệ số ta : Xét bd= với b, d Î Z, b Î {± 1, ± 3} Với b = thì d = 1, hệ điều kiện trên trở thành 2c = -14 - (-6) = -8 Do đó c = -4, a = -2 Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) VII PHƯƠNG PHÁP XET GIÁ TRỊ RIÊNG Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân t ch ứa biến đa th ức, r ồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại Ví dụ 19 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y) Lời giải Thay x y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = Như P chứa thừa số (x – y) Ta thấy thay x y, thay y z, thay z b ởi x thì p không đổi ( đa th ức P có th ể hoán v ị vòng quanh) Do đó P đã chứa thừa số (x – y) thì c ũng ch ứa th ừa s ố (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải là số vì P có bậc tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) VIII PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐĂC BIỆT Đưa đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 - 3abc b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 Lời giải a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca) b) Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Đưa đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Ví dụ 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 Lời giải a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Theo kết câu a) ta có : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) II Bài tập: Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 16x3y + 0,25yz3 x – 4x3 + 4x2 2ab2 – a2b – b3 a + a2b – ab2 – b3 x + x2 – 4x - x – x2 – x + x + x3 + x2 - x 2y2 + – x2 – y2 10 x – x2 + 2x - 11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 12 a + 2ab + b2 – 2a – 2b + 13 a – b2 – 4a + 4b 14 a – b3 – 3a + 3b 15 x + 3x2 – 3x - 16 x – 3x2 – 3x + 17 x – 4x2 + 4x - 18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) a – a4 + 2a3 + 2a2 (a + b)3 – (a – b)3 X – 3x2 + 3x – – y3 X m + + xm + – x - (x + y)3 – x3 – y3 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 x3 + y3+ z3 – 3xyz (x + y)5 – x5 – y5 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 (12) x2 – 6x + 23 x3 – 5x2y – 14xy2 x2 – 7xy + 10y2 24 x4 – 7x2 + a2 – 5a - 14 25 4x4 – 12x2 + 2m2 + 10m + 26 x2 + 8x + 4p2 – 36p + 56 27 x2 – 13x + 36 x3 – 5x2 – 14x 28 x2 + 3x – 18 a4 + a2 + 29 x2 – 5x – 24 a4 + a2 – 30 3x2 – 16x + x4 + 4x2 + 31 8x2 + 30x + 10 x3 – 10x - 12 32 2x2 – 5x – 12 11 x3 – 7x - 33 6x2 – 7x – 20 12 x2 – 7x + 12 34 x2 – 7x + 10 13 x2 – 5x – 14 35 x2 – 10x + 16 14 x2 – 3x – 36 3x2 – 14x + 11 15 x2 – 7x + 37 5x2 + 8x – 13 16 x2 – 7x + 38 x2 + 19x + 60 17 6x3 – 17x2 + 14x – 39 x4 + 4x2 - 18 4x3 – 25x2 – 53x – 24 40 x3 – 19x + 30 19 x4 – 34x2 + 225 41 x3 + 9x2 + 26x + 24 20 4x4 – 37x2 + 42 4x2 – 17xy + 13y2 21 x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43 - 7x2 + 5xy + 12y2 22 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44 x3 + 4x2 – 31x - 70 Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + x2 + x4 – 3x2 + x4 + 3x2 + 4 2x4 – x2 – x4y4 + x4y4 + 64 x4y4 + 32x4 + x4 + 4y4 10 11 12 x7 + x2 + x8 + x + x8 + x7 + 13 x8 + 3x4 + 14 x10 + x5 + 15 x5 + x + 16 x5 + x4 + Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 17 18 19 20 21 22 23 24 + 25 + x5 - x4 - x12 – 3x6 + x8 - 3x4 + a5 + a4 + a3 + a2 + a m3 – 6m2 + 11m - x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + x3 + 4x2 – 29x + 24 x10 + x8 + x6 + x4 + x7 + x5 + x4 + x3 + x5 – x4 – x3 – x2 – x 26 27 x8 + x6 + x4 + x2 + x9 – x7 – x6 – x5 + 28 + x3 + x2 + a(b3 – c3) + b(c3 – 29.a3) + c(a3 – b3) (13) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – x4 – 13x2 + 36 x4 + 3x2 – 2x + x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3 x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 15x3 + 29x2 – 8x – 12 x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – x3 + 9x2 + 26x + 24 Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5 (x + y)7 – x7 – y7 ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b) 10 abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2 Chuyên đề Tính chia hết với số nguyên I Mục tiêu Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng tính chất chia hÕt cña sè nguyªn dể ch ứng minh quan hÖ chia hÕt, t×m sè d vµ t×m ®iÒu kiÖn chia hÕt Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng các kiến thức trang bị để giải toán II Các tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nâng cao và số chuyên đề toán - Toán nâng cao và các chuyên đề đại số - Bồi dưỡng toán - Nâng cao và phát triển toán -… III Nội dung Kiến thức cần nhớ Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n N hoÆc n Z) a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích đó có thừa số là m + Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI nguyên tố cùng chứng minh A(n) chia hết cho tất các số đó + Trong k sè liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét sè lµ béi cña k b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi trêng hîp vÒ sè d chia m cho n * VÝ dô1: C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n Gi¶i: Ta cã 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thÊy : A lµ tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp mµ sè nguyªn liªn tiÕp: Tån t¹i mét béi sè cña (nªn A ) Tån t¹i mét béi cña (nªn A ) Tån t¹i hai béi cña (nªn A ) Tồn bội đó có bội (nên A 16) Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố cùng A 5.7.9.16= 5040 VÝ dô 2: Chng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× : a/ a3 – a chia hÕt cho b/ a5-a chia hÕt cho Gi¶i: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) lµ tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) C¸ch 1: Ta xÕt mäi trêng hîp vÒ sè d chia a cho (14) NÕu a= k (k Z) th× A 5 (1) 1 th× a2-1 = (5k2 1) -1 = 25k2 10k 5 A 5 (2) NÕu a= 5k 2 th× a2+1 = (5k 2)2 + = 25 k2 20k +5 A 5 (3) Tõ (1),(2),(3) A 5, n Z NÕu a= 5k C¸ch 2: Ph©n tÝch A thµnh mét tæng cña hai sè h¹ng chia hÕt cho : + Mét sè h¹ng lµ tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp + Mét sè h¹ng chøa thõa sè Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp ) 5 Do đó a5-a 5 5a (a2-1) * C¸ch 3: Dùa vµo c¸ch 2: Chøng minh hiÖu a5-a vµ tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5 a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 a5-a 5(TÝnh chÊt chia hÕt cña mét hiÖu) Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 c/ Khi chứng minh tính chia hết các luỹ thừa ta còn sử dụng các đẳng thức: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (H§T 9) Sö dông tam gi¸c Paxcan: 1 1 1 3 1 … Mỗi dòng bắt đầu và kết thúc Mỗi số trên dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền trên cộng với số bên trái số liền trên Do đó: Với a, b Z, n N: an – bn chia hÕt cho a – b( a b) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n Gi¶i: + C¸ch 1: - NÕu n ch½n: n = 2k, k N th×: A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 162 – 1( theo nhÞ thøc Niu T¬n) Mµ 162 – = 255 17 VËy A 17 - NÕu n lÎ th× : A = 16n – = 16n + – mµ n lÎ th× 16n + 16+1=17 (H§T 9) A kh«ng chia hÕt cho 17 +C¸ch 2: A = 16n – = ( 17 – 1)n – = BS17 +(-1)n – (theo c«ng thøc Niu T¬n) NÕu n ch½n th× A = BS17 + – = BS17 chia hÕt cho 17 NÕu n lÎ th× A = BS17 – – = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biÓu thøc 16n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n, n N d/ Ngoài còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết VD 4: CMR tån t¹i mét béi cña 2003 cã d¹ng: 2004 2004….2004 Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ……………………… a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d chia cho 2003 Gọi hai số đó là am và an ( n <m 2004) thì am - an Ta cã: am - an = 2004 2004……2004 000…00 m-n nhãm 2004 4n hay am - an = 2004 2004……2004 104n m-n nhãm 2004 mµ am - an nªn 2003 vµ (104n , 2003) =1 2004 2004……2004 2003 m-n nhãm 2004 T×m sè d * VD1:T×m sè d chia 2100 a/ cho b/ cho 25 Gi¶i: 2003 (15) a/ Luü thõa cña s¸t víi béi cña lµ 23 = = – Ta cã : 2100 = 299= (23)33 = 2(9 – )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhÞ thøc Niu T¬n) = BS9 – = BS9 + VËy 2100 chia cho d b/ Luü thõa cña gÇn víi béi cña 25 lµ 10 = 1024 =1025 – Ta cã: 2100 =( 210)10 = ( 1025 – )10 = BS 1025 + = BS 25 +1 (theo nhÞ thøc Niu T¬n) VËy 2100 chia cho 25 d * VD2: T×m ch÷ sè tËn cïng cña 51994 viÕt hÖ thËp ph©n Gi¶i: C¸ch 1: Ta cã: 1994 = 4k + vµ 54 = 625 Ta thÊy sè tËn cïng b»ng 0625 n©ng lªn luü thõa nguyªn d¬ng bÊt k× vEn tËn cïng b»ng 0625 Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k 52 = 25 (0625)k = 25 (…0625)= …5625 C¸ch 2: T×m sè d chia 51994 ch 10000 = 24.54 Ta thÊy 54k – = (54)k – 1k chia hÕt cho 54 – = (52 + 1) (52 - 1) 16 Ta cã 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mµ 56 54 vµ 51988 – = (54)497 – chia hÕt cho 16 ( 51994)3 56(51988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625 51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 d 15625 VËy ch÷ sè tËn cïng cña 51994 lµ 5625 T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt * VD1: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Gi¶i: n3 + 2n2- 3n + n2 – n n3 – n2 n+3 3n2 - 3n + 3n2 – 3n 2 Ta cã: n3 + 2n2- 3n + = (n2 – n)(n + 3) + n n Do đó Giá trị A chia hết cho giá trị B n2 – n Ư(2) chia hÕt cho n(n – 1) chia hÕt cho n Ta cã b¶ng: n n–1 n(n – 0 -1 -2 2 Lo¹i T/m T/m VËy víi n = -1, n = th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B VD 2: T×m sè nguyªn n dÓ n5 + chia hÕt cho n3 + Gi¶i: n3 + n5 + n2 – n2 + n3 + n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + (n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1) n – n2 – n + n(n – 1) n2 – n + Hay n2 – n n2 – n + (n2 – n + 1) – n2 – n + n2 – n + n5 + XÐt hai trêng hîp: + n2 – n + = n2 – n = n(n – 1) = n = 0, n = thử lại thấy t/m đề bài + n2 – n + = - n2 – n + = , kh«ng cã gi¸ trÞ cña n tho¶ m·n VD 3: T×m sè tù nhiªn n cho 2n - chia hÕt cho Gi¶i: Ta cã luü thõa cña gÇn víi béi cña lµ 23 = = + NÕu n = 3k (k N) th× 2n - 1= 23k – = (23)k – = k - 1k 8 – = NÕu n = 3k + 1(k N) th× 2n - = 23k+1 – = 8k – 1= 2(8k – 1) + = BS7 + 2n - kh«ng chia hÕt cho NÕu n = 3k +2(k N) th× 2n - = 23k+2 – 1= 4.23k – = 4( 8k – 1) + = 4.BS7 + 2n - kh«ng chia hÕt cho VËy 2n - 7 n = 3k (k N) Bµi tËp Bµi 1: Chøng minh r»ng: a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n b/ n4 – 10n2 + chia hÕt cho 384 víi mäi sè n lÎ Gi¶i a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] -2 -3 Lo¹i (16) = n(n+2)(n + 4) Víi n ch½n, n = 2k ta cã: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2) 8 b/ n4 – 10n2 + = n4 – n2 – 9n2 + = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Víi n lÎ, n = 2k +1, ta cã: n4 – 10n2 + = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + – 3)( 2k + +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bµi 2: Chøng minh r»ng a/ n6 + n4 -2n2 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn n b/ 32n – chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn d¬ng n Gi¶i: Ta cã: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1) Ta l¹i cã: 72 = 8.9 víi (8,9) = XÐt c¸c trêng hîp: + Víi n = 2k A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8 Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a để chứng minh A 9 VËy A 8.9 hay A 72 + Víi n = 2k +1 Bµi 3: Cho a lµ sè nguyªn tè lín h¬n Chøng minh r»ng a2 – chia hÕt cho 24 Gi¶i: V× a2 lµ sè nguyªn tè lín h¬n nªn a lÎ a2 lµ sè chÝnh ph¬ng lÎ a2 chia cho d a2 – chia hÕt cho (1) MÆt kh¸c a lµ sè nguyªn tè lín h¬n a kh«ng chia hÕt cho a2 lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng chia hÕt cho a2 chia cho d a2 – chia hÕt cho (2) Mµ (3,8) = (3) Tõ (1), (2), (3) a2 – chia hÕt cho 24 Bµi 4: Chøng minh r»ng: NÕu sè tù nhiªn a kh«ng chia hÕt cho th× a6 -1 chia hÕt cho Gi¶i: Bài toán là trờng hợp đặc biệt định lý nhỏ Phéc ma: - D¹ng 1: NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a lµ mét sè nguyªn th× ap – a chia hÕt cho p - D¹ng 2: NÕu a lµ mét sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× ap-1-1 chia hÕt cho p ThËt vËy, ta cã a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1) 1 (k N) th× a3 = ( 7k 1)3 = BS7 a3 - 7 NÕu a = 7k 2 (k N) th× a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 a3 - 7 NÕu a = 7k 3 (k N) th× a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 7 NÕu a = 7k Ta lu«n cã a3 + hoÆc a3 – chia hÕt cho VËy a6 – chia hÕt cho Bµi 5: Chøng minh r»ng: NÕu n lµ lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn th× (n-1)n(n + 1) chia hÕt cho 504 Gi¶i: Ta có 504 = 32 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng đôi Vì n là lập phơng số tự nhiên nên đặt n = a3 CÇn chøng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hÕt cho 504 Ta cã: + NÕu a ch½n a3 chia hÕt cho NÕu a lÎ a3-1vµ a3 + lµ hai sè ch½n liªn tiÕp (a3-1) (a3 + 1) chi hÕt cho VËy A 8 , 19a9 n N (1) + NÕu a 7 a3 7 A 7 NÕu a kh«ng chia hÕt cho th× a6 –1 7 (a3-1) (a3 + 1) 7(§Þnh lÝ PhÐc ma) VËy A 7 , n N (2) + NÕu a 3 a3 9 A 9 NÕu a kh«ng chia hÊe cho a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS9 1 a3 –1 = BS9+1 –1 9 a3 + = BS9- + 9 VËy A 9 , n N (3) Tõ (1), (2), (3) A 9 , n N Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau là số nguyên tố: a/ 12n2 –5n –25 b/ 8n2 + 10n +3 n3 3n c/ Gi¶i: (17) 5=1 a/ Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 12n2 –5n –25 = 12n2 +15n –20n –25 = 3n(4n + 5) –5(4n +5) = (4n +5)(3n –5) Do 12n2 –5n –25 lµ sè nguyªn tè vµ 4n +5 > nªn 3n –5 > Ta lại có: 3n –5 < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 –5n –25 là số ng yên tố thì thừa số nhỏ phải hay 3n – n=2 Khi đó, 12n2 –5n –25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố VËy víi n = th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc 12n2 –5n –25 lµ sè nguyªn tè 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n –1)(4n + 3) Biến đổi tơng tự ta đợc n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 là số nguyên tố n3 3n Do A lµ sè tù nhiªn nªn n(n + 3) 4 c/ A = Hai sè n vµ n + kh«ng thÓ cïng ch½n VËy hoÆc n , hoÆc n + chia hÕt cho - NÕu n = th× A = 0, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n = th× A = 7, lµ sè nguyªn tè -NÕu n = 4k víi k Z, k > th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n nªn A lµ hîp sè - NÕu n + = th× A = 1, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n + = 4k víi k Z, k > th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n nªn A lµ hîp sè n3 3n VËy víi n = th× lµ sè nguyªn tè Bµi 7: §è vui: N¨m sinh cña hai b¹n Một ngày thập kỷ cuối cùng kỷ XX, nh khách đến thăm trờng gặp hai học sinh Ngời khách hái: Cã lÏ hai em b»ng tuæi nhau? B¹n Mai tr¶ lêi: Không, em bạn em tuổi Nhng tổng các chữ số năm sinh chúng em là số chẵn Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không? Ngời khách đã suy luận nào? Gi¶i: Ch÷ sè tËn cïng cña n¨m sinh hai b¹n ph¶I lµ vµ v× tr êng hîp ngùoc l¹i th× tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh hai b¹n chØ h¬n kÐm lµ 1, kh«ng thÓ cïng lµ sè ch½n Gäi n¨m sinh cña Mai lµ 19a9 th× +9+a+9 = 19 + a Muèn tæng nµy lµ sè ch½n th× a {1; 3; 5; 7; 9} HiÓn nhiªn Mai kh«ng thÓ sinh n¨m 1959 hoÆc 1999 VËy Mai sinh n¨m 1979, b¹n cña Mai sinh n¨m 1980 (18)